异方差性的概念 类型 后果 检验及其修正方法 含案例

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；
另 一 方 面 ， 在 预 测 值 的 置 信 区 间 中 也 包 含 有 随 机 误 差 项 共
同 的 方 差 2。 【书上这句话有点问题】
P(Yˆ0

t
2
SEYˆ0 Y0
Y0
Yˆ0
t
2
SEYˆ0 Y0 ) 1
其中
SY ˆ0 E Y 0 21 X 0 (X X ) 1 X 0
Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。
在该模型中，i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收 入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律 性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。
因此，i的方差往往随Xi的增加而增加，呈单调递增型变化。
例4.1.2：以绝对收入假设为理论假设、以分组数据 （将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值）作样本建立居民消费函数：
• 异方差一般可以归结为三种类型：
（1）单调递增型： i2=f(Xi)随Xi的增大而增大； （2）单调递减型： i2=f(Xi )随Xi的增大而减小； （3）复杂型： i2=f(Xi )随Xi的变化呈复杂形式。
3.实际经济问题中的异方差性
例4.1.1： 在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i
度
Y
X
2.异方差的类型
• 同方差性假定是指，每个i围绕其0均值的方差
并不随解释变量Xi的变化而变化，不论解释变量 的观测值是大还是小，每个i的方差保持相同，
即
i2 =常数 （i=1,2,…,n）
• 在异方差的情况下，i2已不是常数，它随Xi的
变化而变化，即
i2 =f(Xi) （i=1,2,…,n）
怀特(White)检验的基本思想与步骤
• 下面，以二元回归为例，说明怀特检验的基本思想与步骤： 设回归模型为：
Y i01 X 1 i2X 2 ii
首先，对该模型做普通最小二乘回归，记残差为：
e ~Y(Yˆ)
i i i 0ls
然后，以上述残差的平方为被解释变量，以原模型中各解释 变量的水平项、平方项（还可以有更高次项）、交叉项等各 种组合为解释变量，做如下的辅助回归：
nR2 ~2()
显然，辅助回归仍是检验 e~i2 与解释变量可能的组合的相关性。如果存 在异方差性，那么 e~i2 与解释变量的某种组合之间必定存在显著的相关
性，这时往往显示出有较大的可决系数 R2 ，并且某一参数的 t 检验值 较大。
所以，检验准则是：如果 nR2 ≥ 2 ( ) ，则存在异方差；反之，则不存在 异方差。
i i i 0ls
V a r(i)E (i2) e ~ i2
即 用 e ~ 2 来 表 示 随 机 误 差 项 的 方 差 。
i
2.图示检验法
（1）用X-Y的散点图进行判断（李子奈P108）
看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型 趋势（即不在一个固定的带型域中）。
随机误差项的 方差描述的是 取值的离散程 度。而由于被 解释变量Y与随 机误差项有相 同的方差，所 以利用Y与X之 间的相关图形 也可以粗略地 看出的离散程 度与X之间是否 有相关关系。
因为在有效性证明（见教材P70-71）中利用了
E()2I
Va(r )
i
2
,
i 1,2,,n
Co(v, )0, i j
ij
即同方差和无序列相关条件。
2.变量的显著性检验失去意义
在变量的显著性检验中，t统计量
ˆ ˆ ˆ
tSj(eˆ )j j
j j
2cjj
jj
2(XX)j1j
（j=0,1,2,…,k）
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic Obs*R-squared
9.833740 20.55085
Probability Probability
0.000027 0.000985
Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 05/03/11 Time: 17:21 Sample: 1 31 Included observations: 31
e~12 i
(nck1) 2
2
2
⑥检验。给定显著性水平，确定F分布表中相应的临界值
F（1，2）。
若F≥F（1，2），则拒绝H0，认为存在异方差；
反之，则不存在异方差。
5.怀特(White)检验
• G-Q检验需按某一被认为有可能引起异方差的解释 变量对样本排序，而且只能检验单调递增或单调递 减型异方差；怀特(White)检验则不需要排序，且对 任何形式的异方差都适用。
同方差性假设为 Var(i)2 （i=1,2,…,n）
如果出现
Var(i)i2 （i=1,2,…,n）
即对于不同的样本点i ，随机误差项的方差不再是常数，则认
为出现了异方差性。
注意：对于每一个样本点i，随机误差项i都是随机变量，服
从均值为0的正态分布；而方差i2衡量的是随机误差项围绕其 均值0的分散程度。所以，所谓异方差性，是指这些服从正态
例4.1.3：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型
Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素 为解释变量，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影 响被包含在随机误差项中。
由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同， 造成了随机误差项的异方差性。
这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值 的变化而呈规律性变化，为复杂型的一种。
Ci= 0+1Yi+i
一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中 的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组 平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观 测值的观测误差随着解释变量观测值的增大而先减后增。
如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那 么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值 的增大而先减后增（U形），出现了异方差性。
（ 2 ） 用 X — e ~ 2 的 散 点 图 进 行 判 断 （教材P111）
i 看是否形成一条斜率为零的直线。
e~i2
e~i2
X 同方差
e~i2
X 递增异方差
e~i2
X 递减异方差
X 复杂型异方差
3.戈里瑟（Gleiser）检验与帕克（Park）检验
• 戈里瑟检验与帕克检验的思想：
以|e~ |或e~i2 为被解释变量，以原模型的某一解释变量 Xj 为
解释变量，建立如下方程：
|e~i |f(Xji)i
或
e~i2 f(Xji)i
i=1,2,…,n i=1,2,…,n
（Gleiser） (Park)
选 择 关 于 变 量 Xj 的 不 同 的 函 数 形 式 （ 如 f(Xji)X2 ji或
f(Xji) 2X jievi ） ， 对 方 程 进 行 估 计 并 进 行 显 著 性 检 验 ；
• 软件输出结果：最上方显示两个检验统计量：F统计 量和White统计量nR2；下方则显示以OLS的残差平 方为被解释变量的辅助回归方程的回归结果。
– 以教材P118的例子为例，包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”的输出结果为 ：
怀特 检验 的软 件输 出界 面：
规律
• 一般经验告诉人们：对于采用截面数据作样本 的计量经济学问题，由于在不同样本点（即不 同空间）上解释变量以外的其他因素的差异较 大，所以往往存在异方差性。
二、异方差性的后果
1.参数估计量非有效
• 当计量经济学模型出现异方差性时，其普通最小二乘法参 数估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性。而且，在大样 本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性。
G-Q检验的步骤：
①将n对样本观察值(Xi1, Xi2, …,Xik,Yi)按某一被认为有 可能引起异方差的解释变量观察值Xij的大小排队。
②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观 察值划分为较小与较大的容量相同的两个子样本， 每个子样本的样本容量均为(n-c)/2 。
③对每个子样本分别求回归方程，并计算各自的残差平方 和。将两个残差平方和中较小的一个规定为~e2 ，较大的一
e ~ i 2 0 1 X 1 i 2 X 2 i 3 X 1 2 i 4 X 2 2 i 5 X 1 i X 2 i i
则在同方差性假设下【也即H0：1=…= 5=0 】，该辅助回归 方程的可决系数R2与样本容量n的乘积渐近地服从自由度=辅 助回归方程中解释变量个数【该例= 5】的2分布：
包 含 有 随 机 误 差 项 共 同 的 方 差 2 。
如果出现了异方差性，而仍按同方差时的公式计算t
统计量，将使t统计量失真【偏大或偏小，见第三版P110补 充说明】，从而使t检验失效【使某些原本显著的解释变量
可能无法通过显著性检验，或者使某些原本不显著的解释变量
可能通过显著性检验】。
3.模型的预测失效
引言
• 在教材P29-32和P64-65，分别对一元和多元线性回归模型
提出了若干基本假设，只有在满足这些基本假设的情况下， 应用普通最小二乘法才能得到无偏的、有效的参数估计量。
• 但是，在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假 设的情况并不多见。
• 如果违背了某一项基本假设，那么应用普通最小二乘法估 计模型所得参数估计量就可能不具有某些优良特性，这就需 要发展新的方法估计模型。
如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原 模型存在异方差性。