三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD BC即可。
因为CF AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得 (2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
三角形垂心性质
三角形垂心性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1中考数学重点：三角形垂心性质三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形。
、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/APtanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松（Simson）定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
中考数学重点：三角形的重心定义与性质三角形的重心定义：重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的重心的性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
三角形四心及其性质总结
三角形四心及其性质总结三角形的四心是三角形内部以及外部的四个特殊点，它们是重心、垂心、外心和内心。
这四个特殊点在三角形的性质研究中起到了重要的作用。
下面我们对这四个特殊点及其性质进行详细总结。
一、重心：重心是三角形内部最重要的特殊点之一，也是最容易计算的一个点。
重心是由三角形的三条中线的交点确定的，其中中线是三角形的两个顶点与对边中点之间的线段。
重心的性质：1.重心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于中线的一半。
2.重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心都与大三角形的重心重合。
3.重心所在的直线与三角形的垂心所在的直线相交于三角形内部的其中一点。
4.重心到三角形的顶点的距离等于重心到该顶点所在直线上任一点的距离之和的二倍。
二、垂心：垂心是三角形内部的一个重要特殊点，它是由三角形的三条高的交点确定的，其中高是三角形的顶点与对边垂直的线段。
垂心的性质：1.垂心到三角形的三个顶点以及对边的距离互相相等。
2.垂心的连线与三角形的顶点构成的线段组成的三角形与原三角形形成的角互补。
3.垂心到三角形的边的垂直距离之和是最小的，也就是说垂心到三角形的边的距离最短。
三、外心：外心是三角形外接圆的圆心，它是由三角形的三个顶点的垂直平分线的交点确定的。
外心的性质：1.外心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于外心到三角形的任一边的垂直距离。
2.外心是垂心与三角形的三个顶点的中垂线的交点所确定的，也就是说外心是垂心、重心和媒心的垂线交点。
3.外心到三角形的每条边的距离等于外心到该边所在直线上任一点的距离之和的二倍。
4.外心是连接三角形顶点与对边上等腰三角形顶点的线段的垂直平分线的交点所确定的。
四、内心：内心是三角形内切圆的圆心，它是由三条三角形的角的平分线的交点确定的。
内心的性质：1.内心到三角形的每条边的距离相等，且等于内切圆的半径。
2.内心是连接三角形的每个顶点与对边上切点的线段的垂直平分线的交点所确定的。
垂心的性质
垂心在三角形中的 特殊性质
垂心在三角形中的 证明方法ຫໍສະໝຸດ 垂心在几何证明中 的实际应用
垂心的扩展知识
三角形的其他心
内心：角平分 线的交点，也 是垂足三角形 的高线所在直 线与边的交点
外心：三条垂 直平分线的交 点，也是三角 形外接圆的圆
心
重心：三条中 线的交点，也 是三角形三条
高的交点
九点圆：三角 形三边的中点、 三高的垂足和 垂心本身都在
垂心定理：三角形垂心的性质在几何证明中有着广泛的应用，它可以证明许多与三角形相关的定理 和性质。
三角形面积：通过垂心性质，可以证明三角形面积的公式，以及三角形面积与其他几何量之间的关 系。
三角形不等式：垂心的性质还可以用于证明三角形不等式，例如三角形两边之和大于第三边的性质。
三角形内角和：利用垂心的性质，可以证明三角形内角和等于180度的定理。
垂心与三角形的其他心之间的关系
垂心与内心：内心是三角形三条内角平分线的交点，而垂心是三条高线的交点，两者没有直接关系。 垂心与外心：外心是三角形三条垂直平分线的交点，而垂心是三条高线的交点，两者没有直接关系。
垂心与重心：重心是三角形三条中线的交点，而垂心是三条高线的交点，两者没有直接关系。
垂心的性质在几何证明中的应用
垂心在三角形解法中的应用
垂心定理：三 角形垂心的性 质定理，用于 解决三角形问
题
垂心性质：三 角形垂心的性 质，包括面积、
高线等
垂心定理的应 用：利用垂心 定理解决三角 形问题的实例
垂心在三角形解 法中的重要性： 垂心在三角形解 法中的重要地位
和作用
垂心在几何证明中的应用
垂心与三角形面积 的关系
垂心的判定方法
三角形三边的中线交于一点，该点 即为三角形的垂心。
三垂线定理知识点总结
三垂线定理知识点总结一、三垂线定理的定义三垂线定理是指在一个三角形中，三条垂线经过一个顶点交于同一点。
具体来说，如果在一个三角形中，我们分别从三个顶点做垂线，那么这三条垂线会相交于同一个点，这个点就叫做三角形的垂心。
垂心是三角形内心的一种特殊情况，也是三角形的一个重要点。
二、三垂线定理的性质1. 三角形的垂心是三角形内心的一种特殊情况。
2. 三角形的垂心到三条边的距离相等。
3. 垂心到三角形三个顶点的连线叫做垂径，垂心到垂径的距离相等。
4. 垂心到三角形三个顶点的连线叫做垂线，垂心到垂线的距离最小。
5. 三角形的三个垂线相交于同一个点。
三、三垂线定理的证明三垂线定理的证明需要借助一些平面几何的知识和方法。
一般来说，我们可以采用反证法来证明三垂线定理，具体步骤如下：1. 假设垂心不是三个垂线的交点，即存在一个点不受三个垂线的影响。
2. 利用垂线的定义和性质，通过绘制辅助线和辅助角等方法，得出矛盾结论。
3. 由矛盾推出假设错误，即证明垂心是三个垂线的交点。
三垂线定理的证明比较复杂，需要结合具体的题目和图形进行推敲，但掌握了相关的证明方法后，就可以轻松应对各种类型的证明题目。
四、三垂线定理的应用三垂线定理在解题中有着广泛的应用，特别是在证明题和计算题中。
下面通过几个例题的分析，来展示三垂线定理的应用。
例1：如图，在△ABC中，AD ⊥ BC，BE ⊥ AC，CF ⊥ AB，垂足分别为D，E，F，连接AD，BE，CF相交于H。
证明：H是△ABC的垂心。
解：根据题意可知，H是由AD，BE，CF三个垂线相交而成的交点，而AD，BE，CF分别是△ABC三条边的垂线，所以H是△ABC的垂心。
例2：如图，点P是△ABC内部一点，PA，PB，PC分别交△ABC的边BC，CA，AB于D，E，F。
证明：若P为△ABC的垂心，则△DEF的三条边和面积与△ABC的相似。
解：首先我们可以利用三垂线定理来证明P是△ABC的垂心，然后我们可以利用相似三角形的性质来证明△DEF与△ABC的相似性。
三角形垂心性质总结
三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
三角形的垂心与外心的性质比较
三角形的垂心与外心的性质比较三角形是几何学中最常见且重要的形状之一，而三角形的垂心和外心是与三角形内部和外部关联紧密的重要点。
本文将比较三角形的垂心和外心的性质，探讨它们在几何学中的应用。
一、垂心垂心是指三角形内部三条高的交点，也是垂直于三边的高线交于一点的位置。
垂心的性质如下：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
也就是说，垂心到三个顶点的距离都相等，即AH = BH = CH。
2. 垂心到三角形三边的距离之和最小。
也就是说，垂心到三边的距离之和比其他任何一个点到三边的距离之和都要小。
3. 垂心到三角形三个顶点的连线上，每条连线的中垂线都会经过垂心。
也就是说，三角形的垂心是三条边上中垂线的交点。
垂心在几何学中具有重要的作用。
例如，垂心是三角形三条高的交点，可以用来确定三角形的高线长度与位置，寻找三角形的垂直平分线等。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，也是三角形三边的垂直平分线的交点。
外心的性质如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离相等。
也就是说，外心到三个顶点的距离都相等，即OA = OB = OC。
2. 外心在三角形的外部。
也就是说，三角形的三个顶点、外心和外接圆上的一点是共圆的。
3. 外心是三角形内部角的中垂线的交点。
也就是说，三角形的外心是三个内角平分线的交点。
外心在几何学中也具有重要的作用。
例如，外心可以用来确定三角形的外接圆的位置、半径和性质，计算三角形的外心角等。
三、垂心与外心的比较垂心和外心都是与三角形内部和外部关联紧密的重要点，它们具有一些相似的性质，比如到三角形的顶点的距离相等等。
但垂心和外心也存在一些区别。
首先，垂心与三角形内部的关系更加密切，是三个高线的交点，而外心则是与三角形外接圆关联紧密的点。
其次，垂心在三角形内部，而外心则在三角形外部。
垂心到三角形三边的距离之和最小，而外心到三角形三点的距离相等。
最后，垂心和外心在几何学中的应用也有所不同。
垂心常用于确定三角形的高线、中垂线等属性，而外心常用于确定三角形的外接圆的性质以及计算外心角等。
三角形顶角和垂心角的关系
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
三角形垂心性质定理3：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
三角形垂心性质定理4：锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
垂直；三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心,所以顶点与垂心的连线其实就是过顶点的高,与顶点对边肯定是垂直的。
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三角形垂心的性质总结
山西省原平市第一中学任所怀
三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE
所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形
所以∠AFC=∠ADC=90°
即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）
由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE
所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：
在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：
若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得
因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，
因为，所以
所以
所以 (1)
同理：由得(2)
联立（1）（2）两式，就可解出
显然有垂心O在函数的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。
（2005年全国一卷理科）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m =
分析：H显然为的垂心，我们可取特殊情况来猜想m的值。
于是我取为直角三角形，角A为直角，此时H点与A点重合，且O为BC的中点（如图所示）。
此时
，于是猜想m=1.
而对于一般情况，上面问题，我们不妨称之为三角形的垂心性质定理3：
的外心为O，垂心为H，则。
证明：作出的外接圆和外接圆直径AD，连接BD,CD。
因为直径所对圆周角为直角，所以有，
因为H为的垂心，所以
所以HC//BD，BH//DC,所以四边形BDCH为平行四边形，所以。
因为，且
所以。
点评：这条性质联系了三角形的外心与垂心，所得向量关系也相当简洁。
以此为背景出高考题，也确实体现了命题者深厚的知识功底。
三角形垂心性质定理3：
三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
即：的外心为O，垂心为H，D为BC中点，则AH=2OD。
证明：因为D为BC中点
所以
由性质2知：得
所以AH=2OD。
点评：性质定理3，也可看做是性质定理2的推论。
三角形垂心性质定理4：
锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
分析：应用上面的性质定理3，上面这一结论可改为
锐角三角形的外接圆与内切圆径之和等于外心到三角形三边距离之和。
即：如图在锐角中，O为外心，D,E,F分别为三边的中点。
设外接圆半径为R，内切圆半径为r,则OD+OE+OF=R+r.
证明：在锐角中，O为外心，D,E,F分别为三边的中点，则OF，，
所以有
=
设中角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.
在圆O中，弧AB所对的圆心角=2C
又因OA=OB，OF，所以
OF=OA*cosC=RcosC。
同理OD=R*cosB, OE=R*cosA
所以
而由三角形内切圆的性质知：
所以
这个式子就指出了内切圆半径与外接圆半径的关系。
而要证OD+OE+OF=R+r，
需证：RcosA+RcosB+RcosC=R+
即需证
需证(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c
而对上式的证明我们可采用正弦定理，化角为边，
即需证：
sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC 需证：sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC
而因为A+B+C=所以sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC显然成立所以命题得证。
点评：此题的证明充分联系我们初高中的大量知识，真是做到了“八方联系，浑然一体”（孙维刚老师语）。
通过这样的一个问题，我们的数学能力将大大提高。
三角形垂心性质定理5：
H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
此定理的证明相对简单，读者不妨自已试试。
在此提出这个性质，主要是看到这里存在的一种广义对称性，即四个点中每一点都可为垂心。
这个结论进一步提醒我们要经常换个角度相问题。
三角形垂心性质定理6：
H为△ABC的垂心，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
分析：要证两圆为等圆，只要证明它们的半径（或直径）相等就可以啦。
而这两圆都是三角形的外接圆，于是我们就想到了正弦定理。
的直径为，的直径为，
因为HD，
所以四边形BEHD是圆内接四边形
所以
所以sinB=sin
所以=
所以，的外接圆为等圆。
同理△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
证明略。
点评：该题的证明过程中，应用到了性质1中的圆内接四边形性质和正弦定理。
这也正是在提示我们要注意八方联系。
以上我对与三角形垂心有关的性质做了一些总结，当然也难免还有其它性质，我还没有发现。
我写文章的目的，也就是在于启发读者经常进行总结，在总结中我们才会有新的发现和创新。