不定方程的求解之尾数特性
行测数量关系练习题及答案
数量关系国家公务员考试中数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。
常见的题型有：数字推理、数学运算等。
在数学运算的解题过程中，有些解题方法能够帮助考生快速找到思路、简化解题过程、优化计算步骤，而如何恰当地运用这些解题方法称为数学运算部分的重难点。
在公务员考试中，有几种方法经常用到，它们适用于大多数题型，希望考生能熟练掌握这些方法，并灵活运用。
在此，机构专家进行一一介绍。
一、图解法图示有助于理解，很多题目用到了线段图，函数图则使得线性规划问题变得直观。
图解法对揭示抽象条件有很大优势。
【例题1】草地上插了若干根旗杆，已知旗杆的高度在1至5米之间，且任意两根旗杆的距离都不超过他们高度差的10倍。
如果用一根绳子将所有旗杆都围进去，在不知旗杆数量和位置的情况下，最少需要准备多少米长的绳子？A.40B.60C.80D.100【解析】：旗杆最高为5米，最矮为1米。
因此任意两旗杆间的距离不超过（5-1）×10=40米。
以最矮的旗杆为原点，最矮的旗杆与最高的旗杆连线为x轴建立直角坐标系。
当这两个旗杆间距最大时，如下左图所示。
设其余任意旗杆高度为a。
要满足与1米旗杆间距离不超过它们高度差的10倍，应在下图左边的圆范围内。
要满足与5米旗杆间距离不超过它们高度差的10倍，应在下图右边的圆范围内。
同时满足条件的旗杆只能位于两个旗杆的连线上。
此时需要40×2=80米可把它们都围进去。
若两个旗杆间距小于40米，如右图所示，其余旗杆应该在两圆相交的阴影范围内分布，此时需要2×[10（a-1）+10（5-a）]=80米。
因此不论旗杆怎样分布，都需要至少80米长的绳子来保证把全部旗杆围进去。
二、方程法方程法是解决大部分算术应用题的工具，方程法未必是最好的方法，却是最适合普罗大众的方法。
不定方程是近年来公务员考试的重点，解决不定方程主要用到的是整数的奇偶性、质合性与尾数性质。
不定方程的解题方法主要有
不定方程的解题方法主要有：一、利用数字特性解题;二、代入排除法;三、赋特值的方法。
这些方法在以前都曾涉及到，在2012年国家公务员考试中，不定方程题主要考查了前两种方法的运用。
例1、某儿童艺术培训中心有5名钢琴师与6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均的分给各个老师带领，刚好能分配完，且每位老师带的学生数量都是质数。
后来由于学生数量减少，培训中心只留下了4名钢琴师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心剩多少学员?()(2012年国家公务员考试行测试卷第68题)A、36B、37C、39D、41答案：D解析：设每位钢琴师带x人，拉丁舞老师带y人，则根据题意，5x+6y=76，其中x、y均为质数。
这是典型的不定方程，根据奇偶特性，6y为偶数，5x+6y=76，即5x与6y 的和为偶数，所以5x也应该为偶数，推出x为偶数，结合前面的要求，x还是一个质数，所以可以确定x为偶质数，也就是x=2，进一步推出y=11，根据题目意思，目前培训中心剩的学员数量为4×2+3×11=41人。
总结：本题主要考查数字特性在不定方程中的运用。
例2、超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装装5个苹果，共用了十多个盒子，刚好装完。
问两种包装盒相差多少个?()(2012年国家公务员考试行测试卷第76题)A、3B、4C、7D、13答案：D解析：设大包装盒有x个，小包装盒有y个，则12x+5y=99，(要求X+Y﹥10)，这是非常典型的不定方程，结合奇偶特性，12x为偶数，12x与5y的和为奇数，所以5y一定是奇数，并且5y的尾数一定是5，同时可以推出12x的尾数一定是4，所以x可能等于2或者7，若x=2，则y=15，满足条件，所以两种包装盒相差15-2=13个。
(若x=7，则y=3，不满足X+Y﹥10这个条件，舍去)总结：本题主要考查数字特性在不定方程中的运用。
不定方程的基本解法 - 成长博客博客教育博客教师博客
不定方程的基本解法湖北省仙桃一中（433000） 林明祥不定方程是指末知数的个数多于方程的个数的方程，它形式多样，应用广泛，解法灵活，通常只求它的整数解。
下面介绍不定方程的基本解法，以期从中找到解不定方程的钥匙。
一、运用公式和辗转相除法例1 求方程15x+52y=6的所有整数解。
解一 观察得x 0=42,y 0=-12,原方程的整数解为X=42-52t,Y=-12+15t. （t 为整数 ）解二 原方程变为x=-4y +1586y + , 令1586y +=t 1 得y=2t 1-86-t , 令86+t =t 2 得 t 1=8t 2-6， 故 X=42-52t 2Y=-12+15 t 2 （t 2为整数 ）【注】上述两种解法是求不定方程通解的一般方法。
二、运用配方法例2 求方程x 2 +y 2+2x-4y+4=0的整数解解：把原方程配方，得（x+1）2+(y-2)2＝1由x 、y 是整数，得 （x+1）2=0, 或 （x+1）2=1,(y-2)2=1; (y-2)2=0. 解得 x=-1 , x=-1, x=0 , x=2 , Y=3 ; y=1 ; y=2 ;y=2 . 【注】解此类不定方程的依据是整数的性质。
例3 已知a+b-21-a －42-b = 33-c -21c - 5,求a+b+c. （2000年武汉市选拔赛试题）解：把原方程配方，得 （1-a －1）2 ＋（2-b －2）2 ＋（3-c －3）2＝ 0 ⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧∴1-a －1＝0 ，2-b －2 ＝0 ，3-c －3 ＝0解得 a ＝2 ，b ＝6 ， c ＝12。
∴a+b+c ＝20。
【注】解此类方程的依据是非负数的性质。
三、运用奇偶性分析法例4 若质数m 、n 满足5m ＋7n=129,则m ＋n= .（河北省竞赛题）解：若m 、n 都是奇数，则和必为偶数，故m 、n 中必有一个为偶质数。
不定方程的求解之整除特性
不定方程的求解之整除特性近年来，在国家公务员考试和湖北省公务员考试中经常会出现不定方程，是我们考试的重点，也是很多小伙伴们眼中的难点，须引起重视！关于不定方程的求解方法很多，比较常用的要数以下几种：代入排除、奇偶特性、尾数特性。
在前几次的文章里，对于以上几种方法我们都有所讲解，本篇文章给大家提供不定方程的另外一种解答方法：整除特性。
首先我们用一道题目来了解一下整除特性怎么求解不定方程：【例1】甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。
钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是（）。
A. 12B. 13C. 16D. 18根据题目已知，设买甲笔x支，乙笔y支（x、y均为非负整数）。
很明显题目中只有一个等量关系，可以得到等式：7x+3y=60。
两个未知数一个定量关系，是典型的不定方程问题。
根据我们前面所讲解的，不定方程可以使用代入排除来求解，但是因为题目问的是两种笔最多可买多少支，需要从大到小逐个选项来试，这样比较麻烦。
那么如果用奇偶特性来求解的话，我们只能辨别60是偶数，对于7x和3y的两项的奇偶特性均无法断定，因此奇偶特性失去作用。
又因为方程里没有5x或者5y，所以尾数法在该题目中也无用武之地。
那么这道题目可以怎么来解答呢？就是今天要给大家讲的整除特性求解不定方程。
观察定量关系7x+3y=60，会发现60和3y均为3的倍数，那么就可以得到余下的那一项7x也是3的倍数，这个也比较好理解：7x=60-3y=3（20-y），20-y肯定为整数，所以7x 也是3的倍数，从而得到x为3的倍数，当x=3时，代入得到y=13，这样x+y=16；再将x=6代入不定方程，得到y=6，此时x+y=12.当x=9时，7×9=63＞60，所以x只能取3或者6，那么因为16比12要大，所以该题目答案为C。
很明显对于这道题目，在奇偶特性以及尾数法都发挥不到作用的时候，我们使用整除特性能够快速的得到答案。
数量关系之奇偶特性使用
方程法是解决数量问题最常用手段，在历年国考、联考等各类考题中经常涉及。
随着数量关系难度不断增加，方程问题逐渐由定方程问题变成不定方程问题。
不定方程问题指的是未知数个数多于方程个数，通过解方程无法直接得到结果的方程问题。
虽然现在解不定方程的方法比较多，但是多数比较复杂，且并不通用。
奇偶特性、尾数特性是解数量关系常用的技巧，将数字特性应用到一些复杂的数量问题中，会使得问题变得简单。
奇偶特性经常会考到以下几点：1奇数+/-奇数=偶数2偶数+/-奇数=奇数3偶数+/-偶数=偶数4两个数的和为奇数/偶数，那么这两个数的差也为奇数/偶数，反过来也成立。
尾数特性则一般是指利用数字末位不同的特点，不计算具体数字而排出或者直接得到答案。
【例题1】(国考-2012-68)某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人平均地分给各个老师带领刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。
后来由于学生人数减少，培训中心只保留了四名钢琴师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?()。
A.36B.37C.39D.41【答案】D【解析】读完这道题，最直接的想法就是列方程来求解，设每位钢琴老师带学生人数为x，每位拉丁舞老师带学生人数为y，由题意可知：5×x+6×y=76。
这之后发现不能列出其他的方程，虽然知道每位教师带的人数为质数，但质数个数较多，逐个代入过于耗时。
此时，可以尝试利用数字特性来求解。
由于76为偶数，6×y也为偶数。
根据奇偶特性可以知道5×x 也必须是偶数。
因此，x必须是一个偶数。
而既是质数又是偶数的数只有2，因此x只能取2。
将x=2带入方程，求得y为11.。
接着，可以求出剩下的学生人数为：4×2+3×11=41(人)。
这道题目乍一看是个不定方程问题，无法求出具体的数值。
高中数学解题技巧之不定方程求解
高中数学解题技巧之不定方程求解不定方程在高中数学中是一个重要的概念，涉及到求解方程中的未知数的取值范围。
本文将介绍不定方程的求解方法和一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。
一、不定方程的定义和基本概念不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的取值范围不确定，需要通过一定的条件来求解。
常见的不定方程包括线性不定方程、二次不定方程等。
例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7，其中x和y为未知数。
这个方程的解是指满足条件的x和y的取值，使得等式成立。
二、线性不定方程的求解方法1. 列举法：对于简单的线性不定方程，可以通过列举的方法来求解。
例如，解线性不定方程3x + 4y = 7，我们可以列举出一些满足条件的整数解，如(1, 1)、(3, 1)等。
通过观察这些解的规律，我们可以发现解的特点，进而得到一般解。
2. 欧几里得算法：对于形如ax + by = c的线性不定方程，可以利用欧几里得算法来求解。
首先，我们需要找到一个特殊解(x0, y0)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。
例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7。
我们可以先找到一个特殊解(3, -2)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。
具体步骤如下：步骤一：利用欧几里得算法求出3和4的最大公约数d，同时求出一组整数解(u0, v0)，使得3u0 + 4v0 = d。
步骤二：将方程两边同时除以d，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。
步骤三：将特殊解(3, -2)代入上式，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。
通过观察我们可以发现，方程的通解为x = 3 + 4k，y = -2 - 3k，其中k为整数。
三、二次不定方程的求解方法二次不定方程是指含有二次项的不定方程，例如x^2 + y^2 = 25。
对于这类方程，我们可以利用一些特定的方法来求解。
1. 分类讨论法：对于形如x^2 + y^2 = n的二次不定方程，我们可以通过分类讨论的方法来求解。
行测：数字特性--不定方程
行测：数字特性--不定方程
不定方程即：2元1次方程，因为有两个未知数，所以解法要结合数字特性，三类题型，1，两个加数与和存在相同的约数。
2，一个加数与和存在相同约数。
3，两个加数与和没有相同约数，（需结合尾数法计算）。
例：小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的两个乘积加起来刚好等于900。
问孩子出生在哪一个季度？
A.第一季度
B.第二季度
C.第三季度
D.第四季度
解析：D。
先不管月份与日期，列方程：29A+24B=900,900是12的倍数，24B是12的倍数，所以A是12的倍数，结合月份，只有12月满足条件。
练习题：甲地有一批100吨的装修材料需运到乙地，大卡车载重量为13吨，小货车载重量为5吨，大卡车一次运费为1000元，小货车一次运费为500元。
如要求所有货物正好装满整数车，则运费最低为多少元？
A.8500
B.9000
C.9500
D.10000。
2016年湖北省考备考：不定方程解析
2016年湖北省考备考：不定方程解析黄石华图柯思豪所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是正整数等）的方程或方程组。
这种题型的考察同学们对数字之间的逻辑关系把控能力，已经成为最近几年的国联考的一个热点问题。
看似复杂的不定方程其实并不难，通常解法有两种：①“试值法”或者类似“枚举法”②“奇偶特性法”结合“代入排除”或者“尾数法”。
下面小编就带着大家一起来看一下几道真题：【例1】（2015国考-67）餐厅需要使用9升食用油，现在库房里库存有15桶5升装的、3桶2升装的、8桶1升装的。
问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的9升食用油？（）A.4B.5C.6D.7解析：C。
设5升、2升、1升装的分别使用x、y、z，根据题意可知5x+2y+z=9，0≤x≤15，0≤y≤3，0≤z≤8，当x=0，2y+z=9，y、z有（1，7）、（2，5）（3，3）三组解；当x=1，2y+z=4，y、z有（0，4）（1，2）（2，0）三组解，所以x、y、z总共有6组解，也就是6种发货方式。
科班提示：本题得到不定方程5x+2y+z=9后采用枚举法，从系数大的x开始枚举比较方便。
【例2】（2013秋联考-39）现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。
两次共放了22个球。
最终甲箱中球比乙箱:A.多1个B.少1个C.多2个D.少2个解析：A。
设开始时甲、乙、丙三个箱子中分别放置了x、y、z个球，x、y、z对应1、2、3，但顺序不知道，则第二次分别放入了2x、3y、4z个球，由题可知，x+y+z=6，（x+y+z）+（2x+3y+4z）=22，化简后可得2x+3y+4z=16，奇偶性分析，很明显y为偶数，y=2，代入解得x=3，z=1，则最终甲箱有球3+3×2=9，最终乙箱有球2+2×3=8，甲比乙多1个。
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不定方程的求解之尾数特性
近年来，无论是国家公务员考试还是湖北省公务员考试中常会见到不定方程的身影，是我们考试的重点，也是很多小伙伴们眼中的难点，须引起重视！所谓不定方程是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（在公务员考试中经常是正整数限制或者是大小限制）的方程。
解题技巧主要有以下几种：代入排除、奇偶特性、尾数特性以及整除特性。
在本篇文章里，我们主要就尾数特性来做一个讲解！
首先我们用一道题目来引出尾数法怎么求解不定方程：
【例1】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。
为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是（）
A.1辆
B.3辆
C.2辆
D.4辆
根据题目已知，设需要大客车x辆，小客车y辆（x、y均为非负整数）。
很明显题目中只有一个等量关系，可以得到等式：37x+20y=271。
两个未知数一个定量关系，是典型的不定方程问题。
根据我们前面所讲解的，不定方程可以使用奇偶特性来求解：很明显，20y为偶数，271为奇数。
根据异类为奇，得到37x为奇数，得到x为奇数，所以CD两项排除，代入B，符合题意，这是使用奇偶特性来求解不定方程。
其实对于这类题目有更简单的方法：尾数法。
在本题目中，x、y均为整数，所以20y的尾数一定为0，271的尾数为1，所以37x的尾数一定要是1，才满足：1+0=1。
代入选项，只有当x=3时，37x的尾数才为1，所以答案选B。
比较这两种方法，很明显对于这道题目尾数法是比较能够快速得到答案的。
那么是不是每一道不定方程题目都可以使用尾数法呢，答案肯定是否定的。
我们来观察一下此道题目的等式：37x+20y=271，可以得到20y的尾数只有可能是0，尾数情况比较少，所以可以使用尾数法。
那么并不是每一个不定方程都会含有“尾数一定为0”的项，一般而言：当所列的不定方程里含有5x/5y时，就可以使用尾数法，因为5x/5y的尾数情况也比较少，只有0和5。
那么接下来我们来看一道题目：
【例2】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。
问两种包装盒相差多少个?( )
A.3
B.4
C.7
D.13
首先我们设使用的大盒子的数量为x，小盒子的数量为y，可以得到等量关系：12x+5y=99，且要满足x+y＞10（注意题目中的限制条件“共用了十多个盒子刚好装完”）。
我们对此定量关系做一个分析，首先代入排除比较麻烦。
如果使用奇偶特性的话，会得到y为奇数，但是初步符合条件的奇数比较多，不好做排除。
这个时候我们注意到等式例含有5y项可以考虑使用尾数法：
5y的尾数只有可能是0或者5，当5y的尾数为0时，则要求12x的尾数为9，这样才可以满足9+0=9的条件，但是当x为整数时，12x的尾数不可能为9，故舍去这种情况；当
5y尾数为5时，要求12x的尾数为4，满足4+5=9的条件。
12x尾数为4，当x=2或者x=7时均可以。
当x=7时，代入定量关系，得到y=3，无法满足x+y＞10（舍去），当x=2时，
y=15，满足x+y＞10，为该题目的答案。
又因为15－2=13，故本题选择D选项。
尾数特性对于求解含有5x/5y的不定方程有着很强的指导作用，希望大家好好掌握，多做练习熟能生巧！若在即将到来的湖北省公务员考试中遇到此类问题，可以使用此解题技巧将宝贵的一分拿到手！。