高考数列万能解题方法

数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和⎧⎫（其中{}n a 等差） 可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-⋅，1d=等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列{}n a的首项10a>，公差0d<，则前n项和nS有最大值。

（ⅰ）若已知通项na，则nS最大⇔1nnaa+≥⎧⎨≤⎩；（ⅱ）若已知2nS pn qn=+，则当n取最靠近2qp-的非零自然数时nS最大；2、若等差数列{}n a的首项10a<，公差0d>，则前n项和nS有最小值（ⅰ）若已知通项na，则nS最小⇔1nnaa+≤⎧⎨≥⎩；（ⅱ）若已知2nS pn qn=+，则当n取最靠近2qp-的非零自然数时nS最小；数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知nS（即12()na a a f n+++=）求na，用作差法：{11,(1),(2)nn nS na S S n-==-≥。

已知12()na a a f n=求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nf nf na nf n=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑶已知条件中既有nS还有na，有时先求nS，再求na；有时也可直接求na。

⑷若1()n na a f n+-=求na用累加法：11221()()()n n n n na a a a a a a---=-+-++-1a+(2)n≥。

⑸已知1()nnaf na+=求na，用累乘法：121121n nnn na a aa aa a a---=⋅⋅⋅⋅(2)n≥。

⑹已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如1n na ka b-=+、1nn na ka b-=+（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求n a；形如1nn na ka k-=+的递推数列都可以除以nk得到一个等差数列后，再求na。

（2）形如11nnnaaka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

（3）形如1k n n a a +=的递推数列都可以用对数法求通项。

（7）（理科）数学归纳法。

（8）当遇到q a a d a a n n n n ==--+-+1111或时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。

数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k=-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k kk k k k -=<<=-++--；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++；⑥=<<= 二、解题方法：求数列通项公式的常用方法： 1、公式法 2、n n a S 求由（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a∴a n n =+21∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()［练习］{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534（注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n 144==n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……·4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-=又，∴a a nn 133==5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()……∴……a a f f f n n =++++023()()()［练习］ {}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式 ()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，，()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1()⇒=+--a ca c x n n 11令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d c c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c d c n n =+-⎛⎝ ⎫⎭⎪---1111［练习］{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n nn n 11122==++由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+∴11121a a n n +-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为()()∴=+-=+11112121a n n n ·∴a n n =+21数列前n 项和的常用方法：1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

{}如：是公差为的等差数列，求a d a a n k k k n111+=∑解：()()由·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪≠∴11111111a a d a a k k k nkk k n+=+=∑∑=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎛⎝ ⎫⎭⎪++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……［练习］求和：…………111211231123+++++++++++n（…………，）a S n n n ===-+2113、错位相减法：{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n{}和，可由求，其中为的公比。

S qS S q b n n n n -如：……S x x x nx n n =+++++<>-12341231()x S x x x x n x nx n n n·……=+++++-+<>-234122341()<>-<>-=++++--121121：……x S x x x nx n n n()()x S x x nx xnnn≠=----11112时，()x S n n n n ==++++=+112312时，……4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++⎫⎬⎪⎭⎪--121121…………相加()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-…………［练习］已知，则f x x xf f f f f f f ()()()()()=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=2211212313414（由f x f x x x x x x x x ()+⎛⎝ ⎫⎭⎪=++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+++=1111111112222222∴原式=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥f f f f f f f ()()()()1212313414=+++=12111312）深圳一模深圳二模广州一模广州二模韶关调研。