高三数列解题方法

数列解题方法

一、基础知识：

数列：

1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列

的项 ．

2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ．

3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，

因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ． 5．数列的分类：

①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；

②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．

6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个

公式a n =f （n ）（n ∈N +或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式

数列 数列的定义

数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系

项

项数 通项

等差数列 等差数列的定义

等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n 项和

等比数列

等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n 项和

在形式上未必唯一．

7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项

a n -1（或前几项a n-1，a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…） （或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 ．

8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n =

1

n

i

i a =∑=a 1+a 2+…+a n ，如果S

n

与项数n 之间的函数关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…） 来表示，那么

这个公式叫做这个数列的 求和公式 ． 9．通项公式与求和公式的关系：

通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1)

(n 2)

n n n S n a S S -=?=?

-≥?

等差数列与等比数列：

等差数列

等比数列

文字定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

符号定义

1n n a a d +-=

1

(0)n n

a q q a +=≠

分

类

递增数列：0d > 递减数列：0d < 常数数列：0d =

递增数列：1101001a q a q >><<<，或，

递减数列：1101001a q a q <<><<，或， 摆动数列：0q < 常数数列：1q =

通

项 1(1)()n m a a n d pn q a n m d =+-=+=+-

其中1,p d q a d ==-

11n n m n m a a q a q --==（0q ≠）

前n 项和 211()(1)22

n n n a a n n d

S na pn qn +-=

=+=+ 其中1,22

d d

p q a ==-

11

(1)

(1)1(1)n n a q q S q na q ?-≠?

=-??=?

中项

,,2a b c b a c =+成等差的充要条件: 2,,a b c b ac =成等比的必要不充分条件：

主要性质等和性：等差数列{}n a

若m n p q

+=+则

m n p q

a a a a

+=+

推论：若2

m n p

+=则2

m n p

a a a

+=

2

n k n k n

a a a

+-

+=

12132

n n n

a a a a a a

--

+=+=+=???

即：首尾颠倒相加，则和相等

等积性：等比数列{}n a

若

m n p q

+=+则

m n p q

a a a a

?=?

推论：若2

m n p

+=则2

()

m n p

a a a

?=

2

()

n k n k n

a a a

+-

?=

12132

n n n

a a a a a a

--

?=?=?=???

即：首尾颠倒相乘，则积相等

其它性质1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列

是等差数列。即：

232

,,,

m m m m m

s s s s s

--???等差，公差为

2

m d则有32

3()

m m m

s s s

=-

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是

一个等差数列。

如：

14710

,,,,

a a a a???（下标成等差数列）

3、{}{}

,

n n

a b等差，则{}2n a，{}

21

n

a

-

，

{}

n

ka b

+，{}

n n

pa qb

+也等差。

4、等差数列{}n a的通项公式是n的一次函数，

即：

n

a dn c

=+(0

≠

d)

等差数列{}n a的前n项和公式是一个没有常

数项的n的二次函数，

即：2

n

S An Bn

=+(0

≠

d)

5、项数为奇数21

n-的等差数列有：

1

s n

s n

=

-

奇

偶

n

s s a a

-==

奇偶中

21

(21)

n n

s n a

-

=-

项数为偶数2n的等差数列有：

1

n

n

s a

s a

+

=

奇

偶

，s s nd

-=

偶奇

1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是

等比数列。即：

232

,,,

m m m m m

s s s s s

--???等比，

公比为m

q。

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列

是一个等比数列。

如：

14710

,,,,

a a a a???（下标成等差数列）

3、{}{}

,

n n

a b等比，则{}2n a，{}

21

n

a

-

，{}n ka

也等比。其中0

k≠

4、等比数列的通项公式类似于n的指数函数，

即：n

n

a cq

=，其中1

a

c

q

=

等比数列的前n项和公式是一个平移加振

幅的n的指数函数，即：(1)

n

n

s cq c q

=-≠

5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数

列是等比数列。

21()n n n s n a a +=+

6、,n m a m a n ==则0m n a += n m s s =则0()m n s n m +=≠

,n m s m s n ==则()m n s m n +=-+

证明方法

证明一个数列为等差数列的方法： 1、定义法：1()n n a a d +-=常数 2、中项法：112(2)n n n a a a n -++=≥

证明一个数列为等比数列的方法： 1、定义法：

1

()n n

a q a +=常数 2、中项法：11(2,0)n n n n a a a n a -+?=≥≠2

（）

设

元技巧

三数等差：,,a d a a d -+

四数等差：3,,,3a d a d a d a d --++ 三数等比：

2,,,,a

a aq a aq aq q

或 四数等比：23,,,a aq aq aq

联系

1、若数列{}n a 是等差数列，则数列{}n

a C

是等比数列，公比为d

C

，其中C 是常数，d 是{}

n a 的公差。

2、若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n n n s

n a s s n -=?=?-≥?

数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比

数列）

即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，

转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于数列11n n a a +???????和11n n a a +?????

?+????

（其中{}n a 等差） 可裂项为：

111111()n n n n a a d a a ++=-?，1111

()n n n n a a d

a a ++=-+

等差数列前n 项和的最值问题：

1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大?10

n n a a +≥??

≤?；

（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q

p

-

的非零自然数时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小?10

n n a a +≤??

≥?；

（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q

p

-

的非零自然数时n S 最小； 数列通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==

-≥。

已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)()

,(2)

(1)

n f n f n a n f n =??=?

≥?-?。 ⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121

n n n n n a a a

a a a a a ---=???? (2)n ≥。

⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a ；形如1n n n a ka k -=+的递推数列都可以除以n

k 得到一个等差数列后，再求n a 。

（2）形如1

1n n n a a ka b

--=

+的递推数列都可以用倒数法求通项。

（3）形如1k

n n a a +=的递推数列都可以用对数法求通项。

（7）（理科）数学归纳法。

（8）当遇到q a a d a a n n n n ==--+-+1

1

11或

时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。

数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①

111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，21111111

1(1)(1)1k k k k k k k k k

-=<<=-++--；

④1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!

n n n n =-

++； ⑥2122(1)2(1)11

n n n n n n n n n +-=

<<=--+++- 二、解题方法：

求数列通项公式的常用方法：

1、公式法

2、n n a S 求由

（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111 3、求差（商）法

{}如：满足……a a a a n n n n 12121

2251122+++=+<>

解：n a a ==?+=11

22151411时，，∴

n a a a n n n ≥+++=-+<>--212121

2

215

212211时，……

<>-<>=121

2

2得：n n a

∴a n n =+2

1

∴a n n n n ==≥???+1412

21()

()

［练习］

{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +=

=++1115

3

4 （注意到代入得：

a S S S S n n n n n

+++=-=111

4 {}又，∴是等比数列，S S S n n n 144== n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……· 4、叠乘法

{}例如：数列中，，

，求a a a a n

n a n n n n 1131

==++ 解：

a a a a a a n n a a n

n n n 213211122311

·……·……，∴-=-= 又，∴a a n

n 133

== 5、等差型递推公式

由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()

n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=?

??

?

?

??-22321321时，…………两边相加，得：()()()

a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］

{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥-- ()

（）a n n

=

-12

31 6、等比型递推公式

()

a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1 ()?=+--a ca c x n n 11

令，∴()c x d x d c -==-11

∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d

c c n +

-???

???+-11

1

∴·a d c a d c c n n +

-=+-?? ???-1111

∴a a d c c d

c n n =+-??

???

---1111

［练习］

{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+

（）a n n =-?? ?

?

?

+-84311

7、倒数法

例如：，，求a a a a a n n

n n 11122

==

++

由已知得：

122121

1

a a a a n n n n

+=

+=+

∴

111

2

1

a a n n +-

= ∴??

????

=1111

21a a n 为等差数列，，公差为

()()∴

=+-=+111121

2

1a n n n · ∴a n n =

+2

1

数列前n 项和的常用方法：

1、公式法：等差、等比前n 项和公式

2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 {}如：是公差为的等差数列，求

a d a

a n k k k n

1

1

1

+=∑ 解：()()由

·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-?? ?

?

?≠

∴11111111a a d a a k k k n

k

k k n

+=+=∑∑=-?? ?

??

=-?? ???+-?? ???++-?? ???????

??=

-?? ?

?

?++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……

［练习］ 求和：…………111211231123+

++++++++++n

（…………，）a S n n n ===-+21

1

3、错位相减法：

{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n

{}和，可由求，其中为的公比。S qS S q b n n n n -

如：……S x x x nx n n =+++++<>-12341231

()x S x x x x n x nx n n n ·……=+++++-+<>-234122341

()<>-<>-=++++--121121：……x S x x x nx n n n ()()

x S x x nx x

n

n

n

≠=---

-11112

时，

()x S n n n n ==++++=

+112312

时，……

4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++???

?

?--121121…………相加

()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［练习］

已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++?? ???++?? ???++?? ?

??=

22

11212313414

（由f x f x x x x x x x x ()+?? ?

??=++

?? ??

?+?? ?

?

?=+++=1111111112

2

2

2222 ∴原式=++?? ?????????++?? ?????

????++?? ??

???

???

?f f f f f f f ()()()()1212313414

=+++=12111312

）