广东省佛山市普通高中2019-2020学年高一上学期期末数学试题
数学2020年1月
本试卷共4页,22小题,满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.
四、解答题:本题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知 为第一象限角,且 .
（1）求 的值;
（2）求的 值.
18.已知函数 ,其中 ,且 .
（1）判断并证明函数 的奇偶性;
（2）判断 单调性（不需证明）;
（3）求使 成立的 的取值集合.
19.弹簧振子的振动是简谐振动.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中,时间t（单位:s）与位移y（单位:mm）之间的对应数据记录如下表:
t
0.00
0.05
0 10
0.15
0.20
0.25
0 30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
y
10.0
17.7
20.0
17.7
10.0
（1）试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式;
（2）画出该函数在 的函数图象;
（3）在整个振动过程中,求位移为10mm时 的取值集合.
20.已知函数 是偶函数, 是奇函数,且 .
序号
（1）根据表格中的数据,建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型一: 或模型二: （其中v为汽车速度,a,b为待定系数）进行拟合,请根据序号2和序号7两组数据分别求出两个函数模型的解析式;
（2）通过计算 时的停车距离,分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好.
（参考数据: ; ; .）
22.已知函数 , .用 表示m,n中的最小值,设函数 .
（1）求 的解析式;
（2）判断 在 上的单调性,并用定义证明;
（3）解不等式 .
21.汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关,其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度.设d表示停车距离, 表示反应距离, 表示制动距离,则 .下图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图，对应的汽车行驶的速度与停车距离的表格如下图所示
（1）当 时,求 的最大值;
（2）讨论 零点的个数.
A. B. C. D.
8.函数 , 的大致图象为（）
A. B.
C. D.
9.已知定义在R上的函数 的图象是源自续不断的,且有如下对应值表:x
1
2
3
4
5
3
那么函数 一定存在零点的区间是（）
A. B. C. D.
10.已知函数 ， ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共2小题,每小题5分,满分10分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
11.函数 部分图象如图所示,对不同 , ,若 ，都有 ，则（）
A. B. C. D.
12.已知函数 ,则下列判断正确的是（）
A. 为奇函数
B.对任意 , ,则有
C.对任意 ,则有
D.若函数 有两个不同的零点,则实数m的取值范围是
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.计算: ________.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.
一、单项选择题:本题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,则 （）
A. B. C. D.
2.下列函数既是偶函数,又在区间 上是减函数的是（）
A. B. C. D.
3.已知 , ,则 （）
14.函数 ,则 的零点个数为________.
15.已知当 时,函数 取得最大值,则 ________.
16.某种物质在时刻 的浓度 与t的函数关系为 （ 为常数）.在 和 测得该物质的浓度分别为 和 ,那么在 时,该物质的浓度为________mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则整数t的最小值为________.（参考数据: ）
A. B. C. D.
4.函数 的最大值为（）
A. B. C.1D.2
5.为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象
A.向左平行移动 个单位B.向左平行移动 个单位
C 向右平行移动 个单位D.向右平行移动 个单位
6.若函数 ，又 ，且 的最小值为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
7.设 , , ,则a,b,c的大小关系是（）
广东省佛山市第二中学2021-2022学年高一上学期新生入学考试数学试题
广东省佛山市第二中学2021-2022学年高一上学期新生入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且Ð=Ð．在y轴上是否存在点F，使得BEF2DQE ODQ△为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．D【分析】直接根据指数运算、完全平方式以及合并同类项的原则即可判断.【详解】对A ，257a a a ×=，故A 错误；对B ，222()2a b a ab b -=-+，故B 错误；对C ，()23639a a -=，故C 错误；对D ，22232a b a b a b -+=-，故D 正确；故选：D.2．D【解析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a -´，其中1||10a <…，n 为整数，n 的值取决于原数变成a 时，小数点移动的位数，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：66590000 6.5910=´故选：D【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a -´，其中1||10a <…，确定a 与n 的值是解题的关键，属于基础题．3．A【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2Î正确，{}{}10,1,2Î不正确，由集合之间的关系知{}0,1,2ÆÍ正确，。
广东省佛山市南海区2023-2024学年高一上学期第一次大测数学试题含解析
2023-2024高一上第一次大测数学（答案在最后）一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =≤，则A B = （）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1- D.{}0,1,2【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式可求出{}11B x x =-≤≤，再根据交集定义求解.【详解】由21x ≤解得11x -≤≤，所以{}11B x x =-≤≤，所以A B = {}1,0,1-，故选:A.2.集合2{|4}M x x =≤，集合{}12N x x =≤≤，则M N ð=（）A.{}21x x -≤< B.{}2,1,0--C.{}2x x ≤- D.{}02x x <<【答案】A【解析】【分析】由一元二不等式得到M 的集合，应用集合的补运算求M N ð即可.【详解】2{|4}{|22}M x x x x =≤=-≤≤，又{}12N x x =≤≤，∴{|21}M N x x =-≤<ð，故选：A3.设0x >，则9x x +的最小值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式计算即可.【详解】由基本不等式可知96x x +≥=，当且仅当93x x x =⇒=时取得最小值.故选：D 4.命题“x ∃∈R ，10x +≥”的否定是（）A.x ∀∈R ，10x +≥ B.x ∃∈R ，10x +<C.x ∀∈R ，10x +< D.x ∀∈R ，10x +≤【答案】C【解析】【分析】直接根据特称命题的否定形式判定即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知：命题“x ∃∈R ，10x +≥”的否定是“x ∀∈R ，10x +<”.故选：C5.设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】若0,2a b ==-，则22a b <，故不充分；若2,0a b =-=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.6.一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为∅的充要条件是（）A.2040a b ac >⎧⎨-≥⎩ B.2040a b ac >⎧⎨-≤⎩ C.2040a b ac <⎧⎨-≥⎩ D.2040a b ac <⎧⎨-≤⎩【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案.【详解】由20ax bx c ++<的解集为空，结合对应二次函数性质有20Δ40a b ac >⎧⎨=-≤⎩.故选：B7.集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（）A.4B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】先求出集合A ，再根据集合A 的元素个数即可求出集合A 的子集个数.【详解】解：∵{}{}221,0,1A x x =∈-<<=-Z ，∴集合A 的子集个数为328=个，故选：D.【点睛】本题考查集合的子集的个数，属于基础题.8.已知0a >，0b >，且满足1a b +=，则14a b +的最小值为（）A.7B.9C.4D.4+【答案】B【解析】【分析】()1445b aa b a b a b ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最值，注意等号成立的条件．【详解】解：因为0a >，0b >，且满足1a b +=，所以()1445b aa b a b a b ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭≥9，当且仅当1233a b ==，时，等号成立．故选B ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．二、多项选择题（每题有两个或两个以上正确答案，共20分）9.若集合{}21,Z A x x n n ==+∈，集合{}41,Z B x x n n ==-∈，则A ，B 的关系不成立的是（）A.A B ⊆B.A B=C.A B D.B A【答案】ABC【解析】【分析】将集合A 、B 描述化为同一形式，判断它们的包含关系，即可得答案.【详解】由{|2(21)1,Z}B x x n n ==-+∈，而{}21,Z A x x n n ==+∈，所以B A ，故不成立的有A 、B 、C.故选：ABC10.已知集合{}1,2,3,4M =，{}2,2N =-，下列结论不成立的是（）A.N M B.M N M⋃=C.M N N⋂= D.{}2M N = 【答案】ABC【解析】【分析】根据集合的基本关系与运算一一判定即可.【详解】因为2M -∉，所以A 错误；由题意可知：{}1,2,3,4,2M N M ⋃=-≠，所以B 错误；易知{}2M N = ，故C 错误，D 正确.故选：ABC11.下列关系不正确的是（）A.{}3πy y ∈> B.{(,)}{(,)}a b b a =C.0.3Q∉ D.{}220,R x x x +=∈=∅【答案】ABC【解析】【分析】根据集合定义，元素与集合关系，相等集合定义判断各项正误即可.【详解】A ：3{|π}y y ∉>，错；B ：{(,)}{(,)}a b b a ≠，集合中点的坐标不同，错；C ：0.3Q ∈（有理数集），错；D ：由220x +>恒成立，对.故选：ABC12.若0a b >>，0c d <<，则错误的有（）A.a b c d > B.a b d c<C.a b d c >D.a b c d<【答案】ACD【解析】【分析】由已知得0ac bd <<且0cd >，应用作差法判断大小关系，即得答案.【详解】由题设0a b >>，00c d ac bd ->->⇒->->⇒0ac bd <<，且0cd >，由a b ad bc c d cd --=，而,ad bc 大小不确定，0cd >，A 、D 错；由a b ac bd d c cd --=，且0ac bd -<，0cd >，故a b d c <，B 对，C 错；故选：ACD三、填空题（共4题，每题5分，共40分）13.已知命题:p “22x x x ∃∈≥N ,”，则:p ⌝________________．【答案】2,2xx x ∀∈<N 【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题可得解.【详解】由特称命题的否定为全称命题可知：命题:p “2,2x x N x ∃∈≥”，则2: ,2x p x N x ⌝∀∈<.【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，除了需要将结论进行否定外，还需将量词进行否定，全称量词换成特称量词，特称量词换成全称量词，属于基础题.14.“A B ⊆”是“A B A = ”的________条件．【答案】充要【解析】【分析】由充分、必要性定义，结合集合之间推出关系判断题设条件间关系.【详解】由A B ⊆，则有A B A = ，充分性成立；由A B A = ，则有A B ⊆，必要性成立；所以“A B ⊆”是“A B A = ”的充要条件.故答案为：充要15.若关于x 的一元二次不等式210x ax -+>对于一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】()2,2-【解析】【分析】根据题意可知，函数21y x ax =-+的图象在x 轴上方，所以240a ∆=-<，由此即可求出结果.【详解】由于关于x 的一元二次不等式210x ax -+>对于一切实数x 恒成立，根据函数21y x ax =-+的图象在x 轴上方，所以240a ∆=-<，所以()2,2a ∈-.故答案为：()2,2-.16.若2x =是关于x 的不等式2(1)()0R x a x a x +++∈≤的解，求a 的取值范围为________．【答案】(,2]-∞-【解析】【分析】根据题意，得到2x =是满足不等式2(1)0x a x a +++≤，代入即可求解.【详解】由2x =是关于x 的不等式2(1)()0R x a x a x +++∈≤的解，即2x =是满足不等式2(1)()0R x a x a x +++∈≤，可得222(1)0a a +++≤，解得2a ≤-，所以实数a 的取值范围为(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-.四、解答题（17题10分，其余12分，共70分）17.已知集合{}20A x x ax b =++=，{}2150B x x cx =++=，且{}5A B = ．（1）求c 的值；（2）若{}{}2,42A = ，求a ，b 的值．【答案】（1）8-;（2）7a =-，10b =．【解析】【分析】（1）根据{}5A B = 可得5∈B ，从而可得关于c 的方程，解方程后可得c 的值.（2）根据{}5A B = 和{}{}2,42A = 可得{}2,5A =，利用韦达定理可求,a b 的值.【详解】（1）因为{}5A B = ，故5∈B ，所以25+5150c +=，故8c =-.（2）因为{}5A B = ，{}{}2,42A = ，故{}2,5A ⊆，但A 为方程20x ax b ++=的解的集合，该集合中最多有两个元素，故{}2,5A =，所以方程20x ax b ++=的解为2,5，所以2525a b -=+⎧⎨=⨯⎩，故710a b =-⎧⎨=⎩，此时494090∆=-=>，综上，7a =-，10b =．【点睛】根据集合的交集的结果去确定参数的取值或取值范围，应先确定公共元素的归属，再结合各个集合的属性条件得到参数满足的方程（方程组），注意求出参数的值后要检验元素的互异性或属性条件是否满足.18.设集合2{|8150}A x x x =-+=，{}10B x ax =-=.（1）若15a =，试判断集合A 与B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合.【答案】（1）B A（2）110,,35a ⎧⎫∈⎨⎩⎭【解析】【分析】（1）直接代值计算判断即可；（2）得到{}{},3,5B =∅，依次计算即可.【小问1详解】当15a =时，{5}B =，因为{}2{|8150}3,5A x x x =-+==，所以B A .【小问2详解】因为集合B 至多有一个元素，由B A ⊆，所以{}{},3,5B =∅当B =∅时，0a =；当{}3B =时，所以13a =；当{}5B =时，所以15a =.所以110,,35a ⎧⎫∈⎨⎩⎭.19.已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B .（1）求A B ⋂；（2）若不等式20x ax b ++<的解集为A B ⋂，求不等式20ax x b ++<的解集．【答案】（1）{|12}x x -<<（2）R【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分别求得集合,A B ，结合集合交集的运算，即可求解；（2）根据题意，得到即1-和2时方程20x ax b ++=的两根，列出方程组求得,a b 的值，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【小问1详解】解：由不等式2230x x --<，即(1)(3)0x x +-<，解得13x -<<，即{|13}A x x =-<<，又由26(3)(2)0x x x x +-=+-<，解得32x -<<，即{|32}B x x =-<<，根据集合交集的运算，可得{|12}B x x A -<<⋂=.【小问2详解】解：由题意得，不等式20x ax b ++<的解集为{|12}x x -<<，即1-和2时方程20x ax b ++=的两个实数根，可得10420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1,2a b =-=-，所以不等式20ax x b ++<，即为220x x --<+，即220x x -+>，因为1870∆=-=-<，所以不等式220x x -+>的解集为R ，即不等式20ax x b ++<的解集为R .20.如图，某小区要建一个面积为2500m 的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽5m ，短边外小路宽8m ，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值．【答案】设计绿地的长为202m ，绿地和小路所占总面积最小，最小值为(26602002m+【解析】【分析】先设绿地的长为x 米()0x >，则宽为500m x ，则绿地与小路所占的总面积()5001610S x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据均值不等式可得出绿地和小路所占的总面积最小值.【详解】设绿地的长为x 米()0x >，则宽为500m x，则绿地与小路所占的总面积()50080001610500160106601080006602002S x x x x ⎛⎫=++=+++≥+⨯=+ ⎪⎝⎭当且仅当800010x x=即2x =时，上式取等号，所以，设计绿地的长为202m ，绿地和小路所占总面积最小，最小值为26602m +.故得解.【点睛】本题考查运用均值不等式求解生活实际问题中的最值问题，解题的关键是设合适的未知量，将所求的量表示成该未知量的函数，再运用均值不等式求解最值，属于中档题.21.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，且B A ⊆．求实数m 的取值范围并用集合表示．【答案】{}3m m ≤【解析】【分析】分类讨论集合B 是否为空集，结合集合的关系计算即可.【详解】当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆；若B ≠∅，且满足B A ⊆，如图所示，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，即233m m m ≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩,所以23m ≤≤．综上所述，m 的取值范围为2m <或23m ≤≤，即所求集合为{}3m m ≤．22.建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价是多少元？【答案】解：设水池池底的一边长为x m,则另一边长为4xm,总造价为：4448080222480320y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44803201760x x ≥+⨯⨯=当且仅当4x x=即以2x =时，y 取最小值1760.所以水池的最低总造价是1760元【解析】【详解】本试题主要是考查了函数模型在实际生活中的运用．根据已知条件抽象出变量表示总造价，结合均值不等式得到最值．。
广东省佛山市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次教学质量检测(10月)数学试题
广东省佛山市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次教学质量检测（10月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.21．如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过点C ，已知AB 长为4米，AD 长为3米，设AN x =米．(1)要使矩形花坛AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内；(2)要使矩形花坛AMPN 的扩建部分铺上大理石，则AN 的长度是多少时，用料最省？22．已知函数2()2f x x ax =++，R a Î.(1)若对于任意[1,1]x Î-，不等式()2(1)4f x a x £-+恒成立，求实数a 的取值范围；(2)已知()g x x m =-+，当3a =-时，若对任意1[1,4]x Î，总存在2(1,8)x Î，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围.C 、0b a <<Q ，\0a b +<，故C 对；D 、0b a <<Q ，||||||a b a b \+=+成立，故D 不对．故选：D ．5．A【分析】先确定二次函数f （x ）=x 2-2ax +1的单调区间，然后根据题目中提供的单调区间，分析参数的取值范围【详解】根据题意：二次函数f （x ）=x 2-2ax +1，单调递增区间：(,)a +¥;单调减区间(,)a -¥ 因此：（1）二次函数f （x ）=x 2-2ax +1在区间（2，3）内为单调增函数，则a ≤2（2）二次函数f （x ）=x 2-2ax +1在区间（2，3）内为单调减函数，则a ≥3故选：A【点睛】考查根据二次函数的单调区间，求解析中的参数6．B【分析】A.其值域为[0,2]，故不符合题意；B.符合题意；CD 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.【详解】解：A 是函数图象，其值域为[0,2]，与已知函数的值域为{|12}B y y =……不符，故不符合题意；B 是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故符合题意；C 是函数图象，值域为{1,2}，与已知函数的值域为{|12}B y y =……不符，故不符合题意；D 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.故选：B 7．D【分析】命题“[]01,1x $Î-，20030x x a -++>”为真命题等价于23a x x >-在[]1,1x Î-上有解，构造函数()23f x x x =-求最大值代入即可．【详解】命题“[]01,1x $Î-，20030x x a -++>”为真命题等价于23a x x >-在[]1,1x Î-上有解，令()23f x x x =-，[]1,1x Î-，则等价于()()12min a f x f >==-，2a \>-，故选D ．【点睛】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题．8．A【解析】根据题意作出()M x 的函数图象，根据函数图象求解出()M x 的最小值.【详解】令221x x x +=--，解得=1x -或3x =，作出()M x 的图象如下图所示：由图象可知：当=1x -时，()M x 有最小值，此时()min121M x =-+=，故选：A.【点睛】思路点睛：求解形如()(){}max ,y f x g x =（或()(){}min ,y f x g x =）的函数的最小值（或最大值）的步骤：（1）根据()()f x g x =，先求解出两个图象交点的横坐标；（2）根据()(),f x g x 图象的相对位置对图象进行取舍，由此得到()(){}max ,y f x g x =。
广东省佛山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(答案版)
2022~2023学年上学期佛山市普通高中教学质量检测高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，直线l 的倾斜角为（）A.π4B.π3C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义分析运算.【详解】由题意可知：直线l 的倾斜角为π4的补角，即为3π4.故选：C.2.已知向量()4,2,3a =- ，()1,5,b x = ，满足a b ⊥，则x 的值为（）A.2B.-2C.143 D.143-【答案】A 【解析】【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可.【详解】a b ⊥ ，()4,2,3a =-，()1,5,b x = ()412530x ∴⨯+-⨯+=，解得2x =故选：A.3.已知圆的一条直径的端点分别为()12,5P ，()24,3P ，则此圆的标准方程是（）A.()()22348x y +++= B.()()22348x y -+-=C.()()22342x y +++= D.()()22342x y -+-=【答案】D 【解析】【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程.【详解】由题意可知，圆心为线段12PP 的中点，则圆心为()3,4C ，圆的半径为1CP ==故所求圆的方程为()()22342x y -+-=.故选：D.4.已知向量(a = ，()1,2,0b = ，则b 在a上的投影向量是（）A.12,,055⎛⎫ ⎪⎝⎭B.13,0,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.13,0,44⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.11,,042⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的概念结合空间向量的坐标运算求解.【详解】由题意可得：110201,2a b a ⋅=⨯+⨯+===r rr，故b 在a上的投影向量为11,0,44a b a a aa ⎛⋅== ⎝⎭r r rr rr .故选：C.5.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，n 个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为13，则n 的值为（）A.4B.5C.12D.15【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出n 的值．【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，n 个绿球，从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是13，则()()651653n n ⨯=++，解得4n =（负值舍去）.故选：A ．6.已知直线1:210l x ay +-=与()2:3110l a x ay ---=平行，则实数a 的值为（）A.16B.12C.0或16D.12或1【答案】C 【解析】【分析】利用两直线平行可得出关于实数a 的等式与不等式，解之即可.【详解】由已知可得()231311a a a a ⎧-=-⎨-≠⎩，解得0a =或16.故选：C.7.过点()2,1M 作斜率为1的直线，交双曲线()222210,0y x a b a b-=>>于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，则该双曲线的离心率为（）A.2B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】设点()()1122,,,A x y B x y ，代入双曲线方程后做差，整理，可得,a b 关系，再利用222c a b =+消去b 即可求得离心率.【详解】设点()()1122,,,A x y B x y ，则有22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差后整理得2121221212y y y y a x x x x b -+⋅=-+，由已知121212121,4,2y y x x y y x x -=+=+=-，2224a b ∴=，又222c a b =+，22212a c a∴=-，得ca=故选：B8.在两条异面直线a ，b 上分别取点1A ，E 和点A ，F ，使1AA a ⊥，且1AA b ⊥.已知12A E =，3AF =，5EF =，1AA =，则两条异面直线a ，b 所成的角为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】设两条异面直线a ，b 所成的角为π02θθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，将等式11EF EA A A AF =++ 两边同时平方计算可得答案．【详解】如图，设两条异面直线a ，b 所成的角为π02θθ⎛⎫<≤⎪⎝⎭，1AA a ⊥ ，1AA b ⊥，12A E =，3AF =，5EF =，1AA =，11EF EA A A AF ∴=++ ，则2222211111111()222EF EA A A AF EA A A AF EA A A EA AF A A AF=++=+++⋅+⋅+⋅2222523223cos θ∴=++±⨯⨯，得1cos 2θ=或1cos 2θ=-（舍去）π3θ∴=故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分.部分选对的得2分.9.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，其中()18n Ω=，()9n A =，()6n B =，()12n A B ⋃=则（）A.事件A 与事件B 互斥B.()23P A B ⋃=C.事件A 与事件B 相互独立 D.()16P AB =【答案】BC 【解析】【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.【详解】由题意可得：()()()()()()11,23P A P B n A n B n n ==ΩΩ==，则()()213P B P B =-=，∵()()()()n A B n A n B n AB ⋃=+-，∴()()()()30n A B n AB n A n B +-==≠U ，即事件A 与事件B 不互斥，A 错误；可得：()()()()Ω12n A B n n A n AB ⋃=-+=，故()()()()()()()()()()1215,,1,1Ω6Ω336n A B n AB P AB P A B P AB P A B P AB P AB n n ⋃==⋃===-⋃==-=，可知B 正确，D 错误；又∵()()()P AB P A P B =，∴事件A 与事件B 相互独立，C 正确；故选：BC.10.已知曲线C 的方程为221259x y k k+=-+，则C 可能是（）A.的圆B.焦点在xC.等轴双曲线D.焦点在y 上的双曲线，且焦距为【答案】AD 【解析】【分析】根据曲线的形状求出参数的值或取值范围，再结合各曲线的几何性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若曲线C 为圆，则259250k kk -=+⎧⎨->⎩，解得8k =，此时，曲线C 的方程为2217x y +=，A 对；对于B 选项，若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则25990k kk ->+⎧⎨+>⎩，解得98k -<<，此时，椭圆C 的长轴长为，B 错；对于C 选项，若曲线C 为等轴双曲线，则2590k k -++=，无解，C 错；对于D 选项，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则90250k k +>⎧⎨-<⎩，解得25k >，此时，双曲线C 的焦距为=，D 对.故选：AD.11.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点，且A 在x 轴上方，过A 、B 分别作C 的准线l 的垂线，垂足分别为A '、B '，则（）A.OA OB⊥B.若5AF =，则A 的纵坐标为4C.若2AFFB =，则直线AB 的斜率为D.以A B ''为直径的圆与直线AB 相切于F 【答案】BCD 【解析】【分析】设直线AB 为1x my =+及交点坐标，利用韦达定理可得12124,4y y m y y +==-，对A ：结合向量垂直的坐标表示分析判断；对B ：根据抛物线的定义运算求解；对称：结合向量的坐标运算求解；对D ：根据直线与圆的位置关系分析判断.【详解】由题意可得：抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线:1l x =-，设直线AB 为()22121121,,0,,44y y x my A y y B y ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()121,,1,A y B y ''--，联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去y 可得：2440y my --=,则2121216160,4,4m y y m y y ∆=+>+==-，对A ：∵221212,,,44y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r ，∴()212123016y y OA OB y y ⋅=+=-≠uu r uu u r ，∴,OA OB不相互垂直，A 错误；对B ：∵21154y AF =+=，则14y =或24y =-（舍去），∴A 的纵坐标为4，B 正确；对C ：∵2212121,,1,44y y y F FB y A ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==uuu r uu r ，且2AF FB = ，∴122y y -=，则121212244y y y y m y y -=⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得1224y y m ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩1224y y m ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（舍去），故直线AB的斜率1k m==C 正确；对D ：∵124,2y y m A B +''===∴A B ''的中点()1,2M m -到直线AB的距离12d A B ''==，又∵12MF A B ''===，故以A B ''为直径的圆与直线AB 相切于F ，D 正确；故选：BCD.12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为面11A ABB 的中心，E 、F 分别为BC 和11D C 的中点，则（）A.1B D ⊥平面1A EFB.平面1ACD 与平面1A EF 相交C.点О到直线1A E的距离为6D.点O 到平面1A EF的距离为4【答案】BC 【解析】【分析】建系，利用空间向量处理线、面关系以及距离问题.【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则有：()()()()()()11111111,0,0,0,1,0,0,0,0,,1,0,0,,1,1,,,1,0,1,1,1,1,0,0,12222A C D E F O A B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面1A EF 的法向量为(),,n x y z =，由11111,,0,,1,122A F A E ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uuu r ，则11102102n A F x y n A E x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩ ，令2x =，则4,3y z ==，则()2,4,3n =，设平面1ACD 的法向量为(),,m a b c =，由()()11,1,0,0,1,1AC CD =-=-uuu r uuu r ，则100m AC a b m CD b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1a =，则1b c ==，则()1,1,1m =，对A ：∵()11,1,1DB = ，则243111≠≠，即1DB 与n 不共线，∴1B D 不与平面1A EF 垂直，A 错误；对B ：∵243111≠≠，则m 与n 不共线，∴平面1ACD 与平面1A EF 相交，B 正确；对C ：∵1110,,22A O ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r，则111111cos ,03A O A E A O A E A O A E ⋅==>uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，即11,AO A E uuu r uuu r 为锐角，∴111sin ,3A O A E ==uuu r uuu r ，故点О到直线1A E 的距离为1112sin ,6A O A O A E =uuu r uuu r uuu r ，C 正确；对D ：点O 到平面1A EF的距离为158AO n n=⋅r r uuu r ，D 错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从长度为4，6，8，10的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________.【答案】34或0.75【解析】【分析】利用古典模型概率即可求解.【详解】由题可得，取出的三条线段长度的可能性有：()()()()4,6,84,6,104,8,106,8,10，，，，其中能构成三角形的有()()()4,6,84,8,106,8,10，，，这三条线段能构成一个三角形的概率为34，故答案为:34.14.如图，在空间平移ABC 到A B C ''' ，连接对应顶点.设AA a '= ，AB b = ，AC c =，M 为A C ''中点，则用基底{},,a b c 表示向量BM =__________.【答案】12a b c-+【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：1122BM BA AA A M AB AA AC a b c '''=++=-++=-+uuu r uu r uuu r uuuu r uu u r uuu r uuu r r r r.故答案为：12a b c -+.15.已知F 是双曲线C ：()222103x y a a-=>的右焦点，Р是C 的左支上一动点，(0,A ，若APF 周长的最小值为10，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【解析】【分析】设出(,0)F c '-，运用双曲线的定义可得2PF PF a '-=，则APF 的周长为||||||||||2PA PF AF PA PF a '++=+++，运用三点共线取得最小值，可得,,a b c 的关系，进而可得渐近线方程．【详解】由题意可得(()0,,,0A F c ，设(,0)F c '-，由双曲线的定义可得2PF PF a '-=，2PF a PF '=+，||AF =，则APF 的周长为||||||||||2||2PA PF AF PA PF a AF a ''++=++≥++当且仅当,,A P F '共线时，取得最小值，且为2a +由题意可得210a +=，即210a +=解得1a =，则渐近线方程为by x a=±=故答案为：y =.16.圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝2F ，与影片门1F 应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆C ：22143x y +=，椭圆的左右焦点分别为1F ，2F ，一束光线从2F 发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点1F ，且124tan 3F PF ∠=，则12F PF ∠的角平分线所在直线方程为__________.【答案】4210x y --=【解析】【分析】先利用同角三角函数基本关系求出12cos F PF ∠，再在12F PF ∠ 中利用余弦定理及椭圆的定义求出12,PF PF ，进而得到12F F P 为直角三角形，利用12F F P 中角的关系可求出2tan PQF ∠，再通过1P x =求出P 点坐标，则直线方程可求.【详解】如图，设12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点Q ，()2212121212112sin 4tan ,sin cos 1,0,πcos 3F PF F PF F PF F PF F PF F PF ∠∠==∠+∠=∠∈∠ ，1235cos F PF ∴=∠，设12,PF m PF n ==，则2221223cos 254m n F PF mn m n ⎧+-∠==⎪⎨⎪+=⎩，解得5232m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2221221254PF PF F F ∴==+，即12F F P 为直角三角形又212123cos 2cos125F PF F PF ∠∠=-= ，122cos 25F PF ∠∴=，121sin25F PF ∠=222π1cos cos sin 25PQF QPF QPF ⎛⎫∴∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，()2cos 0,πPQF ∠∈225sin 5PQF ∴∠=，222sin tan 2cos PQF PQF PQF ∠∠==∠当1x =时，21143y +=，得32y =±，31,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()3:212PQ l y x ∴-=-，即4210x y --=故答案为：4210x y --=四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC 的三个顶点分别为()1,2A ，()3,0B ，()4,5C ，M 是AB 的中点.（1）求边AB 上的中线CM 所在直线的方程；（2）求BCM 的面积.【答案】（1）230x y --=（2）3【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式结合直线的两点式方程运算求解；（2）根据点到直线距离公式和两点距离公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：AB 的中点M 为()2,1，则边AB 上的中线CM 所在直线的方程为125142y x --=--，即230x y --=.【小问2详解】由（1）可得：CM ==，且点()3,0B 到直线CM的距离355d ==，故BCM的面积11353225S CM d =⨯=⨯=.18.每年的11月9日是我国的全国消防日.119为我国规定的统一火灾报警电话，但119台不仅仅是一部电话，也是一套先进的通讯系统.它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报，还可以通过卫星调集防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息.佛山某中学为了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，特在11月9日组织消防安全系列活动.甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙各答一题.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲每轮答对的概率为23，乙每轮答对的概率为p ，且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为512.（1）求p 的值；（2）求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率.【答案】（1）34（2）3196【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式列方程求解；（2）分甲有两题没有答对，乙有两题没有答对，甲乙各有一题没有答对三种情况，利用相互独立事件的概率以及独立重复事件的概率的乘法公式求出概率.【小问1详解】设事件A =“甲第一轮猜对”，事件B =“乙第一轮猜对”，事件C ＝“甲第二轮猜对”，事件D =“乙第二轮猜对，∴甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为(P ABCD ABCD ABCD ABC D +++()()()()()(()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D =+++()2533331212221p p p p ⎡⎤=⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯=⎢⎥⎣⎦解得34p =或54p =（舍去）34p ∴=；【小问2详解】三轮竞答活动中甲乙一共答6题，甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题，即总共有2题没有答对，可能甲有两题没有答对，可能乙有两题没有答对，可能甲乙各有一题没有答对.甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率32322211223333231321213131C C +C C 344433334496P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，四点()11,1P -，(2P ，331,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，431,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）若斜率存在且不为0的直线l 经过C 的右焦点F ，且与C 交于A 、B 两点，设A 关于x 轴的对称点为D ，证明：直线BD 过x 轴上的定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据对称性得到椭圆上的点，再将点代入椭圆方程求解即可.（2）设直线:1l x ty =+，0t ≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,D x y -，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理计算直线BD 与x 轴的焦点坐标即可.【小问1详解】根据椭圆对称性，点331,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，431,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭必在椭圆上，则()11,1P -不在椭圆上，()20,3P在椭圆上，2219143a b b ⎧+=⎪∴⎨⎪=⎩，解得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C 的方程为22143x y +=【小问2详解】由（1）得右焦点()1,0F ，设直线:1l x ty =+，0t ≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,D x y -联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t +=-=-++又直线()212221:y y BD y x x y x x +=-+-，令0y =得()()()22122121221122212121y x x y x x y y x y x y x x x y y y y y y ----+++=+==+++又()()2211221121221212129211234114634t y ty y ty y x y x ty y t t y y y y y y t ⎛⎫- ⎪+++++⎝⎭==+=+=+++-+即0y =时，4x =，直线BD 过x 轴上的定点()4,0.20.如图，在多面体ABCDE 中，平面ABC ⊥平面ACDE ，四边形ACDE 是等腰梯形，ED AC ∥，AB AC ⊥，112AE ED DC AC ====（1）若1AB =，求BD 与平面ACDE 所成角的正弦值；（2）若平面BDE 与平面BCD 的夹角为π4，求AB 的长.【答案】（1）12（2）2【解析】【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角；（2）分别求平面BDE 、平面BCD 的法向量，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】由题意可知：AB AC ⊥，平面ABC ⊥平面ACDE ，平面ABC ⋂平面ACDE AC =，可得AB ⊥平面ACDE ，如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()33132,0,0,,0,,,0,2222C D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且平面ACDE 的一个法向量为()0,1,0m =，若1AB =，则()0,1,0B ，可得33,1,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，∵1cos ,2m BD m BD m BD⋅==-uu u r r uu u r r uu u r r ，故BD 与平面ACDE 所成角的正弦值为12.【小问2详解】设()0,,0B a ，平面BCD 的法向量()1,,n x y z =，∵()13,0,,2,,022CD CB a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则11102220n CD x z n CB x ay ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令x =，则y z a ==，∴取)1,n a =，设平面BDE 的法向量()2000,,n x y z =，∵()131,0,0,,,22DE BE a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uur，则20200001022n DE x n BE x ay z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令0y =000,2x z a ==，∴取()22n a =，由题意可得：2121212πcos ,cos 42n n n n n n ⋅===，解得2a =或2a =-（舍去），故AB的长为2.【点睛】21.党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB 为16米，洞门最高处距路面4米.（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB 的方程.（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.【答案】（1）()()22610004x y y ++=≤≤（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）以点D 为坐标原点，AB 、DC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在y 轴上，设圆心坐标为()0,b ，设圆的半径为r ，将点B 、C 的坐标代入圆的方程，求出b 、r 的值，结合图形可得出圆弧 AB 的方程；（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧 AB 的方程，可得出结论.【小问1详解】解：以点D 为坐标原点，AB 、DC 所在直线分别为x 、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,4C、()8,0B ，由圆的对称性可知，圆心在y 轴上，设圆心坐标为()0,b ，设圆的半径为r ，则圆弧 AB 所在圆的方程为()222x y b r +-=，因为点C 、B 在圆上，则()()222220480b r b r ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得6b =-，10r =。
2019-2020学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版
2019-2020 学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版一、单选题1．已知全集 ，则等A C BU = 0,1,2,3 ,集合A 0,1,2 ,集合B 0,2,3 U 于A ．B ．C ．12,30,1,2D ．【答案】A 【解析】解：因为U = 0,1,2,3 ,集合A 0,1,2 ,集合B 0, 2,3C B 1U故 =1A CB U12．函数 的值域是（ ） y2 1 xA ．[1,)B ．C ．(,1]D ．(0, )(0,1]【答案】B【解析】根据倒数性质求值域. 【详解】 1因为 ，所以 2111,选B.xx 2 1【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．下列函数中，定义域是 且为增函数的是（ ） R A ． B ． C ．yD ．ln x ye xx 3y【答案】B【解析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调 性，从而可得结论. 【详解】 1 对于 ， Ax ，是 上的减函数，不合题意； R ye xe对于 ，是定义域是 且为增函数，符合题意；y x3R B 对于 ，，定义域是，不合题意；y l n x0,C 对于 ，，定义域是 ，但在 上不是单调函数，不y xR R D 合题，故选B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知 识的掌握与灵活运用，属于基础题. 4．下列各不等式中成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．log 1.01 01.91.90.6 0.6 1?.6 0.9 2.5 3 0.10.20.33.12【答案】C【解析】本题考查指数函数，对数函数的单调性及应用. 函数 是增函数， 函数是减函数， y 0.6y1.9x 1.92.5 1.93; x 函数 是增函数， 函数 是减函 1.6 1; 0.6 0.6 ; y 1.6 y 0.9 0.1 0.2 x 0.3 x 数，所以 ；0.9 1;1.60.3 0.93.1 3.1函数 是增函数， 故选Cy l og x log 1.01 0; 225．函数 的图象过定点（）y3 l og 3x2 a 0,a 1 a2 A ． 111, 3B ．C ．D ． 0, 1, 0 ,33 3【答案】C, 【解析】根据对数函数 log 恒过 令 计算即y x 1,0 3x2 1 a可. 【详解】 令 有 .代入 得 . 3log 32 33x2 1 1 1x x y a 的图象过定点 .1, 3故函数 y 3 l og 3x2 a 0,a 1 a故选：C【点睛】本题主要考查了对数函数过定点的问题,属于基础题型.log x ,( x 0)6．已知函数 ，则 （ ）f [ f (1)] f (x) { 23 ,( x 0) x1 3A ．0B ．1C ．3D ．【答案】B【解析】【详解】log x ,( x 0)因为 ，所以 [ f (1)] f (0) 1. f (x) { 2 f 3 ,( x 0)x故选：B.7．函数 ( )log ( 4) 的单调递增区间为( ) f x x2 120,?A ．B ．C ．D ．,2,02,【答案】D【解析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调 性满足“同增异减”的结论求解即可． 【详解】 由 可得或 ，x2 x 2 24 0 x ∴函数 的定义域为f x． ,2 2, ,2设 ，则 在上单调递减， x 2 4t x t x又函数l og 为减函数， y t1 24 在 上单调递增， ,2 ∴函数log f x x 212,2∴函数 的单调递增区间为 ．f x故选D ． 【点睛】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数 来讲，它的单调性依赖于函数 和函数y f g x yf t的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数t g x为增函数；否则函数 为减函数．y f g x y f g x （2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为 ．,08．设 在 上的奇函数，，当 时，2 f x 0 1 x f x f x Rf x x ，则等于（）f 5.5A ．5.5B ．0.5C ．D ． 0.55.5【答案】B将 中的自变量变【解析】利用奇偶性与 f x 2 f xf5.5 换到 中再求解即可.x 1 【详解】 5.5 f (3.5) f (1.5) f (0.5). 由 得 f x2 f x f .f (0.5) f (0.5) 0.5 又 为奇函数故 f x故选：B 【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根 据题意将自变量根据性质变换到已知解析式的定义域内.属于中等题型. 9．已知实数 且 ，则在同一直角坐标系中，函数a0 a 1 ， 的图象可能是（ ）f x x x 0g xl og x a aB ．C ．D ．【答案】D【解析】根据幂函数与对数函数的图像分情况判断即可. 【详解】 由题,当 时,为增函数且图像往上凸,f xx x0 0a 1ag xl og x. . D 为减函数且过 易得 满足条件1,0 a 当 时,为增函数且图像往下凸,f x x x 0aa 1g xl og x . .为增函数且过无对应选项1,0a 故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数与幂函数的图像,属于基础题型.10．f (x)是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x)，当0≤x≤时1 ，f (x) ＝x ，则函数y ＝f (x)－|l og x |的零点个数为( )2 5 A ．4 B ．5 C ．8 D ．10【答案】B【解析】由题意得函数 的周期为2，再结合函数为偶f x函数可画出函数 的图象，然后根据函数 的图象和f x f x 函数 的图象的公共点的个数进行判断即可．y log x5 【详解】 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数 的周期为2．f x 由题意可得 ，f x log x 5在同一坐标系内画出函数和的图象，如下y f x y log x5图，由图象得，两函数图象有5 个交点， 所以函数y ＝f (x)－|log x |共有5 个零点． 5 故选B ． 【点睛】本题考查函数的性质和函数零点的综合，解题的关键是将 问题转化为函数图象公共点的个数问题出处理，画图时要 结合函数的性质求解，不要忘了函数的奇偶性和周期性的应用．11．对于函数和，设，{x|f x 0}，{x|g x 0}f xg x若存在，，使得，则称与互为“零点相1f x g x邻函数”．若函数与3互为“零f x e1x 2g x x2a x ax点相邻函数”，则实数a的取值范围为（）2,477D．2,3A．B．C．2,,333【答案】D【解析】先得出函数（）＝+﹣2的零点为＝1．再f x e1x xx﹣设（）＝﹣﹣ +3的零点为β，根据函数（）＝g x x2ax a f xe1+x﹣2与（）＝﹣﹣ +3互为“零点关联函数”，g x x2ax ax﹣利用新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出（）g x ＝﹣﹣ +3的零点所在的范围，最后利用数形结合法x2ax a求解即可．【详解】函数（）＝+﹣2的零点为＝1．f x e1x xx﹣设（）＝﹣﹣ +3的零点为β，g x x2ax a若函数（）＝+﹣2与（）＝﹣﹣ +3互为“零f x e1xg x x2ax ax﹣点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图由于g （x ）＝x ﹣ax ﹣a+3 必过点A （﹣1，4），2g 0 0g 2 0g 0 g 2 0 故要使其零点在区间[0，2]上，则 或 ，a0 22解得2≤a ≤3， 故选D 【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了 转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注 意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用二、填空题12．如果奇函数 （ ）在[3,7]上是增函数且最小值是 5，f x那么 （ ）在[-7,-3]上是_________.f x①减函数且最小值是-5； ②减函数且最大值是-5； ③增函数且最小值是-5； ④增函数且最大值是-5【答案】④【解析】由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即 可求得最终结果． 【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数 （ ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，f x那么 （ ）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣5．f x故答案为：④． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重 点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．．已知幂函数 的图像经过点 ，则 的值等于4 13 f x 3, 3 f ______. 【答案】2f x x af 4【解析】设幂函数 即可. ,再代入点 进而求得 与 3, 3 a 【详解】1 f x x a设幂函数 ,则 a.故 . f x x1 233 a 2 所以 .1f 4 42 2故答案为：2 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式与求值,属于基础题型. ，则_____f x14．已知f x x22x 21 【答案】2 1 x【解析】令 得 ，可得， t x 1 x t 1 f t t 1 2 t 1 2 t 1 2 2从而可得到所求的函数解析式. 【详解】 由题意 ，得， x t 1t x 1f x 1 x 因为 2x 2，2则 ， f t t 1 2 t 1 2 t 12 2 2 1. ，故答案为 f x x 2 1 x 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的 解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解 析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意， 换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种 方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函 数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函 数解析式.的定义域是__________．15．函数 【答案】 f x x 2 l g 1 xx x 2【解析】根据函数解析式的特征得到关于自变量 的不等 x式组，解不等式组可得结果． 【详解】2 0 x要使函数有意义，需满足 ，解得， x 21 x 0 所以函数的定义域为 ．x x 2故答案为 ．x x 2【点睛】求函数的定义域时，要根据函数解析式的特点得到关于自 变量的不等式（组），解不等式（组）后即可得到所求的 定义域，特别注意要把定义域写成集合或区间的形式． 16．已知 是定义在 上的偶函数，且当时，x 0f x R 21 f t a f t 1 0x ，若对任意实数 ，都有 恒 t ,2 f x 1 2 x 成立，则实数 的取值范围是a．,3 0,【答案】 21 【解析】试题分析：当 时，x 在f x x0 f x 1x 1x 1f t a f t 1 0得， f t a f t 1 上单调递增，由 又0,f x 是定义在 上的偶函数， R ，则 ， ta t 1f t a f t1 1 两边平方得 对任意实数 都有 t ,2 2a 2 t a 1 0 221 恒成立， 对任意实数 都有f t a f t 1 0t,2 2恒成立，则2a 2 t a 1 0 2 1 2a 2 a 1 0 2 2 a 0 2 {a ，则实数 的取值a {2 a o 或a 3 4a 3 0 a 2 2a 2 a 1 02 范围是 ．【考点】恒成立问题【思路点睛】利用奇偶性、单调性综合解题，尤其要重视 利用偶函数（轴对称函数）与单调性综合街函数不等式和 比较大小．本题中，函数为偶函数，且给出了当时的x 0解析式，从而可以判断出单调性，然后利用函数的偶函数fx f x的性质 ，即可得到一个不等式组，解不等式组即可得到所求答案．三、解答题11 317．计算： 35 3 3l og 4 0log 3 5 8 8232【答案】 3【解析】根据指数幂以及对数的运算求解即可. 【详解】1 2 22 2原式1 3 12 333 2 33 3 3 3【点睛】本题主要考查了指数幂以及对数的运算.属于基础题型. 18．已知集合 ，| 2m1 x m 1.BxA xx 2 x 12 0 （1）当 时，求集合； m 3 A B （2）当 时，求实数的取值范围. BA m 【答案】（1） 2；（ ）A B x| 3 x 2 1, 【解析】(1)根据集合的基本运算求解即可. (2)分 和 两种情况讨论求解即可.BB 【详解】A x | 3 x 4 （1）当 时,B x | 7 x 2 A B x | 3 x 2 m 3 （2）∵ ∴应分 和 两种情况讨论B A B B 当 时,有 ,即 ；B2m 1 m 1 m 22m 1 m 1, 2m 1 3, m 1 4,当 时,有 ,即 . 1 m 2 B综上所述,所求实数 的取值范围是 .1,m 【点睛】本题主要考查了集合间的基本运算,同时也考查了根据集 合的关系求参数的问题,属于中等题型.．已知定义在 上的偶函数 ，当 时， x ；19 y f x x 0 f x Rx 1（ ）求函数 的表达式；1 f x （ ）判断函数 在上的单调性，并用单调性定义 2 f x 0, 证明. x, x 01 0,【答案】（1）x ；（ ）函数 在 上单2 f x f x x , x 01x 调递增，理由见解析【解析】(1)根据偶函数的性质求解当 时的解析式即可.x 0 (2) 任取 ,,,再计算 的正负即可. f x f x x x 0, x x 12 1 21 2【详解】（1）因为 为 上的偶函数 设 则有 ,, ,x 0x 0f x R x, x 0 , x 0x x 1 故 时,有 ,故 x x 0 f x f x f xx 1 x 1 x 1x （2）函数 在上单调递增, f x 0,证明：任取 ,x x xx ,,∴ f xf xx x 0,x x1 2 121 2x 121 2 1 x 1 x1 x 1 1212,,所以因为 , x x0,x x 1212, ,∴x x0 x1 x 1 0 f x f x121212∴函数 在 上单调递增f x0,【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求解函数解析式的方法以及 根据定义求解函数单调性的问题,属于中等题型.．某种树木栽种时高度为 米 为常数 ，记栽种 年A x) 20 (A 9A f x后的高度为 ，经研究发现， 近似地满足 ， f x f xa b t x1 a b其中 ， ，为常数， ，已知，栽种三 (3 4 x N) f 0 A t年后该树木的高度为栽种时高度的 倍．3（Ⅰ）求 ， 的值；a b（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的倍 参考数据： ， ．(5 lg20.3010 lg3 04771) 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）5 年. a 1 b 8f 0 Af 3 3A【解析】 Ⅰ 由 及 联立解方程组可得；( ) Ⅱ 解不等式 ，利用对数知识可得．()f x 5A【详解】9A 9A Ⅰ ， ， ， ( ) f xf 0 A a b 9①a b t x 9A a b又 ，即 ，， f 3 3A 3A a t b 3② 3 a t b 3 联立 解得 ， ，a 1b 8①②9A 1 Ⅱ 由 Ⅰ 得 ，由 得 ， ( ) ( ) f xf x 5A t x 18t 10x 1 ， xlg t l g 1 10 1 1 3 3 x 4.98 ． 1 lg t lg4 0.6020 lg4 3，若函数a xlog x有且只有一个实根，化简4a综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞ )．在区间上有最大值22．已知函数2,3g(x) ax 2 2ax 1 b (a 0) g (x)和最小值 设 .4 1f (x) x （ ）求 的值 1a,b在上有解 求实数 2,4 ,xk（ ）若不等式 2f (log x) 2k l og x2 2的取值范围;2（ ）若3有三个不同的实数解 求实数,f ( 2 1) k3k 0 x 21 x 的取值范围.k 【答案】（1） .（2）（3）, 1(0, )a 1,b 0 【解析】(1)由函数,所以 在区间g(x)b a a g(x) a(x 1)2 1 , 0 (2) 1g 上是增函数,故 ,由此解得 的值; 、a b[2,3]g(3) 4 1 (2)由(1)可得 ,所以 在 f (x) x 2 log x 2k l og x 0 x [2, 4] f x2 2 1上有解,等价于 在 上有解, 即log x 2 2k l og x x [2, 4] log x2 2 212 1在 上有解, 令 ,则 2k1 x [2, 4] t log x logx log 2 x222,即可求得 的取值范围; 2k t 2 2t 1 k (3)原方程可化为 ,令 x则 2 1 t21 x2 (3k 2) 2 1 (2k 1) 0 x , 有两个不同的实数解,其中, t tt (0, ) t (3k 2)t (2k 1) 0 2 1 2,或 ,即可求得实数 的取值范围.0 t1,t1 0 1, 1 ttk 121 2【详解】 (1)函数 ,g(x)a(x 1)2 1 b a a 0,在区间上是增函数,g (x)2,3(2) 1g 故:,解得 . 1,b 0a g(3) 4 1 (2)由(1)可得 ,f (x)x 2 x在 上有解 x [2, 4]f logx 2k l og x 0 2 21等价于 在 上有解 x [2, 4] log x 2 2k l og x log x 2 2 212即 在 上有解 x [2, 4] 2k1 log x logx 2 221令t ,则 2k t 21 2t log x21,故x[2,4] t ,1 2 1 2记(t) t 2t 1,t 1 21(t)max 41的取值范围为 ,k 8(3)原方程可化为 2 1 (3k 2) 2 1 (2k 1) 02 x x 令 则21 tt (0, )x有两个不同的实数解 t(3k 2)t (2k 1) 0 2t ,t12其中 记 ,或 0 t1,t1 0 1, 1tt1212h(t)t 2 (3 2) (2 1)k t k 2k 1 0——①,解得则 k 0h(1) k 02 1 0 k——②,不等式组②无实数解. 或 (1) k 0 3k2 h 0 12实数 的取值范围为(0,).k 【点睛】本题考查根据函数零点求参数取值范围,解题关键是掌握 利用零点存在的判定定理构建不等式求解,分离参数后转 化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时, 还需考虑函数的图像与参数的交点个数,考查了分析能力 和计算能力.(2) 1g 故:,解得 . 1,b 0a g(3) 4 1 (2)由(1)可得 ,f (x)x 2 x在 上有解 x [2, 4]f logx 2k l og x 0 2 21等价于 在 上有解 x [2, 4] log x 2 2k l og x log x 2 2 212即 在 上有解 x [2, 4] 2k1 log x logx 2 221令t ,则 2k t 21 2 t log x21,故x[2,4] t ,1 2 1 2记(t) t 2t 1,t 1 21(t)max 41的取值范围为 ,k 8(3)原方程可化为 2 1 (3k 2) 2 1 (2k 1) 02 x x 令 则21 tt (0, )x有两个不同的实数解 t(3k 2)t (2k 1) 0 2t ,t12其中 记 ,或 0 t1,t1 0 1, 1tt1212h(t)t 2 (3 2) (2 1)k t k 2k 1 0——①,解得则 kh(1) k 02 1 0 k——②,不等式组②无实数解. 或 (1) k 0 3k 2 h 0 12实数 的取值范围为(0,).k 【点睛】本题考查根据函数零点求参数取值范围,解题关键是掌握 利用零点存在的判定定理构建不等式求解,分离参数后转 化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时, 还需考虑函数的图像与参数的交点个数,考查了分析能力 和计算能力.。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）函数3()log (2)f x x =+-的定义域为( )A ．1(2，2)B ．1[2，2)C ．1(2，2]D ．1[2，2]2．（5分）在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是( )A ．()1f x x =-，21()1x g x x -=+B ．()|1|f x x =+，11()11x x g x x x +-⎧=⎨--<-⎩…C ．()1f x x =+，x R ∈，()1g x x =+，x Z ∈D ．()f x x =，2()g x =3．（5分）函数()326x f x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)4．（5分）已知向量(3,2)a =，(,4)b x =，且//a b ，则x 的值为( ) A ．6B ．6-C ．83-D ．835．（5分）函数2()2(1)2f x x a x =-+-+在(,4)-∞-上是增函数，则a 的范围是( ) A ．[5，)+∞B ．[3-，)+∞C ．(-∞，3]-D ．(-∞，5]-6．（5分）已知向量a ，b 满足||3a =，||23b =，3a b =-，则a 与b 的夹角是( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒7．（5分）设0.3log 4a =，4log 3b =，20.3c -=，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<8．（5分）为了得到函数cos(2)()3y x x R π=-∈的图象，只需把函数cos2y x =的图象( )A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度9．（5分）已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin 1C ．2sin1D ．sin 210．（5分）已知向量(3,4)a =-，(4,3)b =，则向量b a -在向量a 方向上的投影是( ) A．B．-C ．5D ．5-11．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<在一个周期内的简图如图所示，则方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[0，]π内所有解的和为( )A ．6πB ．3π C ．2π D ．π12．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，122,01()1,1log x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+⎩…，若f （a ）4=-，则a 为( )A ．14-B ．3-C ．14-或3D ．14-或3-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知幂函数()y f x =的图象过点，则f （4）= ． 14．（5分）在不考虑空在不考虑空气阻力的条件下，某种飞行器的最大速度/vm s 和燃料的质量Mkg 、该飞行器（除燃料外）的质量mkg 的函数关系是22000log (1)Mv m=+，当燃料质量是飞行器质量的 倍时，该飞行器的最大速度为12/km s ． 15．（5分）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值为 ． 16．（5分）在等腰直角ABC ∆中，2A π∠=，1AB AC ==，M 是斜边BC 上的点，满足3BC BM =，若点P 满足||1AP =，则AP BM 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知02πα<<，且5sin 13α=． （1）求tan α的值；（2）求2sin 22sin()sin 2cos ()sin 22απααπαα--++的值．18．（12分）已知全集U R =，集合2{|40}A x x x =-…，22{|(22)20}B x x m x m m =-+++…． （1）若3m =，求U B ð和AB ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知2()2sin 2()f x x x a a R =-++∈． （1）若x R ∈，求()f x 的单调递减区间； （2）若[2x π∈，]π时，()f x 的最小值为4-，求a 的值．20．（12分）药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量v （单位：千克）是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <…时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0． （1）当020x <…时，求函数v 关于x 的函数表达式；（2）当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量（单位：千克）取得最大值？并求出这个最大值．（年生长总量=年平均生长量⨯种植株数）21．（12分）已知1e ，2e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+，12BE e e λ=-+，122EC e e =-+，且A ，E ，C 三点共线．（1）求实数λ的值；（2）已知点(2,4)D ，1(2,1)e =--，2(2,2)e =-，若A ，B ，C ，D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．22．（12分）已知函数()log a g x x =，其中1a >．（Ⅰ）当[0x ∈，1]时，(2)1x g a +>恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）设()m x 是定义在[s ，]t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1x ，2x ，⋯，2n x -，1n x -，设1221n n x x x x --<<⋯<<，令0s x =，n t x =，如果存在一个常数0M >，使得11|()()|nii i m x m xM -=-∑…恒成立，则称函数()m x 在区间[s ，]t 上的具有性质P ．试判断函数()|()|f x g x =在区间21[,]a a 上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由．（注1102111:|()()||()()||()()||()()|)ni i n n i m x m x m x m x m x m x m x m x --=-=-+-+⋯+-∑2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）函数3()log (2)f x x =+-的定义域为( )A ．1(2，2)B ．1[2，2)C ．1(2，2]D ．1[2，2]【解答】解：要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<，()f x ∴的定义域为1(,2)2．故选：A ．2．（5分）在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是( )A ．()1f x x =-，21()1x g x x -=+B ．()|1|f x x =+，11()11x x g x x x +-⎧=⎨--<-⎩…C ．()1f x x =+，x R ∈，()1g x x =+，x Z ∈D ．()f x x =，2()g x =【解答】解：A 中的2个函数()1f x x =-与21()1x g x x -=+ 的定义域不同，故不是同一个函数．B 中的2个函数()|1|f x x =+与11()11x x g x x x +-⎧=⎨--<-⎩…具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C 中的2个函数()1f x x =+，x R ∈与()1g x x =+，x Z ∈的定义域不同，故不是同一个函数．D 中的2个函数()f x x =，2()g x =的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数．综上，A 、C 、D 中的2个函数不是同一个函数，只有B 中的2个函数才是同一个函数，故选B ．3．（5分）函数()326x f x x =+-的零点所在的区间是( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【解答】解：因为f （1）32610=+-=-<， f （2）94670=+-=>，所以f （1）f （2）0<， 函数是连续函数，所以函数()326x f x x =+-的零点所在区间是(1,2)； 故选：C ．4．（5分）已知向量(3,2)a =，(,4)b x =，且//a b ，则x 的值为( ) A ．6B ．6-C ．83-D ．83【解答】解：因为(3,2)a =，(,4)b x =且//a b ， 所以2340x -⨯=，解之可得6x = 故选：A ．5．（5分）函数2()2(1)2f x x a x =-+-+在(,4)-∞-上是增函数，则a 的范围是( ) A ．[5，)+∞B ．[3-，)+∞C ．(-∞，3]-D ．(-∞，5]-【解答】解：因为函数2()2(1)2f x x a x =-+-+，开口向下，对称轴1x a =-， 若函数()f x 在(,4)-∞-上是增函数， 则41a --…，解得3a -…， 故选：B ．6．（5分）已知向量a ，b 满足||3a =，||23b =，3a b =-，则a 与b 的夹角是( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【解答】解：设两个向量的夹角为θ 3a b =- ∴||||cos 3a b θ=-∴1cos2θ==-[0θ∈，]π 120θ∴=︒故选：B ．。
广东省佛山市顺德区容山中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(含解析)
2024－2025学年第一学期高一数学十月月考2024本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、班级、座位号填写在答题卡，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3．回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3．下列关系中正确的个数是（ ）①；②；③；④；⑤；A ．1B ．2C ．3D ．44．若，，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，，且，则的最大值为（ ）A ．1B ．C ．D ．6．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ）A ．B ．C ．D ．7．当时，不等式恒成立，则实数可取的最大整数值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数、、、从小到大的排列是（ ）A ．B ．C ．D ．{}25A x x =∈-≤≤N {}2,4,6B =A B = {}0,1,2,3,4,5,6{}1,2,3,4,5,6{}2,4{}26x x -≤≤1x ∀>20x x ->01x ∃≤2000x x -≤1x ∀>20x x -≤01x ∃>2000x x -≤1x ∀≤20x x ->π∈R {}0φ⊆{}{}0,1,21,2,0⊆(){}(){}0,10,1⊆(){}(){}1,00,1=,,a b c ∈R a b >11a b <22a b <a c b c >2211a bc c >++0a >0b >344a b +=ab 132312x 220x ax a -+>R 01a <<00.9a <<103a <<01a ≤<0x >280x mx -+≥m ab <x ()210x a b x ab -+++<()12,x x a b 1x 2x 12a x x b<<<12x a b x <<<12a xb x <<<12x a x b<<<二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知全集，集合，是的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若正实数，满足，则下列结论中正确的有（ ）A ．的最大值为1B ．的最小值为2C的最小值为2D 的最小值为211．下列说法正确的是（）A ．“”是“”的必要不充分条件B ．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件C ．方程有唯一解的充要条件是D ．表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．若，则的所有可能取值为______．13．已知集合，，则实数的取值范围是______．14．若正数，满足，则的取值范围是______．四、解答题（共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知集合，，求下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）16．（15分）已知集合，其中为常数，且．（1）若中至少有一个元素，求的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．17．（15分）设集合，集合．（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围．18．（17分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（即，其中为比例系数）；当U A B U A B B = A B A = U U B A ⊆ðð()U B A φ= ð()()U U UA B = ðða b 2a b +=ab 11a b+22a b +x A ∈x A B ∈ p q p r q r 20ax x a ++=12a =±[]x x x x []a b =a b ≥{}21,2,x x ∈x {}A x x a =<{}2320B x x x =-+<()R A B =R ða a b 3ab a b =++ab {}11P x x =-<<{}220Q x x x =-<P Q P Q ()R P Q ð()()R R P Qðð{}2320A x ax x =-+=a a ∈R A a A a {}220A x x x =--≤{}21B x m x =<<x A ∈x B ∈m ()R A B ðm w x 2w kx =k航行速度为30海里/小时时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？19．（17分）已知关于的不等式．（1）若的解集为，求实数，的值；（2）当时，求关于的不等式的解集．y x x ()2320ax x a ++>∈R 2320ax x ++>{}1x b x <<a b 0a >x 2321ax x ax -+>-2023－2024学年第一学期高一数学月考（1）参考答案题号1234567891011答案ACCDBDBAACABDAB12．2或0 13． 14．1．解：，，故．故选A ．2．解：命题为全称命题，则命题的否定为，，故选：C ．3．解：①是实数，，故①正确．②是任何集合的子集，故②正确．③集合中元素有无序性，所以，所以，故③正确．④与表示两个不同的点，故④不正确．⑤集合有两个元素，集合只有一个元素（表示一个点），故⑤不正确．故选：C ．4．解：由，A ．取，时不成立；B ．取，时不成立；C ．取时不成立；D ．，可得恒成立．故选：D ．5．解：，当且仅当，时，等号成立．故选：B ．6．解：关于的不等式的解集为，则，解得，所以“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是．故选：D ．7解：当时，不等式恒成立，则恒成立，又由，可得，即所以，则实数可取的最大整数值是5．故选：B ．8．解：由题可得：，．由，，设，则．所以，所以，．又，所以，所以．故，．又，故，故选：A ．9．解：因为，所以，A ：，正确；B ：，B 错误；C ：，C 正确；2a ≥9ab ≥{}{}250,1,2,3,4,5A x x =∈-≤≤=N {}2,4,6B ={}0,1,2,3,4,5,6A B = 01x ∃>2000x x -≤π π∴∈R φ{}{}0,1,21,2,0={}{}0,1,21,2,0⊆()1,0()0,1{}0,1(){}0,1a b >1a =-2b =-1a =2b =-0c =210c +> 2211a bc c >++434a b =+≥13ab ≤23a =12b =x 220x ax a -+>R ()2224440a a a a ∆=--=-<01a <<x 220x ax a -+>R 01a ≤<0x >280x mx -+≥288x m x x x+≤=+0x >8x x +≥=8x x=x =m ≤m 12x x a b +=+121x x ab =+a b <12x x <1x a m =+2x b m =-()()()2121x x a m b m ab m b a m ab =+-=+--=+()21m b a m --=21m m b a+=-a b <0b a ->0m >1x a >2x b <12x x <12a x x b <<<A B B = B A ⊆A B A = U U A B ⊆ðð()U B A φ= ðD ：，D 错误． 故选：AC ．10．解：对于A 项，因为，当且仅当时取等号，则的最大值为1，故A 项正确；对于B项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故B 项正确；对于C 项，当且仅当时取等号，所，当且仅当的最大值为2，故C 项错误；对于D 项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D 项正确．故选：ABD ．11．解：对于A ，“”是“”的必要条件，但不是充分条件，故A 正确；对于B ，若是的必要不充分条件，则，；若是充要条件，则，；则有，，即是的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，当时，方程可化为，也满足唯一解的条件，故C 错误；对于D ，依题意，得，，所以“”“”，即充分性成立；反之不成立，如，，，不能推出“”，即必要性不成立，故D 错误．故选：AB ．12．解：①当时，，此时不满足元素的互异性，舍去，②当时，，此时集合为，符合题意，③当时，或1，若，，此时不满足元素的互异性，舍去，若，此时集合为，综上所述的可能值为2或0．13．解：，或，要使，则．故答案为：()()()U U U U B A B B A == ðððð212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭1a b ==ab ()1111112222a b a b a b ⎛⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎝⎭⎝1a b ==11a b+()22242a ba b a b a b ++=++≤++⨯=+=1a b ==2≤1a b ==()2222424212a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=1a b ==22a b +x A ∈x A B ∈ p q q p ⇒p q ⇒p r p r ⇒r p ⇒q r ⇒r q ⇒q r 0a =20ax x a ++=0x =[]a a ≥b b ≥[]a b =⇒a b ≥3.1 1.5≥[]3.13= 1.52=[]3.1 1.5=1x =21x =2x =24x ={}1,2,42x x =0x =1x =21x =0x ={}1,2,0x {}12B x x =<< {R 2B x x ∴=≥ð}1x ≤()R A B R = ð2a ≥．14．解：由于，所以有，即．15．解：（1）；；（2）；（3）或；；（4）或；或16．解：（1）①时，由，解得，满足题意，因此②时，中至少有一个元素，，解得，综上可得：的取值范围是（2）①时，由，解得，满足题意，因此②时，中至多有一个元素，，解得综上可得：的取值范围是或17．解：（1）集合．由“”是“”的必要条件，得， ①当时，，解得，满足，则，②当时，，解得，所以实数的取值范围为．（2）依题意，，或，由中只有一个整数知．从而得中仅有一个整数， 因此有，即，所以实数的取值范围为．{}2a a ≥33ab a b =++≥+230--≥)310+≥39ab ≥⇒≥{}02Q x x =<<{}01P Q x x =<< {}12P Q x x =-<< {R 1P x x =≤-ð}1x ≥(){}R 12P Q x x =≤< ð{R 0Q x x =≤ð}2x ≥()(){R R 0P Q x x =≤ ðð}1x ≥0a =320x -+=23x =0a =0a ≠A 980a ∴∆=-≥98a ≤0a ≠a 98a ≤0a =320x -+=23x =0a =0a ≠A 980a ∴∆=-≤98a ≥a 98a ≥0a ={}12A x x =-≤≤x A ∈x B ∈B A ⊆B =∅21m ≥12m ≥B A ⊆12m ≥B =∅2121m m <⎧⎨≥-⎩1122m -≤<m 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭{R 1A x x =<-ð}2x >()R A B ðB =∅()()()R ,12,1A B m =-∞- ð2-322m -≤<-312m -≤<-m 3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭18．解：（1）由题意，每小时的燃料费用为，当时，，解得．从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本．故所求的函数为．（不写定义域扣一分）（2）由（1）得：，当且仅当，即时取等号．故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．19．解：（1）根据题意，的解集为，则1，是方程的解，则有，解得：，（不合，舍去）；（2）根据题意，，则有， 又由，分3种情况讨论：①当时，不等式的解集为或，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为或．2w kx =30x =900450k =0.5k =300x23003000.5800y x x x=⋅+⋅()1600150,050y x x x ⎛⎫=+<≤ ⎪⎝⎭160015015012000y x x ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭1600x x=40x =2320ax x ++>{}1x b x <<b 2320ax x ++=2320320a ab b ++=⎧⎨++=⎩5a =-25b =-1b =2321ax x ax -+>-()()310ax x -->0a >03a <<3x x a⎧>⎨⎩}1x <3a ={}1x x ≠3a >3x x a⎧<⎨⎩}1x >。
期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)
高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。
2019-2020学年高一数学上学期期末联考试题及答案(新人教A版第60套)
2019-2020 学年度第一学期期末联考高一数学试题第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．每题只有一个正确答案）1．若 A={0,1,2 } , B = { x 1? x 2} , 则A?B（）{ } { 0,1,2 }{}{1,2 }A ． 1B ．C ． 0,1D ．2． sin15 o cos15o 值为（）A ．1B ．1C．3 D． 324243． 函数 f ( x)1lg(1 x) 的定义域是 ()1 xA ．( － ，－ 1)B ．(1，＋ )C ．(－1，1)∪(1，＋ )D ．(－ ，＋ )4．已知点 P( x,3) 是角终边上一点，且 cos4），则 x 的值为（B ． 55D ． 4A ． 5C ． 45．已知 a0.7 0.8 ,blog 2 0.8, c1.10.8 ，则 a,b, c 的大小关系是（）A ． a b cB ． b a cC ． a c bD ． b c a6．设函数 y ＝ x 3 与 y( 1 )x 2 的图像的交点为 ( x 0，y 0) ，则 x 0 所在的区间是 ()2A ．(0，1)B．(1 ，2) C ．(2 ， 3) D ．(3 ，4)7．在自然界中，存在着大批的周期函数，比方声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y 1 3sin 100 t , y 2 3cos 100 t ，则这两个声波合成后即yy 1 y 2 的振幅为（）A ． 3B ． 6C ． 3 2 D． 6 28．以下函数中，不拥有奇偶性的函数是 ( )A ． yexexB ． y lg1 x1 xC ． ycos2xD ． y sin x cos x9．若 yAsin( x)( A0,0,| |) 的最小值为2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2 ，且图像过点（20， 1），则其分析式是（）A ． y 2sin( x )6B． y 2sin( x )3C ． y2sin( x) 2 6xD ． y 2sin( )2 310．如右图，点 P 在半径为 1的半圆上运动， AB 是直径， P当 P 沿半圆弧从 A 到 B 运动时，点 P 经过的行程 x 与 APBxB O A的面积 y 的函数y f ( x) 的图像是以下图中的（）yy11 12OC π2πx OD第 II卷（非选择题）π2πx二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分．将答案填在题后横线上）11．(log29)(log 3 4)．12．把函数y＝ 3sin2 x的图象向左平移个单位获得图像的函数分析是．13．已知tan 2 ，则 cos26．14．若函数f x 知足 f ( x 1) f ( x) ，且当x1,1 时， f x x ，则 f 2 f 3f4．15．函数f ( x)| cos x | cos x 具备的性质有．（将全部切合题意的序号都填上）（ 1）f (x)是偶函数；（ 2）f (x)是周期函数，且最小正周期为；（ 3）f (x)在[, ] 上是增添的；2（ 4）f (x)的最大值为2．三、解答题（本大题共 6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知会合M ={x 1 < x < 2}，会合Nx 3x 4 ．2（ 1）求AèB；P ={}（ 2）设会合x a < x < a + 2，若 P 腿(A B) ，务实数 a 的取值范围．117．（本小题满分12 分）已知tan2, tan，此中0,0．3（ 1）求tan() 的值；（ 2）求角的值．18．（本小题满分12 分）已知函数 f (x) sin( x)sin( x) ．32（ 1）求f (x)的最小正周期；3，求 g(x) 在区间[0,] 上的值域．（ 2）若g (x) f ( x)4219．（此题满分12 分）辽宁号航母纪念章从2012 年10 月5 日起开始上市．经过市场检查，获得该纪念章每 1 枚的市场价y(单位 : 元) 与上市时间x(单位 : 天 ) 的数据以下:上市时间x 天41036市场价y 元905190(1) 依据上表数据联合散点图，从以下函数中选用一个适合的函数描绘辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x 的变化关系并说明原因: ①y ax b ；②y ax 2bx c ；③y a log b x ．(2)利用你选用的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价钱．20． ( 本小题满分13 分)已知函数 f (x)cx1, 0 x c，知足 f (c)9 x．2 c 21, c ≤ x128(1)求常数 c 的值；(2)解对于 x 的不等式 f (x)21．821． ( 本小题满分14 分 ) 已知函数mf( )|x|1( x0)．x x（ 1）当m 2时，判断f (x)在(,0) 的单一性，并用定义证明．（ 2）若对随意x R ，不等式 f (2x)0 恒建立，求 m 的取值范围；（ 3）议论f (x)零点的个数．2019-2020 学年度第一学期期末 考高一数学参照答案参照答案： 一、1．A2．B 3 ．C4．D5．B 6 ．B 7 ．C 8 ．D 9 ．C10．A 二、填空11． 4 12． 13 ．3 14． 115．（ 1）（ 3）（4）56三、解答{ x 1 < x < 4}16．解：（ 1） A? B⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 （ 2）由（1） A ? B {x 1 < x < 4 }， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分ì?a 3 1?1＃a2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分í?2 ? 4?a +1tantan217．解：（ 1） tan()37⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1 tan tan1 ( 2) 131tantan2（ 2） tan(31⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分)tan tan111( 2)1 3因 tan2 0,tan0 ，3因此， 022因此2，2故4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分18．解：f (x)( 1 sin x3cos x)cos x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分221 sin x cos x3cos 2 x221sin 2x3(1 cos 2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分441sin(2 x3) 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分24（ 1）因此T 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分21（2）g (x)) ，sin(2 x23因 0 ≤ x ≤2 ，因此3 ≤ 2x3 ≤ ，3因此3≤ sin(2 x)≤1，233≤ 1sin(2 x) ≤ 1，423 2因此 g(x) 在区 [0,] 上的 域 [3 ,1] ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分24 219．解 :(1) ∵跟着 x 的增添， y 的 先减后增，而所 的三个函数中y ax b 和 ya logb x 然都是 函数，不 足 意，∴ yax 2 bx c ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2) 把点 (4 ， 90) ， (10 ， 51) ， (36 ， 90) 代入 yax 2 bx c 中，16a 4b c90得 100a 10bc 51⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分1296a 36b c 90解得 a 110， c 126⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分， b1 4 1∴ yx 2 10x 126 (x 20)2 26 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44∴当 x 20 ， y 有最小 y min 26 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分答： 宁号航母 念章市 价最低 的上市天数 20 天，最低的价钱 26 元．⋯⋯⋯⋯12 分20．解： (1)∵ f ( c)9 ，即 c c1 9 ，2 8 28解得 c1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分．21 x 1, 0 x 1(2) 由 (1) 得 f ( x)21, 1≤ x2 ，2 4x12由 f ( x)2，适当 0x12 x1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分1，解得4 ；822当1≤ x 1 ，解得 1≤ x5 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分228∴不等式 f ( x)2 1的解集 { x | 2 x 5} ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分8 4821．分析：（ 1）当 m2 ，且 x0 ， f ( x)x 2 1 是 减的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分x明： x 1x 2 0 ，f (x 1)f (x 2 )x 12 1 ( x 22 1)x 1x 2(x 2 x 1 ) (2 2x 1)x 2( x 2 x 1 )2( x 2 x 1)x 1x 2( x 22 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分x 1 )(1 ) x 1 x 2又 x 1 x 2 0 ，因此 x 2 x 1 0 ， x 1x 2 0 ，因此 ( x 2 x 1 )(1 2 0)x 1x 2 因此故当f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f (x 1) f (x 2 ) ，m 2 ， f ( x) x2在 ( ,0) 上 减的． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1 x（ 2）由 f (2 x ) 0 得 | 2x | m x1 0 ，形 (2 x )22x22x(2 x ) 2m 0 ，即 m而 2x(2 x )2(2 x 1)21 ，12 41当 2x即 x1 (2 x (2 x )2 )max ，2 14因此 m⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分．4（ 3）由 f (x)0 可得 x | x | xm 0( x 0) ， m x | x | x(x 0)令 g( x)x x | x |x 2 x, xx 2x, x 0作 y g (x) 的 像及直y m ，由 像可得：当 m1 1f ( x) 有 1 个零点．或 m，4 4当 m10 或 m1或 m， f (x) 有 2 个零点；41 14当 0mm0 ， f ( x) 有 3 个零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分或44。