基于可能度的区间数多属性决策方法及matlab应用

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基于可能度的区间直觉模糊数排序方法及其在决策中的应用

ＷＥＩＹａｎ— ｙａｎ，ＣＨＥＮＺｉ — ｃｈｕｎ，ＸＵＦｕ— ｃｈｅｎｇ
一
一
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＸｉｈｕａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ６１００３９Ｃｈｉｎａ）
能够体现区间直觉模糊数的这种不确定性；因此，本文提出一种用区问数表达的得分函数和精确函
［。，６］ｃ［０，１］，［ｃ，ｄ］ｃ［０，１］，ｂ＋ｄ≤ １，并给
了区间直觉模糊数的运算法则与集成方法，其中集成方法有区间直觉模糊加权与有序加权算术平
问直觉模糊信息的决策方法。进一步，文献［５— ６］给出了区间直觉模糊加权与有序加权平均算子及混合平均算子、加权与有序加权几何算子及混合几
［０，１］区间巾所有闭子区间之集合。一个上的间直觉模糊集４定义为
定义３
，
间直觉模糊信息环境下的多属性决策方法。
ｌ区间直觉模糊集的基本知识
为了便于讨论，下面介绍区间直觉模糊集的基
本定义与运算性质。
定义１设为一非空论域，一个上的直
设ＯＬＩ＝（［。Ｉ，厶Ｉ］，［ｃ１，ｄＩ］）和ＯＬ２＝

基于区间数可能度的决策方法及应用

基于区间数可能度的决策方法及应用摘要随着社会、经济的发展，人们所可虑问题的复杂性，不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强。

在实际决策问题中，决策信息有时以区间数形式来表示。

论文介绍了区间数之间比较的可能度公式以及可能度之间的关系，主要对区间数的大小排序进行了一个详细的讨论。

但是在这些讨论当中难免会丢失一些重要的信息，从各项研究表明，迄今为止尚未发现一种排序方法在所有情况下都能被公认是最好的排序方法。

关键词：模糊性；不确定多属性决策；区间数；可能度。

一、多属性决策思想根据决策空间的不同，经典的多准则决策可以划分为两个重要的领域：决策空间是离散的（备选方案的个数是有限的）称为多属性决策，决策空间是连续的（备选方案的个数是无限的）称为多目标决策一般认为前者是研究已知方案的评价选择问题，后者是研究未知方案的规划设计问题。

经典的多属性决策问题可以描述为：给定一组可能的备选方案，对于每个方案，都需要从若干个属性（每个属性有不同的评价标准）去对其进行综合评价。

决策的目的就是要从这一组备选方案中找到一个使决策者感到最满意的方案，或者对这一组方案进行综合评价排序，且排序结果能够反映决策者的意图。

多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法广泛应用于社会、经济、管理和军事等诸多领域。

1.1不确定性的产生经典（即确定的环境下）决策是指决策信息是实数。

然而，由于客观事物的复杂性、未知性和人类思维的模糊性，大部分多属性决策问题是不确定的，称之为不确定多属性决策。

不确定多属性决策问题主要变现在属性值取值的模糊性、灰色性和随机性。

1.2模糊性模糊性是由于评判信息中如（区间数、三角模糊数、梯形模糊数）、语音信息（如语言变量、不确定语言变量）或直觉模糊信息（如直觉模糊数、区间直觉模糊数）等。

1.3灰色性灰色性由于信息不完全、不充分所造成的客观不确定性，表现为信息量少，不充分、灰色信息经过不断深化，可变成“白信息”。

基于可能度矩阵的区间型多属性决策方法

定性问题处理，随后利用区间数排序的可能度法获得最优方案。实验结果表明了所提方法的可行性和有效性。最后
对多属性决策问题中由不确定性转化为确定性的求解策略及其可能产生的问题作了必要讨论。关键词：多属性决策；指标权重；区间数；可能度
中图分类号：９４Ｔ１Ｃ３；Ｐ８文献标志码：Ａ
Ａｂｔａｔｈｕｈｒｔｄｅｈｅａｉｎｂｔｅｎｓｖｒｌｏｓｉｔｅｒｅｆｒｌｓｎｒｐｓｄａｐｓｉｉｔｅｅｓｒｃ：Ｔｅａｔｏｓｓｉｄｔｅｒｌｔｅｗｅｅｅａｓｉｌｙｄｇｅｍｕａ，ａｄｐｏｏｅｏｓｂｌｙｄｇｅｕｏｐｂｉｏｉｒ
（ＤＭＡＭ）ｗｔｉｔｖｌａｈｐｉｏｔａｖｌｅｅｏｇｇｔｔｅｓｍｔｂｔｓｎａｄｃｉｎｍｔｘｗｓｃｍａｄｔｉｅａ．Ｅｃａｒｆｎｅｌａｓｂｌｎｉｏｈａｅａｔｕｅｉｏａａｏｐｒｏｈｎｒｓｉｒｕｖｎｉｒｅｉｓｉｒｅ
Ｍｕｔｐｅａｔｉｕｔｃｓｏｍａｉｅｈｄ、ｈｎｅｖｌｓｄｎｐｓｉｉｉｙｄｇｅａｒｘｌｉｌｔｒｂｅｄｅｉｉｎ－ｋｎｇｍｔｏｔｉｔｒａｓｂａｅｏｏｓｂｌｔｅｒｅｍｔｉ
ｃｎｔｃｏｒｓｏｄｎｏｓｂｌｙｄｇｅｔｉｅ，ｗｈｓｒｏｔｅｔｒｒｕｓｑｅｔｔｉｅｏｃｎｅｔｔｅｄｃｓｎｏｓｒｔｃｒｅｐｎｉｇｐｓｉｉｔｅｅｍａｒｓｕｉｒｃｏｅｐｒｙｖｃｏｓｗｅｅｓｂｅｕｎｌｕｉｚｄｔｏｖｒｈｅｉｉｉｉｙｌｏｍａｒｘｒｓｅｓｉｔｒａｓｉｔｔｘｗｔｒｃｓｕｅｓａａｕｅＩｈｓｗａ，ａｎｅｔｉｔｆｄｔｒｉｉｇｔｉｅｐｅｓｄａｎｅｖｌｎｏａｍａｒｉｐｅｉｎｍｂｒｓａｍｅｓｒ．ｎｔｉｘｉｈｅｙｎｕｃｒａｎｙｏｅｅｎｎｍｗｉｈｓｏｒｔｒｎＭＡＤＭｔｎｅｖｌｃｕｄｂｏｖｒｄｉｔｅｔｉｔｉｈｗａａｉｒｔａｄｅａｄｗｉｈｅｇｔｆｃｉｉｉｅａｗｉｉｔｒａｓｏｌｅｃｎｅｅｎｏａｃｒｎｙｗｈｃｓｅｓｅｏｈｎｌ，ｎｔｔｅｈｔａｈａｔｂｔｅｇｔｏｔｉｅ，ｔｅｐｓｉｉｔｅｒｅｍｅｈｄｆｒｒｎｉｇｉｔｒａｕｅｓｗｓｓｌｕｅｏｇｔｔｅｐｉｒｉｓｏｔｕｅｗｉｈｓｂａｎｄｈｏｓｂｌｙｄｇｅｔｏｏａｋｎｎｅｌｎｍｂｒａｔｌｓｄｔｅｈｒｉｅｆｉｒｉｖｉｏｔａｔｒａｉｅ．Ｔｏｎｍｅｉａｅａｌｓｗｅｅｇｖｎｔｌｓｒｔｈｒｐｓｄｍｅｈｄａｄｅａｎｔｆａｉｉｔｎａｉｉ．ｌｎｔｓｗｕｒｃｌｘｍｐｅｒｉｅｏｉｕｔａｅｔｅｐｏｏｅｔｏｎｘｍｉｅｉｅｓｂｌｙａｄｖｌｔｅｖｌｓｉｄｙＦｎｌ，ａｎｃｓａｙｄｓｕｓｏｓｍａｅｏｈｏｖｒｉｎｆｍｎｅａｎｙｔｅａｎｙｉｉａｌｙｅｅｓｒｉｓｉｎｗａｄｎｔｅｃｎｅｓｒｃｏｏｕｃｒｉｔｏｃｒｉｔｎＭＡＤＭｉｎｅａｓｎｏｔｔｗｔｉｔｒｌ，ａｄｓｍｅｈｖ

一种区间数多属性决策方法在经济评价中的应用

一种区间数多属性决策方法在经济评价中的应用屈文阁【摘要】研究了区间数多属性决策问题,利用区间数运算法则获得加权规范化矩阵.基于投影对TOPSIS法进行改进,通过各方案与理想解的相对贴近度进行方案排序或择优.并将方法应用于经济评价中,提高了决策的准确性和效率.结果表明:算例验证了该方法的可行性和有效性且具有操作简便和易于上机实现的特点.【期刊名称】《甘肃科学学报》【年(卷),期】2013(025)004【总页数】4页(P152-155)【关键词】区间数多属性决策;TOPSIS法;相对贴近度;排序【作者】屈文阁【作者单位】陕西理工学院人事处,陕西汉中723000【正文语种】中文【中图分类】C934由于客观事物的复杂性、不确定性以及人们认识的模糊性，人们所给出的决策信息由于估计不精确而以区间的形式出现.于是，决策信息为区间数的多属性决策问题的求解便成为当今决策界所研究的热点[1－20］.目前，有关属性权重信息确知[1－6］或未知[7－13］的区间数多属性决策已取得了丰富的成果.关于属性权重部分确知且属性值为区间数的多属性决策问题研究也取得了一定的进展[2，14－20］，分别提出了可能度法[2］、投影法[2］、线性规划法[2，14］、TOPSIS法[15－16］、相对隶属度法[17］、关联度法[18］、信息算子集结法[19－21］等.以下针对区间数多属性决策问题，利用区间数乘法法则获得加权规范化矩阵.基于向量投影概念对TOPSIS法进行改进，由各方案与理想解的投影定义了相对贴近度，并以此进行方案排序或择优，提出了基于投影的相对贴近度法.与相对隶属度法比较可知该方法具有操作简单、易于运算的特点.并将方法应用于经济评价中验证方法的可行性和有效性.1 预备知识定义1 设，则称˜a为一个区间数.特别地，当时，˜a退化为一实数[2］.定义2 设区间数，则称为区间数与的距离[10］.区间数多属性决策问题的基本模型可以描述为：设为方案集，｝为属性集为权重向量，其中.记.对于方案xj，按第i个属性si进行测量得到xj关于si的属性值为区间数从而构成属性决策矩阵.最常见的属性类型一般分为效益型和成本型[2］.2 基于投影的相对贴近度法步骤1 确定规范化决策矩阵.一般而言，不同的评价属性往往具有不同的物理量纲和量纲单位，为了消除不同量纲和量纲单位带来的不可公度性，决策之前应将属性进行无量纲和规范化处理.为此，根据评价属性的类型，利用文献[2］属性规范化公式将˜A转为规范化决策矩阵其中步骤2 计算加权规范化决策矩阵.由区间数的乘积运算法则[2］，可得加权规范化决策矩阵，其中：步骤3 确定正负理想解.定义3 设称为理想解（最优方案），为负理想解（最劣方案）［15－17］．步骤4 计算方案xj（j∈N）与正理想解和负理想解的投影为步骤5 计算各方案的相对贴近度：步骤6 方案排序.由向量投影定义易知，由于越大，方案xj越接近理想解，而越小，方案xj越远离负理想解，故方案的优劣的排序即为λj，j∈N由大到小的排序.3 与相对隶属度法的比较若在上述方法中的步骤3之后进行下列步骤，则是基于模糊数学的相对隶属度法[17］.步骤4 计算方案xj与理想解和负理想解的欧氏距离：步骤5 计算各方案的相对隶属度μj.由于理想解和负理想解事实上不一定存在.为此，方案的择优就是在方案集X中选取使其尽可能地接近正理想解，同时尽可能地远离负理想解.设方案xj相对于正理想解的相对隶属度为λj（0≤λj≤1），则方案xj与负理想解的相对隶属度为1－λj.从而方案的优劣的排序即为λj由大到小的排序.因此，可建立如下列二次规划模型：令得步骤6 方案排序.根据μj（j＝1，2，…，n）的大小，对相应的方案进行排序择优，μj取值越大，方案越优.由上述步骤看到，相对贴近度法仅仅计算各方案的加权属性值在正负理想解的投影便易得到方案排序.而相对隶属度法不但要计算各方案与正负理想解的距离，而且还要计较为复杂的隶属度使得运算量较大.同时相对贴近度法具有更好的几何意义. 基于上述讨论，下面通过某银行投资决策问题说明方法的有效性.4 实例分析2009年西安市某商业银行拟定了4个投资方案xj（j＝1，2，3，4），评价方案的主要指标为：投资额（s1）；期望净现值（s2）；风险盈利值（s3）；风险损失值（s4）.显然，s2 与s3 为效益型属性，s1 与s4 为成本型属性.各方案的属性值及属性权重˜ωi（i＝1，2，3，4）信息列于表1.表1 原始决策矩阵˜A和权重信息万元si˜ωix1x2x3x4 s1 [0.25，0.45] [5，7] [10，11] [5，6] [9，11］s2 [0.12，0.15] [4，5] [6，7] [4，5] [5，6］s3 [0.24，0.35] [4，6] [5，6] [3，4] [5，7］s4 [0.18，0.36] [0.4，0.6] [1.5，2] [0.4，0.7] [1.3，1.5］确定最佳投资方案：步骤1 根据规范化公式[2］由表1可得到规范化决策矩阵˜R为步骤2 由公式（1）得加权的规范化决策矩阵为步骤3 由公式（2）、（3）得正理想解和负理想解为步骤4 利用公式（4）～（6）可计算解得相对贴近度为从而银行的投资方案排序为x1＞x3＞x4＞x2，即最佳方案为x1.5 结语针对区间数多属性决策问题，提出了一种基于相对贴近度的决策方法并应用于经济评价中.该方法主要包括两部分内容：一方面，利用区间数的运算法则，避免了属性权重确定，减少了决策信息的损失，从而提高了决策的准确性.另一方面，对传统基于欧式距离或城市街区距离的TOPSIS法进行拓展，利用相对贴近度对方案排序，从而避免了区间数的比较，同时相对于基于可能度[2］、相对隶属度[17］、关联度[18］、信息算子集结的排序法，减少了运算，提高了决策的效率.【相关文献】[1]Hwang C L，Yoon K.Multiple Attribute Decision Making[M］.Berlin：Spring－Verlag，1981.[2]徐泽水.不确定多属性决策方法及应用[M］.北京：华大学出版社，2004.[3]熊文涛，刘三阳，史加荣.不确定性多属性决策的一种新方法[J］.系统工程与电子技术，2005，27（5）：841－843.[4]许叶军，达庆利.一种不确定型 OWGA算子及其在决策中的应用[J］.系统工程与电子技术，2005，27（6）：1 038－1 040.[5]徐泽水.拓展的C－OWA算子及其在不确定多属性决策中的应用[J］.系统工程理论与实践，2005，25（11）：7－13.[6]万树平.区间型多属性决策的夹角度量法[J］.计算机工程与应用，2009，45（26）：204－205.[7]许叶军，达庆利.不确定型多属性决策的权系数确定及其应用[J］.系统工程理论方法应用，2005，15（5）：434－436.[8]姚升保，岳超源.基于综合赋权的风险型多属性决策方法[J］.系统工程与电子技术，2005，27（12）：2 047－2 050.[9]周文坤.一种不确定型多属性决策的组合方法[J］.系统工程，2006，24（2）：96－100.[10]周宏安，刘三阳.基于二次规划与相对优势度的不确定多属性决策法[J］.系统工程与电子技术，2007，29（4）：559－562.[11]刘培德，关忠良.属性权重未知的连续风险型多属性决策研究[J］.系统工程与电子技术，2009，31（9）：2 133－2 136.[12]刘健，刘思峰，周献中，等.基于相似关系的多属性决策问题研究[J］.系统工程与电子技术，2011，33（6）：1 069－1 072.[13]刘健，刘思峰，周献中，等.多属性决策决问题的满意度与赋权研究[J］.中国管理科学，2011，19（6）：126－132.[14]刘健，刘思峰，吴顺祥.基于优势关系的多属性决策对象排序研究[J］.控制与决策，2012，27（6）：632－635.[15]Bryson N，Mobolurin A.An Action Learning Evaluation for Multiple Criteria Decision Making Problems[J］.European Journal of Operational Research，1996，96（3）：379－386.[16]张吉军，刘家才.区间数多指标决策问题的的决策方法研究[J］.预测，2002，21（1）：73－75.[17]樊治平，尤天惠，张尧.属性权重信息不完全的区间数多属性决策方法[J］.东北大学学报：自然科学版，2005，26（8）：798－800.[18]刘华文，姚炳学.区间数多指标决策的相对隶属度法[J］.系统工程与电子技术，2004，26（8）：1 060－1 064.[19]卫贵武.权重信息不完全的区间数多属性决策 GRA方法[J］.系统工程与电子技术，2006，28（12）：1 834－1 836.[20]王坚强，任剑.基于 WC－OWA算子的随机多准则决策方法[J］.控制与决策，2007，22（12）：1 429－1 432.[21]周宏安，刘三阳，房向荣.基于拓展C－OWGA算子的区间数多属性群决策方法[J］.西北大学学报：自然科学版，2007，26（8）：798－800.。

基于正态分布的VIKOR多属性决策分析及matlab应用

基于正态分布的区间数VIKOR 多属性决策分析及matlab 应用1在已有的区间数的多属性决策方法的研究成果中大部分认为属性值在区间数内是服从均匀分布的，只有少部分文献认为是服从正态分布的．事实上认为其服从正态分布更加贴近实际，比如一个班级学生的期末考试成绩，高分和不及格的都占少数，大多数处于中间状态。

对已知属性权重取值范围及属性值为区间数的多属性决策问题进行了分析，利用线性规划模型求出属性权重的确定值，考虑了区间数正态分布，得到了基于正态分布的折中妥协(VIKOR)区间多属性决策法1.区间数的正态分布随机变量ξa 在区间数[],=a a a 服从正态分布，记2(,)ξμσ:a N ，根据正态分布的3σ原则()30.9973μσ-≤≈P a ，随机变量ξa 几乎可以肯定落在区间(3,3)μσμσ-+，故令3,3μσμσ=-=+a a ，解得[0,1],[0,1]26μσ+-=∈=∈a a a a a a 。

μa 可以表示[],a a 的中心，反映了信息的确定程度，σa 表示[],a a 的宽度，反映了信息的不确定程度。

定义：设区间数[,],[,]μσμσ==a a b b A B ，称22()μμσσ⎛⎫->=Φ ⎪-⎝⎭a b ab P A B 为>A B 的可能度。

2.决策方法有方案1,,L m A A ，共有m 个，1(,,)=L n u u u 为n 个属性，在方案(1,,)=L i i m A 在属性j u 下的决策值为,⎡⎤=⎣⎦ij ij ij a a a ，决策矩阵为()⨯=ijm n a A ，j w 为属性的权重，也为区间数，{1,,},{1,,}==L L M m N n 。

基于正态分布的折中妥协(VIKOR)决策法的具体步骤如下：步骤1用区间数规范化方法将原决策矩阵规范化处理得到矩阵,⨯⎡⎤=⎣⎦ij ij m n f f F效益型规范化 11==⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩∑∑ij ij m ij i ijijm ij i a f a a f a 成本型规范化1 Matlab 程序见文后的百度文库链接。

基于方案满意度与线性规划的多属性决策方法及matlab应用

基于方案满意度与线性规划的多属性决策方法及matlab 应用目录1.方法介绍 ................................................................................................................................ 1 2.实例及matlab 程序 .. (2)1.方法介绍对于多属性决策问题，设X 、U ，ω，ΦΦ分别为方案集、属性集、属性的权重向量和已知的部分权重信息所确定的属性可能权重集合。

A=(a ij )nXm设()⨯=ij n m A a ，()⨯=ij n m R r 分别是决策矩阵及规范化后的决策矩阵。

定义：若1m =(,,)ωωL ω是单目标优化模型1max ()M-1..ωω=⎧=⎪⎨⎪∈Φ⎩∑mi ij jj z r s tω 的最优解，则称max1ω==∑miij j j zr 是方案i x 的综合属性正理想值。

定义：若1m =(,,)ωωL ω是单目标优化模型1min ()M-2..ωω=⎧=⎪⎨⎪∈Φ⎩∑mi ij jj z r s tω 的最优解，则称min1ω==∑miij j j zr 是方案i x 的综合属性负理想值。

定义：若minmax ()-()=-()，ωρω∈i i i i i z z i N z z ω则称()ρi ω为方案i x 的满意度。

对于每个方案i x ，其满意度总是越大越好，要求各个方案的综合属性必须来自同一个属性权重向量1m =(,,)ωωL ω，为此建立多目标优化模型()1max ()(),,()..ρρρω⎧=⎨∈Φ⎩L n s t ωωω 由于方案之间是公平竞争的，不存在任何偏好关系，可以将多目标优化转换为单目标优化模型：1max ()()M-3..ρρω=⎧=⎪⎨⎪∈Φ⎩∑ni i s tωω 计算出的最优解是++1=(,,)ωω+L m ω，则方案i x 的综合属性值为，+1()ω+==∑mi ij j j z r ω按各方案综合属性值大小对方案进行排序，即可得到最优方案。

基于相对优势度的区间数排序及其在多属性决策中的应用

文章编号: 100127402 (2013) 022*******基于相对优势度的区间数排序Ξ及其在多属性决策中的应用王中兴, 邵翠丽, 唐芝兰(广西大学数学与信息科学学院, 广西南宁 530004)摘要: 依据两区间数对应点的差异, 借助 s 型函数给出区间数相对优势度的概念, 并根据相对优势度矩阵, 构造模糊互补判断矩阵, 提出一种基于相对优势度的区间数排序方法。

基于所提出的区间数排序方法, 结合UW A 算子, 提出一种属性值为区间数的多属性决策方法, 并通过算例说明方法的可行性和有效性。

关键词: 区间数; 相对优势度; 排序; 多属性决策中图分类号: O 159文献标识码: A由于客观世界的复杂性和不确定性及科技的发展, 人们面对不确定问题时, 通常用区间数对事物进行量的评判。

因此, 区间数排序的研究已经引起人们的广泛重视, 至今对区间数排序的研究已有很多研究成果。

文献1 给出了基于区间中点值的区间数排序方法, 此方法比较简单, 但对于两个中点相同的区间数无法比较。

文献2 定义了区间数两两比较的可能度, 并证明了此定义与文献3 、文献4 定义的区间数比较的可能度是等价的, 提出了基于可能度的区间数排序方法, 但存在失效的情况。

文献5 依据区间数的两个端点给出了区间数比较的相对优势度的定义, 并提出一种基于相对优势度的排序方法。

但此排序方法无法对区间中点相同的区间数进行排序。

本文借助于 s 型函数, 给出区间数相对优势度的新定义, 并提出基于新相对优势度的区间数排序方法。

1 区间数及有关概念1. 1 区间数概念及运算定义 1. 16 设 a - , a + ∈ R , 如果 a - ≤ a + , 则称区间 a = a - , a + = { x x ∈ R , a - ≤ x ≤ a + } 为a + , 则 a 退化为一个普通的实数, 因而实一个区间数, 并令 8 表示全体区间数的集合。

一种区间数多属性决策新方法及其工程应用

ｉｓｅｇｎｅｉｇａｐｉａｉｎｔｎｉｅｒｎｐｌｔｃｏ
ＷＡＮＳｕ，ＺＧｈＨＡＮＧＹｉｅ－ｉＨＡＯＣｎ１ｇ，ＸＵＷｅｆ，ｕ．ｎｉｉ
（．ＨｎｚｏｎｃａｏｔｎａｅａｄｉｉｒｔｎＢｒｕＨｎｚｏ３０１１ａｇｈｕＭｕｉｐｌｒａｄＷｔｗｙＡｍｎｓａｉｕｅ，ａｇｈｕ１０４，Ｃｉａ２ｈｅｏｄｉＰｒｔｏａｈｎ；．ＴｅＳｃｎ
（．杭州市港航管理局，浙江杭州１
３０１；．国家海洋局第二海洋研究所，浙江杭州３０１）１０４２１０２
摘要：通过对传统逼近理想（ＯＳＳ的改进，￣ＴＰＩ）并与ＭｎａｅｏｔＣｒ随机模拟法相结合，ｅｌ提出了决策信息一属
性权重和属性值均为区间数的多属性决策方法．参照结构可靠度的概念定义了一种新的决策指数，并按决策指数的大小进行方案的排序．最后，通过一个简单的工程投资决策算例，说明该决策方法的应用步骤．
ＩｓｔｔｏｃａｏｒｐｙＳａｅＯｅｎｃＡｍｎｓａｉ，ａｇｈｕ３０１，Ｃｉ）ｎｔｕｅｆＯｅｎｇａｈ，ｔｔｃａｉｄｉｉｒｔｎＨｎｚｏ１０２ｈｎｉｔｏａ
ＡｂｔａｔｙｉｒｖｎｈｒｄｔｎｌＴＳＳｍｅｈｄｎｎｏｐｒｔｇｔｅＭｏｔｒｓｌｔｎ，ａｎｗｓｒｃ￣ＢｍｐｏｉｇｔｅｔｉｏａＯＰＩｔｏａｄｉｃｒｏａｉｈｎｅＣａｌｉａｉａｉｎｅｍｕｏｅｍｅｈｄｆｒｍｕｔ・ｔｂｔｅｉｉｎ・ｋｎｔｅｉｉｎｉｆｒｔｎｓｃｓａｔｂｔｅｇｔｎｔｂｔｖｌｅｉｔｏｌ・ｔｕｅｄｃｓ・ｏｉａｒｉｏｍａｉｇｗｉｄｃｓｏｎｏｍａｉｕｈａｔｕｅｗｉｈｄａｔｕｅａｕｎｈｏｉｒａｉｒｔｅｆｒｆｉｔｒａｕｅｓｉｐｅｅｔｄＡｎｗｄｃｓｏ－ｋｎｎｅｓｄｆｅｏｓｅｎｈｏｃｐｆｈｏｍｏｎｅｖｌｎｍｂｒｓｒｓｎｅ．ｅｅｉｉｎｍａｉｇｉｄｘｉｅｎｄｃｎｉｒｇｔｅｃｎｅｔｏｉｄｉｓｕｔｒｌｅｉｂｌｙｎｌａｔｒａｉｅｒｏｂａｋｄａｃｒｉｇｔｅｄｃｓｎｍａｉｇｉｄｘｉａｌａｓｍｐｅｔｃｕａｌｉｔ，ａｄａｌｌｎｔｓａｅｔｅｒｎｅｃｏｄｎｔｅｉｏ — ｋｎｎｅ．Ｆｎｌｒｒａｉｅｖｏｈｉｙ，ｉｌｉｖｓｎｒｂｅａｎｅａｌｓｇｖｎｔｌｓｒｔｏｏｕｅｔｅｐｏｏｅｔｏｎｅｇｎｅｉｇｎｅｔｍｅｔｐｏｌｍｓａｘｍｐｅｉｉｅｏｉｕｔｅｈｗｔｓｈｒｐｓｄｍｅｈｄｉｎｉｅｒ．ｌａｎ

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基于可能度的区间数多属性决策方法及matlab 应用目录1．区间数比较的可能度公式 ................................................................................................. 1 2.区间数排序 ............................................................................................................................ 2 3.决策方法 ................................................................................................................................ 2 4.实例分析及matlab 应用 (4)1．区间数比较的可能度公式记{}[,]|,,==≤≤∈%L UL U L Uaa a x a x a a a R ，称%a 为一个区间数，特别地=L Ua a ，则%a 退化为一个实数。

区间数的运算法则设[,]=%L U aa a 和[,]=%LUb b b ，0β≥，则（1）=%%ab 当且仅当=LLa b 和=UUa b （2）+[+,+]=%%LLUUab a b a b （3）[,]βββ=%L Uaa a 定义1，当%a 和%b均为实数，则称 1>1(>)=20<⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩%%%%%%%%a b p a b a b a b （1）为>%%ab 的可能度。

定义2，当%a 和%b 均为区间数，设[,]=%L U a a a 和[,]=%LUb b b ，且记=-%U Lal a a ，=-%U Lb l b b ，则称{}min ,max(,0)()+-≥=+%%%%%%U L a ba bl l a b p a b l l （2）为≥%%a b 的可能度，且记%a ，%b 的次序关系为≥%%pa b 。

定义3，称()min max 01，，⎧⎫⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≥=⎨⎨⎬⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭%%%%U L a b a b p a b l l （3）为≥%%a b 的可能度。

定义4，称{}max 0,max(,0)()+--≥=+%%%%%%U La ba bl l b a p a b l l （4）为≥%%a b 的可能度。

定义5，称()max 1-max ,0,0⎧⎫⎛⎫-⎪⎪≥= ⎪⎨⎬ ⎪+⎪⎪⎝⎭⎩⎭%%%%U L a b b a p a b l l （5）为≥%%a b 的可能度。

可以证明，定义2、3、4、5是等价的。

2.区间数排序对于给定的一组区间数[,]=%LUi i i a a a ，∈i N ，把它们两两比较，利用可能度公式求得相应的可能度()≥%%i j p a b ，简记为ij p ，,∈i j N ，并建立可能度矩阵()⨯=ij n n p P 。

该矩阵包含了所有方案相互比较的全部可能度信息，且矩阵P 是一个模糊互补判断矩阵。

根据模糊互补判断矩阵排序公式，112(1)ω=+-=-∑nijj i n b n n 得到可能度矩阵P 的排序变量1=(,,)ωωL n ω，并利用ωi 对区间数进行排序。

3.决策方法步骤1.对于多属性决策问题，属性的权重完全确知，对于方案i x ，按属性j u 进行测度，得到i x 关于j u 的属性值=[,]%LUij ij ij a a a ，从而构成决策矩阵()⨯=%%ij n m a A ，不同属性为效益型和成本型，把()⨯=%%ij n m a A ，转换为规范化矩阵()⨯=%%ij n m r R ，其中L U =[,]%ij ij ij r r r 。

效益型规范化LU ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩Lij U ij a r ar j 属于效益型属性（6）成本型规范化L U 1/1/⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩U ij L ij a r ar ，j 属于成本型属性（7）或者效益型规范化L 1U1====⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩∑∑Lij ij nU ij i Uij ijn L ij i a r a a r a ，j 属于效益型属性（8）成本型规范化LU 1/1/⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩Uij L ij a r ar ，j 属于成本型属性（9）步骤2.利用WAA 算子对各方案i x 的属性值进行集结，求得综合属性值()()∈%i z i N ω： m1()=ω=∑%%i j ij j z r ω （10）步骤3.利用区间数比较的可能度公式（2），算出各方案综合属性值()()∈%i z i N ω之间的可能度=(()())≥%%ij i j p p z z ωω，并建立可能度矩阵()⨯=ij n n p P 。

步骤 4.利用112(1)ω=+-=-∑nijj i nb n n 计算可能度矩阵()⨯=ij n n p P 的排序向量1=(,,)ωωL n ω，并利用ωi 对区间数进行排序。

4.实例分析及matlab 应用5个方案，3个属性值，假定属性的权重向量w=(0.4,0.4,0.2)，属性值为区间数，规clear;clc;R=[0.214,0.220, 0.166,0.178, 0.184,0.190 0.206,0.225, 0.220,0.229, 0.182,0.191 0.195,0.204, 0.192,0.198, 0.220,0.231 0.181,0.190, 0.195,0.205, 0.185,0.195 0.175,0.184, 0.193,0.201, 0.201,0.211]w=[0.4,0.4,0.2]RL=[R(:,1) R(:,3) R(:,5)] RU=[R(:,2) R(:,4) R(:,6)]%计算综合属性值的区间数 zL=RL*w' zU=RU*w' z=[zL,zU]%方法1：不使用循环 l=zU-zLh11=l(1)+l(1) h12=l(1)+l(2) h13=l(1)+l(3)h15=l(1)+l(5)h1=[h11 h12 h13 h14 h15]k11=max(zU(1)-zL(1),0)k12=max(zU(1)-zL(2),0)k13=max(zU(1)-zL(3),0)k14=max(zU(1)-zL(4),0)k15=max(zU(1)-zL(5),0)k1=[k11 k12 k13 k14 k15] p1=min(h1,k1)./h1h21=l(2)+l(1)h22=l(2)+l(2)h23=l(2)+l(3)h24=l(2)+l(4)h25=l(2)+l(5)h2=[h21 h22 h23 h24 h25]k21=max(zU(2)-zL(1),0)k22=max(zU(2)-zL(2),0)k23=max(zU(2)-zL(3),0)k24=max(zU(2)-zL(4),0)k25=max(zU(2)-zL(5),0)k2=[k21 k22 k23 k24 k25] p2=min(h2,k2)./h2h31=l(3)+l(1)h32=l(3)+l(2)h33=l(3)+l(3)h34=l(3)+l(4)h35=l(3)+l(5)h3=[h31 h32 h33 h34 h35]k31=max(zU(3)-zL(1),0)k32=max(zU(3)-zL(2),0)k33=max(zU(3)-zL(3),0)k34=max(zU(3)-zL(4),0)k35=max(zU(3)-zL(5),0)k3=[k31 k32 k33 k34 k35] p3=min(h3,k3)./h3h41=l(4)+l(1)h42=l(4)+l(2)h44=l(4)+l(4)h45=l(4)+l(5)h4=[h41 h42 h43 h44 h45]k41=max(zU(4)-zL(1),0)k42=max(zU(4)-zL(2),0)k43=max(zU(4)-zL(3),0)k44=max(zU(4)-zL(4),0)k45=max(zU(4)-zL(5),0)k4=[k41 k42 k43 k44 k45]p4=min(h4,k4)./h4h51=l(5)+l(1)h52=l(5)+l(2)h53=l(5)+l(3)h54=l(5)+l(4)h55=l(5)+l(5)h5=[h51 h52 h53 h54 h55]k51=max(zU(5)-zL(1),0)k52=max(zU(5)-zL(2),0)k53=max(zU(5)-zL(3),0)k54=max(zU(5)-zL(4),0)k55=max(zU(5)-zL(5),0)k5=[k51 k52 k53 k54 k55]p5=min(h5,k5)./h5P=[p1; p2; p3; p4; p5]%方法2：使用循环P=[]for i=1:nfor j=1:nP((i-1)*5+j,:)=min((l(i,:)+l(j,:)),max(zU(i,:)-zL(j,:),0))./(l(i,:)+l(j,:)) endendP=reshape(P,5,5)'[n,m]=size(P)v = (sum(P')+n/2-1)/(n*(n-1)); %中转法计算可能度矩阵的排序向量运行结果：v=0.15571 0.29953 0.25047 0.14886 0.14542 方案2评估结果最好。