第三章：辐射传输方程
大气遥感
源函数中散射的表达
对于单次散射，我们假设入射辐射强度的初 始值为I0，传播方向为Ω0，则它到达τ处的辐 射强度为：
I e/0 0
单次散射
Ω0
Ω
多次散射
τ
大气遥感
在τ处发生单次散射后，散射到方向Ω的辐射强度 即为：
I0e / 0 P(, 0) 4
大气遥感
参考式： d[I(, )e / ] 1 J(, )e/
d
对上式从0 到 τ0 积分：
0
I(, )e/
0 1 J(, )e/ d
0
0
即：
I(0, )e0 / I(0, ) 1 0 J(, )e/ d
0
大气遥感
整理得I(0, Ω) 与 I(τ 0, Ω) 之间的关系：
I(0)
I I+dI
I(s1)
0
ds
S1
大气遥感
另一方面，辐射强度也可以由于相同波长上物质 的发射以及多次散射而增强，多次散射使所有其 它方向的一部分辐射进入所研究的辐射方向。我 们如下定义源函数系数，使由于发射和多次散射 造成的强度增大为：
dIλ = jλρds 式中源函数系数jλ具有和质量消光截面类似的物理 意义。 联合上述两个方程得到辐射强度总的变化为：
I(0, ) I(0, )e0 / 1 0 J(, )e(0) / d
0
请注意，此时μ<0，若将其变为正数，则上式可变为：
I(0, ) I(0, )e0 / 1 0 J(, )e(0) / d
0
对上式的解释：
位于τ= τ 0 处的辐射强度由两部分组成： τ= 0 处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值， 整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ= τ 0处的辐射 强度的总和。
cos coscos'sin sin 'cos(') '(1 2 )1/2 (1 '2 )1/2 cos(')
请注意P与两个方向的天顶角，以及相对方位角有关。
大气遥感
单次散射反射率（single scattering albedo）
实际上辐射被介质散射的同时，也被介质吸 收，即消光过程既包括散射，也包括吸收。 单次散射反射率 ω 定义为辐射发生每一次消 光（或简称散射）过程中，遭受散射的百分 比。
大气遥感
对于平面平行大气，且忽略大气中的多次散射 和发射，则传输方程为：
dI I d
上式的解为：
I I0 exp( d(z) / ) I0 exp[( () (0)) / ] 0
定义τ0= τ(0)为大气整层光学厚度，注意到τ(∞)=0， 因此有：
I
I e0/ 0
请注意指数形式在辐射传输中的作用。
麦克斯韦方程组与辐射传输方程是不矛盾的，可以相 互转换，不存在难易和优劣之分，只不过形式和求解 方法有所区别，在不同的领域，有各自的优势。
大气遥感
消光截面
在光散射和辐射传输领域中，通常用“截面”这一术 语，它与几何面积类似，用来表示粒子由初始光束中 所移除的能量大小。当对粒子而言时，截面的单位是 面积（厘米2），因此，以面积计的消光截面等于散射 截面与吸收截面之和。但当对单位质量而言时，截面 的单位是每单位质量的面积（厘米2·克-1），这时，在 传输研究中用术语质量消光截面，因而，质量消光截 面等于质量散射截面与质量吸收截面之和。此外，当 消光截面乘以粒子数密度（厘米-3）或当质量消光截面 乘以密度（克·厘米-3）时，该量称为“消光系数”， 它具有长度倒数（厘米-1）的单位。
求解辐射传输方程时，最难解决的是Jλ。
大气遥感
比尔-布格-朗伯 (Beer-Bouguer-Lambert)定律
当忽略多次散射和发射的增量贡献时，辐射 传输方程可以简化为：
dI I kds
如果在s=0处的入射强度为Iλ(0)，则在s1处， 其射出强度可以通过对上式的积分获得：
s1
I(s1) I(0) exp( kds) 0
大气遥感
当电磁波由方向Ω0前进时，它被介质散射到方 向Ω的散射过程包括单（一）次散射和多次散 射过程。
多次散射是为了区别单次散射而定义的，凡是 辐射被介质散射超过 1 次，均称为多次散射。
区分单次散射和多次散射是为了方便于求解辐 射传输方程。
单次散射
Ω0
Ω
多次散射
大气遥感
散射相函数（scattering phase function）
介质完全均一（ρ也不依赖s），出射强度？
大气遥感
光学厚度 (optical thickness, optical depth)
定Hale Waihona Puke 点s1和s2之间的介质的光学厚度为：
s2
s1
kds' kds'
s1
s2
并有：
dτλ(s) = -kλρds (对大气如此) 因此传输方程可以写为：
dI I J d
大气遥感
源函数只考虑介质发射情况下的解
当源函数只考虑介质发射时，辐射传输方程 相对考虑散射时要简单得多，因为它不需要 考虑各方向散射辐射因素，而且J 与I 无关。 此时的辐射传输方程可以写为：
dI(, ) I(, ) B[T()] d
B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射 的出射辐射亮度，它的强度与出射方向无关， 即各向均一。
大气遥感
总结
两个概念：光学厚度、平面平行介质
一组不同表达形式的传输方程：
dI I J kds
dI I J d
dI I J d
对大气 对大气
传输方程的简单解（比尔定律）：e的指数形式
大气遥感
源函数中散射的表达
大气遥感
1/12
散射
电磁波通过介质时，会发生散射，即电磁波 有可能改变方向。因此使某一方向的电磁波 强度发生变化，可能减弱，也可能增强。
大气遥感
传输方程
在介质中传输的一束辐射，将因它与物质的 相互作用而减弱。如果辐射强度Iλ，在它传 播方向上通过ds厚度后变为Iλ+dIλ，则有：
dIλ = -kλρIλds 式中ρ是物质密度，kλ表示对辐射波长λ的质 量消光截面。辐射强度的减弱是由物质中的 吸收以及物质对辐射的散射所引起。
大气遥感
dI(, ) I(, ) J(, ) d
将方程两边同时乘以 e/，则得到
d[I(, )e/ ] 1 J(, )e/
d
上式乘以 dτ 后，两边对 τ 积分，即可求得带有源 函数的传输方程的解。
大气遥感
根据上式，请给出τ=0处的辐射强度 I(0, Ω)与τ= τ 0处的辐射强度I(τ 0, Ω)之间的关系表达式，并 简要解释其物理含义。
大气遥感
思考：
对于在4π空间内各向均一的散射（散射辐射强 度不随散射方向变化），散射相函数的表达式是 什么？ 对于散射光只在入射方向Ω’存在，其它方向均 为0的情况下，散射相函数的表达式是什么？
大气遥感
通常散射相函数 P (Ω, Ω’) 只与方向Ω’和方向Ω之间 的夹角Θ有关，可以写为 P (cos Θ)。散射角Θ定义 为入射光束和散射光束之 间的夹角。 散射角的余弦可以表示为：
大气遥感
对于平面平行大气，τ 的定义为由大气上界向
下测量的垂直光学厚度（省略下标λ）：
(z) z kdz'
对于水平均一植被， τ 的定义
为由z处向上测量到冠层表面 的垂直光学厚度：
z
(z) uL(z' )dz' 0
大气
z
0
植被冠层 z
其中 uL为叶面积密度。
在植被中，dτ与dz关系如何？ 以平面平行大气为例，比尔定律具体表达式？
4 4
又，源函数中的发射的表达可以写为：
J(τ, Ω) = B[T(τ)]
其中B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射 的出射辐射亮度，它的强度与出射方向无关，即 各向均一。
大气遥感
回忆上一小节中提到的平面平行介质中的传输方 程为：
dI I J d
因此，考虑散射与发射源函数后，辐射传输方程 可以展开为：
θ
θ为辐射方向与分层方向法
线的夹角。
z
dI I J
kds
上述传输方程用z、θ替换s后，具体表达式？
大气遥感
对于平面平行介质，辐射传输方程可以写为：
cos dI I J kdz
或 dI I J d
其中 μ = cosθ，τ 是光学厚度(此时已是垂直计量) 。
注意μ ，多数情况下，它会代替θ在辐射传输中出现
dI(, ) I(, ) F0e / 0P(, 0)
d
4
I(, ' )P(, ' )d' B[T()]
4 4
通常情况下，这个方程没有解析解，只能靠数值 解法或简化求解。
大气遥感
总结
两个概念：散射相函数、单次散射反射率 考虑散射与发射源函数的传输方程：
dI(, ) I(, ) F0e / 0P(, 0)
I(0, ) I(0, )e0 / 1 0 J(, )e/ d
0
对上式的解释：
位于τ=0处的辐射强度由两部分组成： τ= τ 0处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值， 整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ=0处的辐射强 度的总和。
大气遥感
I(0, Ω) 与 I(τ 0, Ω) 之间的关系也可以表述为：
大气遥感
第三章 辐射传输方程
大气遥感
Maxwell方程组与辐射传输方程
麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律。一般而言， 波长较长的电磁波波动性较为突出。所以在微波遥感 领域，可以看到用麦克斯韦方程组解释电磁波与介质 的相互作用。
短波部分干涉与衍射等波动现象则不明显，而更多地 表现为粒子性。在光学和热红外领域，为方便和直观 起见，则常用辐射传输方程描述电磁波与介质的相互 作用。
cfd方程分类
cfd方程分类CFD方程分类CFD（Computational Fluid Dynamics，计算流体力学）是一种基于数值计算的流体力学方法，用于模拟和预测流体流动、传热和质量传递等现象。
在CFD中，方程是描述流体力学问题的基本工具。
本文将对CFD方程进行分类，并介绍每一类方程的特点和应用。
一、连续性方程连续性方程是描述流体的质量守恒的基本方程。
它表达了流体在空间和时间上的连续性，即质量不会凭空消失或增加。
连续性方程的数学表达形式是对流体密度和速度的偏导数之间的关系。
在CFD中，连续性方程通常与动量方程一起求解，用于计算流体的速度场分布。
二、动量方程动量方程是描述流体力学中物体受力和运动的基本方程。
它通过牛顿第二定律，将流体的加速度与施加在流体上的压力、摩擦力和体积力联系起来。
动量方程的数学表达形式是流体的加速度与流体的力之间的关系。
在CFD中，动量方程用于计算流体的速度场分布和压力场分布。
三、能量方程能量方程是描述流体内部能量变化的基本方程。
它涉及到流体的热传导、热对流和热辐射等过程。
能量方程的数学表达形式是流体的能量变化率与流体的热通量之间的关系。
在CFD中，能量方程用于计算流体的温度场分布和热传输过程。
四、物质方程物质方程是描述流体中物质浓度变化的基本方程。
它涉及到流体中物质的扩散、对流和反应等过程。
物质方程的数学表达形式是流体中物质浓度的变化率与物质的扩散通量和对流通量之间的关系。
在CFD中，物质方程用于计算流体中物质的分布和传输过程。
五、湍流模型方程湍流模型方程是描述湍流流动的基本方程。
湍流是流体中速度和压力的不规则、随机的涡旋运动。
湍流模型方程用于描述湍流流动的统计性质，如湍动能和湍动耗散率。
在CFD中，湍流模型方程用于模拟湍流流动，以提高计算精度。
六、辐射传输方程辐射传输方程是描述辐射传输的基本方程。
辐射传输涉及到能量的辐射、吸收和散射等过程。
辐射传输方程的数学表达形式是辐射强度的变化率与辐射通量之间的关系。
第三章-热辐射的基本定律
(,)
n
的主瓣
F n( , )d
M
主瓣
F
n( , )d
4
（3.16）
类似的，式（3.14）中的第二项等于乘积 mT ML ，其中 m 是天线
杂散因子
Fn(,)d
m
4主瓣
Fn(,)d
1M
（3.17）
4Tຫໍສະໝຸດ 定义为旁瓣贡献的有效视在温度，其表示式为：
SL
TAP(,)Fn(,)d
TSL 4主瓣
c df
f
3 kTdf
3.3.1瑞利-金斯公式
公式中，k 2 。在经典统计理论推导中应
用了能量均分定理,即能量E中每个平方项的平均值
等于（1/2）kT，谐振子的平均能量为 析瑞利-金斯公式可得到三点结论：
f
kT
。分
（i）瑞利-金斯公式虽然具有维恩位移律的形
式，但却不存在真正的维恩位移。瑞利-金斯公式给
3.3热辐射的经典统计理论
在建立热辐射统计理论之前，先给予一个
定理：从动力学观点来看，一个连续振动的体系
相当于一组谐振子，从连续振动体系发出的波等
价于一组谐振子作简谐振动发出的简谐波的叠加。
经典统计理论就是建立在这一定理上经过一系列
推导，应用波尔兹曼统计和能量均分定理推导出
了瑞利-金斯公式
8 f 2
Bolt常 zm数 K a1n.： 3 n1 8-2 0 0 J3K 6 1
3.2功率-温度对应关系
考虑一种情况：一个无损微波天线置于 保持在恒定温度T的黑体闭室内的情况。 如图所示：
图1 （a）图中放在温度为T的黑体外壳内的天线给出的功率等于（b）图中装在同样温 度的黑体外壳中的电阻给出的功率（假设每个都与带宽为的匹配接收机相连）
定量遥感-第三章辐射传输方程-1
3.消光截面 • 消光系数
S
单位长度能量衰减比例
I I
当消光截面乘以粒子数密度（厘米-3）或当质量消 光截面乘以密度（克· 厘米-3）时，该量称为“消光系 数”，它具有长度倒数（厘米-1）的单位。
10
3.能量衰减分析 如果辐射强度Iλ，在它传播方向上通过ds 厚度后变为Iλ+dIλ，则有： 辐射强度的减弱是由
小结 •两个概念：光学厚度平面平行介质
•一组不同表达形式的传输方程：
dI I J kds dI I J d dI I J d
•传输方程的简单解（比尔定律）：e的指数形式
25
第三章 辐射传输方程
§1.2.1 传输方程 §1.2.2 源函数中散射的表达
3
1.Maxwell方程组与辐射传输方程
在光学和热红外遥感领域，为方便和直观起见， 常用辐射传输方程描述电磁波与介质的相互作用。部 分辐射传输方程加入了反映波动性的修正因子。 VRT
麦克斯韦方程组与辐射传输方程是不矛盾的，可 以相互转换，只不过形式和求解方法有所区别，在不 同的领域，有各自的优势。
其中 μ = cosθ，τ 是光学厚度(此时已是垂直计量) 。
注意μ ，多数情况下，它会代替θ在辐射传输中出现
22
7.平面平行 (plane parallel)介质
• 对于平面平行大气，τ 的定义为由大气某 处向大气上界测量的垂直光学厚度：
(z)
z
kdz '
大气 植被冠层
• 对于水平均一植被， τ 的定 义为由冠层表面向下测量到z处的 垂直光学厚度：
θ
θ为辐射方向与分层 方向法线的夹角。
dI I J kds
定量遥感-第三章辐射传输方程-2
《定量遥感技术与应用》
第三章 辐射传输方程
武汉大学遥感信息工程学院 龚龑
第三章 辐射传输方程
§3.1 传输方程 §3.2 源函数中散射的表达 §3.3 辐射传输方程的解
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解 §3.3.2 单次散射解 §3.3.3 散射逐次计算法 §3.3.4 二流 (two-stream) 近似
请根据前面的推导过程，自行推导上述方程的解。
11
小结
辐射传输方程的求解是对 τ 的积分，而J 与I 是否 有关决定了求解难易，除上述J 与I 无关解以外： • 不考虑源函数的解为比尔定律 • 只考虑发射的解相对简单 • 辐射传输方程中单次散射项也与I 无关
dI(, ) I(, ) F0e / 0P(, 0)
2
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解
普遍传输方程
dI I J kds
不考虑源函数J 时
dI I kds
I(s1) I(0)eku 比尔定律
不考虑源函数J 时传输方程的解是极不准确的
3
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解 仍考虑平面平行介质，其传输方程为：
dI(, ) I(, ) J(, ) d
dI ( , ) e / I ( , )( 1 )e / 1 J ( , )e /
d
d[I(, )e/ ] 1 J(, )e/
d
5
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解
d[I ( , )e / ] 1 J ( , )e /d
两边对 τ 积分，即可求得带有源函数的传输方程
明确：传输方 程自变量和应变量 是什么？
0
I(0, ) I(0, )e0 / 1 0 J(, )e(0) / d
06.辐射传输球谐函数解法
1
1
( u ) du
then 2 n 1 {C 4
1
1
u
B
dL dz LP
n
P n ( u ) du } ( u ) du
n
1
1
so
: [cos(
)] (cos
2 n 1 {C 4
1
g )
P n ( u ) du } * Pn (u )
jk
k ] j d
Li p i jk ( p ) k j d
i 0 j 0 k 0
Li p [ jk ( p ) j i k d ]
j 0 i 0
方程中c与方向无关，只与p有关。
将L与
的展开式代入RTE 中得： right c( p) L j p j [ Li p ji p ] j
j 0 j 0 i 0
{c( p) L j p Li p ji p } j
Bn
m
n m
n 0
!
cosdL / dz cL Bn L( z, )
n 0
The RTE can be written:
(n m)! m Pn (u ) Pnm (u) exp jm( )d m n ( n m)!
所以：
cos
4
2 4 nk nk 2k 1 2k 1
dL 4 Pk (u )d C LPk (u )d LBk Pk (u)d dz 2k 1 4 4
气溶胶卫星遥感的辐射传输方程
气溶胶卫星遥感的辐射传输方程1、概述气溶胶是大气中的颗粒物质，对大气光学特性和气候变化有着重要的影响。
对于气溶胶的监测和遥感研究成为了大气科学领域中的一个热门话题。
在现代卫星遥感技术的支持下，气溶胶的遥感研究迎来了一个全新的发展阶段。
本文将重点介绍气溶胶卫星遥感的辐射传输方程。
2、气溶胶的光学特性气溶胶颗粒对太阳光的散射和吸收是其光学特性的重要表现。
光学特性决定了气溶胶颗粒对光的影响程度，进而影响了遥感观测的准确性和精度。
了解气溶胶的光学特性对于遥感研究至关重要。
3、辐射传输方程辐射传输方程描述了光在大气和气溶胶中传播的规律。
它是理解气溶胶遥感的基础，也是研究气溶胶影响的重要工具。
辐射传输方程的基本形式包括辐射传输方程、辐射传输方程、辐射传输方程和辐射传输方程。
在对气溶胶进行遥感观测时，需要根据具体的情况选择合适的辐射传输方程进行分析和计算，以获得准确的遥感结果。
4、气溶胶卫星遥感气溶胶卫星遥感是利用卫星载荷对地面上的气溶胶分布进行遥感观测的一种技术手段。
通过对大气中光谱的遥感观测，可以获取气溶胶的光学厚度、粒径分布、组成成分等信息，为大气和气候研究提供了重要的数据支持。
气溶胶卫星遥感在监测大气污染、预测天气变化、研究气候变化等方面具有重要的意义，受到了广泛关注和应用。
5、结论气溶胶卫星遥感的辐射传输方程是气溶胶遥感研究的重要基础，对于理解气溶胶在大气中的分布和变化规律具有重要意义。
通过深入研究和探讨气溶胶的光学特性和辐射传输方程，能够更好地促进气溶胶遥感技术的发展和应用，为大气环境保护和气候变化研究提供有力支持。
在气溶胶卫星遥感的发展过程中，我们需要不断完善和改进辐射传输方程的理论和方法，加强对气溶胶光学特性的研究和观测，提高遥感观测数据的准确性和可靠性，促进气溶胶遥感技术的广泛应用和推广，为人类社会的可持续发展贡献力量。
参考资料：[1] 李海平, 刘路, 肖志恒. 气溶胶遥感大气辐射传输研究资料(xxx[2] 唐祥麟, 罗钟發. 大氣环境科学(xxx[3] 刘培一, 戴世勇, 於根宏. 气溶胶光学特性及其应用(xxx、气溶胶光学特性的观测与研究气溶胶光学特性的观测和研究是气溶胶遥感技术的重要组成部分。
从辐射传输方程到漫射方程、边界条件、有限元弱解的公式推导
其中：
µs 4p
∫
p
0
sin θ dθ ∫ dφ ∫ sin θ ' dθ ' ∫ L0,0
0 0 0
2p
p
2p
1 p (θ ', φ ', θ , φ )dφ ' 4p
(3.2)
= L0,0
1 µs 4p 4p
∫
p
0
sin θ dθ ∫ dφ ∫ p ( s ', s )d Ω '
0 4p
2p
= L0,0
ππ 2 1 1 µs = sin θ dθ ∫ dφ L = µ s 2 ( 2ππ 2 L0,0 µ= µ s Φ (r , t ) ) 0,0 s ∫ 0 0 4π 4π
ˆ '⋅ s ˆ) 展开成 2 阶 Legendre 多项式： 对于后 3 项，采用漫射近似：将 p ( s
ˆ '⋅ s ˆ) = = = θ , µ ' cos θ ' p( s ) 令 µ cos ∑ ωl Pl ( cos Θ
1 4p
ˆ '⋅ s ˆ)d Ω ' = 1 ∫ p p( s
4
n= 0 m= − n
∑L
n
n,m
ˆ) (r , t )Yn ,m ( s
1 3 3 3 sin θ e − iφ L1,−1 + cos θ L1,0 − sin θ eiφ L1,1 = L00 + 8 4 8 πππ 4π
3
令Φ( = r,t)
2sin 2 2 = lim sin θ ∆θ → 0 ∆θ∆φ ∆φ → 0
( ∆θ ) 2
2 2
( ∆φ ) θ
大气程辐射计算算法
大气程辐射计算算法
大气辐射计算是用于估算大气中太阳辐射和热辐射的传输和吸收过程的算法。
以下是常用的大气辐射计算算法之一：
1. 瑞利散射：瑞利散射是由大气中气体分子引起的散射现象，主要影响短波（可见光）范围内的太阳辐射。
该算法基于瑞利散射的物理原理，使用气体分子浓度和波长等参数来计算散射系数。
2. 米氏散射：米氏散射是由大气中悬浮颗粒（如灰尘、烟雾等）引起的散射现象，主要影响长波（红外）范围内的热辐射。
该算法基于悬浮颗粒的浓度和粒径等参数来计算散射系数。
3. 吸收模型：大气中的水蒸气、二氧化碳、臭氧等气体对太阳辐射和热辐射具有吸收作用。
吸收模型通过考虑不同气体的浓度和其在不同波长下的吸收特性，计算各气体对辐射的吸收系数。
4. 辐射传输方程：辐射传输方程是描述辐射在大气中传输过程的数学方程。
它综合考虑了瑞利散射、米氏散射和吸收等因素，并通过积分或离散方法求解得到辐射强度在不同高度和波长上的分布。
这些算法通常以数值方法实现，在计算大气辐射时需要考虑多种因素，如大气组成、温度、湿度、云量等。
具体的算法选择和实现会因应用领域和精度要求而有所差异。
1。
大气辐射传输方程课件
方程各项物理意义解释
辐射强度变化项
表示辐射能在传输过程 中的增加或减少。
吸取项
表示介质对辐射能的吸 取作用，与介质的吸取 系数和辐射强度有关。
发射项
表示介质自身发射的辐 射能，与介质的发射率
和温度有关。
散射项
表示介质对辐射能的散 射作用，与介质的散射 系数和辐射强度有关。
边界条件和初始条件设定
边界条件
力。
大气成分与结构
大气成分
主要包括氮气、氧气、二氧化碳等气 体分子，以及水蒸气、气溶胶等微粒 。
大气结构
根据温度、压力、密度等参数，大气 可分为对流层、平流层、中间层、热 层和逃逸层。
大气辐射过程
01
02
03
04
太阳辐射
太阳作为主要辐射源，向地球 大气发射短波辐射。
大气吸取与散射
大气中的气体分子、微粒吸取 和散射太阳辐射，导致辐射能
02
大气辐射基础知识
辐射度量学基础
辐射通量
单位时间内通过某一面积的辐 射能量。
光谱辐射通量
单位时间内通过某一面积、在 某一波长范围内的辐射能量。
辐射强度
单位立体角内的辐射通量，描 述点源或线源在某方向上的发 光能力。
光谱辐射强度
单位立体角、单位波长范围内 的辐射通量，描述点源或线源 在某方向、某波长上的发光能
利用正交函数系（如勒让德多项式、 切比雪夫多项式等）对原函数进行展 开，将微分方程转化为代数方程进行 求解。
有限元法
将连续的空间划分为一系列离散的元 素，在每个元素内用近似函数代替原 函数，通过求解元素方程得到整个空 间的解。
迭代算法设计与实现过程展示
雅可比迭代法
通过不断迭代，用上一次迭代的解计算下一次迭代的解，直到满 足收敛条件为止。
2.2辐射传输方程
1 2π
2π
∫ g l (Ω l ) Ω l ⋅ Ω' f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l
−
−
如果再假定 g l (Ω l ) = 1 （取球面型）
58
则 Γ ( Ω' → Ω ) =
t ω [sin β − β cos β ] + l cos β 3π π
其中
β = cos −1 (Ω, Ω' ) ω = rl + t l
其中 θ s = sin
−1
sin θ ' n
尔镜面反射公式
n 为叶子的光学折射系数，F 为菲
∫ f (Ω φπ
'
→ Ω , Ω l )dΩ = rl+ + rl− + t l+ + t l− + K ( k , µ ' ) F ( n, µ ' )
2.2.4．连续植被的辐射传输方程 一般水平均匀，垂直分层介质中的辐射传输方程可表达为
其中 τ = u l ( z ) dz ，即 dτ ( z ) = ul ( z )dz
∂
∫
z
如果单片叶子的单次散射反照率是一个常数，那么辐射传输方程可变换为另一种形式。
Q
1
π
1
Γ ( Ω' → Ω ) =
1 2π
2π
∫ g l (Ω l ) | Ω l ⋅ Ω' | f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l
与一般辐射传输方程等式右边项相比，则
σ s ( z , Ω' → Ω ) =
− − ul ( z ) g l ( z, Ω l ) | Ω l ⋅ Ω | f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l ∫ 2π 2π