关于高等代数的一些解题方法总结
高等代数方法总结
高等代数方法总结一、前言高等代数是数学中的重要分支，它涉及到很多重要的概念和理论。
在学习高等代数时，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，以便更好地理解和应用这些概念和理论。
本文将总结一些常见的高等代数方法，帮助读者更好地学习和应用高等代数知识。
二、线性方程组的求解线性方程组是高等代数中最基础的问题之一。
在实际应用中，线性方程组经常出现，并且求解线性方程组是很多问题的关键步骤。
下面介绍几种常见的线性方程组求解方法。
1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。
它通过矩阵变换将原始矩阵转化为一个上三角矩阵或者行简化阶梯形矩阵，从而得到线性方程组的解。
具体步骤如下：（1）将系数矩阵增广为一个增广矩阵；（2）从第一行开始，找到第一个非零元素所在列，并将该列所有元素除以该元素；（3）将第一行乘以一个系数，使得该行第一个非零元素下面的元素都为零；（4）重复步骤（2）和（3），直到将矩阵转化为上三角矩阵或者行简化阶梯形矩阵；（5）从最后一行开始，依次求解每个未知量。
2. 矩阵求逆法如果一个方阵的行列式不等于零，则该方阵可以求逆。
对于一个n×n 的方阵A，如果它的行列式不等于零，则存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I。
具体步骤如下：（1）构造增广矩阵[A|I]；（2）通过初等变换将[A|I]变成[I|B]，其中B即为A的逆矩阵。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的线性方程组求解方法。
对于一个n元线性方程组，如果它的系数矩阵A可逆，则其唯一解可以表示为：xi=det(Ai)/det(A)，i=1,2,...,n，其中Ai是将系数矩阵A中第i列替换为常数向量b后得到的新矩阵。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是高等代数中的重要概念，它们在很多领域中都有广泛的应用。
下面介绍几种常见的特征值和特征向量求解方法。
1. 特征方程法对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为一个常数，则称k为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值k 的特征向量。
高等代数中的典型问题与方法
高等代数中的典型问题与方法高等代数是数学中的一个重要分支，它主要研究多项式、矩阵、向量空间、线性变换等概念，以及它们之间的关系。
它是数学的基础，也是其他数学分支的基础。
高等代数中的典型问题主要有：1、多项式的求解：多项式是数学中最基本的概念，它是由一系列有限个未知数的幂次相加而成的函数。
多项式的求解是高等代数中最基本的问题，它可以用各种方法来求解，如分解因式法、特征根法、拉格朗日法等。
2、矩阵的求解：矩阵是一种数学概念，它由一系列有限个数字组成的矩形表格组成。
矩阵的求解是高等代数中的一个重要问题，它可以用各种方法来求解，如行列式法、特征值分解法、矩阵分解法等。
3、向量空间的求解：向量空间是一种数学概念，它是由一系列有限个向量组成的集合。
向量空间的求解是高等代数中的一个重要问题，它可以用各种方法来求解，如基底法、线性无关法、线性相关法等。
4、线性变换的求解：线性变换是一种数学概念，它是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数。
线性变换的求解是高等代数中的一个重要问题，它可以用各种方法来求解，如矩阵法、特征值分解法、线性变换矩阵法等。
高等代数中的典型方法主要有：1、分解因式法：分解因式法是一种求解多项式的方法，它是将多项式分解成几个因式的乘积，然后分别求解每个因式，最后将每个因式的解组合起来，得到多项式的解。
2、特征根法：特征根法是一种求解多项式的方法，它是将多项式按照特征根的方法分解成几个因式的乘积，然后分别求解每个因式，最后将每个因式的解组合起来，得到多项式的解。
3、拉格朗日法：拉格朗日法是一种求解多项式的方法，它是将多项式按照拉格朗日的方法分解成几个因式的乘积，然后分别求解每个因式，最后将每个因式的解组合起来，得到多项式的。
高等代数知识点总结
特殊行列式的计算方法
二阶行列式
一般形式为a11a22-a12a21，计算方法为 将a11和a22相乘，然后减去a12和a21的乘 积。
三阶行列式
一般形式为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32，计 算方法为将每一项都按照这个公式进行展开 ，然后将各项相加即可得到结果。
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
线性变换可以用于图像旋转，通 过矩阵乘法可以实现图像的旋转 。
线性变换可以用于图像剪切，通 过矩阵乘法可以实现图像的剪切 。
二次型在经济分析中的应用
要点一
投入产出模型
要点二
经济均衡模型
二次型可以用于描述投入产出模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的平衡状态。
二次型可以用于描述经济均衡模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的均衡状态。
03
线性变换的运算
两个线性变换的加法定义为对应元素之间的加法运算；数与线性变换的
乘法定义为数乘运算；两个线性变换的乘法定义为对应元素之间的乘法
运算。
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
设V是数域P上的线性空间，T是V的线性变换，对于V中 的任意一组基ε1,ε2,...,εn，有 $T(α)=T(ε1α1+ε2α2+...+εnαn)=T(ε1α1)+T(ε2α2)+... +T(εnαn)=ε1T(α1)+ε2T(α2)+...+εnT(αn)$，则称矩阵 A=(T(α1),T(α2),...,T(αn))为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn 的矩阵表示。
高等代数解题方法与技巧
高等代数解题方法与技巧
高等代数是数学中的一个重要分支，它涉及到许多抽象的概念和复杂的运算方法。
对于初学者来说，学习高等代数可能会遇到一些困难，特别是在解题方面。
为了帮助大家更好地掌握高等代数的解题方法和技巧，本文章将介绍以下内容：
1.理解代数结构
高等代数涉及到很多代数结构，如群、环、域等。
理解这些结构的性质和运算规则是解题的基础。
在学习代数结构时，要重视定义和定理的理解和记忆，逐步掌握其特点和性质。
2.掌握矩阵的基本操作
矩阵是高等代数中重要的工具，应该熟练掌握矩阵的基本运算，如加、减、乘、转置等。
同时，还需要掌握矩阵的特殊类型，如对称矩阵、正交矩阵、特征值等。
3.应用线性代数解决问题
线性代数是高等代数中的一个重要分支，涉及到向量空间、线性变换等概念。
在解题时，可以运用线性代数的知识，将问题转化为线性方程组的形式，再通过矩阵运算求解。
4.掌握代数方程的求解方法
代数方程是高等代数中一个重要的概念，其求解方法涉及到因式分解、配方法、求根公式等。
在解题时，应该根据具体情况选择合适的求解方法。
5.运用数学软件辅助解题
随着科技的进步，现在有许多数学软件可以辅助高等代数的学习和解题。
例如MATLAB、Maple等，这些软件可以帮助我们快速解决复杂的高等代数问题。
总之，高等代数是数学中的一个重要分支，它涉及到许多复杂的概念和运算方法。
通过理解代数结构、掌握矩阵操作、应用线性代数、掌握代数方程求解方法，并运用数学软件辅助解题，我们可以更好地掌握高等代数的知识和技巧，提高解题能力。
关于高等代数的一些解题方法总结
高等代数论文题目：有关二次型的总结学院：理学院专业：信息与计算科学姓名：***学号：********2011年12月30日学习高等代数,最好的方法是多进行总结分类,将知识系统化。
下面那二次型这章来进行操作。
二次型的问题来源于解析几何：➢ 平面解析一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)；二次曲线：Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = F → 经平移变换化，旋转变换化成为Ax 2+ By 2 = d (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）；➢ 空间解析一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次项）→Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类 更一般的问题： 数域P 上含n 个变量x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题了解了二次型的相关背景，我们进行对课本上二次型的内容进行总结。
二次型这章内容如下 5.1 二次型及其矩阵表示 5.2 二次型的标准形 5.3 惯性定理和规范形 5.4 实二次型的正定性在这章的学习中，我们需要学会二次型的矩阵表示，求解矩阵的秩，通过线性替换将二次型化为标准型，了解矩阵合同，规范型，掌握正定二次型的判定方法。
例１.二次型⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121213201),(),(x x x x x x f 的矩阵为（ 3 ）。
(1)、1023⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)、1223⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)、1113⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4)、1113-⎛⎫⎪-⎝⎭注意对于任意一个二次型，都唯一确定这一个对称矩阵，这个对称矩阵才叫做二次型的矩阵。
高等代数知识点与解题方法笔记
《高等代数知识体系及解题方法概述》姓名：***学院：理学院专业：数学与应用数学学号：20********1课程：高等代数2020年6月23日第一章：多项式知识体系：解题方法：1，判定数域:关于加减乘除封闭。
2，求最大公因式：(1) 多项式分解成标准分解式;(2) 辗转相除法;3，求多项式的标准分解式：① 利用辗转相除法求出())(),(x f x f '；② 把f(x)单因式化())()()()(),()(21x p x p x cp x f x f x f s ='； ③ 得出重因式的次数，将次数加到f(x)的单因式上去。
4，判定多项式整除：带余除法余式为零。
5，判定重因式并求重因式：(1) ()1)(),(≠'x f x f ；(2) 带余除法。
6，求方程的有理根：(1) 带余除法；(2) 整系数多项式的根为r/s;若是s|an,r|a0。
根据多项式猜想所有可能根，代入方程验证。
7，判定不可约多项式：(1) 艾森斯坦因判别法；(2) 反证法，得出矛盾。
8，证明一多项式因某条件而为简单多项式思路：① 设多项式；② 设多项式次数，比较等式两边多项式次数；③ 设特殊值，比较等式两边系数。
9，多项式按某一次因式的方幂和展开式:综合除法第二章：行列式知识体系：解题方法：1，行列式的计算：(1)行列式的定义；(2)降阶法；(3)按某一行或某一列的代数余子式展开（一般是按零较多的行或列展开），高阶行列式一般需要进行递推；(4)若每一行或每一列的元素相同，相加到第一行或第一列提取公因数后进行降级处理；(5)若行列式形似范德蒙德行列式，则构造对应范德蒙德行列式。
求出范德蒙德行列式的多项式系数，要求的行列式一般与多项式的系数密切相关2，解线性方程组：克拉默法则（非齐次）第三章：线性方程组知识体系：解题方法：1，线性相关性的判别：(1)定义法；(2)向量组的秩，线性相关则其秩小于向量的个数(3)齐次线性方程组有非零解。
知识点总结高等代数
第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ij nn n nna a a a a a a a a a =1等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 2的代数和,这里12n j j j 是一个n 级排列;当12n j j j 是偶排列时,该项前面带正号；当12n j j j 是奇排列时,该项前面带负号,即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑;2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑和3、由n 级排列的性质可知,n 级行列式共有!n 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项不算元素本身所带的负号各占一半;4、常见的行列式1上三角、下三角、对角行列式 2副对角方向的行列式 3范德蒙行列式：二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等;2、互换行列式的两行列,行列式变号;3、行列式中某一行列中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即：某一行列中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零;5、若某一行列是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行列以外全与原来行列式的对应的行列一样;6、把行列式某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上,行列式不变;三、行列式的按行列展开1、子式1余子式：在n 级行列式ij D a =中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的n-1级行列式称为ij a 的余子式,记作ij M ;2代数余子式：(1)i j ij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式;3k 级子式：在n 级行列式ij D a =中,任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤,位于这些行列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 级行列式M,称为D 的一个k 级子式;当()k n <时,在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式;2、按一行列展开1行列式任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=2行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠3、按k 行k 列展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k 个行k 列(11)k n ≤≤-,由这k 行k 列元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值; 4、其他性质1设A 为n 阶方阵,则A A '=； 2设A 为n 阶方阵,则n kA k A =；3设,A B 为n 阶方阵,则AB A B =,但A B A B ±≠±； 4设A 为m 阶方阵,设B 为n 阶方阵,则00A A AB BB*==*,但A B A B ±≠±;5行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等;具体计算时需要根据等到式中行或列元素的特点来选择相应的解题方法;方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法;用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ,依次从1234n D D D D D →→→→,逐级递推便可以求出n D 的值;方法二：数学归纳法;第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性;第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式;方法三：加边法;加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列或m 行m 列得到一个新的n+1或m+1级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1或m+1级行列式较易计算;其一般做法如下：11111111111100n nn n n n n a a a a a a a a a a =或111111111111100nn nn n n a a b a a a a b a a =特殊情况取121n a a a ===或121n b b b ===;方法四：拆行列法;将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和,然后再求行列式的值;拆行列法有两种情况：一是行列式中有某行列是两项之和,可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行列没有两项和形式,这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和;方法五：析因子法;如果行列式D 中有一些元素是变数x 或某个参变数的多项式,那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ,然后对行列式()f x 实行某些变换,求出()f x 的互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c,根据多项式相等的定义,比较()f x 与的()g x 某一项系数,求出c 值,便可求得()D cg x =;2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式非零元分布在两条线上,例如,*等等;注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算,或用拉普拉斯定理展开,降阶后的行列式或为三角形行列式,或得到一个递推公式; 类型二：“三条线”行列式非零元分布在三条线上; 1“三对角”行列式,;注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解;首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+,然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式：先计算123,,D D D 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明;间接递推法：借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组,从而消去1n D -就可解得n D ;2“爪型”行列式;注：“爪型”行列式可以按行列提取公因子,然后化为上下三角形行列式进行求解;3Hessenerg型行列式;类型三：各行列元素之和相等或多数相等仅个别不相等的行列式; 注：行加法或列加法再化为三角形行列式进行求解;类型四：除主对角线外其余元素相同或成比例型行列式; 注：拆行列法或再结合其他方法进行求解; 类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式; 类型六：其他形式行列式;五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不等于零,即111110nn n a a D a a =≠, 则方程组有唯一解： 其中(1,2,)j D j n =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式;2、含n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩只有零解的充要条件是系数行列式0D ≠；有非零解的充要条件是系数行列式0.D =。
一道高等代数试题的六种解法
一道高等代数试题的六种解法摘要本文主要给出了2022年同济大学研究生入学考试高等代数第十题的六种解法.关键词高等代数、一题多解、对称矩阵、奇异值分解、大学数学原题如下,我们重点讨论第二问:(10)已知实矩阵,证明: 当且仅当,并且若,则.先给出根据题目中第一问的提示得到了解法I.解法I(迹的正定性) 设,则,故意味着实矩阵的所有元素均为,即,即.令,则而,即,故,即,即.类似于解法I,我们也可以利用对称阵以及反对称阵的性质直接给出解法II.解法II(对称阵的性质) 由于,故,记,类似解法I有注意到上式左边是对称阵,右边是反对称阵,故,故,即我们也可以利用齐次线性方程组同解的判定定理来说明是正规阵,进而进行解法I中的计算,利用反对称阵的平方是零矩阵,则反对称阵也是零矩阵.解法III(线性方程组理论) 由题意可知和与同解.由于,即的列向量都是的解,故也是的解,即,计算可知.注意到是反对称阵,且类似解法I可知,即若不利用题目中的第一问的铺垫,我们也可以直接进行计算.解法IV(直接计算) 设,则由题意可知.故由于均为实数, 因此对所有, 都有故注意到解法III中是反对称阵,利用其正交相似标准型给出了解法V.解法V(正交相似标准型) 注意到是反对称阵,故存在正交阵,使得其中为形如的二阶实矩阵,记,设其中是阶方阵,利用,可知计算可知.故即,故,即又注意到的奇异值是的特征值,我们利用奇异值分解证明如下:解法VI(奇异值分解) 由题意可知存在正交阵,使得其中,利用可知设计算可知,由于仍是正交阵,故,且也是正交阵,进而,故这是一个对称阵,即有参考文献[1]姚慕生、吴泉水、谢启鸿,《高等代数学 (第三版)》,复旦大学出版社, 2014年[2]姚慕生、谢启鸿,《高等代数学习指导书(第三版)》,复旦大学出版社, 2015年[3]樊启斌, 《高等代数典型问题与方法》,高等教育出版社, 2021年。
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高等代数论文
题目：有关二次型的总结
学院：理学院
专业：信息与计算科学
姓名：***
学号：********
2011年12月30日
学习高等代数,最好的方法是多进行总结分类,将知识系统化。
下面那二次型这章来进行操作。
二次型的问题来源于解析几何：
➢ 平面解析
一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)；
二次曲线：Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = F → 经平移
变换化，旋转变换化成为Ax 2+ By 2 = d (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）；
➢ 空间解析
一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次项）→
Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类 更一般的问题： 数域P 上含n 个变量x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题
了解了二次型的相关背景，我们进行对课本上二次型的内容进行总结。
二次型这章内容如下 5.1 二次型及其矩阵表示 5.2 二次型的标准形 5.3 惯性定理和规范形 5.4 实二次型的正定性
在这章的学习中，我们需要学会二次型的矩阵表示，求解矩阵的秩，通过线性替换将二次型化为标准型，了解矩阵合同，规范型，掌握正定二次型的判定方法。
例１.二次型⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121213201),(),(x x x x x x f 的矩阵为（ 3 ）。
(1)、1023⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)、1223⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)、1113⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4)、1113-⎛⎫
⎪-⎝⎭
注意对于任意一个二次型，都唯一确定这一个对称矩阵，这个对称矩阵才叫做二次型
的矩阵。
二次型的秩就是矩阵的秩。
例２.将二次型2212311213233(,,)246f x x x x x x x x x x x =+-++化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。
解：用配方法：
222212311232323233
(,,)[2(2)(2)](2)6f x x x x x x x x x x x x x x =+-+---++ 2221232233(2)103x x x x x x x =+--+-
2222
12322333(2)(1025)22x x x x x x x x =+---++
222
123233(2)(5)22.x x x x x x =+---+
做线性变换1223233
23(2)(5)
y x x x y y x x =+-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩，上述变换是非退化的，且可以把原二次型变为标准形
222
123y y y +-。
此外，还有一种方法，初等变换法，对二次型的矩阵进行初等行变换，化为对角型矩阵，也可求解出标准型及所作的线性变换。
例３.化二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-+为标准形，并写出相应的非退化线性替换。
解 因为无平方项无法配方，先做一个非退化线性变换，使其出现平方项
令⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+=33212211y
x y y x y y x ，即⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011011y y y x x x
这样原式化为
()()()()()1212123123
2
212232
221233
222224222f y y y y y y y y y y y y y y y y y y =+--++-=--=-++
再令⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪
⎨⎧=+==32132133
3
2211100110001z z z y y y y
z y y z y z 则可得该二次型的标准型为2
32221222z z z f +-=
相应的非退化线性替换
1112223331231
1
0110100110110011001001001111111001x y z x y z x y z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例４.t 为何值时，二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =++--+
为正定二次型？
解 二次型的矩阵为111
2125t t --⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝
⎭ 二次型正定当且仅当221
1
10,1
24501
2
5
t t t
t t --->-=->- 解得4
0.5
t <<
判别一个二次型是否为正定二次型要看它的顺序主子式是否都大于零。
若都大于零，则二次型正定。
一个正定实矩阵的转置，逆矩阵，伴随矩阵均为正定矩阵。
若A ，B 均为n 阶正定矩阵，则A+B 也是正定矩阵。
例５.设A 是m 阶正定阵，B 是m 行n 列实矩阵，证明B ’AB 正定,当且仅当r(B)=n. 证明 充分性 (B ’AB)’=B ’AB
对任意非零n 维列向量X ，因秩（B ）=n,故BX 也非零。
因为A 正定，所以 X ’(B ’AB)X=(BX)’A(BX)>0 所以B ’AB 正定。
必要性
若 B ’AB 正定，则对任意非零n 维列向量X, X ’(B ’AB)X=(BX)’A(BX)>0 所以BX 不等于0.
从而BX=0只有零解。
故秩（B ）=n.
学习高等代数要将题型进行总结，找到解决题的方法，归纳总结，那么就可以达到举一反三的效果。