高中数学双曲线抛物线知识点总结教学教材
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1
α.
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温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
椭圆双曲线抛物线知识点
椭圆,双曲线,抛物线知识点- 椭圆、双曲线和抛物线是三种重要的圆锥曲线，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是关于这三种曲线的一些主要知识点：1.椭圆：定义：椭圆是平面上到两个固定点(焦点)的距离之和等于常数(大于两个焦点间的距离)的点的轨迹。
这个常数称为椭圆的焦距。
性质：•椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是常数（2a）。
•在椭圆长轴的顶点处，短轴的半径最小。
•在短轴顶点处，长轴的半径最大。
•椭圆的离心率是数学中一个重要的概念，定义为e=c/a，其中a是半长轴，c是半短轴。
椭圆的离心率越接近1，椭圆的形状就越扁。
2.双曲线：定义：双曲线是平面上到两个固定点(焦点)的距离之差的绝对值等于常数(小于两个焦点间的距离)的点的轨迹。
这个常数称为双曲线的实轴长度。
性质：•双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差是常数（2a）。
•双曲线的两个分支是无限延伸的，它们不会相交。
•双曲线的离心率是数学中一个重要的概念，定义为e=c/a，其中a是半实轴长度，c是半虚轴长度。
双曲线的离心率越大，双曲线的形状就越扁。
3.抛物线：定义：抛物线是平面上到定点(焦点)和直线(准线)的距离相等的点的轨迹。
定点(焦点)和直线(准线)的距离d称为抛物线的焦距。
性质：•抛物线上的点到定点(焦点)的距离等于到直线(准线)的距离。
•抛物线的开口大小由焦距决定，焦距越大，开口越小。
•抛物线可以被认为是圆锥曲线的一种特殊形式，因为它可以看作是由一个平面切割圆锥体得到的。
在数学中，这三种曲线都有广泛的应用，包括解决各种几何问题、优化问题、微分方程等。
它们也是很多科学和工程学科的基础，如物理学、天文学、经济学等。
此外，在计算机图形学、动画制作、摄影等领域，这三种曲线也经常被用到。
在求解具体问题时，需要根据具体的问题选择合适的曲线。
例如，在解决航天工程中的轨道问题时，可能需要使用椭圆；在解决一些需要快速下降或者远离某一点的运动问题时，可能需要使用双曲线；在解决一些需要速度最大或者最小的问题时，可能需要使用抛物线。
双曲线抛物线知识点总结
标准图
参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
几何性质
开口方向
右
左
上
下
焦点位置
X正
X负
Y正
Y负
焦点坐标
准线方程
范围
对称轴
X轴
X轴
Y轴
Y轴
离心率
通 径
2p
焦半径
焦点弦长
引申
焦点弦长 的补充，
以 为直径的圆必与准线 相切
若 的倾斜角为 ，
若 的倾斜角为 ，则
双曲线知识点总结
定义
在平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线
标准方程
焦点在x轴
焦点在y轴
－ ＝1(a>0，b>0)
－ ＝1(a>0，b>0)
标准图
几
何
性
质
1.范围
x≥a或x≤－a
y∈R
x∈R
y≤－a或y≥a
2.对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
3.顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
4.渐近线
y＝± x
y＝± x
5.离心率
6.实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
焦点三角形
1.余弦定理:∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2-2∣PF1∣∣PF2∣cosθ
高三双曲线知识点总结
高三双曲线知识点总结双曲线是高三数学中一个重要的概念，它在解析几何、微积分和物理等领域都有广泛的应用。
本文将对高三双曲线的知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握这一内容。
一、双曲线的定义和性质1. 定义：双曲线是平面上到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。
2. 式子：双曲线的标准方程可以表示为x²/a² - y²/b² = 1（a>0,b>0）。
3. 中心与焦点：双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点位于x轴上的点F1(a,0)和F2(-a,0)。
4. 焦距和离心率：焦距为F1F2 = 2a，离心率为e = c/a，其中c 为焦点到中心的距离。
二、双曲线的图像与性质1. 分类：根据离心率的不同取值，双曲线可分为椭圆、抛物线和双曲线三种情况。
a) 当离心率e<1时，双曲线为两支开口朝左右的曲线，称为实双曲线。
b) 当离心率e=1时，双曲线为无限远点的开口朝左右的曲线，称为渐近双曲线。
c) 当离心率e>1时，双曲线为一对开口朝左右的曲线，称为虚双曲线。
2. 图像：实双曲线的图像为对称于x轴和y轴的两支曲线，并且与渐近线相交于无穷远处。
3. 渐近线：实双曲线的渐近线可用直线y = ±b/a * x表示。
4. 对称性：实双曲线关于x轴、y轴和原点对称。
5. 参数方程：双曲线的参数方程可表示为x = a * secθ，y = b * tanθ。
三、双曲线的基本变形1. 平移：双曲线可以通过平移变形到不同的位置，平移后的双曲线的中心坐标发生相应改变，但离心率、焦点等性质保持不变。
2. 伸缩：双曲线可以通过伸缩变形到不同的大小，伸缩后的双曲线的离心率、焦点等性质发生相应改变，但中心坐标保持不变。
四、双曲线的应用1. 物理学：双曲线在物理学中广泛应用于描述光学、天体力学等问题，如光的反射和折射、行星的轨道等。
2. 工程学：双曲线在工程学中常用于设计桥梁、天线等结构，以满足特定的要求和条件。
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的和等于常数大于F1F21的点的轨迹叫做椭圆。
符号语言：|MF,| |MF2| 2a 2a 2c将定义中的常数记为2a,贝①.当2a卩人时，点的轨迹是椭圆_____________双曲线的标准方程及其几何性质双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的差的绝对值等于常数小于F”的点的轨迹叫做双曲线。
符号语言：MF t - MF22a 2a 2c将定义中的常数记为2a，贝①.当2a FE时，点的轨迹是双曲线_____________________ ②•当2a |吋2时，点的轨迹是两条射线③.当2a卩占时，点的轨迹不存在焦点位置不确定的双曲线方程可设为：mn 02 2与双曲线仔笃1共焦点的双曲线系方程可设为:a b2y1 ba kb kx22 2 2 2与双曲线笃 耸1共渐近线的双曲线系方程可设为： $ 爲a ba b三、抛物线的标准方程及其几何性质抛物线的定义：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线I （I 不经过点F ）距离相等 的点的轨迹叫做AB x , x 2 p -2^（为弦AB 的倾斜角）sin直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于 A （x i ,y i ）,B x 2,y 2，则椭圆（或双曲线、抛 物线）的弦长公式：AB x , x 2| —k 2J x , x 2 2 4%卷—k22 2 2 2与椭圆負b 2 1共焦点的椭圆系方程可设为：和冷1 k b 2标准方程2y 2px (p o )图形焦点坐标(p ,0) 2 (匕0) 2 （0月2(0,上) 2准线方程x& 2x E 2 y 舟 yi范围x 0, y R x 0, y Ry 0,x Ry 0,x R对称性 关于x 轴关于y 轴顶点坐标 (0,0)焦半径M X o ,y o|MF | X 。
高考双曲线基本知识点总结
高考双曲线基本知识点总结在高中数学课程中，双曲线是一个重要的内容，也常常在高考中出现。
双曲线作为一个二次方程的图像，具有许多有趣的性质和应用。
在这篇文章中，我们将总结一些高考双曲线的基本知识点，并探讨一些相关的应用。
一、双曲线的定义和标准方程双曲线可以由一个二次方程的图像表示，其标准方程如下：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b分别代表双曲线在x轴和y轴方向的半轴长度。
双曲线的图像具有两支分离的曲线，通过对称轴将平面分成两个部分，分别称为双曲线的两个分支。
对称轴是与x轴和y轴垂直的直线，传统上被称为实轴和虚轴。
二、双曲线的基本性质1. 焦点和准线双曲线上的每个点到焦点F和F'的距离之差等于常数2a，这个常数称为焦距。
焦距是双曲线的一个重要属性，它决定了双曲线的形状。
双曲线的对称轴上存在两个点，它们与焦点的距离之差等于焦距2a，这两个点称为准线。
2. 渐近线双曲线还具有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限接近但永远不会相交。
这两条渐近线分别是对称轴和过焦点的直线。
3. 离心率双曲线的离心率是一个重要的参数，它决定了双曲线的形状。
离心率定义为焦距与准线之比。
当离心率大于1时，双曲线的形状更加扁平；当离心率接近于1时，双曲线的形状更加接近于抛物线。
三、双曲线的应用1. 焦距和接近问题双曲线的焦距特性可以用于解决一些实际问题。
例如，在声学中，可以利用双曲线的焦点和准线来确定声源的位置。
同样地，在雷达技术中，焦距的应用可以用于确定目标的位置和距离。
2. 双曲线的参数方程通过引入参数t，我们可以用参数方程来表示双曲线的图像。
双曲线的参数方程如下：$x = a \sec(t)$$y = b \tan(t)$其中，sec(t)表示余切函数的倒数，tan(t)表示正切函数。
使用参数方程，可以更加灵活地描述双曲线的形状和位置，对于解决一些复杂的几何问题非常有用。
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双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。
方程 22221(0,0)x y a b a b-=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ±(0,)c ±渐近线 b y x a=±a y x b=±离心率 (1)ce e a => (1)ce e a=> 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称准线方程 2a x c =±2a y c=±a 、b 、c 的关系 222c a b =+考点题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程ny x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线22221x y a b-=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12，离心率为54； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；（3） 与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。
_x_ O_y_x_ O_y解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x a b-=(0,0)a b >>。
由题意知，2b=12，c e a ==54。
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为236164x -=或2216436y x -=。
（2）∵双曲线经过点M （0，12），∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。
∴222144b c a =-=。
∴标准方程为22114425y x -=。
（3）设双曲线的方程为2222x y a bλ-=(3,23A -Q 在双曲线上 ∴(222331916-= 得14λ=所以双曲线方程为224194x y -= 题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a=和222c a b =+的关系式。
【例2】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥45c 。
求双曲线的离心率e 的取值范围。
解：直线l 的方程为1x ya b-=，级bx+ay-ab=0。
由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离122d a b=+，同理得到点（-1，0）到直线l 的距离222d a b=+，122abs d d c=+==。
由s ≥45c ，得2ab c≥45c，即252c ≥。
于是得22e ≥，即42425250e e -+≤。
解不等式，得2554e ≤≤。
由于e ＞1＞0，所以e的取值范围是2e ≤≤ 【例3】设F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=o ，且︱AF 1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。
解：∵1290F AF ∠=o∴222124AF AF c +=又︱AF 1︱=3︱AF 2︱，∴12222AF AF AF a -==即2AF a =， ∴222222212222910104AF AF AF AF AF a c +=+===，∴c a ==即2e =。
题型三 直线与双曲线的位置关系方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即2222220Ax By C b x a y a b ++=⎧⎨-=⎩，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长：2121l x x y y =-=- 【例4】如图，已知两定点12(F F ，满足条件212PF PF-=u u u u r u u u r的点P 的轨迹是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A 、B 两点，如果AB =且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=u u u r u u u r u u u r，求（1）曲线E 的方程； （2）直线AB 的方程；（3）m 的值和△ABC 的面积S 。
解：由双曲线的定义可知，曲线E是以12(F F 为焦点的双曲线的左支，且c =a=1，易知1b ==。
故直线E 的方程为221(0)x y x -=<， (2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ),由题意建立方程组22y=kx-1x -y =1⎧⎨⎩消去y ，得22(1)220k x kx -+-=。
又已知直线与双曲线左支交于两点A 、B ，有22212212210,(2)8(1)0,20,120.1k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=<-⎪⎪-=>⎪-⎩V解得1k <<-。
又∵12AB x x =-===依题意得=，整理后得422855250k k -+=， ∴257k =或254k =。
但1k <<-，∴2k =-。
故直线AB的方程为102x y ++=。
（3）设(,)c c C x y ，由已知OA OB mOC +=u u u r u u u r u u u r，得1122(,)(,)(,)c c x y x y mx my +=，∴1212(,)(,)(0)c c x x y y x y m m m++=≠。
又12221kx x k +==--212122222()22811k y y k x x k k +=+-=-==--，∴点8()C m m-。
将点C 的坐标代入曲线E 的方程，的2280641m m -=， 得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。
∴4m =，C点的坐标为(2)，C 到AB13=， ∴△ABC的面积1123S =⨯=一、抛物线 高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。
（一） 知识归纳（二）典例讲解题型一 抛物线的定义及其标准方程方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2y mx =或2(0)x my m =≠。
【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；（2）经过点A （2，－3）；（3）焦点在直线x-2y-4=0上；（4）抛物线焦点在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，︱AF ︱=5.解：（1）双曲线方程可化为221916x y -=，左顶点是（-3，0） 由题意设抛物线方程为22(0)y px p =->且32p-=-， ∴p=6.∴方程为212y x =-（2）解法一：经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式： y 2＝2px 或x 2＝－2py ．点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝29 点A （2，－3）坐标代入x 2＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝34 ∴所求抛物线的标准方程是y 2＝29x 或x 2＝－34y 解法二：由于A （2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2y mx =或2x ny =，代入A 点坐标求得m=29，n=-34， ∴所求抛物线的标准方程是y 2＝29x 或x 2＝－34y（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。
∴焦点为（0，-2），（4，0）。
∴抛物线方程为28x y =-或216y x =。
（4）设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为22(0)y px p =≠，A （m ，-3），由抛物 线定义得p52AF m ==+， 又2(3)2pm -=， ∴1p =±或9p =±，故所求抛物线方程为22y x =±或218y x =±。
题型二 抛物线的几何性质方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l 的距离处理，例如若P （x 0，y 0）为抛物线22(0)y px p =>上一点，则02p PF x =+。
2、若过焦点的弦AB ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则弦长12AB x x p =++，12x x +可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。
【例6】设P 是抛物线24y x =上的一个动点。
（1） 求点P 到点A （-1，1）的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （2） 若B （3，2），求PB PF +的最小值。
解：（1）抛物线焦点为F （1，0），准线方程为1x =-。
∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F （1，0）的距离，∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A （-1，1）的距离与P 到F （1，0）的距离之和最小。
显然P 是AF 的连线与抛物线的交点， 最小值为5AF =（2）同理PF 与P 点到准线的距离相等，如图： 过B 做B Q ⊥准线于Q 点，交抛物线与P 1点。
∵11PQ PF =， ∴114PB PF PB PQ BQ +≥+==。
∴PB PF +的最小值是4。
题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
【例7】已知抛物线y ＝x 2，动弦AB 的长为2，求AB 的中点纵坐标的最小值。
分析一：要求AB 中点纵坐标最小值，可求出y 1＋y 2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y 1、y 2是梯形ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标y 成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x,y)由抛物线方程y ＝x 2知焦点1F(0,)4,准线方程14y =-，设点A 、B 、M 到准线的距离分别为|AD 1|、|BC 1|、|MN|，则|AD 1|＋|BC 1|＝2|MN|，且1MN =2(y+)4，根据抛物线的定义，有|AD 1|＝|AF|、|BC 1|＝|BF|,∴12(y+)4＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝2，yxAOPF∴12(y+)24≥ ∴3y 4≥,即点M 纵坐标的最小值为34。