第五章 力法

第五章力法学习目的和要求力法是超静定结构计算的基本方法之一，也是学习其它方法的基础，非常重要。

本章即基本要求：1.熟练掌握力法基本结构的确定、力法方程的建立及其物力意义、力法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算。

2.熟练掌握力法解刚架、排架和桁架，了解用力法计算其它结构计算特点。

3.会利用对称性，掌握半结构的取法。

4.掌握超静定结构的位移计算及力法计算结果的校核。

5.重点是荷载作用下的超静定结构计算，领会其它因素下的超静定结构计算。

学习内容超静定结构的性质，超静定次数的确定，超静定结构的计算思想与基本方法；力法基本概念，荷载作用下用力法计算超静定梁、刚架、排架、桁架和组合结构。

支座移动、温度改变用力法计算超静定梁和刚架。

对称结构的特性及对称性的利用。

超静定结构的位移计算及力法校核。

§5.1超静定次数的确定1、超静定结构的特性：与静定结构比较，超静定结构有如下特性：静定结构超静定结构几何特性无多余约束的几何不变体系有多余约束的几何不变体系静力特性满足平衡条件内力解答是唯一的，即仅由平衡条件就可求出全部内力和反力。

超静定结构满足平衡条件内力解答有无穷多种，即仅由平衡条件求不出全部内力和反力，还必须考虑变形条件。

非荷载外因的影响不产生内力产生了自内力内力与刚度的关系无关荷载引起的内力与各杆刚度的比值有关，非载载外因引起的内力与各杆刚度的绝对值有关。

内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。

2、超静定次数的确定：结构的超静定次数为其多余约束的数目，因此上，结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。

在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种：（1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。

（例子66）（2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束。

（例子67）（3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束。

（例子68）3、几点注意：由图10-1结构的分析可得出结论：一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。

对于无铰闭合框结构其超静定次数=3³闭合框数。

如图10-2所示结构的超静定次数为3³5=15次；对于带铰闭合框结构其超静定次数=3³闭合框数－结构中的单铰数（复铰要折算成单铰）如图10-3所示结构的超静定次数为3³5-（1+1+3）=15次。

D点是连接四个刚片的复铰，相当于（4-1）=3个单铰。

一结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式是多种多样的。

如图10-1结构。

qR BX 1由ΔB =Δ1=0解出在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。

如图10-4结构外部1次超静定，内部6次超静定，结构的超静定次数是7。

在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来代替，在结构内部解除约束，用作用力和反作用力一对力来代替。

如图10-1结构所示。

只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能将原结构变成瞬变体系或可变体系。

如图10-4结构中A 点的水平支杆不能作为多余约束去掉。

如图10-5结构中支杆a,b 和链杆c 不能作为多余约束去掉，否则就将原结构变成了瞬变体系。

§5.2 力法基本概念1、 超静定结构的求解思路：求解超静定结构，先选取一个便于计算结构作为基本体系，然后让基本体系与原结构受力一致，变形一致即完全等价，通过这个等价条件去建立求解基本未知量的基本方程。

（基本未知量是超静定结构计算中必须首先求解的关键未知量）。

由于求解过程中所选的基本未知量和基本体系不同，超静定结构的计算有两大基本方法——力法和位移法。

2、力法基本概念：（例子69）在力法中，以去掉多余约束得到的静定结构作为力法基本体系，以多余未知力作为力法的基本未知量，通过基本体系中沿多余未知力方向的位移应等于原结构相应的位移来建立力法基本方程，解方程求出多余未知力；多余未知力求出以后，其它反力和内力的计算问题就转化为静定结构的计算问题，可按叠加法或平衡条件计算。

3、力法典型方程：（例子70）力法典型方程是根据原结构的位移条件建立起来的。

典型方程的数目等于结构的超静定次数。

n 次超静定结构的基本体系有n 个多余未知力，相应的有n 个位移协调条件。

利用叠加原理将这些位移条件表述成如下的力法典型方程。

几点注意：力法方程的物理含义是：基本体系在外部因素和多余未知力共同作用下产生的多余未知力方向上的位移，应等于原结构相应的位移。

实质上是位移协调条件。

主系数δii表示基本体系仅由X i=1作用所产生的X i方向的位移。

付系数δij表示基本体系仅由X j=1作用所产生的X i方向的位移。

主系数恒大于零，负系数可为正、负或零。

力法方程的系数只与结构本身和基本未知力的选择有关，是基本体系的固有特性，与结构上的外因无关。

自由项，分别表示基本体系仅由荷载作用，支座移动，温度变化所产生的X i方向的位移，可为正、负或零。

对于具有弹性支承和内部弹性约束的超静定结构，若取弹性约束力作为基本未知力X i，右端项为，若选取的基本体系中保留弹性约束，在的计算公式中应增加一项弹性力的虚功项：两种情况下的反力同向，乘积为正。

4、计算步骤：由上述，力法计算步骤可归纳如下：1）确定超静定次数，选取力法基本体系；2）按照位移条件，列出力法典型方程；3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；4）解方程，求多余未知力；5）按 M=∑Mi ·Xi+MP叠加最后弯矩图。

§5.3 力法计算及举例1、超静定梁和刚架：（例子76，77）用力法计算荷载作用下的超静定梁和刚架时，通常忽略剪力和轴力对位移的影响，因此，力法方程中系数和自由项计算公式为：⎰⎰⎰<=>=∆<=>=>=00,000,02ds EI M ds EI ds EI P i iP k i ik i ii δδ（a ）同一结构取不同的基本体系计算，力法典型方程代表的位移条件不同，力法方程中的系数、自由项不同，计算过程的简繁程度不同，最后内力图相同。

因此，在保证基本体系是几何不变的前提下，尽量选择恰当的基本体系，使力法方程中的系数和自由项计算简单，并有较多的副系数和自由项等于零。

另外，应使基本体系是由几个独立的基本部分形成，荷载所在部分尽量是基本部分，这样可使各单位弯矩图和荷载弯矩图分布局部，减少它们之间的重叠，使副系数和自由项的计算简单，也有可能为零。

解力法方程也简单。

（例子78）2、超静定排架：（例子79）铰接排架由屋架和柱组成。

当对排架柱进行内力分析时，通常可将屋架简化为轴向刚度为无穷大的链杆。

用力法计算排架时，切断链杆，代以一对等值反向的多余未知力。

因链杆的轴向刚度为无穷大，计算系数和自由项时仍用（a ）式。

3、超静定桁架：（例子80）桁架是铰接链杆体系，在结点荷载作用下，各杆只有轴力。

力法方程中得系数和自由项及最后轴力叠加公式为：2000,0,000ii k i P ii i ik i iP i N N N N Nl l l EA EA EAδδ>>=>==∆==<<∑∑∑ 4、超静定组合结构：（例子81）在组合结构中，链杆只受轴力，梁式杆既受弯矩，也承受轴力和剪力。

在计算位移时，对链杆只考虑轴力项的影响，对梁式杆只考虑弯矩项的影响。

因此，力法方程中得系数和自由项及最后内力叠加公式为：5、非荷载外因作用下的超静定结构的计算：由于超静定结构有多余约束，无荷载作用时，只要有发生变形的因素，如温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等，都可以产生内力（自内力）。

用力法分析这些非荷载因素作用下的超静定结构，其基本原理及步骤与荷载作用下相同，力法典型方程中的系数是基本体系的固有特性，不随外界作用因素而变，所不同的是力法典型方程中的自由项不再是由荷载所产生，而是由上述因素产生的基本体系在多余未知力方向的位移。

（1）温度改变时的力法计算特点：（例子82）温度改变引起的自内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度EI 的绝对值成正比； 力法典型方程的形式、系数与荷载作用时相同，自由项不同；（2）支座移动时的力法计算特点：（例子83）取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也可能不一样，方程的右边可不为零（＝±与多余未知力对应的支座位移）。

系数计算同前；自由项 Δic =－∑R²c ，c 是基本体系的支座位移。

所以，基本体系的支座位移产生自由项。

与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边。

内力全由多余未知力引起，且与刚度EI 的绝对值成正比。

§5.3 对称性利用1、对称性：结构的对称性：对称结构是指几何形状、支座情况、刚度都对称于某轴的结构。

如图（a ）所示结构。

荷载的对称性：①对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。

在大小相等、作用点对称的前提下，下，与对称轴垂直反向布置的荷载、与对称轴平行同向布置的荷载、与对称轴重合的集中力是对称荷载。

如图（b ）所示。

②反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。

在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载、与对称轴平行反向布置的荷载、垂直作用在对称轴上的荷载、位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。

如图（c ）所示。

2、取对称的基本体系计算：(荷载可以是任意，仅用于力法)。

不论在何种外因作用下，对称结构应考虑利用对称的基本体系计算。

沿对称轴上梁的中央截面切开，三对多余未知力中，弯矩X 1和轴力X 2是对称未知力，剪力X 3是反对称未知力。

对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的。

如下图所示。

因此，力法方程中的系数：于是，力法方程可简化为：（例子71）力法方程分解为独立的两组，一组只包含对称未知力，一组只包含反对称未知力。

如果荷载对称，M P 对称，Δ3P =0，X 3=0，对称未知力不为零；如果荷载反对称，M P 反对称，Δ1P =0， Δ2P =0， X 1= X 2 =0，反对称未知力不为零。

一般地说，对称结构在对称荷载作用下，内力、反力和变形及位移是对称的。

对称结构在反对称荷载作用下，内力、反力和变形及位移是反对称的。

3、取等代结构计算：利用上述对称结构在对称荷载和反对称荷载作用下的受力和变形特点，可以利用半刚架结构（即等代结构）计算对称结构。

对称结构在对称荷载作用下位于对称轴上的截面，水平位移和转角为零，只有竖向位移。

①奇数跨（无中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构是将对称轴上的截面切开设置成定向支座，取半边结构。