三角形重心性质定理题教案资料
三角形的重心的性质(一)
三角形的重心的性质（一）引言：三角形是几何学中非常重要的一个形状，而重心则是三角形的一个重要特征。
本文将深入探讨三角形重心的性质，包括定义、重心的位置与性质、与其他特殊点的关系以及相关的定理。
正文：一、三角形重心的定义1. 定义：三角形的重心是三条中线的交点，即三边中点连线的交点。
二、重心的位置与性质1. 重心的位置：重心位于三角形中线上的2:1处，离每条中线的起点的距离是中线长度的2/3。
2. 重心的坐标：根据三角形顶点的坐标可以求得重心的坐标，即三个顶点的坐标的均值。
3. 重心的性质：重心将三角形分成六个小三角形，其中三个小三角形的面积相等。
4. 重心与几何中心的关系：重心也是三角形的质心、内心和外心的连线的交点。
三、重心与其他特殊点的关系1. 重心与垂心的关系：重心是垂心到三顶点连线的中点。
2. 重心与重心连线：三角形的重心之间连成一线段，这条线段称为重心连线，且重心连线与垂心连线垂直。
四、重心相关的定理1. 重心定理：三角形的三个顶点与重心的距离之和等于三角形边长之和的三分之一。
2. 已知重心求顶点坐标：已知三角形重心的坐标，可以求得顶点的坐标，通过重心的定义和坐标计算可得。
五、总结通过以上的探讨，我们得出了以下关于三角形重心的性质：1. 重心是三角形中线的交点，位于中线上的2:1处。
2. 重心将三角形分为六个面积相等的小三角形。
3. 重心是三角形的质心、内心和外心连线的交点。
4. 重心与垂心连线垂直，是垂心到三顶点连线的中点。
5. 已知重心的坐标可以求得三角形顶点的坐标。
6. 重心定理给出了重心与三角形顶点之间距离的关系。
本文仅对三角形重心性质进行了初步介绍，未来的研究中还有更多的性质和定理值得深入探索。
三角形的外心内心垂心重心讲课教案
二角形的外心内心垂心重心三角形的四心”所谓三角形的四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心•当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心•一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心• ABC的重心一般用字母0表示.【性质】1. 外心到三顶点等距，即OA OB 0C.2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即卩OD BC,OE AC, OF AB.1 1 13. A —B OC, B -AOC, C - AOB.2 2 2二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.ABC的内心一般用字母I表示.【性质】1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2. 三角形的面积二丄三角形的周长内切圆的半径.23. AE AF, BF BD,CD CE ;AE BF CD三角形的周长的一半.1 1 14. BIC 90 — A, CIA 90 — B，AIB 90 — C.2 2 2二、垂心【定义】二角形二条咼的交点叫重心.ABC 的重心一般用字母H 表示. 【性质】1. 顶点与垂心连线必垂直对边, 即 AH BC, BH AC,CH AB . 24 ABH 的垂心为C ，△ BHC 的 垂心为A , △ ACH 的垂心为B . 四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重心 心一般用字母G 表示. 【性质】1.顶点与重心G 的连线必平分对边2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2倍.即 GA 2GD,GB 2GE,GC 2GF 3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值.4•向量性质：(1) GA GB GC 0 ;三角形四心”的向量形式：结论1:若点0为ABC 所在的平面内一点，满足OA OB OB OC OC 0A ,则点O 为ABC 的垂心.ABC 的重即X GX B X Cy y By c3(2) PG1(PA PB PC) , 5. S BGC 3S CGA S AGB-S ABC -B结论2:若点O为4ABC所在的平面内一点，满足——2 2 2 ——2 2 2OA BC OB CA OC AB ,则点0为ABC的垂心.结论3:若点G满足GA GB GC 0，则点G为ABC的重心.1 ---- ----- ------结论4:若点G为ABC所在的平面内一点，满足OG (OA OB 0C),3则点G为ABC的重心.结论5:若点I为ABC所在的平面内一点，并且满足a IA b IB c IC 0 (其中a,b,c为三角形的三边)，则点I ABC的内心.结论6:若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OA OB) BA (OB OC) CB (OC OA) AC，则点O 为ABC 的外心.——AB AC结论7:设0, ，则向量AP (——r 一)，则动点P的轨迹过ABC|AB| |AC|的内心.向量和“心”、重心”的向量风采【命题11已知G是厶ABC所在平面上的一点，若△ ABC的重心.如图⑴.P 满足Op OA (AB AC)，图⑵A B, C是平面上不共线的三个点，动点(0，)，则P的轨迹一定通过△ ABC的重如图⑵.、垂心”的向量风采通过△ ABC 的垂心.【解析】由题意 A P (A B A C )，当(0,)时，由于BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心,【解析】由题意AP,由于【命题3】P 是△ ABC 所在平面上一点, 若 PA PB PB PC PC PA ，则P 是△ ABC 的垂心. 【解析】由PA PB PBPC , 得 PB (PA PC) PB 丄cA .同理可证PC 丄AB , PA 丄BC .C_____ ->P图⑶【命题4】 已知0是平面上一定点，A B, 定点 (0,)，则动点P 的轨迹一定0 ,即 0 ,所以B••• P 是厶ABC 的垂心.如图⑶.P 满足Op OAACI AC cosCA P 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心，如图 ⑷.二、内心”的向量风米 【命题5】 已知I ABC 所在平面上的一点，且 AB••• bAB cACA C AB A B AC TC I IA B向上的单位向量,••• Al 「与/ BAC 平分线共线，即AI 平分 BAC .同理可证：BI 平分 ABC ，Cl 平分 ACB .从而I 是厶ABC 的内心，如图（5）.B AB.cosB<BC0,即竽匹AB cosBcosC0所以c ， ACBC a .若 al0,则I 是厶ABC 的内心.则由题意得(a b c)iA bAB cAC 0，图⑹二Al分别为A B 和AC 方【命题6】已知0是平面上一定点,'定点A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足oP 0A（0，），则动点P的轨迹一定通过△ ABC的内心.【解析】由题意得AP，•••当（0, ）时，AP 表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ ABC的内心，如图⑹.四、外心”的向量风采【命题7】已知0是△ ABC所在平面上一点，若OA2 0^ 00^，则0 是△ ABC的外心.【解析】若徉0B2 0C2，则0A； l0Bl则0是厶ABC的外心，如图（7）.【命题7】已知0是平面上的一定点, A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足0p严轨迹一定通过△ ABC的外心.AB cosB一，（0，），则动点P的AC cosC练习:【解析】 由于2过BC 的中点,(0,)时,表示垂直于 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上,定通过△ ABC 的外心，如图⑻.1.外心B .内心C . 重心D .垂心O 是平面上^定八、、,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点, ------ 2 ------ 2 ------2OA BCOB—2------ --2------ 2CA OCAB , 则0是 ABC 的（） \.外心B .内心C . 重心D .垂心) A 若 5. A1.已知 ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点 P ，满足PA PB PC 0，若实 数满足：AB AC AP ,则的值为（ A . 2 B. - C . 32D . 62•若 ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为1, OA OB OC 0,贝 UOA OB ()1A . 1B . 0C . 12D .3. 点O 在 ABC 内部且满足OA 2OB 2OC则ABC 面积与凹四边形ABOC 面积之比是（）3A . 0B . —C .2D .4. ABC 的外接圆的圆心为 O , 若 OH OAOB OC ，贝U H 是ABC 的精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢116. ABC 的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,0H m(0A OB OC),则实数m =则厶ABC 为（）A .三边均不相等的三角形 B.直角三角形C .等腰非等边三角形 D.等边三角形——28 .已知 ABC 三个顶点 A 、B 、C ，若 AB AB AC AB CB BC CA ，则ABC 为（）A .等腰三角形 B.等腰直角三角形C .直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C7. （06陕西）已知非零向量AB 与AC 满足（ AB 十 AC |AB| |AC| )BC=0 且 AB • |ABI |AC|。
三角形的五心学案
三角形的五心学案三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心称之为三角形的五心,五心有很多重要性质.五心中重点知识讲解1,重心:三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心,主要性质有:①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1;②重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等,即重心到三条边的距离与三条边的长成反比;③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小;④在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数2,垂心:三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心.3,内心:三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心主要性质有:①三角形的三条内角平分线交于一点,该点即为三角形的内心;②直角三角形内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一③三角形的内心到边的距离(即内切圆的半径r)与三边长及面积之间有关系:CS r 24,外心:三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心.有关性质:①三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为三角形外心;②外心到三顶点的距离相等。
外分旁：三角形相邻二外角的平分线的交点，为三角形的旁心。
任何三角形都有三颗旁心，且不相邻的内角平分线过旁心，旁心到三边的距离相等。
到三角形三边距离相等的点共有四点，内心及旁心。
在初中阶段外心、内心我们经常在圆部分接触和应用，一定要掌握它们的特性，重心、旁心、垂心偶尔接触只需了解。
等腰三角形的重心、垂心、外心、内心及其中一颗旁心在同一直线上即底边的高线上。
等边三角形是最完美的三角形，因而前四心及一颗旁心合一，外接圆半径R 为内切圆半径r 的2倍，R=33a （a 为边长） （∠OAD=30°，∴R=2r,高为23a,则，R=33a ，r=63a ） 直角三角形的外接圆半径为斜边的一半（2C ），内切圆半径为21（a+b-c ）,c 为斜边的长。
如图 S=21AC ·BC=21r （AC+BC+AB ） ∴r=AB BC AC BC AC ++⋅.=c b a ab ++ =22)(b a b a ab+++=21（a+b-c ） 例1.已知等边三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，若⊙O 的半径为8cm 时，求△ABC 的内切圆面积。
三角形的重心的性质(二)
三角形的重心的性质（二）引言概述：三角形的重心是一个重要的概念，它不仅在几何学中起到重要的作用，还在实际生活和工程领域中有广泛的应用。
本文旨在进一步探讨三角形的重心的性质，并详细讨论重心与三角形各个要素之间的关系。
正文：一、重心的定义与性质1. 重心定义：三角形的重心是三条中线的交点，即重心是连接三角形各个顶点与中点的线段的交点。
2. 重心的位置：重心位于三角形三边中线上，与各边的长度成1:2的比例。
3. 重心的性质：重心把三角形分成三个等面积的小三角形。
4. 重心与垂心的关系：重心是垂心与质心的连接线上的一点。
二、重心与三角形各顶点之间的关系1. 重心与顶点距离：重心到各个顶点的距离相等。
2. 重心与顶点连线的中点：重心与顶点连接线的中点是三角形重心到该顶点的中点。
3. 重心与顶点连线的比例关系：重心与顶点连接线的比例为2:1。
4. 重心与顶点连线的夹角关系：重心所在的直线与通过重心的三角形顶点连线的角度相等。
三、重心与三角形边的关系1. 重心与边的距离关系：重心到三角形任意一条边的距离是到其他两条边距离的平均值。
2. 重心与边长的比例关系：重心与边所在中线长度的比例是3:1。
3. 重心与边的延长线相交：重心与三角形边的延长线相交于重心本身。
四、重心与面积的关系1. 重心与面积的比例关系：重心到三角形各个顶点线段的距离之积等于与重心到三角形各个顶点连线之积的3倍，即三角形的面积与重心之间存在1:3的比例关系。
2. 重心分割面积：重心将三角形分割成三个面积相等的小三角形。
五、重心的应用场景1. 三角形质心的判断与计算：重心是最容易计算的质心之一，可以通过三角形顶点坐标的平均值得到重心坐标。
2. 工程设计中的应用：重心在结构设计、平衡力分析等领域有重要作用，能够帮助工程师合理布局结构，并评估结构的稳定性。
3. 地理测量中的应用：三角形重心可以用于确定地理区域的位置和形状，帮助进行地图制作和空间测量分析。
三角形的重心性质
三角形的重心性质目录1. 三角形的重心性质1.1 重心的定义1.2 重心的位置1.2.1 等边三角形的重心1.2.2 直角三角形的重心1.3 重心和质心的区别1.3.1 定义区别1.3.2 几何性质区别2. 重心与三角形内部区域的关系2.1 重心到顶点的距离比2.2 重心将三角形分割的性质2.2.1 重心将三角形分割成三等面积的三角形2.2.2 重心将三角形分割成六等面积的三角形2.2.3 重心将三角形分割成三个面积比为1:2的三角形三角形的重心性质1.1 重心的定义三角形的重心是指三条中线的交点，即由三条中线交汇形成的点称为三角形的重心。
1.2 重心的位置1.2.1 等边三角形的重心在等边三角形中，三角形的重心和质心重合，且重心距离任何一个顶点和中心的距离都相等。
1.2.2 直角三角形的重心对于直角三角形，重心位于斜边上离直角边的邻边的1/3处。
1.3 重心和质心的区别1.3.1 定义区别重心是在三角形内部的点，是由三条中线交汇形成的点；而质心是三角形的三条边上的距离各角相等的点。
1.3.2 几何性质区别重心是三角形的一个几何中心，质心是三角形的一个几何参数。
重心与三角形内部区域的关系2.1 重心到顶点的距离比三角形的重心到各个顶点的距离比为2:1，即重心到顶点的距离是中位线长度的两倍。
2.2 重心将三角形分割的性质2.2.1 重心将三角形分割成三等面积的三角形三角形的重心将三角形分割成三个面积相等的三角形。
2.2.2 重心将三角形分割成六等面积的三角形三角形的重心将三角形分割成六个面积相等的三角形。
2.2.3 重心将三角形分割成三个面积比为1:2的三角形三角形的重心将三角形分割成三个面积比为1:2的三角形，其中比重心到顶点的距离2/3的那一个三角形面积为整个三角形面积的1/4，另外两个的面积之和为3/4。
三角形的高中定理教案模板
课时安排：2课时教学目标：1. 知识目标：使学生掌握三角形的高、中线、角平分线、垂心、外心、内心等基本概念，了解三角形的面积公式和性质。
2. 能力目标：培养学生运用三角形定理解决实际问题的能力，提高逻辑推理和空间想象能力。
3. 情感目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养严谨、求实的科学态度。
教学重点：1. 三角形的高、中线、角平分线、垂心、外心、内心的定义和性质。
2. 三角形的面积公式和性质。
教学难点：1. 三角形的高、中线、角平分线、垂心、外心、内心的性质和相互关系。
2. 运用三角形定理解决实际问题。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习初中阶段所学的三角形知识，如三角形分类、三角形内角和定理等。
2. 提出问题：如何计算三角形的面积？二、新课讲授1. 介绍三角形的高、中线、角平分线的定义和性质。
2. 通过实例讲解三角形的高、中线、角平分线的作法。
3. 介绍三角形的垂心、外心、内心的定义和性质。
4. 通过实例讲解三角形的垂心、外心、内心的作法。
三、巩固练习1. 完成课本上的相关练习题，巩固所学知识。
2. 针对学生的掌握情况，进行个别辅导。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 鼓励学生在课后进行复习和巩固。
第二课时一、复习1. 复习上节课所学内容，检查学生对三角形定理的掌握情况。
2. 针对学生的薄弱环节进行讲解和辅导。
二、新课讲授1. 介绍三角形的面积公式及其性质。
2. 通过实例讲解三角形面积公式的应用。
3. 讲解三角形面积公式的证明过程。
三、巩固练习1. 完成课本上的相关练习题，巩固所学知识。
2. 针对学生的掌握情况，进行个别辅导。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 鼓励学生在课后进行复习和巩固。
教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改、考试等方式，了解学生对三角形定理的掌握情况。
2. 根据学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学效果。
重心教学设计
重心教学设计温校郭程海课题：课题学习重心（第二课时）教材：人教实验版八年级（下）十九章第四节1．教学目标：（1）知识技能目标：通过寻找三角形的重心的活动，经历探究物体与图形的重心的过程，了解三角形的重心是它的三条中线的交点。
（2）数学思考目标：在探索三角形的重心等的活动过程中，经历观察、实验、猜想、探究等过程，发展几何直觉。
（3）解决问题目标：了解重心的物理意义，能用实验的方法找到重心。
（4）情感态度目标：让学生在进行实验探究过程中，感受到数学活动的乐趣，培养学生敢于动手，乐于交流，善于进行合理的推理的能力。
在学习活动中获得积极向上的情感体验，从而形成科学的价值观。
2．教学重、难点：教学重点：探究确定三角形重心的方法，培养学生的探究能力和创新意识。
教学难点：理解过悬挂的质地均匀的三角形纸板顶点的铅垂线必过对边中点。
3．教学过程：环节问题与情境师生活动设计意图1、多媒体展示图片：图片一：高空走钢丝情景一：让一位同学用手指顶课本。
创设问题情景、激发求知欲望。
2、提出课题：三角形的重心教师：从上面的两幅图片中，大家得到了什么启示？学生：按学习小组进行讨论，小组长分别汇报。
教师：根据上一节课学习的线段、平行四边形的重心的知识以及方法，你们能找到三角形的重心吗？请试试看。
学生：利用课前准备的质地均匀的三角形纸板，尝试寻找它的重心。
（在活动中学生发现——三角形的重心不象线段、平行四边形的重心那么显而易见。
）创设学习情境，感受重心是客观存在的，加强重心的感性认识，激发学习兴趣。
巩固重心的含义，这就为本节课的实验埋下铺笔，学生在“失败——成功——失败”中感受到寻找重心的快乐。
自主探究活动：探究三角形的重心实验步骤：步骤1：在一块质地均匀的三角形硬纸板的每一个顶点处钉一个小钉子作为悬挂点。
步骤2：用下端系有小重物的细线绕在一个小钉上，然后吊起硬纸片，记录垂线的“痕迹”。
步骤3：在另一个钉子上重复以上步骤，并将两条“痕迹”的交点记为。
第八讲 三角形的重心
第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。
例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。
反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。
在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。
本节将对这些知识作较系统的阐述。
一、三角形的重心如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。
∴DE ∥AB ，且.21AB DE∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED.∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1.∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F.∴G ′与G 重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。
三角形的重心必在三角形的内部。
今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。
例1 如图8-3，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AD 、CD 的中点，BE 和BF 分别交对角线AC 于M 、N ，求证：AM=MN=NC 。
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三角形重心性质定理
1．三角形重心性质定理
课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）
在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。
BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
（提示：作BO中点M，CO的中点N。
连接ED、EM、MN、ND）
分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。
这道习题要证明的结论是三角形
重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。
证法1：（根据课本上的提示证明）
（点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。
）
（点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。
）
2.三角形重心性质定理的应用
⑴求线段长
例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC 于点E，若BC=6cm，则GE= cm。
解：
⑵求面积
例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。
解：
练习：1.如图5，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。
2.如图6，在△ABC 中，G 是重心，点D 是BC 的中点，若△ABC 的面积为6cm 2，则△CGD 的面积为 。
巧用中线的性质解题
我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.
一、巧算式子的值
例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++…12n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求
23411112222++++ (12)
n +的值.
解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12
n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)
n +112n =-. 【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算.
二、求图形的面积
例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.
图2。