三角形外心内心重心垂心与向量性质
三角形各心含义性质向量表示
性质：重心分中线所成比为2:1 (可作为判断方
法)
uuur uuur uuur GA GB GC
0
uuur PG
1
uuur (PA
uuur PB
uuur PC)
G为三角形重心
3
uuur uuur uuur uuur
OP OA ( AB AC)
P轨迹通过三角形重心
C
MP
A' B
G
A
B
A
C
O
三.“垂心”的向量表示 垂心含义：三条高的交点
PA PB PB PC PC PA
P为三角形垂心
uuur OP
uuur OA
uuur uuurAB
uuur uuurAC
AB
cos B
AC
cos
C
P轨迹通过三角形垂心
(0， )
C
A
E
C
B
P
M H P
A
F
B
O
四.“内心”的向量表示
内心含义：三角形内切圆的圆心
性质：（1）内心到三条边距离相等
（2）三个角的角平分线交点为内心
aGA bGB cGC 0
uuur OP
uuur
OA
uuur uAuBur
uuur uAuC外心”的向量表示
外心含义：三角形外接圆的圆心 性质：（1）三条中垂线交点
（2）外心到三角形三个顶点的距离相等
GA GB GC
2
2
2
GA GB GC
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故C tan B tan A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为AB是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r ，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0 是 AABC 的重心O OA + OB + dc = 0; 若 0 是AABC 的重心，则 == S AAOB =故 O X + 6B +OC = 0.P G = i -4- 评刀-4- A 。
) =G 为 AABC 的重心.2. 0 是 AABC 的垂心» dA OB = OB OC = OC OA .若。
是AABC (非直角三角形)的垂心，则S △HOC ： S^Aoc ： S DB = tan A ：tan B ： tan C故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 63.0是AABC 的外心o IOAI=IOBI=IOCI (或。
^七而七成?)若 0 是 AABC 的外心则 S ABOC ： S 印疝 S^OB =sinZBOC ：sinZAOC ：sinZAOB =sin2A: sin2B: sin2C故 sin2AOA + sin2BOB + sin2COC = 6 4. 0 是内心AABC 的充要条件是I ABI AC ， IBAI IBCI ICAI ICBI■ . . —♦ —* —*引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB ,BC ,CA 的单位向量为勺弟2夹3,则刚才。
是AABC 内心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0。
若。
是AABC 的内心，则°ABOC ：^AAOC 5 °A.XOB故 aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + sinBOB + sinCOC = 6.| AB | PC+ \BC\PA+\CA\PB = QO P 是 AABC 的内心；向量"（辎 + 等）（膈°）所在直线过即。
的内心（是ZBAC 的角平 |AB| |AC| 分线所在直线）；（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1.、是*上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 矛=函+人（雪+里K（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心T R解析：因为端是向量布的单位向量设屈与京方向上的单位向量分别为6和。
三角形重心、外心、垂心、内心地向量表示及其性质85474.docx
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1 ．O 是 ABC 的重心OAOB OC0 ;SB OCSAOCSAOB1 S AB COA OB OC 0 ;若 O 是 ABC的重心，则3故 u u uru u uru u ur u u urG 为 ABC 的重心 .PG1( PAPBPC )32 ．O 是 ABC的垂心OA OB OB OC OCOA ;若 O 是ABC(非直角三角形 ) 的垂心，则SBOC ：SAOC ：SAOBtan A ： ：tan B tan C故 tan A OAtan BOBtan C OC 03 ．O 是ABC的外心| OA | | OB | | OC | (或 OA222OBOC )：S：SAOBsin：：AOBsin 2A : sin 2B : sin 2C若 O 是 ABC 的外心则 SBOCAOCBOC sinAOC sin故 sin 2A OAsin 2BOBsin 2C OC4 ． O 是内心OA( AB AC ) OB( BABC) OC( CACB) 0ABC的充要条件是| AB | AC | BA | | BC | | CA|| CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记 AB ,BC ,CA 的单位向量为 e 1,e 2, e3，则刚才 O 是ABC内心的充要条件可以写成OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 )OC (e 2 e 3 ) 0， O 是ABC 内心 的充 要条 件也 可以是aOAbOBcOC。
若 O 是 ABC 的 内心 ，则S BOC ： S AOC ： SAOBa ：b ： c故aOA bOB cOC 0或 sin A OA sin BOB sin COC0;uuur uuur uuur uuur uuur uuur r P 是 ABC 的内心 ; e 1A| AB | PC | BC | PA |CA | PB 0e 2uuur uuur向量 ( AB AC)( 0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是BAC 的角平BCuuur uuur| AB | | AC |分线所在直线 ) ；P( 一) 将平面向量与三角形内心结合考查例 1 ． O 是 平 面 上 的 一 定 点 ， A,B,C 是 平面上 不 共 线的 三个 点 ， 动 点 P满 足OP OA(ABAC) ，0, 则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的（ ）（A ）外心（ B）内心（ C）重心（ D ）垂心解析：因为AB uuur uuuruuure1和 e2，又是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为ABOP OA AP ，则原式可化为AP(e1e2 ) ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ，那么在ABC 中， AP 平分BAC ，则知选 B.(二 )将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2 ．H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA点H是△ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB ( HC HA ) 0HB AC 0HB AC ,同理 HC AB ， HA BC .故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））例 3.( 湖南 )P是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ，则P是△ABC的（D）A ．外心B．内心C．重心 D ．垂心解析 :由PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0 .即PB (PA PC)0,即PB CA 0则 PB CA,同理 PA BC , PC AB所以 P 为 ABC 的垂心 . 故选 D.(三 )将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4 ．G 是△ABC 所在平面内一点，GA GB GC =0点G是△ABC的重心 .证明作图如右，图中 GB GC GE连结 BE 和 CE，则 CE=GB ，BE=GC BGCE 为平行四边形 D 是 BC 的中点， AD 为 BC 边上的中线 .将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0，得 GA EG =0GA GE2GD ，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例 5 ．P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心PG1PC ) .(PA PB3证明PG PA AG PB BG PC CG3PG(AG BG CG ) ( PA PB PC )∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC =0AG BG CG =0，即 3PG PA PB PC由此可得 PG 1 (PA PB PC) .（反之亦然（证略））3uuur uuur uuur r例 6 若 O 为ABC 内一点，OA OB OC 0 ，则O是ABC的（）A ．内心B．外心C．垂心 D ．重心uuur uuur uuur r uuur uuur uuur解析：由 OA OB OC0 得 OB OC OA ，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则uuur uuur uuur uuur1 uuur2 OE ，同理可证其它两边上的这个性OB OC OD ，由平行四边形性质知OE OD ， OA2质，所以是重心，选 D 。
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1.0是的重心；若0是的重心，则故；为的重心.2.0是的垂心；若0是（非直角三角形）的垂心，则故3.0是的外心（或）若0是的外心则故4. 0是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记的单位向量为，则刚才0是内心的充要条件可以写成，0是内心的充要条件也可以是。
若0是的内心，则故；是的内心；向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）；xx 例（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P 点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，贝卩知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H是厶ABC所在平面内任一点，点H是厶ABC的垂心.由,同理，.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.（xx）P 是厶ABC所在平面上一点，若，则P是厶ABCF（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析: 由. 即贝S所以P为的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是厶ABC所在平面内一点，=0点G是厶ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE贝S CE=GB BE=GCBGCE平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0,故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略））例5. P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心.证明••*是厶ABC的重心/• =0=0,即由此可得. （反之亦然（证略））例6 若为内一点, ,则是的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由得，如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，贝卩，由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：ABC 中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC 中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC 中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：ABC 中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心1、 O 是 ABC 的重心OA OB OC 0若 O 是 ABC 的重心，则BOC AOC AOB 1 ABC 故 OA OB OC 0 ,1 (PA 3PG PB PC) G 为 ABC 的重心 .3、 P 是△ ABC所在平面内任一点. G是△ ABC的重心 1 (PA) .2 PG PB PC3证明：PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC) ∵ G是△ ABC的重心∴ GA GB GC 0 AG BG CG 0，即 3PG PA PB PC由此可得 PG 1 (PA PB PC ) . （反之亦然（证略））33、已知 O 是平面上一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA ( AB AC) ，(0，) ，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的重心 .例 1 若 O 为ABC 内一点， OA OB OC 0 ，则 O 是ABC 的（）A．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心第 1 页共 10 页二、垂心1、 O 是 ABC 的垂心OA OB OB OC OA OC若 O 是 ABC ( 非直角三角形 ) 的垂心，则故 tan AOA tan BOB tanCOC 02、H是面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC的垂心 .由 HA HB HB HC HB ( HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,同理 HC AB ， HA BC . 故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略））3、 P 是△ ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ ABC 的垂心．由 PA PB PB PC ，得 PB (PA PC ) 0 ，即 PB CA 0 ，所以 PB⊥ CA ．同理可证 PC ⊥ AB ， PA ⊥ BC ．∴ P 是△ ABC 的垂心．如图 1.A CCB PEMHPA FB图 1 O 图⑷4、已知 O 是平面上一定点，A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC，(0，) ，则动点 P 的轨迹一定通过OP OAAC cos CAB cos B△ ABC 的垂心．例 2 P 是△ ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ ABC 的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心第 2 页共 10 页三、内心1、 O 是ABC 的内心的充要条件是OA AB ACOBBA BC CA CBOCAB AC BA BC CA CB Ae1e2B引进单位向量，使条件变得更简洁。
三角形重心垂心外心内心相关性质介绍
1 垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅， 则点O 为ABC ∆的垂心。
结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。
结论3：若点G 满足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ∆的重心。
结论4：若点G 为ABC ∆所在的平面内一点，满足)(31OC OB OA OG ++=， 则点G 为ABC ∆的重心。
结论5：若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a（其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心。
结论6：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。
结论7：设()+∞∈,0λ，则向量)||||(AC AC AB AB AP +=λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
中学数学研究
41
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 陈水松
一、三角形四心的表述与性质
(一) 重心——三角形三条边上的中线的交点叫做三角
形的重心. 重心将中线长度分成 2: 1 的两部分. 1. −O→A + −O−→B + −O−→C = −→0 ⇔O 是 △ABC 的重心.
AC BC −→ + −−→
.
|AC| |BC|
|−B−B+−−→ →CCb| −B)−→C, 所
= 以
4.
−−→ PO
=
−→ aP A
−−→ + bP B + a+b+c
−−→ cP C
⇔
O
为
△ABC
的内心,
P 为平面上任意点.
(二) 垂心——三角形三条高线的交点叫做三角形的垂
证明
因为
O
为
△ABC
证 法 1 设 O(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
−→ −−→ −−→ OA+OB+OC
=
−→0
⇔
x=
x1 + x2 + x3
(x1 − x) + (x2 − x) + (x3 − x) = 0 (y1 − y) + (y2 − y) + (y3 − y) = 0
=
−→0 ,
所以
−→ AO
=
2−O−→D,
所以
A、O、D
三点共线,
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三 角 形 的“四 心”
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心
定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：
1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即
AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.
3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足
AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。
二、三角形的内心
定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆
圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：
性 质：
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯2
1三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(
AC AB AP =λ，则动
点P 的轨迹过ABC ∆的内心。
三、三角形的垂心
定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表
示。
性 质：
1.顶点与垂心连线必垂直对边，
即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.向量性质：
结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足
OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心。
结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足2
22222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。
四、三角形的“重心”：
定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母
G 表示。
性 质：
1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2
倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===
3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3
,3C B A
G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；
（2）)(3
1PC PB PA PG ++=。