高等代数行列式知识点总结
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
知识点总结高等代数
第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ij nn n nna a a a a a a a a a =1等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 2的代数和,这里12n j j j 是一个n 级排列;当12n j j j 是偶排列时,该项前面带正号；当12n j j j 是奇排列时,该项前面带负号,即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑;2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑和3、由n 级排列的性质可知,n 级行列式共有!n 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项不算元素本身所带的负号各占一半;4、常见的行列式1上三角、下三角、对角行列式 2副对角方向的行列式 3范德蒙行列式：二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等;2、互换行列式的两行列,行列式变号;3、行列式中某一行列中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即：某一行列中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零;5、若某一行列是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行列以外全与原来行列式的对应的行列一样;6、把行列式某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上,行列式不变;三、行列式的按行列展开1、子式1余子式：在n 级行列式ij D a =中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的n-1级行列式称为ij a 的余子式,记作ij M ;2代数余子式：(1)i j ij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式;3k 级子式：在n 级行列式ij D a =中,任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤,位于这些行列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 级行列式M,称为D 的一个k 级子式;当()k n <时,在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式;2、按一行列展开1行列式任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=2行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠3、按k 行k 列展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k 个行k 列(11)k n ≤≤-,由这k 行k 列元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值; 4、其他性质1设A 为n 阶方阵,则A A '=； 2设A 为n 阶方阵,则n kA k A =；3设,A B 为n 阶方阵,则AB A B =,但A B A B ±≠±； 4设A 为m 阶方阵,设B 为n 阶方阵,则00A A AB BB*==*,但A B A B ±≠±;5行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等;具体计算时需要根据等到式中行或列元素的特点来选择相应的解题方法;方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法;用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ,依次从1234n D D D D D →→→→,逐级递推便可以求出n D 的值;方法二：数学归纳法;第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性;第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式;方法三：加边法;加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列或m 行m 列得到一个新的n+1或m+1级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1或m+1级行列式较易计算;其一般做法如下：11111111111100n nn n n n n a a a a a a a a a a =或111111111111100nn nn n n a a b a a a a b a a =特殊情况取121n a a a ===或121n b b b ===;方法四：拆行列法;将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和,然后再求行列式的值;拆行列法有两种情况：一是行列式中有某行列是两项之和,可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行列没有两项和形式,这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和;方法五：析因子法;如果行列式D 中有一些元素是变数x 或某个参变数的多项式,那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ,然后对行列式()f x 实行某些变换,求出()f x 的互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c,根据多项式相等的定义,比较()f x 与的()g x 某一项系数,求出c 值,便可求得()D cg x =;2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式非零元分布在两条线上,例如,*等等;注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算,或用拉普拉斯定理展开,降阶后的行列式或为三角形行列式,或得到一个递推公式; 类型二：“三条线”行列式非零元分布在三条线上; 1“三对角”行列式,;注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解;首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+,然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式：先计算123,,D D D 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明;间接递推法：借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组,从而消去1n D -就可解得n D ;2“爪型”行列式;注：“爪型”行列式可以按行列提取公因子,然后化为上下三角形行列式进行求解;3Hessenerg型行列式;类型三：各行列元素之和相等或多数相等仅个别不相等的行列式; 注：行加法或列加法再化为三角形行列式进行求解;类型四：除主对角线外其余元素相同或成比例型行列式; 注：拆行列法或再结合其他方法进行求解; 类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式; 类型六：其他形式行列式;五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不等于零,即111110nn n a a D a a =≠, 则方程组有唯一解： 其中(1,2,)j D j n =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式;2、含n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩只有零解的充要条件是系数行列式0D ≠；有非零解的充要条件是系数行列式0.D =。
线性代数高等代数知识点总结
一、知识结构框图
概念
性质
行列式 展开 计算
证|A|=0
应用
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概念 不同行不同列的元素的乘积的代数和。
性质
经转置行列式的值不变； 互换两行行列式变号； 某行有公因子可提到行列式符号外；
拆成行列式的和； 消法变换。
精品PPT
展开
n
D, 当i j,
aki Akj
k 1
D ij
精品PPT
运算
行 列 式
矩阵
初等变换 和标准形
特殊 矩阵
精品PPT
转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
精品PPT
证|A|=0
AX=0有非零解； 反证法；
R(A)<n; A可逆； |A|= - |A|； A的列向量组线性相关； 0是A的特征值；
精品PPT
应用
AX=0有非零解； 伴随矩阵求逆法；
克拉姆法则; A可逆的证明； 线性相关(无关)的判定； 特征值计算。
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二、特殊行列式的值
1.三角行列式
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本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
与行列式定义、性质有关的问题
需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况
2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
线性代数高等代数知识点总结
证|A|=0
AX=0有非零解； 反证法；
R(A)<n; A可逆； |A|= - |A|； A的列向量组线性相关； 0是A的特征值；
应用
AX=0有非零解； 伴随矩阵求逆法；
克拉姆法则; A可逆的证明； 线性相关(无关)的判定； 特征值计算。
二、特殊行列式的值
1.三角行列式
a11 a22
* a11
向量组等价：
对于向量组S，T，下列条件等价 1. S和T等价，即S,T可以互相表示 2. S,T的极大无关组等价 3. S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
23
线性相关与线性表示：
• 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性 表示
• 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则 可由1,...,r线性表示,且表法唯一
线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 • 1,...,r线性无关
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
24
a22
0 a11a22 ann
0
ann *
ann
0
a1n *
a1n
a2(n1)
a2(n1)
n(n1)
(1) 2 a a1n 2(n1) an1
an1
* an1
0
2.范氏行列式
111
x1 x2 x3
x12
x22
x32
x x x n1
n1
n1
1
行列式知识点汇总
行列式知识点汇总在数学中，行列式是一个重要的概念，用于描述线性代数中的一些性质和运算。
它在各个领域中都有广泛应用，如线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量的计算等。
本文将对行列式的相关知识点进行汇总介绍，帮助读者更好地理解和应用行列式。
1. 行列式的定义行列式是一个用来对方阵进行运算的函数。
对于n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算通常通过对方阵进行按行展开或按列展开的方式来进行，根据展开的元素进行递归计算。
2. 行列式的性质行列式具有以下性质：- 性质1：互换行（列）会改变行列式的符号，即det(A) = -det(A')，其中A'表示通过互换A的两行（两列）得到的新方阵。
- 性质2：如果行（列）中有零元素，则行列式的值为0。
- 性质3：行（列）成比例，则行列式的值为0。
- 性质4：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以k，等价于行列式乘以k。
- 性质5：若A的某一行（列）元素都是两数之和，则行列式可以分解为两个行列式的和。
- 性质6：若A的某一行（列）元素都是两数之差，则行列式可以分解为两个行列式的差。
3. 行列式的计算方法行列式的计算可以根据方阵的阶数和具体性质来选择不同的方法，主要有以下几种方法：- 按行（列）展开法：通过按行（列）展开元素，并对展开的结果进行递归计算。
- 初等行变换法：通过初等行变换将矩阵转化为上（下）三角矩阵，再利用三角矩阵行列式的计算公式求解。
- 对角线法则：将方阵按对角线划分为若干小方阵，利用小方阵行列式的性质求解。
4. 行列式的重要应用行列式在线性代数中有广泛的应用，下面介绍几个重要的应用：- 线性方程组的求解：利用行列式可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷解，并可以通过克拉默法则求解方程组。
- 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为0，则A可逆，且可以通过行列式求解矩阵的逆。
- 特征值和特征向量：方阵A的特征值为使得det(A-λI)=0成立的λ值，其中I为单位矩阵。
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等多个领域都有着广泛的应用。
下面就让我们来详细了解一下行列式的相关知识点。
首先，我们来明确一下行列式的定义。
行列式是一个由数值组成的方阵所确定的一个数值。
对于一个二阶方阵＼＼begin{pmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{pmatrix}＼其行列式的值为＼（ad bc\）。
对于一个三阶方阵＼＼begin{pmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{pmatrix}＼其行列式的值可以通过按照一定的规则进行计算得到。
那么行列式有什么用呢？其中一个重要的应用就是判断线性方程组是否有唯一解。
如果一个线性方程组对应的系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解。
接下来，我们来探讨一下行列式的性质。
性质一：行列式与它的转置行列式相等。
也就是说，如果把一个方阵的行换成同序数的列得到一个新的方阵，那么这两个方阵的行列式是相等的。
性质二：交换行列式的两行（列），行列式的值变号。
性质三：行列式的某一行（列）中的元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
这些性质在计算行列式的值时非常有用，可以通过利用这些性质将行列式化为上三角行列式或下三角行列式，从而方便地计算出行列式的值。
再说说计算行列式的方法。
除了前面提到的二阶和三阶行列式的直接计算方法外，对于高阶行列式，常见的方法有按行（列）展开法和利用行列式的性质进行化简。
按行（列）展开法是基于行列式的代数余子式来进行的。
比如，对于一个＼（n\）阶行列式，选定某一行（列），将该行（列）的元素分别乘以其对应的代数余子式，然后求和，就得到了行列式的值。
行列式在求解线性方程组、计算矩阵的逆、求向量组的秩等方面都发挥着关键作用。
在实际应用中，比如在物理学中，行列式可以用于求解电路中的电流和电压；在计算机图形学中，行列式可以用于进行图形的变换；在经济学中，行列式可以用于分析投入产出模型。
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结汇总线性代数知识点总结行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|AT|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
行列式知识点高考
行列式知识点高考行列式是高中数学中的一个重要概念，也是高考中常常考察的知识点。
掌握行列式的相关知识对于应对高考数学题目是非常必要的。
本文将以深入浅出的方式介绍行列式的定义、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握行列式知识，提升高考数学应试能力。
一、行列式的定义行列式是由数和符号组成的一种代数形式。
对于一个n阶方阵A=[a_{ij}]，如果将它的n个数按照一定的规律排列成一个n×n的数表，并标记符号，那么这个数表就是A的行列式，记作det(A)或|A|。
二、行列式的性质1. 行列互换性质：交换行列式中两行（或两列）的位置，行列式的值不变。
2. 行列式的倍数性质：如果行列式中所有的元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也要乘以k。
3. 行列式的行（列）成比例性质：如果行列式中的某一行（或某一列）的元素都乘以同一个数k，得到新的行列式，那么新旧两个行列式的值成比例。
4. 行列式的行（列）有零元性质：如果行列式中某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
5. 奇异行列式性质：如果行列式的某两行（或两列）完全相同，则行列式的值为0。
三、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个二阶行列式A=[a b; c d]，行列式的值为ad-bc。
2. 三阶行列式的计算：对于一个三阶行列式A=[a b c; d e f; g hi]，行列式的值为a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)。
3. 高阶行列式的计算：高阶行列式的计算较为复杂，一般使用行列式的按行（列）展开法进行计算。
按行（列）展开法是通过选取某一行（或某一列）展开，将高阶行列式转化为低阶行列式的计算。
四、行列式在方程组中的应用行列式在解线性方程组中有重要的应用。
对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，方程组存在唯一解的充要条件是系数矩阵A的行列式不为0。
五、行列式的性质推导行列式的很多性质可以通过数学推导得到。
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第一章 行列式（ * * * ）
一、复习指导：行列式在高等代数中是十分重要的，它不仅是每年必要的一道大题，而且还是一个基础章节，它与学好后面的章节也有一定的联系，是学习后面重要章节的基础。
在首师大真题中，行列式往往会以求数字型n 阶行列式的值作为一道大题出现，分值15分。
具体可以参考真题。
二、考点精讲： (一）基本概念
定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nn
n n n
n
a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛΛ
21
22221112
11
=
称为n 阶行列式，规定 n n
n nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121)
()1(∑-=
τ。
定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn
n n n
n
a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛΛ
21
22221112
11
=
中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j
i ij M A +-=)
1(为元素ij a 的代数余子式。
（二）、几个特殊的高阶行列式
1、对角行列式—形如
n
a a a Λ
ΛO ΛΛΛΛ0
00
02
1
称为对角行列式，n n
a a a a a a ΛΛ
ΛO ΛΛΛΛ21210
00
0=。
2、上（下）三角行列式—称
nn n n a a a a a a Λ
ΛO ΛΛΛΛ
0222112
11
及nn
n n a a a a a
a ΛΛO ΛΛΛΛ21222111
0为上（下）三角行列式，
nn
nn
n n
a a a a a a a a a ΛΛ
ΛO ΛΛΛΛ
2211222112
11
0=，nn nn
n n a a a a a a a a a ΛΛ
ΛO
Λ
ΛΛΛ221121
22
21
11
0=。
3、
||||B A B
O O A ⋅=，
||||B A B
O C A ⋅=，
||||B A B
C
O A ⋅=。
4、范得蒙行列式—形如1121121211
11
),,,(---=
n n
n n n
n a a a a a a a a a V Λ
Λ
O
Λ
ΛΛΛΛ称为n 阶范得蒙行列式，且X Λ
ΛO
Λ
ΛΛΛΛn
i j j i n n
n n n
n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==
11121
12
121)(1
11
),,,(。
【注解】0),,,(21≠n a a a V Λ的充分必要条件是n a a a ,,,21Λ两两不等。
（三）行列式的计算性质
1.把行列式转化为特殊行列式的性质
（1）行列式与其转置行列式相等，即T D D =。
（2）对调两行（或列）行列式改变符号。
（3）行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。
推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。
推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。
推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。
（4）行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，
即 nn
n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2
121112112
121
112
112
12
21
111211+=+++。
（5）行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即
nn
n n jn j j jn in j i j i n nn
n n jn j j in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λ
ΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ
Λ
Λ
ΛΛΛΛΛΛ2
1
21221
11121121212111211+++=，其中k 为任意常数。
（6）行列式降阶的性质
①行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即
),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i ΛΛ=+++=，
),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ΛΛ=+++=。
②行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。
三、首师大真题：。