小学奥数：不定方程与不定方程组.专项练习
五年级奥数(不定方程)
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1、装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满,需要大、小盒子各多少个？2、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里,大盒子装12个，小盒子装7个.问:需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3、大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客,要使每位乘客都有座位且没有空位。
问：需大、小客车各几辆？4、某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔，共收入500元。
问：这两种钢笔共卖出多少支？5、小明花4.5元买了0.14元一支的铅笔和0。
67元一支的圆珠笔共17支，问:铅笔和圆珠笔各几支？6、小明把他的生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400。
你知道小明的生日是几月几日吗？7、有一次在活动中,丁丁和东东到射击室打靶,回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次。
“小博士"让丁丁把自己命中的次数乘以5，让东东把自己的命中的次数乘以4，再把两个数加起来告诉他,丁丁和东东算了一下是33，“小博士”正确的说出了他们命中的次数，丁丁和东东分别命中几次？8、甲乙两人植树,甲每天植树18棵，乙每天植树21棵,两人共植树135棵。
问:甲、乙两人各干了几天？9、有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油,44千克的油恰好装满这些油桶。
小学奥数小学6年级奥数之不定方程
解：设0.9米长的x段，0.4米长的y段，由题意得
0.9x 0.4 y 5.8, 9x 4 y 58, y 14 2x 2 x ,
4
解得 x 2, x 6, y 10; y 1.
答：可分割成0.9米的2段，0.4米长的10段， 或0.9米长的6段，0.4米长的1段。
第23讲 趣谈不定方程
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0). (1) 5x+10y = 14; (2) 11x+3y = 89. 解：
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0). (1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数 解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程 无整数解。
因为7+8 14 解：设这个学生出生年份是19ab年,由题意得
1991-19ab=1+9+a+b, 11a 2b 81, b 40 5a 1-a
2 a 1, a 3, a 5, a 7
... b 35, b 24, b 13, b 2 所以, 这个学生出生年份是1972年 1994 1972 22. 答：这个学生1994年22岁。
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0).
(1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数 解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程 无整数解。
（2)(11,3）=1,1|89，原方程整理得
小学五年级不定方程、流水行船问题奥数练习题
小学五年级不定方程、流水行船问题奥数练习题1.小学五年级不定方程奥数练习题篇一1、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大船小船都有）答案：小船X大船y列方程：3x+5y=48x,y都是正整数解得：x=1,y=9x=6,y=6X=I1y=32、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需大、小盒子个多少个？答案：设大的X个，小的y个，有：7x+4y=41根据奇偶关系知道：X只能取奇数χ=1y=8.5舍去x=3,y=5满足x=5,y=1.5舍去2.小学五年级不定方程奥数练习题篇二一天，小强在家里做数学作业时，遇到了一题难题，这道题目是：有一次,小红问小军的生日，小军说：“把我的月份数乘以18,日期数乘以12的和只要等于108就行了。
试用最单的方法算出小军的生日是几月几日？解：设小军的生日月份为X,月份的日期y18x+12y=108在解决问题的时候，小强的心里想：在方程式里，怎么会出现一个式子里就有两个未知数呢？突然间小强明白了这道题的方法：原来这是一道不定方程。
小强问妈妈：什么是不定方程呢？妈妈说：在一个等式里未知数个数多于方程个数的方程叫做不定方程。
例如：刚才你思考的题目中所列出的方程，就是属于不定方程。
小强听了妈妈的讲解方法，终于解出了那道不定方程，他的解法是：将18x+12y=108,变形后得：y=（108T8x）÷12,即y=9T。
5x,因为x,y均为整数，且IWXWI2,1≤y≤31,根据该方程，2WxW4,当x=2时，y=6；当x=4时,y=3o3.小学五年级流水行船问题奥数练习题篇三1、船在静水中的速度为每小时15千米，水流的速度为每小时2千米，船从甲港顺流而下到达乙港用了13小时，从乙港返回甲港需要多少小时？分析：船速+水速=顺水速度，可知顺水速度为17千米/时。
顺水行驶时间为13小时，可以求出甲乙两港的路程。
2018小学奥数专题一：不定方程的经典题型以及解题方法
2018小学奥数专题一：不定方程的经典题型以及解题方法不定方程的概念：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9中，如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
不定方程的解法：解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
不定方程的经典例题：例题一：一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？解题方法：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）， y＝（99－12y）÷5经检验，符合条件的解有（X=12，Y=15）和（X=7，Y=3），所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
例题二：买三种水果30千克，共用去80元。
其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克？解题方法：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x －y）千克。
根据题意得：4x+3y+2×（30－x－y）＝82x=10-y/2由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。
小学高级奥数第26讲-不定方程与不定方程组
课后作业
<作业1>
解不定方程：2x 3y 7z 34 的正整数解．
课后作业
<作业1> 解不定方程：
（其中x,y均为正整数）
课后作业
<作业1> 解不定方程：
（其中x,y均为正整数）
课后作业
求方程 2x－3y＝8的整数解
求方程2x＋6y＝9的整数解
求方程4x＋10y＝34的正整数解
求方程3x＋5y＝12的整数解
求方程 7x 19y 213的整数解
求 6x 22y 90 的自然数解
求方程3x＋5y＝31的整数解
求方程 7x 4y 89 的整数解
求方程5x 3y 22 的所有正整数解
求方程 2x－3y＝8的整数解
解不定方程组 1800a 1200b 800c 16000
解方程 a b c 15
解不定方程
5x
ห้องสมุดไป่ตู้
3y
1 3
z
100
(其中x、y、z均为正整数)
x y z 100
<作业1>
解不定方程： 2x 9y 40 （其中x,y均为正整数）
课后作业
<作业1> 求不定方程 7x 11y 1288 的正整数解有多少组？
五年级奥数(下册) 第六讲 不定方程
1、甲种3盒，乙种4盒；2、甲种7盒，乙种1盒。
解题思路
• 在方程的两个未知数中，给出一个就可以 求出另一个。 • 一般步骤是：1、列出方程后根据题意确定 未知数的取值范围， • 2、在确定的范围内给出一个未知数的值， 在代入求另一个。 • 常用解法有两种：穷举试验法； • 同余试验法；
我们比较两个题目
• 1、设乙种本子买了x本 • 根据题意得 7×5+5x=50 一个未知数，一个方程 有唯一解 • 2、设买甲种本子x本，乙种本子y本， • 根据题意得 7x+5y=50 两个未知数，一个方程 解不唯一 • 像7x+5y=50这样，未知数的个数多于方程 个数的方程就叫做不定方程。
不定方程的解题思路和方法
确定x、y的范围
• 在 6x+8y=50中 • 你认为方程中的x、y应满足什么条件？
1、 x、y是整数；
2、 x≤8
y≤6
• 你认为怎样才能找到符合条件的x、y的值？ • 用符合条件的整数去试验
• 穷举法：由6x+8y=50可知：x≤8、y≤6
• 当y=1时6x+8×1=50
• 当y=2时6x+8×2=50
因为x、y是整数，所以y≤6, x ≤6
31 5 y 3
即 y=6、5、4、3、2、1、0
经过试验可以知道，y=2时，x=7;
y=5时，x=2
但是，因为3米的钢管只有6根，所以用3米长的 2根，5米长的5根。
同余试验法
• • • • • • •
x=
31 5 y 3
因为x、y是整数，且x≤6、y≤6 所以3∣(31－5y) 即 5y≡31≡2y≡1(mod3) 经试验可知，y=2或y=5 当y=2时，x=7不合题意 当y=5时，x=2符合题意 答，用3米长的2根，5米长的5根。
小学生奥数不定方程、奇偶性、工程问题练习题
小学生奥数不定方程、奇偶性、工程问题练习题1.小学生奥数不定方程练习题篇一1、有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同。
每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。
画片只有两种：3分一张和5分一张，每11人都尽量多买5分一张的画片。
问他们所买的3分画片的总数是多少张？2、（1）将50分拆成10个质数之和，要求其中的质数尽可能大，那么这个质数是多少？（2）将60分拆成10个质数之和，要求其中的质数尽可能小，那么这个的质数是多少？3、有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？4、小明买红、蓝两支笔，共用了17元。
两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵。
小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完。
那么红笔的单价是多少元？2.小学生奥数奇偶性练习题篇二1、不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：（1）1＋2＋3＋…＋9＋10；（2）1＋3＋5＋…＋21＋23；2、在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？3、数（42□+30-147）能被2整除，那么，□里可填什么数？4、判断25874和978651能否被3整除。
5、20×21×22×…×49×50的积末尾有多少个0？6、同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？7、不算出结果，直接判断下列各式的。
结果是奇数还是偶数：（1）1＋2＋3＋…＋9＋10；（2）1＋3＋5＋…＋21＋23；8、在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？9、数（42□+30-147）能被2整除，那么，□里可填什么数？10、判断25874和978651能否被3整除。
3.小学生奥数奇偶性练习题篇三元旦前夕，同学们相互送贺年卡。
每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？分析此题初看似乎缺总人数。
小学奥数 列不定方程解应用题 精选例题练习习题(含知识点拨)
列不定方程解应用题教学目标1、熟练掌握不定方程的解题技巧2、能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【巩固】甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【巩固】现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【例 2】用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.模块二、不定方程与应用题【例 3】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？【例 4】在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？【巩固】某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各几发？【例 5】某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有13的成人各带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？【巩固】单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？【例 6】张师傅每天能缝制3件上衣，或者9件裙裤，李师傅每天能缝制2件上衣，或者7件裙裤，两人20天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？【巩固】小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？【例 7】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成．甲每天生产300个A配件，或生产150个B配件；乙每天生产120个A配件，或生产48个B配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【巩固】某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【例 8】有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了天．【例 9】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．【巩固】实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人恰好坐满了7辆大巴车和2辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载客人数．【巩固】每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？【巩固】小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？【例 10】一个家具店在1998年总共卖了213张床．起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床．问：他们共有多少个月是卖出25张床？【例 11】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组．若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．【例 12】将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，41.甲乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33．则这一群人的平均年龄为.【例 13】14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？【巩固】袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43．问：小明最多摸出几个标有数字2的球？【例 14】公鸡1只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？【巩固】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分．小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分．问：小明至多套中小鸡几次？【例 15】开学前，宁宁拿着妈妈给的30元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支4元，铅笔每支3元．宁宁买完两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？【巩固】小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔多少支．【例 16】蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的12.5%，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？【巩固】今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有29是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有316是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？【例 17】甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍．甲、乙两人共有多少粒糖？【巩固】有两小堆砖头，如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的6倍．问：第一堆中的砖头最少有多少块？【例 18】甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册，乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各卷4册，6人各捐7册，其余各捐9册。
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不定方程与不定方程组
教学目标
1.利用整除及奇偶性解不定方程
2.不定方程的试值技巧
3.学会解不定方程的经典例题
知识精讲
一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义
1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解
三、不定方程的试值技巧
1、奇偶性
2、整除的特点（能被2、
3、5等数字整除的特性）
3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）
例题精讲
模块一、利用整除性质解不定方程
【例 1】求方程 2x－3y＝8的整数解
【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解
【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解
【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解
【巩固】解不定方程：2940
x y
+=（其中x,y均为正整数）
模块二、利用余数性质解不定方程
【例 3】求不定方程7111288
x y
+=的正整数解有多少组？【例 4】求方程3x＋5y＝31的整数解
【巩固】解方程7489
x y
+=，（其中x、y均为正整数）模块三、解不定方程组
【例 5】解方程
1800120080016000
15
a b c
a b c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
（其中a、b、c均为正整数）
【例 6】解不定方程
1
53100
3
100
x y z
x y z
⎧
++=
⎪
⎨
⎪++=
⎩
(其中x、y、z均为正整数)。