高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课件新人教A版必修4
2α
1＋cos α 1－cos α 2α ，tan ＝ . 2 2 1＋cos α
2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式
(2)三角恒等变换的特点 三角恒等变换常常寻找式子所包含 的各个角之间的联系，并以此为依据选 择可以联系它们的适当公式．
[问题思考] (1)能用不含根号的形式用 sin α ， cos α 表示 tan α 吗？ 2 sin α α 提 示 ： tan_ ＝ ＝ 2 1＋cos α
2
α
α
α
α
α
2
2cos ＝
α
cos ＋sin sin －cos 2 2 2 2 2
α 2cos 2
α
α
α
α
cos ＝
α
2
（－cos α）
α cos 2
.
又∵180°<α<360°， α α ∴90°< <180°，∴cos <0， 2 2 cos ·（－cos α） 2 ∴原式＝ α －cos 2 ＝cos α.
4 5
＝2.
讲一讲 2．化简： （1＋sin α ＋cos α
α ）sin 2
α －cos 2
2＋2cos α
(180°<α <360°)．
[尝试解答] 原式＝
2 2cos
α
＋2sin cos sin －cos 2 2 2 2 2 2·2cos
3π 4 [尝试解答] ∵π<α< ，sin α＝－ ， 2 5 π α 3π 3 ∴cos α＝－ ，且 < < ， 5 2 2 4 α ∴sin ＝ 2 α cos ＝－ 2 α tan ＝ 2 sin 1－cos α 2 5 ＝ ， 2 5 1＋cos α 5 ＝－ ， 2 5
α
2
cos
α
2
练一练 2．化简： (1) 1＋sin θ － 1－sin θ
3π 2
<θ
<2π ；
sin（2α＋β） (2) －2cos(α＋β)． sin α
θ θ θ θ 解：(1)原式＝sin ＋cos －sin －cos ， 2 2 2 2
α
化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式 子中各角之间的联系，通过拆、凑等手 段消除角之间的差异，合理选择联系它 们的公式．
(2)变名： 观察三角函数种类的差异， 尽量统一函数的名称，如统一为弦或统 一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差 异，选择适当的变形途径．如升幂、降 幂、配方、开方等．
＝－2.
解决给值求值问题的思路方法 已知三角函数式的值， 求其他三角函数式的 值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从 三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
练一练 α α 1 1．已知 sin －cos ＝－ ，450°< 2 2 5 α α <540°，求 tan 的值． 2
3π 3π θ ∵ <θ<2π，∴ < <π， 2 4 2 θ 2 θ 2 ∴0<sin < ，－1<cos <－ ， 2 2 2 2 θ θ θ θ 从而 sin ＋cos <0，sin －cos >0. 2 2 2 2 ∴原式＝－sinθ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2 ＝－2sinθ2.
1－cos α . sin α
α (2)如何用 tan 表示 sin α ，cos α 及 2 tan α ？
α α 提示：sin_α＝2sin ·cos ＝ 2 2
2sin sin
2
α
2
·cos
2
α
2
2tan ＝
α
2Hale Waihona Puke 2α2＋cos
2
α
2
1＋tan
2
α
2
.
2 α 2 α cos_α＝cos _ －sin _ ＝ 2 2
(2)已知 sin α ＝Asin(α＋β)，|A|>1，求证： sin β tan(α＋β)＝ . cos β －A
(2)因为 sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β， 所以 sin α＝Asin(α＋β)化为 sin(α＋β)cos β－cos(α ＋β)· sin β＝Asin(α＋β)， 所以 sin(α＋β)(cos β－A)＝cos(α＋β)sin β， sin β 所以 tan(α＋β)＝ . cos β－A
cos
2
α
2
－sin
α
2
1－tan ＝
α
2
cos2
α
2
＋sin2
α
2
1＋tan2
α
2
.
2tan sin α 2 tan_α＝ ＝ . cos α α 1－tan2 2
α
[课前反思] (1)半角公式的有理形式： ； (2)半角公式的无理形式：
.
讲一讲 3π 4 α 1． 已知 sin α ＝－ ， π <α < ， 求 sin ， 5 2 2 α α cos ，tan 的值． 2 2
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P139～P142 的内容，回答下列问题． α (1)α 与 是什么关系？ 2
提示：倍角关系．
α 2 α (2)如何用 cos α 表示 sin ，cos 和 2 2 2 α tan ？ 2
2
1－cos α 2α 提示： sin ＝ ， cos ＝ 2 2 2
(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)， ∴原式 sin[（α＋β）＋α]－2cos（α＋β）sin α = sin α sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α ＝ sin α sin[（α＋β）－α] sin β ＝ ＝ . sin α sin α
讲一讲 3π 1＋sin α 3． (1)若π <α < ， 证明： 2 1＋cos α － 1－cos α 1－sin α α ＋ ＝－ 2cos ； 2 1＋cos α ＋ 1－cos α
α α 2 1 解：由题意得sin － cos ＝ ， 5 2 2
1 4 即 1－ sin α＝ ，得 sin α＝ . 5 5 3 ∵ 450° <α<540°，∴cos α＝－ ， 5 α 1－ cos α ∴ tan ＝ ＝ 2 sin α
3 1－－ 5
1＋cos α 1－cos α 2α ，tan ＝ . 2 2 1＋cos α
2．归纳总结，核心必记 (1)半角公式
(2)三角恒等变换的特点 三角恒等变换常常寻找式子所包含 的各个角之间的联系，并以此为依据选 择可以联系它们的适当公式．
[问题思考] (1)能用不含根号的形式用 sin α ， cos α 表示 tan α 吗？ 2 sin α α 提 示 ： tan_ ＝ ＝ 2 1＋cos α
2
α
α
α
α
α
2
2cos ＝
α
cos ＋sin sin －cos 2 2 2 2 2
α 2cos 2
α
α
α
α
cos ＝
α
2
（－cos α）
α cos 2
.
又∵180°<α<360°， α α ∴90°< <180°，∴cos <0， 2 2 cos ·（－cos α） 2 ∴原式＝ α －cos 2 ＝cos α.
4 5
＝2.
讲一讲 2．化简： （1＋sin α ＋cos α
α ）sin 2
α －cos 2
2＋2cos α
(180°<α <360°)．
[尝试解答] 原式＝
2 2cos
α
＋2sin cos sin －cos 2 2 2 2 2 2·2cos
3π 4 [尝试解答] ∵π<α< ，sin α＝－ ， 2 5 π α 3π 3 ∴cos α＝－ ，且 < < ， 5 2 2 4 α ∴sin ＝ 2 α cos ＝－ 2 α tan ＝ 2 sin 1－cos α 2 5 ＝ ， 2 5 1＋cos α 5 ＝－ ， 2 5
α
2
cos
α
2
练一练 2．化简： (1) 1＋sin θ － 1－sin θ
3π 2
<θ
<2π ；
sin（2α＋β） (2) －2cos(α＋β)． sin α
θ θ θ θ 解：(1)原式＝sin ＋cos －sin －cos ， 2 2 2 2
α
化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式 子中各角之间的联系，通过拆、凑等手 段消除角之间的差异，合理选择联系它 们的公式．
(2)变名： 观察三角函数种类的差异， 尽量统一函数的名称，如统一为弦或统 一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差 异，选择适当的变形途径．如升幂、降 幂、配方、开方等．
＝－2.
解决给值求值问题的思路方法 已知三角函数式的值， 求其他三角函数式的 值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从 三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
练一练 α α 1 1．已知 sin －cos ＝－ ，450°< 2 2 5 α α <540°，求 tan 的值． 2
3π 3π θ ∵ <θ<2π，∴ < <π， 2 4 2 θ 2 θ 2 ∴0<sin < ，－1<cos <－ ， 2 2 2 2 θ θ θ θ 从而 sin ＋cos <0，sin －cos >0. 2 2 2 2 ∴原式＝－sinθ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2 ＝－2sinθ2.
1－cos α . sin α
α (2)如何用 tan 表示 sin α ，cos α 及 2 tan α ？
α α 提示：sin_α＝2sin ·cos ＝ 2 2
2sin sin
2
α
2
·cos
2
α
2
2tan ＝
α
2Hale Waihona Puke 2α2＋cos
2
α
2
1＋tan
2
α
2
.
2 α 2 α cos_α＝cos _ －sin _ ＝ 2 2
(2)已知 sin α ＝Asin(α＋β)，|A|>1，求证： sin β tan(α＋β)＝ . cos β －A
(2)因为 sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β， 所以 sin α＝Asin(α＋β)化为 sin(α＋β)cos β－cos(α ＋β)· sin β＝Asin(α＋β)， 所以 sin(α＋β)(cos β－A)＝cos(α＋β)sin β， sin β 所以 tan(α＋β)＝ . cos β－A
cos
2
α
2
－sin
α
2
1－tan ＝
α
2
cos2
α
2
＋sin2
α
2
1＋tan2
α
2
.
2tan sin α 2 tan_α＝ ＝ . cos α α 1－tan2 2
α
[课前反思] (1)半角公式的有理形式： ； (2)半角公式的无理形式：
.
讲一讲 3π 4 α 1． 已知 sin α ＝－ ， π <α < ， 求 sin ， 5 2 2 α α cos ，tan 的值． 2 2
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P139～P142 的内容，回答下列问题． α (1)α 与 是什么关系？ 2
提示：倍角关系．
α 2 α (2)如何用 cos α 表示 sin ，cos 和 2 2 2 α tan ？ 2
2
1－cos α 2α 提示： sin ＝ ， cos ＝ 2 2 2
(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)， ∴原式 sin[（α＋β）＋α]－2cos（α＋β）sin α = sin α sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α ＝ sin α sin[（α＋β）－α] sin β ＝ ＝ . sin α sin α
讲一讲 3π 1＋sin α 3． (1)若π <α < ， 证明： 2 1＋cos α － 1－cos α 1－sin α α ＋ ＝－ 2cos ； 2 1＋cos α ＋ 1－cos α
α α 2 1 解：由题意得sin － cos ＝ ， 5 2 2
1 4 即 1－ sin α＝ ，得 sin α＝ . 5 5 3 ∵ 450° <α<540°，∴cos α＝－ ， 5 α 1－ cos α ∴ tan ＝ ＝ 2 sin α
3 1－－ 5
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高中数学 必修四 课件：第三章 三角恒等变换
或asinα＋bcosα＝
a2＋b2·cos(α－φ)，其中tanφ＝ab.
第三章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[特别提醒] 化简的基本思想方法是统一角、统一三角 各个名称．
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
第三章 章末归纳总结
[分析] 利用β＝(α＋β)－α进行角的代换，则cosβ＝ cos[(α＋β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
第三章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] ∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π. 又cos(α＋β)＝－1114 ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143. 又tanα＝4 3 ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489. ∴sinα＝473，从而cosα＝ 1－sin2α＝17，
第三章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
专题一 三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
第三章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
数学 ·人教A版 · 必修4
若cos(
π 4
＋x)＝
3 5
，
17 12
π<x<
7 4
π，求
sin2x＋2sin2x 1－tanx
的
值．
[分析]
注意x＝(
π 4
＋x)－
π 4
，及2x＝2(
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课件新人教A版必修4 (1)
)
解析:∵f(x)=
1
1+cos 2������ + 2
π 2
= − sin 2x,x∈R,
2 2 1
1
1
∴f(-x)=2 − 2sin 2(-x)=2 + 2sin 2x. ∴f - 4 = 2 + 2sin 2 =1,
f
π 4 π 1 1 π
1
1
= − sin
2 2 π π 4
1
1
π 2
=0, ≠-f
=
2sin ������ cos ������ +2si n 2 ������ 2sin ������ cos ������ +2co s 2 ������
2cos ������ (sin ������ +cos ������ )
=tan θ.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
π 4
∴f - 4 ≠f
,f -
π 4
.
∴f(x)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .
答案:D
2.辅助角公式
asin x+bcos x= ������2 + ������ 2 sin(x+φ) 其中 sin������ =
������ ������ 2 +������
,cos������ = 2
������ ������ 2 +������
cos������ =2sin
5π 6
��x2
π
≤2kπ+ ,k∈ Z,得 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈ Z.又 x∈[-π,0],∴x∈ ,0 .
高一数学人教A版必修4课件：3.2 简单的三角恒等变换
一、求值问题 对半角公式的四点说明 (1)半角公式的正弦、 余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到 的. ������ (2)半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只
2
需知道 cos α 的值及相应 α 的条件,sin ,cos ,tan 便可求出. (3)由于 tan =
2 ������ sin ������ 1+cos ������
1
2
1.降幂公式与半角公式
降幂公式 sin2 =
2 α 1-������������������ α 2
半角公式 sin =±
2 α 1-������������������ α 2
续表
降幂公式 cos
2α
半角公式
2
2 α 2
=
1+������������������ α 1-������������������ α 1+������������������ α
������
1+cos 2
=-
1+������
.
预习新知
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
三
知识精要
迁移应用
二、三角函数式的化简 三角恒等变换中常见的变换方法 (1)常值代换 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些 常数,使之代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行.我们把这种 代换称之为常值代换 ,如 “1” 的代换就是一种特殊的常值代换. (2)切化弦 当待化简式中,既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角三角函 数的基本关系 tan α=
������ 2
预习新知
导学探究
典题例解
a a 2 +b 2
2019-2020学年人教A版必修4 3.2 简单的三角恒等变换 课件(19张)
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
2．(2018·安徽芜湖高一期末)已知等腰三角形的顶角的余弦
值等于275，则它的底角的余弦值为( )
3 A.4
B．35
1 C.2
D．45
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
解析：选 B 设等腰三角形的顶角为 α，底角为 β，则 cos α
＝275.又 β＝π2－α2，所以 cos β＝cosπ2－α2＝sin α2＝ 35，故选 B.
第三章 三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
掌握几个要点
题知 点识知点识判巩断固
提能达标过关
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
掌握几个要点
数学 必修4 A
记住 1 组公式 半角公式
第三章 三角恒等变换
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
θ 2.
答案：－tan
θ 2
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
知识点二 三角恒等式的化简求值
4．若 π<α<2π，则化简
1－cos2α－π的结果是(
)
A．sin
α 2
B．cos
α 2
C．－cos
α 2
解析：选 C
D．－sin
α 2
∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，
原式＝
1＋cos 2
题点知识巩固
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
知识点一 半角公式
1． (2018·山东青 岛四校高一 期中 )已 知
sin
第三章 三角恒等变换
2．(2018·安徽芜湖高一期末)已知等腰三角形的顶角的余弦
值等于275，则它的底角的余弦值为( )
3 A.4
B．35
1 C.2
D．45
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
解析：选 B 设等腰三角形的顶角为 α，底角为 β，则 cos α
＝275.又 β＝π2－α2，所以 cos β＝cosπ2－α2＝sin α2＝ 35，故选 B.
第三章 三角恒等变换
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
掌握几个要点
题知 点识知点识判巩断固
提能达标过关
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
掌握几个要点
数学 必修4 A
记住 1 组公式 半角公式
第三章 三角恒等变换
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
θ 2.
答案：－tan
θ 2
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
知识点二 三角恒等式的化简求值
4．若 π<α<2π，则化简
1－cos2α－π的结果是(
)
A．sin
α 2
B．cos
α 2
C．－cos
α 2
解析：选 C
D．－sin
α 2
∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，
原式＝
1＋cos 2
题点知识巩固
数学 必修4 A
第三章 三角恒等变换
知识点一 半角公式
1． (2018·山东青 岛四校高一 期中 )已 知
sin
高中数学 3.2 简单的三角恒等变换课件 新人教A版必修4
证明：(1) sin sin cos cos sin ， sin sin cos cos sin .
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin sin =2 sin cos .
即sin
cos
1 2
sin
sin
.
例 5求 证 ： （ 1） sincos1 2sinsin;
2
2
cos 1 cos 2 ,
2
2
tan 1 co s 2 ,
2
1 cos 2
并称之为半角公式.符号由 所在象限决定.
2
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换． 对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式 方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数 种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含 的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
解法2：
原 式 1(1co2s)1 (co2s)1(1co2s)1 (co2s)
4
4
1co2sco2s
2
1(1 co 2 c so 2 )s1co 2 c so 2 s
2
2
1 2
和角公式的变形
例 5求 证 ： （ 1） sincos1 2sinsin;
（ 2） sinsin2sincos.
2
2
这两个式子的左右两边结构形式上有什么不同？
（ 2） sinsin2sincos.
2
2
（２）由(1)得：
s i n s i n 2 s i nc o s
设 ,
那么 ,
2
2
把 , 的 值代入上式中得
sin sin 2 sin c o s .
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
理网络·明结构
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
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3.2 简单的三角恒等变换优秀课件
证明: (1) ∵sin(ab) sina cosb cosa sinb, sin(ab) sina cosb cosa sinb,
两式相减得
sin(ab) sin(ab) 2cosa sinb,
两边除以 2 即得
cosa sinb 12[sin(a b )sin(a b )].
2. 求证:
.
分析:
题设中的a
和
a
2
是二倍角关系,
二倍角的余弦公式中含有三角函数的平方.
∴可以用二倍角的余弦公式进行变换.
解:
cosa
cos(2
a
2
)
1
2sin2
a
2
cosa cos(2a2 )
2cos2
a
2
1
sin2
a
2
1
cosa
2
.
cos2
a
2
1
cosa
2
.
tan2
a
2
sin2
a
2
cos2
a
2
1 cosa
22
2 cos2 a
(分子构造二倍角正弦)
2
2
c
s in a os2 a
1
1
2
(分母构造二倍角余弦)
sin a 1 cosa
(二) 和差角公式的变换使用
例2. 求证:
(1) sina cosb 12[sin(a b ) sin(a b )];
(2)
sin
sin
2sin
2
cos
2
.
(1) 分析: 等式左边是单角a、b, 右边是和角, 差角,
作业布置
两式相减得
sin(ab) sin(ab) 2cosa sinb,
两边除以 2 即得
cosa sinb 12[sin(a b )sin(a b )].
2. 求证:
.
分析:
题设中的a
和
a
2
是二倍角关系,
二倍角的余弦公式中含有三角函数的平方.
∴可以用二倍角的余弦公式进行变换.
解:
cosa
cos(2
a
2
)
1
2sin2
a
2
cosa cos(2a2 )
2cos2
a
2
1
sin2
a
2
1
cosa
2
.
cos2
a
2
1
cosa
2
.
tan2
a
2
sin2
a
2
cos2
a
2
1 cosa
22
2 cos2 a
(分子构造二倍角正弦)
2
2
c
s in a os2 a
1
1
2
(分母构造二倍角余弦)
sin a 1 cosa
(二) 和差角公式的变换使用
例2. 求证:
(1) sina cosb 12[sin(a b ) sin(a b )];
(2)
sin
sin
2sin
2
cos
2
.
(1) 分析: 等式左边是单角a、b, 右边是和角, 差角,
作业布置
新课标人教A版高中数学必修四3.2简单的三角恒等变换课件 (共20张PPT)
二倍角的正弦，余弦，正切公式： sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
降角升次
2cos2 1 1 2sin2
tan
2
2 tan 1 tan2
cos2 1 cos 2
2
tan2 1 cos 2 1 cos 2
sin2 1 cos 2
2
升角降次
sin2=
3
1 sin 2 3 1 cos 2
2
6
1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
6
通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如 y=Asin(+)的函数, 从而使问题得到简化
1 3
3 2
sin
2
1 2
cos
2
3 6
1 sin 2 3
3 6 6
由于0 , 所以当 2 ,即 时,
2
2
思考 在例3证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例3证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习142页当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
例4 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
3
3
的性质研究得到延 伸，体现了三角变 换在化简三角函数
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.2(二)简单的三角恒等变换 (共56张PPT)
只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。 常说口里顺，常做手不笨。最淡的墨水，也胜过最强的记性。 有智者立长志，无志者长立志。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 只会在水泥地上走路的人，永远不会留下深深的脚印。 能够摄取必要营养的人要比吃得很多的人更健康，同样地，真正的学者往往不是读了很多书的人，而是读了有用的书的人。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 在所阅读的书本中找出可以把自己引到深处的东西，把其他一切统统抛掉，就是抛掉使头脑负担过重和会把自己诱离要点的一切。 就算学习和生活再艰难，也要一边痛着，一边笑着，给生活一张漂亮的脸。 如果我不坚强，那就等着别人来嘲笑。 山涧的泉水经过一路曲折,才唱出一支美妙的歌。 只要还有明天，今天就永远是起跑线。 失败的人，永远不会留下深深的脚印。 不会生气的人是愚者，不生气的人乃真正的智者。 山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌。 人生最大的挑战没过于战胜自己！ 壮志与毅力是事业的双翼。 人惟患无志，有志无有不成者。 人越是高兴的事情，越爱隐藏；越是痛苦的事情，越爱小题大作。