轴对称全章各节同步练习题及答案

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苏科版八年级数学上册《22轴对称的性质》同步练习含答案解析初二数学试题.docx

2. 2轴对称的性质一、选择题1.如图，在矩形ABCD 中，BC 二6, CD=3,将Z\BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C 1处，B0交 AD 于点E,则线段DE 的长为（）4 22.如图，在矩形ABCD 中，AB 二8, BC=12,点E 是BC 的中点，连接AE,将AABE 沿AE 折叠,3.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折ZB, ZD,使AD, BC 边与对角线AC 重叠，且顶点B, D 恰好落在同一点0上，折痕分别是CE, AF,则詈等于（）A. V3B. 2C. 1.5 D ・ V24.如图，矩形纸片ABCD 中，AB 二4, BC 二8,将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是（）A.c. ¥ 5D. C'sin ZECF=位了E CA. AF 二AEB. AABE^AAGFC. EF 二2后D. AF 二EF5.如图，已知D 为Z\ABC 边AB 的中点，E 在AC±,将Z\ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处.若ZB 二65° ,则ZBDF 等于（A. cm 2B. 8cm 2C. ——cm 2D. 16cm 2 7.如图，有一块矩形纸片ABCD, AB=8, AD=6,将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE,再将AAED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F,则ACEF 的面积为（8.如图，点0是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使益和盘都经过圆心A. 65° B. 50° C. 60° D. 57.5°6.将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形, 则这个三角形面积的最小值是（）AA.寺B.耳C ・2 D. 4 2 8DBAE C9.如图，在矩形ABCD 中，AB 二3,将Z\ABD 沿对角线BD 对折，得到ZkEBD, DE 与BC 交于点 F, ZADB=30° ,则 EF=（）EA. 73B. 2V3C. 3D. 3^310.如图，AABC 的面积等于6,边AC 二3,现将AABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线 AD 上的L 处，点P 在直线AD 上，则线段BP 的长不可能是（）A. 3B. 4C. 5 D ・ 611 ・（2015*无锡）如图，RtAABC 中，ZACB 二90° , AC 二3, BC 二4,将边 AC 沿 CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ，处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F,则线段B ，F 的长为（）必卜A12.如图，在Z\ABC 中，AB二10, AC二8, BC=12, AD丄BC 于D,点E、F 分别在AB、AC 边上，把△ABC沿EF折叠，使点A与点D恰好重合，则ADEF的周长是（）13.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,若AB二4, BC二2,那么线段14.如图，在矩形ABCD中，AB二4, AD二6, E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将AEBF 沿EF所在直线折叠得到AEB' F,连接V D,则B，D的最小值是（）A. 2V10-2B. 6C. 2V13-2D. 4二、填空题15.如图，在DABCD中，AB二届，AD二4,将DABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_____ ・16.如图，在平面直角坐标系中，将矩形A0CD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC ±）,折叠后端点D 恰好落在边0C 上的点F 处.若点D 的坐标为（10, 8）,则点E 的坐标为 ___________ ・ZC 二90° , E 为CD 上一点，分别以EA, EB 为折痕将两个角（ZD, ZC ）向内折叠，点C, D 恰好落在AB 边的点F 处.若AD 二2, BC 二3,则EF 的长18.如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF,若AB 二4, BC 二2,那么线段折叠该纸片使点A 落在边BC 的中点上，折痕经过AB 二2亦，将AABC 沿AC 翻折至AAB' C,使点若AAB' D 是直角三角形，则BC 的长为 .19.如图，一张三角形纸片ABC, AB 二AC 二5. 20.在LlABCD 中，AB<BC,已知ZB 二30° ,B z 落在DABCD 所在的平面内，连接B ，D.21・如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点L上，点D落在D，处, C‘ D，交AE于点M.若AB二6, BC二9,则AM的长为______ ・22.如图，矩形ABCO中，0A在x轴上，0C在y轴上，且0A二2, AB=5,把Z\ABC沿着AC对折交y轴于D点，则D点的坐标为23.如图，在RtAABC中，ZACB二90°，点D在AB边上，将ZkCBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若ZA二26°,则ZCDE二_____24.在矩形ABCD中，AB二4, BC二3,点P在AB上.若将Z\DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A'处，则AP的长为 ______ ・25.如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D，，点C落在（/ 处.若AB=6, AD' =2,则折痕MN的长为__________ ・26.如图，矩形ABCD中，AB二8, BC二6, P为AD上一点，将AABP沿BP翻折至Z\EBP, PE与CD 相交于点0,且0E=0D,则AP的长为________ ・27. —张三角形纸片ABC, AB二AC二5,折叠该纸片使点A落在BC的中点上，折痕经过AC上的点E,则AE的长为______ ・三、解答题28.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：Z\DCE竺Z\BFE；使点D落在边BC上的点F(1)求证：四边形DEFG为菱形;的30.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将AADE沿AE对折至AAFE,延长EF交边BC于点®连接AG.(1)求证：AABG^AAFG；(2)求BG的长.2. 2轴对称的性质参考答案与试题解析—、选择题1.如图，在矩形ABCD中，BC二6, CD二3,将ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C’处，B0交AD于点E,则线段DE的长为（）C'4 2【考点】翻折变换（折叠问题）・【分析】首先根据题意得到BE二DE,然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题.【解答】解：设ED二x,则AE二6-x,•・•四边形ABCD为矩形，・・・AD〃BC,・・・ ZEDB=ZDBC；由题意得：ZEBD二ZDBC,・・・ ZEDB=ZEBD,.•.EB二ED二x；由勾股定理得：BE2=AB2+AE2,即x2=9+ （6 - x）2,解得：x二3. 75,・・・ED二3. 75故选：B.【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答.2・如图，在矩形ABCD中，AB二8, BC二12,点E是BC的中点，连接AE,将ZkABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC,则sinZECF二( )N ------------------------ DCE 5【考点】翻折变换(折叠问题)・【分析】过E作EH丄CF于H,由折叠的性质得BE二EF, ZBEA=ZFEA,由点E是BC的中点，得到CE=BE,得到AEFC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到ZFEH二ZCEH,推出AABEs AEHC,求得EH二罕，结果可求sinZECF=^J=4・【解答】解：过E作EH丄CF于H, 由折叠的性质得：BE=EF, ZBEA二ZFEA, •・•点E是BC的中点，/.CE=BE,・・・EF=CE,・•・ ZFEH=ZCEH,ZAEB+ZCEH=90° ,在矩形ABCD中，•・・ZB二90° ,・•・ ZBAE+ZBEA二90° ,・•・ ZBAE二ZCEH, ZB=ZEHC,•••△ABEs^EHC,,AB _ _ AE■'EH^CE*,/AE=V AB2+BE2=10»AsinZECF^sinZECH^I故选D.【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等.也考查了矩形的性质以及勾股定理.3.如图，ABCD是矩形纸片，翻折ZB, ZD,使AD, BC边与对角线AC重叠，且顶点B, D恰好落在同一点0上，折痕分别是CE, AF,则誥等于（）D F CA. V3B. 2C. 1.5 D・ V2【考点】翻折变换（折叠问题）・【专题】压轴题.【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，得到A0二AD, CO二BC, ZA0E二ZC0F二90°,从而A0二CO, AC二AO+CO二AD+BC二2BC,得到ZCAB二30° , ZACB二60°,进一步得到Z1 。

典型的轴对称图形练习题(带答案)

典型的轴对称图形练习题一、选择题1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是（） A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形；C ．等边三角形D ．等腰直角三角形.4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则 ∠APE 的度数是（） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75°5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则这个梯形较小的底角是（）度. A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则（） A ．PA+PB ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ，则（） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （） A ．4 B ．3C ．2D ．1 9．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离为5，Q 是OB 上任一点，则（） A ．PQ ＞5 B ．PQ≥5C ．PQ ＜5D ．PQ≤510．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为（） A ．3cm 或5cm B ．3cm 或7cm C ．3cm D ．5cm 二．填空题11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．AO PAECB D13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是__________． 14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________． 15．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=6，AD=5，BC=8，且AB ∥DE ，则△DEC的周长是____________．16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．17．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ，则∠BAC=____________．18．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________．三．解答题19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．20．如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，用轴对称图形说明：CD=AB+BD ．21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm ，∠BEG=60°，求折痕EF 的长．OB22．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，①若△BCD的周长为8，求BC的长；②若BC=4，求△BCD的周长．23．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．参考答案第一章轴对称图形1．A 2．B 3．C 4．C5．A6．D7．C8．C9．B10．C 11．212．30°、75°、120°13．414．515．1516．4、617．72°18．50°19．提示：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P；20．提示：在CD上取一点E使DE＝BD，连结AE；21．EF＝20㎝；22．①BC＝3，②9；23．提示：△APQ为等边三角形，先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°即可.。

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)

一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°D 解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．2．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴AE=BD ，即①正确；在△BCF 与△ACG 中，由①可知∠CBF=∠CAG ，又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF ≌△ACG(ASA)，∴AG=BF ，即②正确；在△DFC 与△EGC 中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．3．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 5．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180°D 解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 6．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．7．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．8．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°A解析：A【分析】根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键．二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A 1B 2//x 轴，∴∠A 1B 2B 1=∠OB 1D =30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O =60°，∴∠A 1B 1B 2=90°，∴A 1B 2=2A 1B 1=2，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ,则A 1B =12A 1B 2=1，即A 2的横坐标为12+1=2212-，过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，同理可得,A 2B 3=2A 2B 2=4,A 2C =12A 2B 3=2，即A 3的横坐标为12+1+2=3212-，同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-，由此可得,A n 的横坐标为212n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-，故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．12．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE 则此时AE ＋EF 的值最小AE ＋EF 的最小值＝HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析：4【分析】作A 关于CD 的对称点H ，由CD 是△ABC 的角平分线，得到点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A 关于CD 的对称点H ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 的面积为12，BC 长为6，∴AG ＝4，∵CD 垂直平分AH ，∴AC ＝CH ，∴S △ACH ＝12AC•HF ＝12CH•AG ， ∴HF ＝AG ＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．14．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α，在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°，解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°，故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时底边长=24-6-6=12（cm ）∵6+6=12故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时腰长=（cm ）解析：9【分析】分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm ），∵6+6=12，故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时，腰长=1(246)92⨯-=（cm ），由于6+9>9，故能构成三角形，故答案为：9．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答．16．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P （x-yy ）与点Q （-1-5）关于x 轴对称得x-y ＝-1y ＝5解得x ＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P （x-y ，y ）与点Q （-1，-5）关于x 轴对称，得x-y ＝-1，y ＝5．解得x ＝4，y ＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠___________CODAOB∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．18．如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N 为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M 与点M′关于OC 对称，OC 平分∠AOB ，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P 及点N 的位置是关键．19．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．20．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的解析：①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ，EF=EC ，从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DF ，EF=EC ，所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ，所以∠FBC 不一定等于∠FCB ，所以BF 与CF 不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，∴∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；故①正确；∴DE=DF+EF=BD+CE ，故②正确；∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；故③正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠FBC 不一定等于∠FCB ，∴BF 与CF 不一定相等，故④错误；由题意知，1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ =()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°,故⑤正确，故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动．（1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．解析：（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【分析】（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，∵三角形APQ 是等边三角形，,AP AQ ∴=∴102t t =-，解得103t =， ∴点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ．（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，102x x +=，解得：10x =．∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下：由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设APQ 是等腰三角形，∴AP AQ =，∴APQ AQP ∠=∠，∴APC AQB ∠=∠，∵ACB △是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACP △和ABQ △中，,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACP △≌ABQ △，∴CP BQ =，设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形，由题意得：10CP y =-，302QB y =-，∴ 10302y y -=-，解得：403y =， P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ，由403＜15， ∴ 403y =符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．23．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB，理由见解析【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【详解】（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠PMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出EF BC交AC于点F）BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作//（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，ABC 的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．解析：（1）AE＝BD；见解析；（2）成立；AE＝BD；见解析；（3）CD的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB＝30°，由DE＝CE，求出∠D＝∠ECB＝30°得到∠DEB＝30°，推出BD＝BE，根据AE＝BE证得结论；（2）过E作EF∥BC交AC于点F，得到△AEF是等边三角形，推出BE=CF，利用∠DBE＝∠EFC＝120°，∠BED＝∠ECF，证得△DEB≌△ECF（AAS），得到BD＝EF=AE；（3）作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，利用∠CEF＝∠EDB，EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，证得△CEF≌△EDB（AAS），得到BD＝EF＝2，求出CD＝BD－BC ＝1，同理可得CD＝3【详解】解：（1）AE＝BD；证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ，∴∠BED ＝∠ECF ，∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD ＝EF ，∴AE ＝BD ；（3）CD 的长为3或1如图2，作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF ＝AE ＝EF ＝2，∠BEF ＝60°，∴∠CEF ＝60°＋∠BEC ．∵∠EDC ＝∠ECD ＝∠B ＋∠BEC ＝60°＋∠BEC ，∴∠CEF ＝∠EDB ．又∵EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD ＝EF ＝2，∴CD ＝BD －BC ＝1，如图3，同理可得CD ＝3，综上所述，CD 的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AEM DEM ∠=∠．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明CAE BCF ∠=∠，再证明CAE BCF ≌△△，从而可得结论；（2）连接CM ，FM ，先证明ECM FBM ∠=∠，再证明CME BMF ≌△△，可得EM FM =，EMC FMB ∠=∠，再证明FME 是等腰直角三角形，可得45MED ∠=︒，从而可得结论．【详解】证明：（1）AE CD ⊥，BF CD ⊥，90AEC CFB ∴∠=∠=︒．90ACB ∠=︒，90BCF ACE ACE EAC ∴∠+∠=︒=∠+∠CAE BCF ∴∠=∠．CA BC =． ()CAE BCF AAS ∴≌△△．CE BF ∴=．（2）连接CM ，FM在Rt ABC △中，CA CB =，点M 是AB 的中点，90,ACB ∠=︒BM AM ∴=，CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45ACM BCM CBM CAM ∴∠=∠=∠=∠=︒，CM BM AM ==，由CAE BCF ≌△△可得：ACE CBF ∠=∠．,ACM ECM CBM MBF ∴∠+∠=∠+∠ECM FBM ∴∠=∠．又CE BF =，()CME BMF SAS ∴≌△△．EM FM ∴=，EMC FMB ∠=∠．90EMF FMB DME CME DME ∠=∠+∠=∠+∠=︒．FME ∴△是等腰直角三角形．45MED ∴∠=︒，90AED ∠=︒，45AEM DEM ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查的的三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．26．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．解析：（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0），如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．27．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．28．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．解析：（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论；（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =，从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，。

《轴对称》测试题和答案

轴对称全章测试一、选择题（每小题2分，共20分） 1、下列说法正确的是（）．A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C ．所有直角三角形都不是轴对称图形D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（）．A ．（－1，－2）B ．（－1，2）C ．（1，－2）D ．（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( ) ．A ．等腰三角形B ．正方形C ．圆D ．线段4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，则斜边的长为（）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm5、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（）．A ．11cmB ．7.5cmC ．11cm 或7.5cmD ．以上都不对6、如图：DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC 的周长为（）厘米．A ．16B ．18 C．26 D ．287、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）．A ．75°或15°B ．75°C ．15°D ．75°和30°9、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）．A ．对应点连线与对称轴垂直B ．对应点连线被对称轴平分ACB图2图1 lO DC B ABAC ．对应点连线被对称轴垂直平分D ．对应点连线互相平行10、等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐标，能确定的是( ) ．A ．横坐标B ．纵坐标C ．横坐标及纵坐标D ．横坐标或纵坐标二、填空题（每小题2分，共20分）11、设A 、B 两点关于直线MN 对称，则______垂直平分________． 12、已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=6，则PB= ． 13、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度．14、等腰三角形的两边的边长分别为20cm 和9cm ，则第三边的长是__________cm ． 15、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为．16、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为．17、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为122cm ，则图中阴影部分的面积为 2cm ． 18、如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则 = ．19．已知A （-1，-2）和B （1，3），将点A 向______平移________ 个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称．20．坐标平面内，点A 和B 关于x 轴对称，若点A 到x 轴的距离是3cm ，则点B 到x •轴的距离是_________cm ．三、解答题（每小题6分，共60分） 21、已知：如图，已知△ABC ，（1）分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2 ；（2）写出 △A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2 各顶点坐标；（3）求△ABC 的面积．22、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，•且到∠AOB 的两边的距离相等．AD EFBC DEC BAOABCDE 23、如图：在△ABC 中，∠B=90°，AB=BD ，AD=CD ，求∠CAD 的度数．24、已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OE 是CD 的垂直平分线．的25、已知：如图△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB ⊥AD ，AD=4cm ，求BC 长．26、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120o ，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ．27、已知：△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于点D ，过D 作EF//BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：BE+CF=EF ．28、如图，△ABD 、△AEC 都是等边三角形，求证：BE=DC ． 29、如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理． 30．已知：如图△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 是高，它们交于点H ，且AE=BE ，求证：AH=2BD ．答案：一、选择题：二、填空题：11．MN ，AB 12．6 13．120 14．20 15．080，050或065，065 16．15 17．6 18．030 19．上，5 20．3 三、解答题略。

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典题(含答案解析)

一、选择题1．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（）A ．8B ．8或10C ．12D ．10 2．已知123n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．如图，点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，//OD AB 交BC 于点D ，//OE AC 交BC 于点E ，若ODE 的周长为9cm ，那么BC 的长为（）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm 4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40 5．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.56．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S =．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒8．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（）．A ．12︒B ．14︒C ．16︒D ．18︒9．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（）A ．30°B ．32°C ．36°D ．42°10．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（）A ．58B ．45C ．35D ．1211．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是（）A ．B ．C ．D ．12．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°14．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．已知等边△ABC 的边长为6，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G ．当G 与D 重合时，AD 的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．17．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．18．如图，ABC 中，AB BC =，点D 在线段BC 上（不与点,B C 重合）．作法如下：①连接AD ，作AD 的垂直平分线分别交直线,AB AC 于点,P Q ，连接,DP DQ ，则APQ DPQ △≌△；②过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，在线段AC 上截取AQ ，使AQ DP =，连接,PQ DQ ，则APQ DQP △≌△；③过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，连接PQ ，则APQ DQP △≌△；④过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，在直线AB 上取一点P ，连接DP ，使DP AQ =，连接PQ ，则APQ DPQ △≌△．以上说法一定成立的是__________．（填写正确的序号）19．如图，30MON ∠=︒，点1234,,,A A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，且112223334,,A B A A B A A B A △△△，…均为等边三角形，以此类推，若11OA =，则202120212022A B A △的边长为_______．20．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．21．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是________．22．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．23．如图，在△ACB 中，∠ACB ＝∠90°，AB 的垂直平分线DE 交AB 于E ，交AC 于D ，∠DBC ＝30°，DC ＝4cm ，则D 到AB 的距离为________cm ．24．如图，在ABC 中，AB=AC ，40A ∠=，CD //AB ，则BCD ∠的度数是______°．25．如图，在ABC 中，30EFD ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则B 的度数为______．26．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．三、解答题27．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________；（2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．28．如图，网格中小正方形的边长为1，（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1（其中A 1、B 1、C 1分别为A 、B 、C 的对应点）；（2）△ABC 的面积为；点B 到边AC 的距离为；（3）在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小，若存在，请直接写出MA ＋MB 的最小值；若不存在，请说明原因29．如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD 是高，E 是AB 上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交AC 于点F ，连接EF ，交AD 于点G ．（1）若6AB =，2AE =，求线段AF 的长；（2）求证：AGF AED ∠=∠．30．如图，在ABC ∆中，,AB AC =过点A 作//AD BC 交ABC ∠的平分线BD 于点D ，求证：AC AD =．。

轴对称时练习题及答案

12.1轴对称（第三课时）目标测试（二）基础测试一、选择题：1．下列图形中，只有两条对称轴的是（）A ．正六边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．圆2．到平面上不共线的三点,,A B C 的距离相等的点（）A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．一个或没有3．点A 、B 关于直线a 对称，P 是直线a 上任意一点，下列说法不正确的是（）A ．直线AB 与直线a 垂直 B ．直线a 是点A 和点B 的对称轴C ．线段P A 与线段PB 相等D ．若P A =PB ，则点P 是线段AB 的中点4．下列说法中，正确的是（）A ．两个全等三角形一定成轴对称B ．直角三角形一定是轴对称图形C ．轴对称图形是由两个图形组成的D ．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形5．下列说法中错误的是（）A ．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴B ．关于某直线对称的两个图形全等C ．面积相等的两个三角形对称D ．轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合二、填空题：6．如图，在22⨯的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ABC △，请你找出格纸中所有与ABC △成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．7．如图，三角形纸片ABC ，10cm 7cm 6cm AB BC AC ===，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则AED △的周长为______cm ．能力测试：8．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．拓展测试：9．如图，△ABC和△A’B’C’关于直线MN对称，△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于直线EF对称．（1）画出直线EF；（2）直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB’’与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系．参考答案一、选择题：1．B 2．A 3．D 4．D 5．C二、填空题：6．57．98．解：此题答案不唯一，只要在方格内添的二个正方形使整个图形是对称图形就给分，9．（1）如图，连结B’B’’．作线段B’B’’的垂直平分线EF．则直线EF是△A’B’C’和△A’’B’’C’’的对称轴．（2）B’O．因为△ABC和△A’B’C’关于MN对称，所以∠BOM=∠B’OM又因为△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于EF对称，所以∠B’OE＝∠B’’OE．所以∠BOB’’=∠BOM+∠B’OM+∠B’OE+∠B’’OE=2（∠B’OM＋∠B’OE）＝2α．即∠BOB’’＝2α．。

八年级数学《轴对称》练习及答案

八年级数学《轴对称》同步练习题基础达标】1.选择题:（1）下列说法错误的是（）A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等B.轴对称图形至少有一条对称轴C.全等三角形一定能关于某条直线对称D.角是关于它的平分线对称的图形⑵下列图形中，是轴对称图形的为（）AECD⑶下图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（）⑴⑵2.填空题:1观察右上图中的两个图案，是轴对称图形的为，它有条对称轴．⑵如右下图，AABC与厶AED关于直线l对称，若AB=2cm,ZC=95°，则AE=ZD=度.⑶坐标平面内，点A和B关于x轴对称，若点A到x轴的距离是4.如图，AABC与厶ADE关于直线MN对称.BC与DE的交点F在直线MN1指出两个三角形中的对称点⑵指出图中相等的线段和角；⑶图中还有对称的三角形吗？5•如图，把一张纸片对折后，用笔尖在纸上扎出图⑶所示的图案，将纸打开后铺平，观察你所得的图案.位于折痕两侧的部分有什么关系？与同伴交流你的想法.匕旦【能力巩固】6.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。

一I◊同步训练20【基础达标】1. 选择题:⑴在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC,则点P 是厶ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点⑵厶ABC 中，AOBC ，边AB 的垂直平分线与AC 交于点D,已知AC=5,BC=4,则厶BCD 的周长是()A.9B.8C.7D.6⑶平面内到不在同一条直线的三个点A 、B 、C 的距离相等的点有()A.0个B.1个C.2个D.3个2. 填空题:⑴如右图，AABC 中，AB=AC=14cm,D 是AB 的中点，DE 丄AB 于D 交AC于E ，^EBC 的周长是24cm ，则BC 二⑵互不平行的两条线段AB 、AB '关于直线l 对称，AB 和AB '所在直线交于点P,下面结论：①AB=A 'B';②点P 在直线l 上；③若点A 、A ，是对称点，则l 垂直平分线段AA ':④若点B 、B '是对称点，则PB=PB '，其中正确的有(只填序号).3. △ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P.求证：点P 在BC 的垂直平分线上.能力巩固】6•现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑如图⑴，⑵所示.图（1）图（2）图（3）图（4）观察图⑴，图⑵中涂黑部分构成的图案•它们具有如下特征:①都是轴对称图形②涂黑分都是三个小正三角形.请在图⑶，图⑷内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征.◊同步训练30【基础达标】1.选择题:⑴如图所示的标志中，是轴对称图形A.1个B.2个C.3个⑵下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）⑶如图所示，以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）的有（）D.4个2.填空题:⑴轴对称图形中任意一组对应点的连线段的是该图形的对称轴．⑵当写有数字的纸条垂直于镜面摆放时（如图所示）：□EBraEPE5!|lE3H5E1Bg|下面是从镜子中看到的一串数，它其实是3•如图，已知△ABC，请用直尺与圆规作图，将三角形的面积两等分.（不写作法，但要保留作图痕迹）4.已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴.5.分别找出具有一条对称轴、两条对称轴、三条对称轴、四条对称轴的几何图形，并画出来（包括对称轴）．能力巩固】6.如图，AABC和厶AB C关于直线m对称.⑴结合图形指出对称点．⑵连接A、A'，直线m与线段AA'有什么关系？⑶延长线段AC与A'C，它们的交点与直线m有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流.轴对称答案同步训练11.1)C；⑵D；⑶D.2.(1)6；⑵2cm,95；⑶3cm.3.略.4.①A与A,B与D,C与E是对称点；②AB=AD,AC=AE,BC=DE,BF=DF,EF=CF；③△人已卩与厶ACF,AAB卩与厶ADF.5.略.6.折痕两侧的部分关于折痕轴对称。

人教版八年级数学上册：轴对称 (习题及答案)

轴对称（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，AE 平分∠FAC ，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ，垂足分别为点F ，G ，DE是BC 的垂直平分线．求证：BF =CG ．【思路分析】读题标注：① 从条件出发，看到角平分线考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”，结合题目其他条件，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ，可得EF =EG ；② 看到垂直平分线考虑“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，因此连接BE ，CE （如图所示），得到BE =CE ； ③ 题目所求为BF =CG ，证明△BEF ≌△CEG 即可．【过程书写】证明：如图，连接BE ，CE ∵AE 平分∠FAC ，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ∴EF =EG∵DE 是BC 的垂直平分线 ∴BE =CE∵EF ⊥AF ，EG ⊥AC ∴∠BFE =∠CGE =90° 在Rt △BEF 和Rt △CEG 中BE CE EF EG =⎧⎨=⎩（已证）（已证） ∴Rt △BEF ≌Rt △CEG （HL ） ∴BF =CG （全等三角形对应边相等）➢ 巩固练习1. 下列是轴对称图形的是（）GFEDCB AA．B．C．D．2.一个风筝的设计图如图所示，其主体部分（四边形ABCD）关于线段BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断错误的是（）A．△ABD≌△CBDB．△ABC≌△ADCC．△AOB≌△COBD．△AOD≌△COD3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，点E在AC边上，将△ABC沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点D处．若∠A=30°，则∠BED=_______．C EDBA ODC BA第3题图第4题图4.已知：如图，∠AOB=40°，若CD是OA的垂直平分线，则∠ACB=__________．5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E．若DE+BD=3cm，则AC=__________cm．EDC6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．O DCBAEDCBA7. 作图题：利用网格线，作出△ABC 关于直线DE 对称的图形△A 1B 1C 1．EC BAD8. 已知：如图，P 为∠ABC 内一点，请在AB ，BC 边上各取一点M ，N ，使△PMN的周长最小．9. 已知：如图，CD 垂直平分线段AB ，E 是CD 上一点，分别连接AC ，BC ，AE ，BE ．求证：∠CAE =∠CBE ．ED CBA10.已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O．OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．求证：OD=OE．O EDCBA11.已知：如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，垂足分别为点D，E，AD与CE相交于点O，连接OB，∠OBC=∠OBA．求证：OA=OC．O E DCB A➢思考小结1.轴对称的思考层次：①全等变换：对应边__________、对应角__________．②对应点：对应点所连线段被对称轴_________________；对称轴上的点到对应点的距离_____________．③应用：奶站问题等．如图，在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小．BAl【参考答案】➢巩固练习1. B2. B3.60°4.80°5. 36.327.作图略8.作点P关于BA的对称点O1，作点P关于BC的对称点O2，连接O1O2，分别交BA，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小．9.证明略提示：利用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，得出AC=BC，AE=BE，再证明△CAE≌△CBE10.证明略提示：过点O作OF⊥BC于点F，角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论11.证明略提示：利用角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，得出OD=OE，再证明△COD≌△AOE➢思考小结1.①相等、相等②垂直平分；相等③作点A关于街道的对称点A1，连接A1B交街道于点P，则点P即为满足条件的点。

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轴对称扎实基础1.下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )2.如图所示，下列图形可以看作是轴对称图形的有( ) A 0个B 1个C 2个D 3个3.下列图形中，△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )4.把26个英文字母按规律分成4组，现在还有4个字母D，M，Q，X，请你按原规律补上，其顺序依次为(1)N,S，Z，F，R，P，J，L，G，( ) ； (2)H，I，O，( ) ；(3)B，C，K，E，( )； (4)V，A，T，Y，W，U，( ) .5.如图1一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD=150°，∠B=40°，则∠ACD=.6.如图2所示，△ABC与△AED关于直线1对称，若AB=2cm，∠C=95°，则AE=，∠D=.7.如图3所示，(1)∵点A与点B关于直线l对称，∴1是线段AB的，(2)∵l是线段AB的垂直平分线，∴=；l AB.综合提升1.下面所给的交通标志图中，是轴对称图形的是( )2.如图4，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( ) A 10cm2 B 8cm2 C 6cm2 D 4cm23.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着这条直线的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，这种图形变换大量存在(如图5).结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图6)的对应点所具有的性质是( )A对应点连线与对称轴垂直 B对应点连线被对称轴平分 C对应点连线被对称轴垂直平分D对应点连线互相平行4.如图7所示，△ABC与△A'B'C'关于直线1对称，则∠B的度数为.5.如图8，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线1对称，则这个英语单词为.6.如图9所示，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形共有个.7.如图所示，点A、B在直线l的同侧，AB=4cm，点C是点B关于直线l的对称点，AC交直线l于点D，AC=5cm，连接BD，求△ABD的周长.8.如最左图所示的是一幅“弦图”.请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的知识，在如右图所示的方格纸中设计另外两个不同的图案.画图要求：(1)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形都不重叠；(2)所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形.拓展延伸1.将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可以看到的图形是( )2.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是( )3.下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是.(填序号)4.一个正五边形的对称轴共有.5.如图所示，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有种.线段的垂直平分线的性质（1）扎实基础1.如图1所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为( )A 6B 5C 4D 32.如图2所示，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=cm.3.如图3所示，已知OC=OD，则下列说法正确的是( )A ∠COP=∠DOPB CA=DAC OP⊥CD D 点O在线段CD的垂直平分线上4.如图4所示，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的有( )①MN⊥AB；②AD=BD；③MN=AB；④MD=ND；⑤AB是NM的垂直平分线 A 2个 B 3个 C 4个 D 5个5.尺规作图：如图所示，点A在直线MN上，请你作出经过点A且垂直于直线MN的直线(保留作图痕迹).综合提升1.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个2.下列说法：①平面内一个锐角的平分线只有一条；②圆的对称轴是直径；③若PA=PB，OA=OB(P，O是不同的两点)，则直线PO是线段AB的垂直平分线，其中正确的有( )A 0个B 1个C 2个D 3个3.如图5所示，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是( ) A 1对 B 2对 C 3对 D 4对4.如图6所示，∠A=90°，DE是斜边BC的垂直平分线，且与边AC，BC分别交于点D、E，若∠ABD=∠C+6°，则∠BDC的度数是.5.如图，已知AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是15cm，求AB和AC的长.6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，∠DAE与∠DAC的度数比为2:1，求∠B的度数.7.如图所示，AD为∠BAC的平分线，AE=AF，请判断线段AD所在直线是否为线段EF的垂直平分线，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.8.如图所示，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD.八年级的小志同学观察了这个“风筝”的骨架后，认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE=ED，你同意小志同学的判断吗?请说明理由；(2)设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积.拓展延伸1.如图7，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，AM=5cm，△MAB的周长为16cm，那么AN=( )A 3cmB 4cmC 5cmD 6cm2.如图8，等腰△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( )A 13B 14C 15D 163.如图9，点D在AC的垂直平分线上，AB∥CD,若∠ADC=130°,则∠BAC的度数是.4.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，且交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若△CMN的周长为15cm，求AB的长；(2)若∠MFN=70°，求∠MCN的度数.线段的垂直平分线的性质（2）扎实基础1.如图1所示的尺规作图是作( )A 线段的垂直平分线B 一个半径为定值的圆C 一条直线的平行线D 一个角等于已知角2.如图2所示，在△ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若△ACD 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为( ) A 7 B 14 C 17 D 203.右面四个图形中，有且只有3条对称轴的是( )4.如图所示，△ABC 与△AED 关于某条直线对称，请你画出它们的对称轴.综合提升1.分别以直线l 为对称轴作轴对称图形，错误的是( )2.如图，已知△ABC(AC<BC)，用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PC=BC ，则符合要求的作图痕迹是( )3.如图，已知线段AB ，分别以点A 和点B 为圆B 心，大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点，作直线CD 交AB 于点E ，在直线CD 上任取一点F ，连接FA ，FB.若FA=5，则FB= .4.如图.(1)回答问题：①到线段两端点距离相等的点在上；②到角的两边距离相等的点在上；(2)求作一点P ，使PC=PD ，且使点P 到∠AOB 两边的距离相等5.如图，已知线段AB ，求作一点，使它到A ，B 两点的距离相等，并且到线段AB 的距离等于21AB(作出满足条件的所有点).6.(1)如图，在△ABC中画出AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线；(2)设所画的两条垂直平分线相交于点O，则由点O在AB的垂直平分线上，可以知道哪两条线段相等?(3)由点O在BC的垂直平分线上，又可以得到什么结论?(4)根据(2)与(3)的结论，在线段的相等关系方面，你有什么新的发现?请先用等式表示，再用文字加以叙述.7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,8)，点B(6,8).(1)只用直尺(没有刻度)和圆规作一点P，使点P 同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹，不必写出作法).①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy两边的距离相等；(2)在(1)中作出点P后，求点P的坐标.拓展延伸1.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H，下列叙述正确的是( )A BH垂直平分线段ADB AC平分∠BADC S△ABC=BC·AHD AB=AD2.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：如图4，直线l和l外一点P，求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图5，(1)在直线l上任取两点A，B；(2)分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；(3)作直线PQ．则直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．3.如图所示，用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P(要求保留作图痕迹，不写作法)4.如图，△ABC与△DFE关于直线1对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.5.如图，某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置.画轴对称图形扎实基础1.如图所示，若把正六边形ABCDEF沿CF折叠，则与点E重合的是( )A 点AB 点C C 点ED 点F2.把一张正方形纸片对折两次后(如图①②)，再挖去一个三角形小孔(如图③)，则展开后的图形是( )3.如图所示，把下列图形补成以直线l，m为对称轴的轴对称图形.4.如图，分别在格点图中将已知四边形补成关于已知直线l，m，n，P为对称轴的轴对称的图形.5.如图所示，已知△ABC，分别以OM，ON为对称轴画三角形，使其与△ABC对称.综合提升1.用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是( )A ①④ B ②③ C ③④ D ①②2.下列说法正确的是( )A任何一个图形都有对称轴 B两个全等三角形一定关于某条直线对称 C若△ABC与△A'B'C'成轴对称，则△ABC 与△A'B'C'全等 D点A，B在直线l两侧，且线段AB与直线l交于点O，若AO=BO，则点A与点B关于直线对称3.如图1是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，则该球最后将落入的球袋是( ) A 1号袋 B 2号袋 C 3号袋 D 4号袋4.下列选项中，有一张纸片会与图2所示图形拼凑成正方形纸片，且正方形上的黑色区域会形成一个轴对称图形，则此纸片为( )5.如图，△ABC在3×3的正方形网格中，点A，B，C均在正方形的顶点上.请在图①②中画出不同的△DEF，使△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称.6.如图，先画△ABC关于直线l1对称的△A1B1C1，(直线l1过点C)，再画出△A1B1C1关于直线l2对称的△A2B2C2.7.如图所示，△ACB与△DEF关于直线OM对称，△DEF与△PQR关于直线ON对称，且∠MON=60°，将△ACB绕点O沿顺时针方向旋转多少度能与△PQR重合呢?8.在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形.有些多边形边数不同，对称轴的条数也不同；有些多边形边数相同，但却有不同数目的对称轴.回答下列问题：(1)非等边的等腰三角形有条对称轴，非正方形的长方形有条对称轴，等边三角形有条对称轴；(2)观察图①②③中的凸多边形(实线画出的部分)，它们的共同点是只有1条对称轴，其中图②和图③都可以看作由图①修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图④和图⑤中，分别修改图②和图③，得到只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；(3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图⑥是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴.拓展延伸1.将一张正方形纸依次按如图①②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，则将图③的彩纸展开铺平后的图案是( )2.如图，将△ABC放在小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上.(1)△ABC的面积等于多少?(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，以BC所在直线为对称轴，作出△ABC关于直线BC对称的图形，并简要说明画图方法(不要求证明).用坐标表示对称轴扎实基础1.设直线l垂直于x轴，点A，B在直线l上，则( )A点A、B的横坐标相同 B点A、B的纵坐标相同 C点A、B横、纵坐标都相同 D点A、B横、纵坐标都不同2.一学生误将点A的横、纵坐标次序颠倒，写成A(a，b)，另一学生误将点B的坐标写成关于y轴的对称点的坐标(-b，-a)，则A，B两点原来的位置关系是( ) A 关于x轴对称B关于y轴对称 C 重合 D 以上都不对3.点A(1，-2)关于x轴对称的点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标是.4.点P(-2,2b-1)关于x轴的对称点P1的坐标是(3a-1,5),则a=，b=.5.点M的坐标为(3,2)，它关于x轴的对称点是点N，点N关于y轴的对称点是点P，则点P的坐标为.6.已知点M(3a-b,5)，N(9,2a+3b)关于x轴对称，则b a的值是．综合提升1.已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( )A a＜-1B -1＜a＜1.5C -1.5＜a＜1D a＞1.52.若点P关于x轴的对称点为P1(2a+b，-a+1)，关于y轴的对称点为P2(4-b，b+2)，则点P的坐标为( )A (9,3)B (-3,-3)C (9,-3)D (-9,-3)3.如图1所示，已知点A，B的坐标分别为(2,0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出符合条件的点P的坐标为．4.如图2所示，如果△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为．5.已知P1点关于x轴的对称点P2(3-2a,2a-5)是第三象限内的整点(横、纵坐标都为整数的点，称为整点)，则点P1的坐标是．6.在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的各顶点均在格点上.(1)作出与△ABC 关于y轴对称△A1B1C1；(2)将△ABC向左平移2个单位长度得到△A2B2C2，写出△A2B2C2各顶点的坐标，并画出平移后的△A2B2C2；(3)观察△A1B1C1与△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称?若是，请在图上画出这条对称轴.7.如图所示，△BCO是△BAO经过某种变换得到的.(1)点A与点C的坐标之间的关系是什么?(2)如果△AOB中任意一点M的坐标(x，y)，那么它的对应点N的坐标是什么?8.在平面直角坐标系中，已知点A(a，b)与点B(c，d)(d≠0)关于y轴对称，求式子d b2014-3a-3c的值.9.如图所示，在平面直角坐标系中，直线l过点P(3,0)，且平行于y轴.(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0)，B(-1,0)，C(-1,2)，且△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线1的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2三个顶点的坐标；(2)如果点Q的坐标是(-a,0)，其中a>0，点Q关于y轴的对称点是Q1，点Q1关于直线l的对称点是Q2，求QQ2的长.10.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线.实验与探究：由图易知A(0,2)关于直线l 的对称点A'的坐标为(2,0)，请在图中分别标明B(5,3)，C(-2,5)关于直线l的对称点B'，C'的位置，并写出它们的坐标B'；C'．归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(m，n)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为.拓展延伸1.在直角坐标系xOy中，点P(-2,3)关于x轴的对称点的坐标是( ) A (-2,-3) B (2，-3) C (2,3) D (-3,-2)2.如图3，在平面直角标系中，△ABC与△DEF关于直线m=1对称，点M，N分别是这两个三角形中的对应点，如3.如图4，在坐标平面内，依次作点P(-1,2)关于直线y=x 的对称点P 1，P 1关于x 轴的对称点P 2，P 2关于y 轴的对称点P 3，P 3关于直线y=x 的对称点P 4，P 4关于x 轴的对称点P 5，P 5关于y 轴的对称点P 6，……，按照上述的变换继续作对称点P n ，P n+1，P n+2，当n=2016时，点P n+2的坐标为．4.在平面直角坐标系中，已知点P(1-2m ，343-m )关于y 轴的对称点Q 在第四象限，且m 为整数.(1)求整数m 的值；(2)求△OPQ 的面积.5.如图，在边长为1的小正方形网格中，△AOB 的顶点均在格点上.(1)B 点关于y 轴的对称点坐标为；(2)将△AOB 向左平移3个单位长度得到△A 1O 1B 1，请画出△A 1O 1B 1；(3)在(2)的条件下，A 1点的坐标为．等腰三角形（1）扎实基础1.已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( ) A 30° B 75°C 150°D 125°2.等腰直角三角形一个底角的度数是( ) A 30° B 45° C 60° D 90°3.下列说法正确的是( )A 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B 顶角相等的两个等腰三角形全等C 等腰三角形的一边不可以是另一边的2倍D 等腰三角形的两个底角相等 4.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )A 过顶点的直线B 底边的垂线C 顶角的平分线所在的直线D 腰上的高所在的直线5.如图1所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=700，O 是△ABC 内一点，且∠OBC=∠OCA ，则∠BOC 的度数为( ) A 140° B 110° C 125° D 115°6.如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其余两个角为．7.等腰三角形的周长是16，其中两边之差为2，则它的三边长分别为 .综合提升1.等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于( ) A.顶角 B 顶角的一半 C 顶角的2倍 D 底角的一半2.如图2所示，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B 的度数为( ) A 35° B 40° C 45° D 50°3.已知一个等腰三角形的两边长x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=-82332y x y x ,则此等腰三角形的周长为( )A 5B 4C 3D 5或44.如图3，在△A 1BC 中,∠B=30°,A 1B=CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2=A 1D ，得到△A 1A 2D.在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3=A 2E ，得到△A 2A 3E ，…，按此作法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是( ) A n)21(·750B 1)21(-n ·650C 1)21(-n ·750D n)21(·8505.如图4，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A= ．6.如图5所示，在△ABC 中，AB=AC ，BC=6，AD ⊥BC 于点D ，则BD= ．7.如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.8.如图所示，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，且∠ACD=25°，求∠B的度数.9.如图，已知A(3,0)，B(0,4)，C为x轴上一点，使△ABC为等腰三角形，且一腰长为5.(1)画出等腰三角形ABC；(2)求出C点的可能的坐标.10.在Rt△ABC中，∠BAC=900，AC=2AB，点D是AC的中点，将一个锐角为450的直角三角板如图所示放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC，试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.拓展延伸1.如图6，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AE平分∠BAC交BC于点E，AE=4，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE 的面积是( ) A 3 B 6 C 10 D 122.如图7，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β，若α=10°，则β的度数是( )A 40°B 50°C 60°D 不能确定3.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( ) A 8或10 B 8 C 10 D 6或124.如图8所示，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=．5.如图9所示，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1.按下列要求画图：以A为圆心,1为半径向右画弧，交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心,1为半径向右画弧，交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心,1为半径向右画弧，交OC于点A3，得第3条线段A2A3；这样画下去，直到得到第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=．6.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O.(1)求证:OB=OC；(2)若∠ABC=50°，求∠BOC 的度数.等腰三角形（2）扎实基础1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中是等腰三角形的是( )A ∠A=50°,∠B=60°B ∠A=70°∠B=40°C ∠A=40°,∠B=90°D ∠A=80°,∠B=60°2.如图1所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD的长为( ) A 4cm B 3cm C 2cm D 1.5cm3.如图2，直线MN与直线PQ相交于点O，∠MOP=40°，A为平面内一点，且∠AOM=60°,现有一点B在直线MN 或直线PQ上，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B有个.4.如图，已知线段a，h，求作等腰△ABC，使得底边BC=a，BC边上的高为h.(保留作图痕迹，不写作法)5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是∠CAE的平分线. (1)尺规作∠ADC的平分线DN(保留作图痕迹不写作法和证明)；(2)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状，并说明理由.1.如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，给出下列结论：①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分线；③BC=AD；④△ABC是等腰三角形.其中正确的结论有( )A 1个B 2个C 3个D 4个2.如图4所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N，且BM+CN=9，则MN的长为( ) A 6 B 7 C 8 D 93.满足下列条件的三角形：①三个内角比为1:2:1；②三个内角比为2:2:5；③三个内角比为1:2:3.其中是等腰三角形的有( ) A 0个 B 3个 C 2个 D 1个4.如图5，坐标平面内有一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P有个.5.如图6所示，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大为.6.如图所示,上午8时，一艘船从A处出发以20海里/时的速度向正北方向航行，上午11时到达B处，从A，B 处望灯塔C，分别测得∠NAC=44°，∠NBC=88°，求从B处到灯塔C的距离.7.如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.(1)求证:BD+EC=DE；(2)若AB=15，AC=12，求△ADE的周长.8.如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，试证明：BD=CF.9.如图所示，∠ABC=900，D，E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD的延长线与AB的延长线相交于点M.(1)求证:∠FMC=∠FCM；(2)AD与MC垂直吗?请说明理由.1.如图7，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=800，则∠C的度数为( )A 30°B 40°C 45°D 60°2.平面直角坐标系中，已知A(2,2)，B(4,0).若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( ) A 5 B 6 C 7 D 83.如图8，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个.4.如图9，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中有A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有个.5.如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED.(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)若∠AED=114°，求∠ABD和∠ACB的度数.等边三角形（1）扎实基础1.等边三角形两条角平分线所夹的锐角的度数是.2.如图1所示，在等边△ABC中，AB=3，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过O作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，则△OEF的周长为.3.如图2所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于点D，AE=AD，则∠ADE=度.4.由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图3-①，衣架杆OA=OB=18cm.若衣架收拢时，∠AOB=600，如图3-②，则此时AB=cm.5.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角为600，那么这个三角形是角形，这个图形有条对称轴.综合提升1.如图4所示，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是( )A 180°B 220°C 240°D 300°2.下列命题不能判定三角形是等边三角形的是( )A有两条边相等，且有一个角是60° B一个角的平分线与对边上的中线或高重C三边都相等 D有两角相等，且这两个角的和等于第三个角的2倍3.下列几种三角形：①有一个角为600的等腰三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一外角为1200的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )个 A 4 B 3 C 2 D 14.已知在△ABC中，AB=AC=2，∠C=60°，则BC的长为( ) A 1 B 2 C 3 D 45.△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2-2a-2b=2c-3，则△ABC为( )A直角三角形 B等腰直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形6.如图5所示，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E=.7.如图所示，△ABC是等边三角形，点E是AC上一点，∠1=∠2，BE=CD，请判断△ADE的形状，并说明理由.8.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)求证：△ODE是等边三角形；(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系?写出你的判断过程；(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题.结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“等边三角形”有关的问题(只提出问题，不需要解答).9.如图所示，△ABD，△AEC都是等边三角形.(1)求证:DC=BE；(2)CD与BE交于点O，求∠BOC的度数.10.如图所示，△ABD和△CBD都是等边三角形，点E从A→D运动(但不与点A，D重合)，点F从D→C运动，且满足AE=DF.(1)试猜想BE，BF的大小关系，并说明理由；(2)试说明点E从A→D运动的过程中四边形BEDF面积的变化情况，并说明理由.11.如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥BC，交AB边于点E，DF⊥AC于点F，BE=CD,BD=CF.(1) △ABC是等腰三角形吗?请说理由. (2)连接EF，当∠A=度时，△DEF是等边三角形.拓展延伸1.如图6所示，等边△DEF 的顶点分别在等边△ABC 的各边上，且DE ⊥BC 于点E ，若AB=1，则BD 的长为( ) A21 B 31 C 32 D 43 2.如图7所示,l ∥m ，等边△ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α= .3.如图8所示，直线a ∥b ，△ABC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b ，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A'B'C'，(如图①)，继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③……，请问在第100个图形中等边三角形的个数是 .4.如图所示，△ABC 与△ADE 是等边三角形，点B ，C ，D 在同一直线上.求证:(1)CE=AC+CD ；(2)∠ECD=600.等边三角形（2）扎实基础1.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，斜边AB 的长为2cm ，则AC 长为( ) A 4cm B 2cm C 1cm D21cm 2.图1是屋架设计图的一部分，立柱BC 垂直于横梁AD ，AB=10m ，∠A=300，则立柱BC 的长度是( ) A 5m B 8m C 10m D 20m3.如图2所示，已知∠AOB=600，点P 在边OA 上，OP=12，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM=( ) A 3 B 4 C 5 D 64.山的高度是100m ，小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，那么小明一共走了 . 综合提升1.如图3所示，在△ABC 中，∠B=300，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D.若ED=5，则CE 的长为( ) A 10 B 8 C 5 D 2.52.如图4所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，则BD 与AB 的关系是( ) A BD=21AB B BD=41AB C BD=31AB D BD=61AB 3.如图5所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3, ∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是( ) A 3.5 B 4.2 C 5.8 D 74.如图6所示，一棵树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A 6m B 9m C 12m D 15m5.如图7所示，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE.有下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是( )A ①②③B ①②④C ①③④D ②③④6.如图8所示，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB.若EC=1,则EF=.7.如图9所示，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm,则CE=cm.8.如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED；(2)若∠B=300，CD=1，求BD的长.9.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD=3，求DF的长.10.如图所示，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1:2，过点P作PE ⊥AC于点E，连接PQ交AC边于点D，求DE的长.11.如图所示，已知∠MAN=1200，AC平分∠MAN，点B，D分别在射线AN，AM上.(1)在图①中，当∠ABC=∠ADC=900时，求证:AD+AB=AC；(2)若把(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90”改为ABC+∠ADC=1800，其他条件不变，如图②所示，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.。