球的体积公式积分推导
设球的方程为：
2222R
z y x =++ 为方便起见，特选定第一，二，三，四卦限为研究对象。 222:R
y x D zdxdy
V D
≤+=??
代入，可得 dxdy y x R V D ??--=222
选取极坐标
令t
r y t
r x sin cos ==
其中，π200≤≤≤≤t R r
再次代入 dr r R r dt V R ??-=02220π
注意到()r
r R d dr 22
2--= ∴()
r r R d r R r dt V R 22202220---=??π
()
220222021r R d r R dt V R ---
=??π
∵
()()3232
2220223
103121R R r R r R d r R R
=--=---? ∴332033
2023131R t R dt R V πππ
===? 由于是取第一，二，三，四卦限为研究对象，则上式为球的体积的一半。 ∴334R V π球=
积分表积分公式推导
高等数学积分表公式推导
目录 （一）含有ax + b的积分 （1~9） (1) （二）含有a x + b的积分 （10~18） (5) （三）含有x± a 2 2 的积分 （19~21）································ (9) （四）含有ax2+b (a > 0)的积分 （22~28） (11) （五）含有ax2+bx +c(a > 0) 的积分 （29~30）························· (14) （六）含有x 2 + a2(a > 0)的积分 （31~44） (15) (a > 0)的积分 （45~58）··································· (24) （八）含有a 2 ?x2(a > 0)的积分 （59~72） (37) （七）含有 x ? a 2 2 （九）含有± a +bx + c(a > 0)的积分 （73~78） (48) 2 （十）含有± x? a x? b 或(x? a)(b?x)的积分 （79~82） (51) （十一）含有三角函数的积分（83~112）·························· (55) （十二）含有反三角函数的积分（其中a>0) （113~121） (68) （十三）含有指数函数的积分 （122~131） (73) （十四）含有对数函数的积分 （十五）含有双曲函数的积分 （132~136）·························· (78) （137~141）·························· (80) （十六）定积分（142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式························· (85) 说明 (86) 团队人员 (87)
球的体积与表面积教案设计(参考)
球的体积和表面积 一、教材分析 本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用． 二、教学目标 知识与技能 （1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识． （2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题． （3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式3 3 4 =R V π和面积公式24=R S π的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想． 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心． 三、教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法．
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算． 四、学法和教学用具 学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤． 教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识． 五、教学设计 创设情景 ⑴教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道， 只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到 水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌 鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了 小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们 知道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考． ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式． 探究新知 1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣．
球体体积公式的推导
球体体积公式的推导 1、如图，设球体的球心为O ，半径为R ，球体体积为V ，用垂直于半径 OA 的 平面将半球分成n 个圆柱体，则每个圆柱体的高是n R ，半径分别为r 1、r 2、r 3、…r n 由相交弦定理得 r 12 = n R ·(2R —n R ) = R 2(n 2—21n ) , r 22 = n R 2·(2R —n R 2) = R 2(n 22?—22 2n ) ,， r 32 = n R 3·(2R —n R 3) = R 2(n 32?—22 2n )， ………………… r n 2 = n nR ·(2R — n nR ) = R 2 ·（ n n 2— 22 n n ） ∴V 半球 = 兀·n R 3(n 2—21n ) +兀·n R 3(n 22?—22 2n ) +兀·n R 3(n 32?—22 3n )…… +兀·n R 3（ n n 2— 22 n n ） =兀·n R 3（n 2+n 22?+n 32?+……+n n 2 —21n —222n —222n —……—22 n n ） =兀·n R 3 （2×n n +???+++321—22222321n n +???+++）
=兀·n R 3 〔n + 1—61·()()2112n n n n ++〕 =兀R 3 〔n n 1+ —61·()()2112n n n ++〕 =兀R 3 ·2261 34n n n -+ =兀R 3 ·（32+261 21 n n -） 当n 趋近于∞时，n 21 = 0，261 n = 0， 所以V 半球 = 兀R 3（32 + 0 + 0 ） = 32 兀R 3 V 球体体积 = 34 兀R 3 。
积分公式大全
积分公式大全
2 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4 5 6．2 d () x x ax b +?＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7．2 d ()x x ax b +?＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++++ 8． 2 2d ()x x ax b +?＝ 2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d () x x ax b +?＝2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ．x ?＝ C 11 ．x ?＝2 2(3215ax b C a -
3
4 22 23．2 d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++ 24． 2 2d x x ax b +?＝2 d x b x a a ax b -+? 25．2d () x x ax b +? ＝ 2 21ln 2x C b ax b ++ 26．2 2 d ()x x ax b +?＝2 1d a x bx b ax b --+? 27．32d () x x ax b +? ＝ 2222 1ln 22ax b a C b x bx +-+ 28．2 2 d ()x ax b +?＝2 2 1d 2()2x x b ax b b ax b +++? （五）含有2 ax bx c + +(0) a >的积分 29．2 d x ax bx c ++?＝ 22(4) (4) C b ac C b ac +<+> 30．2 d x x ax bx c ++? ＝2 21d ln 22b x ax bx c a a ax bx c ++- ++? (0) a >的积分 31．＝1 arsh x C a +＝ln(x C +
球体体积公式的推导
球体体积公式的推导 湖北仙桃二中 刘四云 1、如图，设球体的球心为O ，半径为R ，球体体积为V ，用垂直于半径 OA 的平面将半球分成n 个圆柱体，则每个圆柱体的高是 n R ，半径分别为r 1、r 2、r 3、…r n 由相交弦定理得 r 12 = n R ·(2R — n R ) = R 2( n 2— 2 1n ) , r 22 = n R 2·(2R —n R 2) = R 2 ( n 22?—2 22n ) ,， r 32 = n R 3·(2R — n R 3) = R 2 ( n 32?— 222n )， ………………… r n 2 = n nR ·(2R — n nR ) = R 2 ·（ n n 2— 2 2n n ） ∴V 半球 = 兀· n R 3 ( n 2— 2 1n ) +兀· n R 3 ( n 22?— 2 22n ) +兀· n R 3 ( n 32?— 2 23n )…… +兀· n R 3 （ n n 2— 2 2n n ） =兀· n R 3 （ n 2+ n 22?+ n 32?+……+ n n 2 — 2 1n — 2 22n — 2 22n —……— 2 2n n ）
=兀· n R 3 （2× n n +???+++321— 2 2 222321n n +???+++） =兀· n R 3 〔n + 1— 61· ()() 2 112n n n n ++〕 =兀R 3 〔n n 1+ —6 1· ()() 2 112n n n ++〕 =兀R 3 · 2 2 61 34n n n -+ =兀R 3 ·（3 2+ 2 6121n n - ） 当n 趋近于∞时，n 21 = 0， 2 61n = 0， 所以V 半球 = 兀R 3（ 3 2 + 0 + 0 ） = 3 2兀R 3 V 球体体积 = 3 4兀R 3 。
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv
附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式 一、球体面积 球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形
如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。 在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。 即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六） 例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式S=1/4周长×周长） S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡ 二、球体体积 设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等
分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。 球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。 从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。
则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 或：V = D（直径的三次方）×0.616849233 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式） V =πR平方×周长的1/4 = 3.14159×0.25×0.7853975 = 0.616849233 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积 如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。 图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。 计算过程： S =（1.570795×0.7853975）= 1.2336㎡ 公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。 计算过程： S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡
积分表积分公式推导
高等数 学 积分表公式推导
页眉内容 目 录 （一）含有 ax + b 的积分（1~9） (1) （二）含有 ax + b 的积分（10~18） (5) （三）含有 x ± a 2 2 的积分 （19~21） (9) （四）含有 2 +b (a > 0)的积分（22~28）............................................11 （五）含有 ax 2 +bx +c (a > 0) 的积分 （29~30）. (14) （六）含有 x 2 + a 2 (a > 0)的积分（31~44） (15) (a > 0)的积分（45~58）·········································24 （八）含有 a 2 ? x 2 (a > 0)的积分（59~72）·········································37 （七）含有 x ? a 2 2 （九）含有 ± a +bx + c (a > 0)的积分（73~78） (48) 2 （十）含有 ± x ? a x ? b 或 ( x ? a)(b ? x)的积分（79~82） (51) （十一）含有三角函数的积分 （83~112）···········································55 （十二）含有反三角函数的积分（其中 a>0)（113~121）·······················68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）··········································73 （十四）含有对数函数的积 分 （十五）含有双曲函数的积分 （132~136） (78) （137~141）..........................................80 （十六）定积分 （142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式 (85) 说明 .....................................................................................86 团队人 (87)
球的体积和表面积附答案
球的体积和表面积附答 案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
球的体积和表面积 [学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V＝4 3 πR3(其中R为球的半径). 2.球的表面积公式S＝4πR2. 思考球有底面吗球面能展开成平面图形吗 答球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二球体的截面的特点 1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 题型一球的表面积和体积 例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500 3 π，求它的表面积.
解(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4， 所以球的体积V＝4 3 πR3＝ 4 3 π·43＝ 256 3 π. (2)设球的半径为R，则4 3πR3＝ 500 3 π，解得R＝5， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π. 跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) π π 答案D 解析设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的 半径为2，体积V＝4 3 πR3＝ 32 3 π. 题型二球的截面问题 例2 平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) π π π π 答案B 解析如图，设截面圆的圆心为O′， M为截面圆上任一点， 则OO′＝2，O′M＝1.
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+
()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
球的体积和表面积公式具体推导过程精编版
1..3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平 面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ） 第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π， （i ＝1,2,3，···，n ） 半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ） ＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。 事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π
积分公式表
1 2 基本积分表 kdx kx C (k 是常 数) 1 x x dx C, (u 1 1 dx In | x | C x dx 2 arl tanx C 1 x sin xdx cosx C secx tanxdx secx C cscx cot xdx cscx C e x dx e x C a x dx - C , (a 0,且 a 1) In a shxdx chx C chxdx shx C 1 丄 x arc tan C a a (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (⑵ (13) (14) (15) (16) cosxdx sinx C 1) —dx cos x —V-dx sin x tan x C cot x C y dx
1 dx 1 2 2 .a x x arc sin- C a 从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式: 类换元法也叫凑微分法。 务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 (17) 2-ln —| C 2a x a (19) ,1 dx a 2 x 2 ln( x .a 2 x 2) C (20) dx .x 2 a 2 In |x x 2 a (21) tan xdx In | cosx | C (22) cot xdx In | sinx| C (23) secxdx In | secx tanx (24) cscxdx In | cscx cotx C C I I (18) 注：1、 ?2 sin x 2 2 cos x 1,ta n x 2 2 sec x,sin 2x 2sin xcosx, cos x 1 cos2x ， sin 2 x 1 cos2x 注：由 f[ (x)] '(x)dx f[ (x)]d (x)，此步为凑微分过程，所以第 此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如,
高中数学 球的体积和表面积教案 新人教A版
高中数学人教A 版精品教案集：球的体积和表面积 教学目标 １． 知识与技能 ⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 ２． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝ 34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法， 体现了极限思想。 ３． 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二. 教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具 １． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 ２． 教学用具：投影仪 四. 教学设计 （一） 创设情景 ⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。 ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。 （二） 探究新知 1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤： 第一步：分割 如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些 等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”， “小圆片”厚度近似为 n R ，底面是“小圆片”的底面。 如图：
球冠体积计算公式资料讲解
如有侵权请联系网站删除 一、球冠体积计算公式：1/3)π(3R-h)*h^2 二、H=球缺高R=球半径A=球缺底半径 １ V=－－兀×Ｈ×（３×Ａ２+Ｈ２） ６ １ V=－－兀×Ｈ２×（３Ｒ-Ｈ） ３ Ａ２＝Ｈ×（２×Ｒ-Ｈ） 三、球缺 F-面积，S-表面积，V-体积 S=л（2rh+a2） =л(h2+2a2) S曲=2лrh=л(a2+h2) a2=h(2r-h) V=(3a2+h2)лh/6 =(3r-h)лh2/3 四、球缺体积计算公式：V =1/6 π h（3r^2+h^2) = π h^2 (R-h/3) 五、几何公式推导 圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝S底×h 长方体的体积公式：体积=长×宽×高 如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则 长方体体积公式为：V长=abc 正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长． 如果用a表示正方体的棱长，则 正方体的体积公式为V正＝a·a·a＝a³ 锥体的体积=底面面积×高÷3 V 圆锥＝S底×h÷3 台体体积公式:V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3 圆台体积公式:V=(R²+Rr+r²)hπ÷3 球缺体积公式＝πh²(3R-h)÷3 球体积公式：V＝4πR³/3 棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×ｌ（ｌ为侧棱长,h为高) 棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。 ------ 几何体的表面积计算公式 圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 精品资料
(完整word版)证明微积分基本公式
定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明：
积分公式表
基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+?
（15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++? （17）22 11ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+ （19） ln(x C =++ （20） ln ||x C =++ （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ，
球体积公式的极限法推导
成果集锦 球体积公式的极限法推导 本文的目的在于使学生明白，球体积公式不只有应用祖日恒原理这一种推导方法。 定理半径为R的球，其体积V=4/3πR3． 证明：考虑半球，将其大圆弧分为2n等份（如图），过分点作球大圆的平行截面，设第i个截面（自下而上）的半径为r I，其圆周上一点与球心连线与大圆面所成角θi=iπ/2n，i=0，…，n（ro=R，r n=0）．第i-1与第i个截面间的距 n 离为h i，以其为上、下底构成的圆台体积记为Ｖi，则可以证明Ｖ＝２lim∑Ｖi. n→∞=1 我们来计算V i．由于r i=Rcosθi，r i-1= Rcosθi-1，h i=R(sinθi-sinθi-1)，应用圆台的体积公式，有 V i=1/3π(r i2+r i-12+ r i r i-1)h i cos3θi－cos3θi-1 =1/3πR3 (sinθi-sinθi-1) cosθi－cosθi-1 把θi的值代入，经适当的三角变换，得 1 13(2i-1) 3π (2i-1)π 3π V i= —πR3[—cos sin +cos (sin + 3 2 4n 4n 4n 4n 3 π —sin )] 24n n sin2nθ 应用公式∑cos(2k-1)θ=，将上式两边关于i由1到n求和，得 k=1 sinθ
3π sin n 1 1 4n ∑V i=—πR3（—+ ）。 i=1 3 2 2sinπ 4n 3π sin 由于lim sinx =1，则lim 4n = 3 x→0 x n→∞2sin π2 4n 上式两边对n→∞取极限，即知 n 1134 Ｖ=2lim∑Ｖi ＝2·—πR3(—+ —)= —πR3． n→∞i=1 3 2 2 3 （湖北省黄石市二中杨志明） （发表于《中学数学教学参考》2000年第3期）
(完整word版)基本积分表
基本积分表 1、? +=c kx kdx 2、?++=+c a x dx x a a 11 3、?+=c x dx x ln 1 4、?+=+c x dx x arctan 112 5、?+=-c x dx x arcsin 112 6、? +=c x xdx sin cos 7、?+-=c x xdx cos sin 8、??+==c x xdx dx x tan sec cos 12 2 9、??+-==c x xdx dx x cot csc sin 122 10、?+=c x xdx x sec tan sec 11、? +-=c x xdx x csc cot csc 12、?+=c e dx e x x 13、?+=c a a dx a x x ln 14、?+=c chx shxdx 其中2 x x e e shx --=为双曲正弦函数 15、?+=c shx chxdx 其中2 x x e e chx -+=为双曲余弦函数
基本积分表的扩充 16、? +-=c x xdx cos ln tan 17、?+=c x xdx sin ln cot 18、?++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=?2 tan ln cot csc ln csc 20、?+=+c a x a dx x a arctan 1122 21、?++-=-c a x a x a dx a x ln 21122 22、?+-+=-c x a x a a dx x a ln 21122 23、? +=-c a x dx x a arcsin 122 24、? +++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、 ?+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1 sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
球的表面积和体积
球的表面积和体积 1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝4 3 πR3(R为球半径) 球的表面积和体积的计算 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积． 若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积． 球的表面积及体积的应用 一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥取出后，圆锥水面的高是多少？ 圆柱形容器的壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？
有关球的切、接问题 求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，切球的体积． 有三个球，第一个球切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 一个球有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
基础训练 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.1 2 B．1C．2 D．3 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍． 3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积． 4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( ) A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π 5．(2013·高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ) A．25π B．50πC．125π D．都不对 4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( ) A．R B．2R C．3R D．4R 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A．πa2 B.7 3 πa2C. 11 3 πa2D．5πa2 7．圆柱形容器盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm. 提高训练． 1.一只小球放入一长方体容器，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（） A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11
积分表格127个公式地推导(改编打印版)
高等数学 积分表公式推导
目 录 （一）含有b ax +的积分（1~9）.......................................................1 （二）含有b ax +的积分（10~18） (5) （三）含有22a x ±的积分（19~21） (9) （四）含有)0( 2>+a b ax 的积分（22~28） (11) （五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有)0( 22>+a a x 的积分（31~44） .........................................15 （七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0( 22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0( 2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48) （十）含有 或))((x b a x --的积分（79~82） ...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式·········································85 说明·····················································································86 b x a x --±