高考数列万能解题方法定稿版
高中数学数列的万能解法归纳
高中数学数列的万能解法归纳
数列作为历年的重点考查内容之一，估测试题会出现在数列的知识、函数知识、不等式的知识和解析几何知识等的交汇点处命题，从而使数列试题呈现综合性强、立意新、角度新、难度大的特点。
直白点说，高考的20多道题目中，无论是最基本的题型还是最后的解答压轴题，考到数列部分的几率是相当大的，毕竟数列作为每年高考热点元老的存在。
在复习数列单元时，一定要以等差、等比数列为载体，以通项公式、求和公式为主线，注重基础，联系实际.通过对试题的练习，提高其运算能力、思辨能力、解决实际问题的能力，才能以不变应万变，在高考中立于不败之地。
简单2个字来形容掌握数列的要诀那就是规律。
这里我们提供一份通过对历年来数列部分的解法归纳，希望能帮助冲刺阶段的同学更上一层楼。
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高考数学数列题求解题技巧
高考数学数列题求解题技巧数学数列题是高考数学中常见的题型之一，也是考查学生对数列概念和性质的理解和运用能力的重要手段之一。
下面将给出一些解题技巧，帮助你在高考中更好地解答数列题。
1. 确定数列类型在解答数列题时，首先要明确数列的类型。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
通过观察数列的通项公式、公式中的递推关系或者数列中的规律，确定数列的类型，有助于我们更好地理解和解答问题。
2. 求解等差数列对于等差数列，我们通常可以使用以下几种方法进行求解：（1）已知前n项和：当已知等差数列的前n项和Sn 时，我们可以使用以下公式求解等差数列的的首项a1和公差d：Sn = (n/2)(a1 + an)Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中n为项数，a1为首项，an为第n项，d为公差。
（2）已知前n项和的两倍：如果我们知道等差数列的前n项和Sn的两倍为2Sn，则可以使用以下公式求解首项a1：2Sn = n(2a1 + (n-1)d)（3）已知前n项和的平方：如果我们知道等差数列的前n项和Sn的平方为Sn²，则可以使用以下公式求解公差d：Sn² = n(2a1 + (n-1)d)²/43. 求解等比数列对于等比数列，我们通常可以使用以下几种方法进行求解：（1）已知前n项和：当已知等比数列的前n项和Sn 时，我们可以使用以下公式求解等比数列的的首项a1和公比q：Sn = a1(1 - qⁿ)/(1 - q)其中n为项数，a1为首项，q为公比。
（2）已知前n项积：若已知等比数列的前n项积为Pn，则可以使用以下公式求解首项a1和公比q： Sn = a1(1 - qⁿ)/(1 - q)4. 拆分序列有时，在解答数列题时，我们可以将给定的数列拆分为两个或多个较为简单的数列进行求解。
例如，当我们遇到递推关系较为复杂的数列时，可以考虑将数列拆分为两个或多个等差数列或等比数列，然后分别求解。
高考数学万能解题模板总结(高考必备)
高考数学万能解题模板总结（高考必备）1、选择填空题1）易错点归纳九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。
针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。
2）答题方法选择题十大速解方法：排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法。
填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。
2、解答题答题技巧与模板1）三角变换与三角函数的性质问题一、解题路线图①不同角化同角①降幂扩角①化f（x）=Asin（ωx+φ）+h①结合性质求解。
二、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin（ωx+φ）+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
①整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sinx，y=cosx的性质确定条件。
①求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin（ωx+φ）+h的性质，写出结果。
①反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
2）解三角形问题一、解题路线图①化简变形；①用余弦定理转化为边的关系；①变形证明。
①用余弦定理表示角；①用基本不等式求范围；①确定角的取值范围。
二、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
①定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
①求结果。
①再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
3）数列的通项、求和问题一、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
①求通项公式。
①求数列和通式。
二、构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
高考数列万能解题方法
数列的项na与前n项和nS的关系：11(1)(2)nn ns nas s n-=⎧=⎨-≥⎩数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和;2、错项相减法：适用于差比数列如果{}n a等差,{}n b等比,那么{}n na b叫做差比数列即把每一项都乘以{}n b的公比q,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和;3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和;适用于数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和⎧⎫其中{}n a等差可裂项为：111111()n n n na a d a a++=-⋅1d=等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列{}n a的首项10a>,公差0d<,则前n项和nS有最大值;ⅰ若已知通项na,则nS最大⇔1nnaa+≥⎧⎨≤⎩；ⅱ若已知2nS pn qn=+,则当n取最靠近2qp-的非零自然数时nS最大；2、若等差数列{}n a 的首项10a <,公差0d >,则前n 项和n S 有最小值ⅰ若已知通项n a ,则n S 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩；ⅱ若已知2nS pn qn =+,则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最小； 数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式; ⑵已知n S 即12()n a a a f n +++=求n a ,用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥;已知12()n a a a f n =求n a ,用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩;⑶已知条件中既有n S 还有n a ,有时先求n S ,再求n a ；有时也可直接求n a ;⑷若1()n na a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥;⑸已知1()n n a f n a +=求n a ,用累乘法：121121n n n n n a aa a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥; ⑹已知递推关系求n a ,用构造法构造等差、等比数列;特别地,1形如1nn a ka b -=+、1n n n a ka b -=+,k b 为常数的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求n a ；形如1n n n a ka k -=+的递推数列都可以除以n k 得到一个等差数列后,再求n a ;2形如11n nn a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项;3形如1k n n a a +=的递推数列都可以用对数法求通项;7理科数学归纳法; 8当遇到q a a d a a n n n n ==--+-+1111或时,分奇数项偶数项讨论,结果可能是分段形式; 数列求和的常用方法：1公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式;2分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和; 3倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和这也是等差数列前n 和公式的推导方法. 4错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法这也是等比数列前n 和公式的推导方法.5裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k=-++；③2211111()1211k k k k <=---+,211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++；⑥=<<= 二、解题方法：求数列通项公式的常用方法： 1、公式法 2、n n a S 求由 3、求差商法 解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴练习4、叠乘法 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 5、等差型递推公式 练习6、等比型递推公式 练习7、倒数法数列前n 项和的常用方法：1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项; 解：()()由·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪≠练习3、错位相减法：4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加; 练习 深圳一模深圳二模 广州一模 广州二模 韶关调研。
高考数学数列的万能解法全归纳
高考数学数列的万能解法全归纳！
数列作为历年的重点考查内容之一，估测试题会出现在数列的知识、函数知识、不等式的知识和解析几何知识等的交汇点处命题，从而使数列试题呈现综合性强、立意新、角度新、难度大的特点。
直白点说，高考的20多道题目中，无论是最基本的题型还是最后的解答压轴题，考到数列部分的几率是相当大的，毕竟数列作为每年高考热点元老的存在。
在复习数列单元时，一定要以等差、等比数列为载体，以通项公式、求和公式为主线，注重基础，联系实际.通过对试题的练习，提高其运算能力、思辨能力、解决实际问题的能力，才能以不变应万变，在高考中立于不败之地。
简单2个字来形容掌握数列的要诀那就是规律。
这里我提供一份通过对历年来数列部分的解法归纳，希望能帮助冲刺阶段的同学更上一层楼。
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高中数学数列求解方法 (完整版)
高中数学数列解题方法总结类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=类型二：1()n n a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）−−−−→解决方法累积法 例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。
解析：1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-21n =+ 又1a 也满足上式；21n a n ∴=+ *()n N ∈类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−→解决方法待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1Bt A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。
例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。
解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。
1231n n a -∴=⋅-类型四：()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组A B C αββα⋅-=⎧⎨-⋅=⎩,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n na a α++是以21a a α+为首项， A β为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。
高考数学数列的万能解法全归纳
高考数学数列的万能解法全归纳
数列作为历年的重点考查内容之一，估测试题会出现在数列的知识、函数知识、不等式的知识和解析几何知识等的交汇点处命题，从而使数列试题呈现综合性强、立意新、角度新、难度大的特点。
直白点说，高考的20多道题目中，无论是最基本的题型还是最后的解答压轴题，考到数列部分的几率是相当大的，毕竟数列作为每年高考热点元老的存在。
在复习数列单元时，一定要以等差、等比数列为载体，以通项公式、求和公式为主线，注重基础，联系实际.通过对试题的练习，提高其运算能力、思辨能力、解决实际问题的能力，才能以不变应万变，在高考中立于不败之地。
简单2个字来形容掌握数列的要诀那就是规律。
这里我提供一份通过对历年来数列部分的解法归纳，希望能帮助冲刺阶段的同学更上一层楼。
数列题型及解题方法归纳总结
知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、? 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解? ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a .解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）★ 说明 ?只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
(3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a .解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。
两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2? ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1-1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1(4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数）)(3211-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n nn n b a )31(2)21(32-==(5)递推式为21n n n a pa qa ++=+思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为：211()n n n n a a a a αβα+++-=-，想于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。
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高考数列万能解题方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：1
1(1)(2)n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩
数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数
列）
即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和⎧⎫（其中{}n a 等差）
可裂项为：
111111()n n n n a a d a a ++=-⋅
1
d
=
等差数列前n 项和的最值问题：
1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。
（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大⇔10
n n a a +≥⎧⎨≤⎩；
（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q
p
-
的非零自然数时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值
（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小⇔1
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩；
（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q
p
-
的非零自然数时n S 最小； 数列通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{
11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==
-≥。
已知12
()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)()
,(2)
(1)
n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-
1a +(2)n ≥。
⑸已知
1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12
112
1
n n n n n a a
a a a a a a ---=⋅⋅⋅
⋅(2)n ≥。
⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a ；形如1n n n a ka k -=+的递推数列都可以除以n k 得到一个等差数列后，再求n a 。
（2）形如1
1n n n a a ka b
--=
+的递推数列都可以用倒数法求通项。
（3）形如1k n n a a +=的递推数列都可以用对数法求通项。
（7）（理科）数学归纳法。
（8）当遇到q a a d a a n n n n ==--+-+1
1
11或时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。
数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①
111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k
=-++； ③
2211111
()
1211
k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--； ④
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!
n n n n =-++；
⑥
=
<<=
二、解题方法：
求数列通项公式的常用方法：
1、公式法
2、n n a S 求由
3、求差（商）法
解：n a a ==⨯+=11
2
2151411时，，∴
［练习］
4、叠乘法
解：
a a a a a a n n a a n
n n n 213211122311·……·……，∴-=-= 5、等差型递推公式
［练习］
6、等比型递推公式
［练习］
7、倒数法
数列前n 项和的常用方法：
1、公式法：等差、等比前n 项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
解：()()由
·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪≠
［练习］
3、错位相减法：
4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
［练习］深圳一模深圳二模广州一模广州二模韶关调研。