2020年江苏省高考数学模拟考试
2020江苏高考数学模拟考试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ▲ ．2．若复数(12)(1)i ai ++是纯虚数，则实数a 的值是 ▲ ．3．已知平面向量(1,1)a =-r ，(2,1)b x =-r ，且a b ⊥r r，则实数x = ▲ ．4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ． 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面α相交（2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β （3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直（4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 ▲ ．8．已知二次函数()f x =241ax x c -++的值域是[1,)+∞，则19a c+的最小值是 ▲ ． 9．设函数3()32f x x x =-++，若不等式2(32sin )3f m m θ+<+对任意R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ．10．若动点(,)P m n 在不等式组2400x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则1n m t m -=+的取值范围是 ▲ ．11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ()R θ∈，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值是 ▲ ．12．设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00()f x x =-，则称0x 是()f x 的一个“次不动点”，也称()f x 在区间D 上存在次不动点．若函数25()32f x ax x a =--+在区间（第5题）A BC DD 1C 1B 1A 1 [1,4]上存在次不动点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．将所有的奇数排列如右表，其中第i 行第j 个数表示为ij a ，例如329a =．若445ij a =，则i j += ▲ ．14．若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点(3,3)N ，则线段MN 长度的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a B c B b C =+． （1）求角B 的大小；（2）设向量(cos ,cos 2)m A A =u r ，(12,5)n =-r ，求当m n ⋅u r r 取最大值时，tan()4A π-的值．16．（本小题满分14分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，2AB AD =，CD AD =．（1）求证：1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．17．（本小题满分14分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m 元，根据市场调研，得知m 的波动区间是[1000,1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．（1）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？18．（本小题满分16分）已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆C 过点(2,1)M ，如图，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点,A B ．（1）当直线l 经过椭圆C 的左焦点时，求直线l 的方程；13 5 7 9 11 ……（第12题）（2）证明：直线,MA MB 与x 轴总围成等腰三角形．19．（本小题满分16分）已知函数21()(21)2ln 2f x ax a x x =-++，其中常数0a >． （1）求()f x 的单调区间；（2）如果函数(),(),()f x H x g x 在公共定义域D 上，满足()()()f x H x g x <<，那么就称()H x 为()f x 与()g x 的“和谐函数”．设2()4g x x x =-，求证：当522a <<时，在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个．20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是等差数列，且对任意正整数n 都有()33n n S S =成立，求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数n ，从集合12{,,,}n a a a L 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与12,,,n a a a L 一起恰好是1至n S 全体正整数组成的集合．（i ）求12,a a 的值；（ii ）求数列{}n a 的通项公式．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修41-：几何证明选讲如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C 、D ，且PC PD =，求证：PB 平分∠ABD ．B ．选修42-：矩阵与变换 已知矩阵122A x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为1-，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C ．选修44-：坐标系与参数方程 若直线22x t y t =⎧⎨=-⎩（参数R t ∈）与圆cos sin x y aθθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2)θπ∈，a 为常数）相切，求a的值．D ．选修45-：不等式选讲若对于一切实数x ，不等式|21||1||||21|x x x a -+-≥⋅+恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为X ．（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率； （2）X 的分布列及X 的数学期望．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，112a <<，21112n n n a a a +=+-(*)n N ∈． （1）求证：3113(,)82a ∈；（2）求证：当3n ≥时，1|2n n a <．2012江苏高考最后一卷 试题答案与评分标准数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性． 【答案】2 2．【解析】本题主要考查复数的概念和运算． 【答案】123．【解析】本题主要考查平面向量的垂直． 【答案】3 4．【解析】本题主要考查古典概型．【答案】495．【解析】本题主要考查流程图．【答案】201120126．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系． 【答案】（3）（4） 7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算．8．【解析】本题主要考查基本不等式． 【答案】3 9．【解析】本题主要考查函数的性质． 【答案】(,4)(1,)-∞-+∞U 10．【解析】本题主要考查线性规划．【答案】2[,4]3-解答如下：画出可行域（如图所示阴影部分），而1111n m n t m m -+==-++，其中11n m ++表示(,)P m n 与点(1,1)--连线的斜率k ，由图可知1[,5]3k ∈，故21[,4]3t k =-∈-11．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积． 【答案】2- 解答如下：因为22221sin cos sin cos 2AP AB AC AO AC θθθθ=⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且22sin ,cos [0,1]θθ∈，所以点P在线段OC 上，故()2PA PB PC PO PC +⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，设||PO t =u u u r([0,2])t ∈，则2()2(2)(1)24PA PB PC t t t t +⋅=-⋅-=-u u u r u u u r u u u r，当1t =时取最小值2- 12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值．【答案】1(,]2-∞ 解答如下：由题意，存在[1,4]x ∈，使25()()202g x f x x ax x a =+=--+=．当1x =时，使1(1)02g =≠；当1x ≠时，解得2452(1)x a x -=-．设245()2(1)x h x x -=-，则由222252'()0(1)x x h x x -+-==-，得2x =或12x =（舍去），且()h x 在(1,2)上递增，在(2,4)上递减．因此当2x =时，2451()2(1)2x g x x -==-最大，所以a 的取值范围是1(,]2-∞．13．【解析】本题主要考查数列的通项． 【答案】34 解答如下：可以求得通项221ij a i i j =-+-，所以221445i i j -+-=且1j i ≤≤，从而22444446i i i i ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，解得21i =，于是13j =，故34i j +=14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系．【答案】5解答如下：由题可知动直线0ax by c ++=过定点(1,2)A -．设点(,)M x y ，由MP MA ⊥可求得点M 的轨迹方程为圆:Q 22(1)2x y ++=，故线段MN 长度的最大值为5QN r +=+二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力． 解：（1）由题意，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+ …………………………………… 2分所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. …………………………………… 3分 因为0A p <<，所以sin 0A ¹. 所以1cos 2B =. ………………………………………………………………………………… 5分 因为0B p <<，所以3B π=. ………………………………………………………………… 6分（2）因为12cos 5cos2m n A A ⋅=-u r r …………………………………………………………… 8分所以2234310cos 12cos 510(cos )55m n A A A ⋅=-++=--+u r r ……………………………… 10分所以当3cos 5A =时，m n ⋅u r r 取最大值此时4sin 5A =（0A p <<），于是4tan 3A = …………………………………………… 12分所以tan 11tan()4tan 17A A A π--==+ …………………………………………………………… 14分16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力． 证明：（1） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ．…………………… 2分又Q ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，22AB AD CD ==，∴45CAB ABC ∠=∠=︒，∴BC ⊥AC ．…………………………………………… 5分∴AC ⊥平面1B BC ，∴AC ⊥1B C∴1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角．………………………………………… 7分（2）存在点P ，P 为A 1B 1的中点．………………………………………………………… 8分由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝12AB ． 又∵DC‖AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC PB 1为平行四边形，从而CB 1∥DP ． ……………………………………… 11分 又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴DP‖面ACB 1． …………………………… 12分 同理，DP‖面BCB 1． ………………………………………………………………… 14分17．本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．解：（1）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤ ……………………………………… 1分从甲地到乙地所用的时间为300x小时 …………………………………………………… 2分 则从甲地到乙地的运输成本23003000.5y x m x x=⋅+⋅，(050)x <≤ 即2150()my x x =+，(050)x <≤…………………………………………………………… 6分（2）22'150(1)my x=-…………………………………………………………………………… 8分令'0y =，得x当x ∈时，y 关于x 单调递减当)x ∈+∞时，y 关于x 单调递增 ………………………………………………… 9分50即12501600m <≤时，50x =时y 取最小值 ………………… 11分50即10001250m ≤≤时，x =y 取最小值 ……………… 13分综上所述，若10001250m ≤≤/小时时，运输成本最少；若12501600m <≤，则当货轮航行速度为50海里/小时时，运输成本最少． …… 14分18．本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．解：（1）根据2c e a ==，可设椭圆方程为222214x y b b+=，将(2,1)M 代入可得22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=………………………………………………………… 4分因此左焦点为(，斜率12l OM k k ==所以直线l的方程为1(2y x =+，即122y x =+ ………………………………… 6分（2）设直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，则11112y k x -=-，22212y k x -=- 12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x x m x x x +--++--=--121212(2)()4(1)(2)(2)x x m x x m x x +-+--=-- （*） …………………………………… 10分设1:2l y x m =+，1122(,),(,)A x y B x y 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-= 所以，122x x m +=-，21224x x m =-…………………………………………………… 13分 代入（*）式，得2121224(2)(2)4(1)(2)(2)m m m m k k x x -+----+=--2212242444(2)(2)m m m m x x --+-+=--= 所以直线,MA MB 与x 轴总围成等腰三角形． ………………………………………… 16分19．本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质、不等式与方程中的运用，考查探索、分析及求证能力．解：（1）22(21)2(2)(1)'()(21)ax a x x ax f x ax a x x x x-++--=-++==(0x >，常数0a >） 令'()0f x =，则12x =，21x a= ……………………………………………………… 2分①当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a…………………… 4分②当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞ …………………… 5分③当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a ………………… 7分（2）令21()()()(1)(23)2ln 2h x g x f x a x a x x =-=-+--，(0,2]x ∈22(2)(23)2(2)[(2)1]'()(2)23a x a x x a x h x a x a x x x-+----+=-+--==令'()0h x =，则12x =，212x a =- ………………………………………………………… 10分因为522a <<，所以21x x >，且20a -<从而在区间(0,2]上，'()0h x <，即()h x 在(0,2]上单调递减 …………………………… 12分 所以min ()(2)222ln 2h x h a ==-- ………………………………………………………… 13分又522a <<，所以222ln222ln20a -->->，即min ()0h x > ………………………… 15分设()()(22ln 2)H x f x λ=+-（01)λ<<，则()()()f x H x g x <<所以在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个 …………………… 16分。
江苏省扬州中学2024学年高三5月底高考模拟考试数学试题
江苏省扬州中学2024学年高三5月底高考模拟考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．32B ．32-C ．23D ．23- 2．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．43．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．50504．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤5．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．16．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B=A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,27．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知33a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．22y x =± D ．2y x =± 10．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)11．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件12．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年高考第二次模拟考试数学(新高考专用01)含答案
2024年高考第二次模拟考试高三数学（答案在最后）全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．B ． C.1x x ≤-,或3x >D ．【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤-，又{}1B x x =>-R ð则(){}1A B x x ⋃=>-R ð，故选：B.【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，又因为2z 为纯虚数，所以22020a b ab ⎧-=⎨≠⎩，即0a b =≠（舍）或0a b =-≠，所以i z a a =-，所以i z a a =+，所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z ---====-+++-.故选：D3.已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A.jB.j -C.2jD.2j- 【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a与b共线，则240t --=，所以2t =-，(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅⋅=⋅=，故选：C4.“1ab >”是“10b a>>”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>，当a<0时，由1ab >，得10b a<<；所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件.因为01010a b ab a a>⎧⎪>>⇔-⎨>⎪⎩，所以1ab >，所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D【解析】命题意图本题考查排列与组合的应用.录用3人，有353360C A =种情况；录用4人，有4232354333162C C A C A -=种情况；录用5人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A -+-=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（）A.()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ B.[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦C.(][) ,21,-∞-⋃+∞D.[)()2,11,---+∞ 【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥︒，由此可求解.【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a -+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=︒.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥︒，故1sin sin 302r MPD PD ∠=≥︒=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +-≥，解得[)5,1,3a ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC 所成角的正弦值的最大值为3，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A.4πB.6πC.8πD.9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥-P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【详解】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ的最大值是63，∴sin 3PA PQ PQ θ==≤，解得PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°，所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°，则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径2R OB =====，∴三棱锥-P ABC 的外接球的表面积2264π4π6π2S R ⎛==⨯= ⎝⎭．故选：B ．B．椭圆M的蒙日圆方程为D．长方形G的面积的最大值为【分析】由椭圆标准方程求得,a b后再求得c，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a2b=，则c==e==A正确；当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，=因此蒙2210x y+=，B正确；设矩形的边长分别为,m n，因此22402m n mn+=≥，即20mn≤，当且仅当m n=时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为C正确，D错误．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【分析】A，根据12||=MN x x p++结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当,,P M A三点共线时MF MP+；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x>，因为这些MN倾斜角不为0，则设直线MN的方程为32x ky=+，联立抛物线得2690y ky--=，则12126,9y y k y y+=⋅=-，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=，则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确；对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小，即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确；对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误；对D ，1212123339(()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则a =B.若EE 的实轴长为1C.若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D.当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a =====，解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=︒，则122221224PF PF aPF PF c⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=-==⋅=，故C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF aQF QF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +-=+=+，所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥=，当且仅当84a a=，即a =所以1F PQ周长的最小值为D 正确.故选：ACD【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅==⋅，则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF的距离为111141717A B n n ⋅=，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240【解析】【详解】因为二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x x ⎛+ ⎝，则二项式展开式的通项3662166C (C 2r r rr r rr T xx x--+==，令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得111433r ≤≤，因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x-⨯==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+'.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ''=-⇔++=-()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +-⎛⎫⎛⎫⇔++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos cos 1,0x x a ⇔=-=±=.故答案为014.若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +-=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D A y y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =-时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论．【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =-，圆()22114x y +-=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =-=+=-=+，当l y ⊥轴时，则1A D y y ==，所以113131622AB CD ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭；当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =-，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n -++=，所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。
2020-2021学年高考数学文科第二次模拟考试试题及答案解析高考模拟题
③已知直线 l1：ax+3y-1=0 ， l2：x+by+1=0，则 l1 l 2 的充要条件是 a
3；
b
④已知 a>0,b>0，函数 y
2ae x
b 的图象过点 （ 0,1），则 1
1
的最小值是
4
2 ，其中正确命题的序号是。
ab
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 12 分）
（ I） 求 a， b 的值；
（Ⅱ）若当 x∈ [0,+ ∞ )是，恒有 f x ≥ k g x 成立，求 k 的取值范围；
若要功夫深，铁杵磨成针！
（Ⅲ）若
5 =2.2361，试估计
5 ln 的值（精确到
0.001）
4
请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。答题时用
若要功夫深，铁杵磨成针！
最新 高三第二次模 拟考试
数学试题（文）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
150 分，考试时间 120 分钟。
第 I 卷（选择题 共 60 分）
注意事项： 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂
在其他答案标号。 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1.集合 U= x Z | x( x 7) 0 ， A={1,4,5} ， B={2,3,5}，则 A (CU B) =
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析(新高考Ⅰ卷A卷)
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析（新高考Ⅰ卷A 卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合3{|0}3x A x x +=≤-，{}3,1,0,3,4B =--，则A B ⋂的元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】303x x +≤-，()()330x x ∴+-≤，且3x ≠，33x ∴-≤<，[)33A =-，，又{}3,1,0,3,4B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，A B ⋂的元素个数为3个．故选：B.2．设i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“0ab <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题知，i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为(,)M a b ，因为点M 在第四象限，即0,0a b ><，ab <，即00a b >⎧⎨<⎩，或00a b <⎧⎨>⎩，所以“点M 在第四象限”是“0ab <”的充分不必要条件，故选：A3．已知{}n a 是各项不相等的等差数列，若14a =，且248,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项和6S =（）A ．84B ．144C ．288D ．110【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由248,,a a a 成等比数列，则2428a a a =，即()()()211137a d a d a d +=++，整理可得240d d -=，由数列{}n a 各项不相等，解得4d =，即4n a n =，()()44212n n n S n n+==+，故()6261684S =⨯⨯+=.故选：A.4．已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b ，a b += a 在向量b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭，B ．()11，C ．()1，1--D ．22⎛- ⎝⎭，【答案】B【解析】由(1,1)=b ，得b ==a b + 即42210a b ++= ，则2a b =，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b b b==.故选：B .5．函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()1e π1e cos sin 1e 21e x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭的定义域为R .定义域关于原点对称，()()()111e 1e e sin sin sin 11e 1e 1exx x x x xf x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫---=-=-== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项B 、D ，当0x >时，令()0f x =可得0x =或()πx k k =∈Z ，所以0x >时，两个相邻的零点为0x =和πx =，当0πx <<时，1e 01e xx-<+，sin 0x >，()1e sin 01e x x f x x ⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭，故排除选项A ，故选：C.6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．A ．20B ．4C ．60D ．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有2种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有5232=种分配方案，若女生都在同一小组，共有2种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有52230-=种分配方案；所以共有23060⨯=种分配方案.故选：C.7．刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（）A ．B ．24+C ．24+D ．24++【答案】B【解析】设几何体为EFABCD-，如下图所示：矩形ABCD 的面积为2446=⨯，ABE 、CDF ，两个全等的等腰梯形ADFE 、BCFE，设点E 、F 在底面ABCD 内的射影点分别为G 、H ，过点G 在平面ABCD 内作GM BC ⊥，连接EM ，过点H 在平面ABCD 内作HNCD⊥，连接F N ，FH ⊥ 平面ABCD ，H N、CD ⊂平面ABCD ，FHCD ∴⊥，FH HN⊥，HN CD ⊥ ，FH HN H = ，CD \^平面FHN ，FN ⊂平面FHN ，FN CD ∴⊥，易知2FH =，2HN =，则在CDF 中，斜高为FN===所以，12ABE CDF S S CD FN ==⋅=△△同理可知，梯形BCFE 的高为EM ===，所以，()12ADFEBCFE S S EF BC EM ==+⋅=梯形梯形因此，该几何体的表面积为(24224+⨯=+故选：B.8．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1FP 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B C D ．12【答案】D【解析】由题意，做PMx ⊥轴于点M，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1FO AM c ==，OM a c=-则点P 的横坐标为P x a c =-，代入椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>，可得py =，即PM=因为4N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则4ON =，由11F NO F PM，则114b FO ONc b F M PM a =⇒=，化简可得，434332160a ac c -+=，同时除4a 可得，43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=，对于()3281263f e e e e =---当1e =时，()1130f =-<，当2e =时，()210f =>，在()1,2e ∈时，方程()()3221812630e e e e ----=有根，且()0,1e ∈，故应舍，所以12e =.故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3%5.0%8.5%3.5%1.0%1.0%1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用1A ，2A ，3A 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B 表示乙袋取出的球是白球，则（）A ．1A ，2A ，3A 两两互斥B ．()213P BA =C ．3A 与B 是相互独立事件D ．()13P B =【答案】AB【解析】对于A ，由题意可知1A ，2A ，3A 不可能同时发生，所以1A ，2A ，3A 两两互斥，所以A 正确，对于B ，由题意可得2221131(),()844912P A P A B ===⨯=，所以()2221()1121()34P A B P B A P A ===，所以B 正确，对于C ，因为321()84P A ==，3131()4912P A B =⨯=1234413137()()()()89494918P B P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所以33()()()P A B P A P B ≠，所以3A 与B 不是相互独立事件，所以C 错误，对于D ，由C 选项可知D 是错误的，故选：AB11．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点，若C的离心率为3，连结2AF 交C 于点B ，则（）A ．C 的方程为2213x y -=B ．1290F AF ︒∠=C ．12F AF的周长为2+D ．1ABF【答案】ABD【解析】对A ，将点A 的坐标代入双曲线方程，并由222,c e c a b a==+得下列方程组：22222151441a b c a c a b⎧⎪-=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧⎪⎨⎪=⎩，∴双曲线2213xy -=，A 正确；对B ，12(2,0),(2,0)F F -，112,22F A ⎫=+⎪⎪⎝⎭，212,22F A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，121514044F A F A ⋅=-+= ，∴12F A F A ⊥，B正确；对C，1AF ===，2AF ==，1224F F c ==，周长4=，C 错误；对D ，令2BF m=，则1BF m =，225AB AF BF m =+，在1Rt ABF 中，22211BF AF AB=+，∴11m =，设1ABF 的周长为l ，内切圆半径为r ，11l AF AB BF =++，由三角形面积公式知：1111·22ABFS AF AB lr == ，∴1112ABF S r AF AB BF =++ ，D 正确；故选：ABD ．12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，123f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A ．203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝'⎭'D ．103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'【答案】ABD 【解析】因为2()3+f x 为奇函数，定义域为R ，所以22((33f x f x -+=-+，故4()(3f x f x -=-+，等式两边同时取导数，得4()()3f x f x ''--=-+，即4()()3f x f x ''-=+①，因为1(23f x -的图象关于y 轴对称，则11(2(233f x f x -=--，故2()()3f x f x =--，等式两边同时取导数，得2()()3f x f x ''=---②.由4()(3f x f x -=-+，令23x =-，得22()(33f f =-，解得2()03f =，由2()()3f x f x =--，令0x =，得2(0)(3f f =-，由②，令0x =，得2(0)(3f f ''=--，令13x =-，得11(()33f f ''-=--，解得1()03f '-=，故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ ，则5a =_____．【答案】448-【解析】令1x t +=可得1x t =-，则()1112x t t -=--=-，所以，()82801282t a a t a t a t -=++++ ，所以，5a 为展开式中5t 的系数，()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkkk kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ，所以，()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为：448-.14y 轴交于点A ，与圆221x y +=相切于点B ，则AB =______.【解析】设直线AB 的方程为y b =+0y b -+=则点()0,A b ，由于直线AB 与圆221x y +=相切，且圆心为()0,0O ，半径为1，则12b =，解得2b =±，所以2AO =，因为1BO =，故AB ==15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值(1,2,3,,100)i x i = ，经计算10017200i i x ==∑，()1002211007236i i x ==⨯+∑．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布()2,N μσ，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，3309().973P X μσμσ-≤≤+≈．【答案】97.7%【解析】因为100个数据1x ，2x ，3x ，…，100x 的平均值1001172100i i x x ===∑，方差()()1122222210010011110010072361007236100100100i i i i s x x x x ==⎛⎫⎡⎤=-=-=⨯⨯+-⨯= ⎪⎦⎣⎝⎭∑∑，所以μ的估计值为72μ=，σ的估计值为6σ=．设该市高中生的身体素质指标值为X ，由(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，得(72127212)(6084)0.9545P X P X -≤≤+=≤≤≈，()()()()12210.9545842222P X P X P X P X μσμσμσμσ--<<+->=>+=<-=≈所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2P X P X P X ≥=≤≤+>≈+⨯-=≈．故答案为：97.7%.16．已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22exg x a-'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e 0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==．（1）若BD =AD 的长；（2）求A B D △面积的最大值．【答案】（1）AD ；（2）【解析】（1）在B C D △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-．∴2222221c os 27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin 7DBC ∠=,∴2π111cos cos cos 3214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠=⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD ；（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2π)π314sin()2π3sin 3BD θθ-=+，所以π2π11sin sin 2214sin(()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34(θ=+，当2πsin ()13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，223a =，且数列(){}423n n nS n a ++是等差数列.（1）证明：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）证明见解析；13n n n a -=；（2）2122338n n T n +-=+.【解析】（1）∵11a =，223a =，∴11S =，253S =，设()423n n n c nS n a =++，则19c =，218c =，又∵数列{}n c 为等差数列，∴9n c n =，∴()4239n n nS n a n ++=，∴()2349nn n a S n++=，当2n ≥时，()1121491n n n a S n --++=-，∴()()12321401n n n n a n a a nn -+++-=-，∴()()1632101n n n a n a nn -++-=-，又∵210n +≠，∴1301n n a a n n --=-，即：1131n n a an n -=⋅-，又∵1101a =≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，∴113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，即13n n n a -=；（2）∵13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且13n n na -=，∴1,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，∴()()132121321333n n T n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()()221223193311213321988n n n n n n n +--+-⎡⎤-⎣⎦=+=+=+-，∴2122338n n T n +-=+.19．如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112A O =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===，作//CE AD 交AB 于E ，如图，则ADCE 是菱形，AE CD EB CE BC ====，BCE 是等边三角形，则60ABC ∠=︒，60DCE ECB ∠=∠=︒，30ACD ACE ∠=∠=︒，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，又1BC AA ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11A ACC ；（2）点1A 在底面ABCD 的射影为O ，由（1），得O 在AC 上，且1A O AC ⊥，又111,12A O AA ==，所以AO ，而由（1）知AC =因此2CO =，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，O ⎫⎪⎪⎝⎭，112A ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02D ⎫-⎪⎝⎭，则11,022CD BA ⎫==-⎪⎪⎝⎭，又113,022B D BD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，111,0,22DD AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以1110,,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1113,,022D M D B λ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ （01λ≤≤），131,,2222M λ⎛⎫--+ ⎝⎭，(0,1,0)CB =，131,,2222CM λλ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，则131********n CM x y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅=-+-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，取1x =，则()n = ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1m = ，2cos ,417m n m n m n λ⋅===⇒=，则12λ=（负值舍去），即11,044A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则111sin cos ,A M n A M n A M n θ⋅===⋅ ，所以，直线1A M 与平面MBC20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13，通过初赛后再通过决赛的概率均为13，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】（1）1112；（2）3181；（3）方案二更好，理由见解析【解析】（1）3人全通过初赛的概率为21112312⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为11111212-=.（2）甲参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，乙参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，丙参加市知识竞赛的概率为131139⨯=，所以，这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）方案一：设三人中奖人数为X ，所获奖金总额为Y 元，则600Y X =，且13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元，则Z 的所有可能取值为600、900、1200、1500，则()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211115002312P Z ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以，()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以，()()E Y E Z <，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．21．已知抛物线()220C x py p =>：的焦点为F ，准线l 与抛物线C 的对称轴的交点为K ，点()2D t ，在抛物线C上，且DK =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1200l kx y k k --=>：交抛物线C 于()()()112212A x y B x y x x >，，，两点，点A 在y 轴上的投影为E ，直线AE 分别与直线OB （O 为坐标原点）交于点Q ，与直线2l y x =：交于点P ，记OAP △的面积为1S ，OPQ △的面积为2S ，求证：12S S =．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析【解析】（1）作DH l ⊥，垂足为H ，则DFDH=.因为DK =，所以45DKH ∠= ，2DHHK ==.因为点()2D t ，在抛物线C 上，所以2422pt pt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去t 得：2440p p -+=，解得21p t ==，.所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()()1122A x y B x y ，，，，由2204kx y k x y--=⎧⎨=⎩，消去y 得2480x kx k -+=.则216320k k =->∆，因为0k >，所以2k >，则121248x x k x x k +==，.依题意知直线AE 的方程为1y y =，直线OB 的方程为22yy x x =.由1y y y x =⎧⎨=⎩，得P 点的坐标为()11y y ，.由122y y y y x x =⎧⎪⎨=⎪⎩得Q 的坐标为1212y x y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.要证12S S =，即证111122AP y PQ y ⋅=⋅，即证AP PQ =.即证121112y x y x y y -=-，即证12211220y x y x y y +-=.因为()112y k x =-，()222y k x =-，所以1221122y x y x y y +-=()()()()212211222222k x x k x x k x x -+----()()()222121222428k k x x k k x x k =-+-+-()()222222284248880k k k k k k k k k =-⨯+-⨯-=-=.即12211220y x y x y y +-=，所以12S S =.22．已知函数()ln a f x ax x x=--．（1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是函数()f x的两个极值点，证明：12()()f x f x a-<．【答案】（1）1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）依题意，2221()(0)a ax x a f x a x x x x-+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=，解得()10,1x =()21,x ∞=∈+，所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由（1）知，当102a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（1）知，121=x x ，121x x a +=，则21x x a-.综上，要证()()12f x f x -<，只需证()()1221f x f x x x -<-，因为()()()()2212112211121ln x x x x x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x xx x x -=+，设211xt x =>，()21()ln 1t g t t t -=+.所以()()2221414()011g t t t t '=+=+++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.。
2020年高考数学模拟试卷 (4)(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷 (4)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知偶函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，其导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有2()()0f x xf x '+>成立，若(2)1f =，则不等式2()4x f x <的解集为( )A ．{}|0,2x x ≠±B ．(2,0)(0,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(0,2)-∞-⋃2．现有7件互不相同的产品，其中有4件正品，3件次品，每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（ ）种.A ．1080B ．72C ．432D ．864 3．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，(0)0f =若对任意x ∈R ，都有()'()1f x f x >+，即使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞B ．(,0)-∞C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞ 4．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．2231344C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ B ．2233144C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 5．数列1，3，5，7，…的一个通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．31n a n =-D ．31n a n =+ 6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）．A ．115B ．215C ．15D ．4157．下列说法正确的是（ ）A ．“1x <-”是“()2lg 91x x ->”的必要不充分条件 B ．命题“00123x x ∃>>，”的否定是“123x x ∀><，”C ．若{}11|2302|::11x x p x q x x ⎧⎫∈-<∈>⎨⎬-⎩⎭，，则p q ∧是真命题 D ．若200020x x x m ∃∈-+<R ，，则实数m 的取值范围是(,1)-∞8．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩()2~90,X N σ，已知(7090)0.35P X <=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（ ）A ．0.15B ．0.50C ．0.70D ．0.859．若k ∈R 则“k >5”是“方程22152x y k k -=-+ 表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设复数11i z i+=-（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则z =（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1211．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x xf x >恒成立，则不等式21()()0x f f x x->的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(2,)+∞ D ．(,2)-∞ 12．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥”④在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知函数f （x ）=x 2﹣4x+c 只有一个零点，且函数g （x ）=x （f （x ）+mx ﹣5）在（2，3）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是______．14．设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈的两个极值点分别为12,x x ，若()()12212221f x f x e a x x e ----恒成立，则实数a 的取值范围是_______． 15．定积分()11x x e edx ---=⎰________.16．在二项式n +的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含x 的项为______．三、解答题17．已知函数()21f x x x =+--.(1)求()f x 的值域;(2)设()233(0)ax x g x a x-+=>若对于任意()0,s ∞∈+,任意t ∈R ,恒有()()g s f t ≥成立,试求实数a 的取值范围.18．甲参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．（I ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X ，求X 的分布列和数学期望．19．设函数321()32a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（1）求b ，c 的值；（2）若2a =，求函数()f x 的极值；（3）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内为单调递减函数，求实数a 的取值范围.20．已知2:8200p x x -++≥，()22:2100q x x m m -+-≤>，若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.21．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含女生45人，求n 的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 22．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是C 1上任意一点，点P在射线OM 上，且|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2，求曲线C 2的极坐标方程． 23．已知函数()ln 1ax f x x x =-+. （Ⅰ）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当()f x 有两个极值点（记为1x 和2x ）时，求证：121()()[()1]x f x f x f x x x++≥⋅-+．参考答案1．B【解析】【分析】构造新函数2()()g x x f x =，由已知可确定其导函数的正负，从而确定()g x 的单调性，同时确定()g x 的奇偶性，利用奇偶性和单调性可解不等式．【详解】当0x >时，由2()()0f x xf x '+>得，222()()()0xf x x f x x f x ''⎡⎤+=>⎣⎦， 令2()()g x x f x =，则()g x 在(,0)(0,)-∞+∞上也为偶函数，且当0x >时，()0g x '>总成立，()g x 在区间(0,)+∞上是增函数.2()4x f x <可化为(||)(2)g x g <，则||2x <，又(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，解得(2,0)(0,2)x ∈-⋃.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性不等式，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =． 2．B【解析】【分析】根据排列组合的特点依照题意列式，即可得出结果.【详解】解：根据题意，第三件次品恰好在第4次被测出，说明前三次中有两件次品和一件正品被测出.∴第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有11334372C C A ⋅⋅=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合的简单计数问题，属于基础题.3．D【解析】分析：构造函数()()1,x f x g x e -=由()()'1f x f x >+判断函数()g x 的单调性，根据单调性可得结果. 详解：构造函数：()()()0101,01x f x g x g e e--===-， 对任意x ∈R ，都有()()'1f x f x >+，()()()()()()2'1'1'0x x x x f x e f x ef x f xg x e e ⎡⎤--+-⎣⎦∴==<，∴函数()g x 在R 单调递减，()1x f x e +<化为()()()110,0x f x g x g x e -=-=∴，∴使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围是()0,∞+，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.4．C【解析】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项.点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，()()1n k k k n P X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.5．A【解析】【分析】根据1，3，5，7，…，数列的规律采用验证的方法得到数列的通项公式..【详解】因为1234211,221,231,241,...a a a a =⨯-=⨯-=⨯-=⨯-所以21n a n =-.故选：A【点睛】本题主要考查数列的通项公式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．C【解析】【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数． 其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13，可得能够组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有2615n C ==种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数133m C ==， 所以其中能够组成孪生素数的概率是31155m p n ===． 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 7．D【解析】【分析】由充分不必要条件判断A ；直接写出命题的否定判断B ；由“且”命题真假判断C ；特称命。
2023年高考第二次模拟考试卷数学(新高考Ⅱ卷A卷)(全解全析)
π 4
（
）
A． 3 9
【答案】A
B． 3 5
C． 3 9
D． 3 5
【详解】由
tan
π 12
sin
13π 3
sin
π 3
3 2
，得
tan
π 4
tan
π 12
π 6
3 3 23 1 3 3
3 .
9
23
故选：A.
5．二项式 (1 x x2 )(1 x)10 展开式中 x4 的系数为（ ）
C．当
0,
N
时，
f
x
在
π 5
,
π 5
单调且在
π 3
,
π 3
不单调，则
1.
D．当
π 12
时，若对任意的 x 有
f
x
f
π 3
成立，则
5 的最小值为
8
【答案】BCD
【详解】
f
x
2 sin
2 x
(
0)
，T
2π 2
π
，
1，故
A
错误；
f (x)max
2, f (x)min
2 ，又
f
x1
SMAPB
2S△APM
2 1 | AM 2
| | PA |
2
| PM |2 4 ，
当| PM | 取最小值时，四边形 MAPB 面积取得最小值，
此时| PM | | 11 2 | 2 2 ， 12 12
所以四边形 MAPB 面积的最小值为 2 8 4 4 ，故 A 正确；
又圆心 M (1, 1) 到直线 l 的距离 d | 11 2 | 2 2 ， 12 12
2020年高考数学模拟试卷1(文科)(新课标ⅲ)
2020年高考数学模拟试卷1（文科）（新课标Ⅲ）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{1，4}2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．13．（5分）在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球（球的大小、质地完全相同，但编号不同），里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（5分）总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A ．3B ．19C ．38D ．205．（5分）已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（136，72]B ．（72，256] C ．（256，112] D ．（112，376]6．（5分）已知数列{a n }是等比数列，函数y ＝x 2﹣5x +3的两个零点是a 1、a 5，则a 3＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．±√3D ．√37．（5分）曲线y ＝sin x ﹣2cos x 在点（π，2）处的切线方程为（ ） A ．x +y ﹣π﹣2＝0B ．x ﹣y ﹣π+2＝0C ．2x +y ﹣π+2＝0D ．2x ﹣y ﹣π﹣2＝08．（5分）已知直线l 和平面α，若直线l 在空间中任意放置，则在平面α内总有直线l ′和l （ ）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．22019﹣1B ．22019﹣2C ．22020﹣2D ．22020﹣110．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与抛物线y 2＝8x 有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2√33B ．3√22C ．√2D ．√311．（5分）已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＜0”；命题q ：函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢qD ．p ∧（￢q ）12．（5分）符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②f （x ）是奇函数，③f （x ）＜a （常数a ＞0），④f （x ）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量x 0，使f （x 0）＞d ．下列四个函数中f 1(x)=2aπarctanx ，f 2(x)=ax|x|x 2+1，f 3(x)={ a −1x x ＞00x =0−a −1x x ＜0，f 4(x)=a ⋅(2x−12x +1)中“S 函数”的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）．若向量（a →−2b →）∥b →，则m ＝ ． 14．（5分）数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），S 10＝10，则a 2+a 4+a 6+…+a 20＝ ． 15．（5分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若椭圆的离心率为√22，则k 1k 2＝ ．16．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，则四棱锥A ﹣BCFE 的体积为 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100）六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题： （1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； （2）若a =√3，A =π3，求b +c 的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 是矩形，P A ＝AB ，E 为PB 的中点． （1）若过C ，D ，E 的平面交P A 于点F ，求证：F 为P A 的中点； （2）若平面P AB ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥P A ．20．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +ax 2﹣1，且f '（1）＝﹣1． （1）求a 的值；（2）若对于任意x ∈（0，+∞），都有f （x ）﹣mx ≤﹣1，求m 的最小值．21．（12分）已知抛物线y ＝x 2上的A ，B 两点满足OA →⋅OB →=2，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ． （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得|MF |＝λ|MO |（λ＞0），若存在请说明理由； （3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是y =xtanα(π2＜α＜π)，曲线C 1的参数方程是{x =a +acosφy =asinφ（φ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2b sin θ． （1）写出l 及C 1的极坐标方程；（2）已知a =12，b ＝1，l 与C 1交于O ，M 两点，l 与C 2交于O ，N 两点，求2|OM |2+|OM ||ON |的最大值．五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +3|． （1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）若关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，求实数m 的取值范围．2020年高考数学模拟试卷1（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{1，4}【解答】解：∵A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x ＜0或x ＞2}， ∴A ∩B ＝{3，4}． 故选：C ．2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1【解答】解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴a +bi ＝﹣（﹣i ）＝i ， ∴a ＝0，b ＝1， ∴a +b ＝1， 故选：D ．3．（5分）在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球（球的大小、质地完全相同，但编号不同），里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：依题意，从10个小球中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，所以821=C n 1×C 10−n3C 104，所以n （10﹣n ）（9﹣n ）（8﹣n ）＝480，（n ∈N *） 解得n ＝4． 故选：C ．4．（5分）总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A ．3B ．19C ．38D ．20【解答】解：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，位于01至50中间，含端点， 则这四个数为：41、48、28，19， 故选：B ．5．（5分）已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（136，72]B ．（72，256]C ．（256，112] D ．（112，376]【解答】解：f （x ）＝2sin （ωx −π3）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx −π3）＝﹣1得ωx −π3=−π6+2k π，或ωx −π3=7π6+2k π， ∴x =π6ω+2kπω，或x =3π2ω+2kπω，k ∈Z ，设直线y ＝﹣1与y ＝f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =3π2ω+2πω，x B =π6ω+4πω，∵方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即3π2ω+2πω＜π≤π6ω+4πω，解得72＜ω≤256．故选：B．6．（5分）已知数列{a n}是等比数列，函数y＝x2﹣5x+3的两个零点是a1、a5，则a3＝（）A．1B．﹣1C．±√3D．√3【解答】角：由韦达定理可知a1+a5＝5，a1•a5＝3，则a1＞0，a5＞0，从而a3＞0，且a32=a1⋅a5=3∴a3=√3，故选：D．7．（5分）曲线y＝sin x﹣2cos x在点（π，2）处的切线方程为（）A．x+y﹣π﹣2＝0B．x﹣y﹣π+2＝0C．2x+y﹣π+2＝0D．2x﹣y﹣π﹣2＝0【解答】解：因为y＝sin x﹣2cos x，所以y′＝cos x+2sin x，则当x＝π时，y′＝﹣1，又因为x＝π时，y＝2，故曲线在（π，2）处的切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣π），整理得x+y ﹣2﹣π＝0，故选：A．8．（5分）已知直线l和平面α，若直线l在空间中任意放置，则在平面α内总有直线l′和l（）A．垂直B．平行C．异面D．相交【解答】解：当直线l与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B错．当直线l与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D错．当直线a在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错．不管直线l与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线l ′垂直， 因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故A 正确． 故选：A ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．22019﹣1B ．22019﹣2C ．22020﹣2D ．22020﹣1【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝2+22+23+…+22019的值， 由于S ＝2+22+23+…+22019=2(1−22019)1−2=22020﹣2．故选：C ． 10．（5分）双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）与抛物线y 2＝8x 有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则双曲线的离心率等于（ ） A ．2√33B ．3√22C ．√2D ．√3【解答】解：抛物线y 2＝8x 的焦点F （2，0），可得c ＝2．双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则2×b2a =2√2，又c 2＝a 2+b 2，联立解得：a ＝b =√2． 则双曲线的离心率=ca =√2． 故选：C ．11．（5分）已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＜0”；命题q ：函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢qD ．p ∧（￢q ）【解答】解：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1＜0”，故命题p 为假命题； 如图，函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，故命题q 为真命题． ∴p ∧q 、￢q 、p ∧（￢q ）为假命题；p ∨q 为真命题． 故选：B ．12．（5分）符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②f （x ）是奇函数，③f （x ）＜a （常数a ＞0），④f （x ）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量x 0，使f （x 0）＞d ．下列四个函数中f 1(x)=2aπarctanx ，f 2(x)=ax|x|x 2+1，f 3(x)={ a −1x x ＞00x =0−a −1x x ＜0，f 4(x)=a ⋅(2x−12x +1)中“S 函数”的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：（1）∵f 1（x ）=2aπarctan x 的定义域为R ，∵−π2＜arctan x ＜π2，∴f 1（x ）的值域为（﹣a ，a ），∵f 1（x ）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴f 1（x ）是S 函数， （2）f 2（x ）=ax|x|x 2+1的定义域为R ，∵﹣1＜x|x|x 2+1＜1，∴f 2（x ）的值域是（﹣a ，a ），∵f 2（﹣x ）=−ax|x|x 2+1=−f 2（x ），∴f 2（x ）是奇函数， 当x ＞0时，f 2（x ）=ax 2x 2+1=a −ax 2+1，∵a ＞0，∴f 2（x ）在（0，+∞）上是增函数．∴f 2（x ）是S 函数．（3）由解析式可知f 3（x ）的定义域为R ，当x ＞0时，a −1x ＜a ，当x ＜0时，﹣a −1x ＞−a ，∴f 3（x ）的值域是R ，不符合条件③，∴f 3（x ）不是S 函数．（4）f 4（x ）的定义域为R ，∵2x −12+1=1−22x +1，2x ＞0，∴﹣1＜2x−12x +1＜1，∴f 4（x）的值域是（﹣a ，a ）．f 4（﹣x ）＝a •2−x −12−x +1=a •1−2x 1+2x=−f 4（x ）．∴f 4（x ）是奇函数．∵f 4（x ）＝a （1−22x+1），∴f 4（x ）在（0，+∞）上是增函数．∴f 4（x ）是S 函数． 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）．若向量（a →−2b →）∥b →，则m ＝ −32． 【解答】解：∵向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）， ∴a →−2b →=(3−2m ，−4)， ∵（a →−2b →）∥b →，∴﹣4m ＝3﹣2m ， ∴m =−32． 故答案为：−32．14．（5分）数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），S 10＝10，则a 2+a 4+a 6+…+a 20＝ 120 ． 【解答】解：由a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），知数列{a n }是公差为2的等差数列， 由S 10＝10，得10a 1+10×9d 2=10，即a 1+92d =1， a 2+a 4+a 6+…+a 20=10(a 1+d)+(10×9)2d2＝10a 1+100d =10a 1+45d +55d =10(a 1+92d)+55d ＝10+55×2＝120． 故答案为：120． 15．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若椭圆的离心率为√22，则k 1k 2＝ −12 ．【解答】解：椭圆的离心率为√22，可得e =c a =√1−b22=√22，可得b 2a 2=12，设P （s ，t ），M （m ，n ），N （﹣m ，﹣n ），可得m 2a 2+n 2b 2=1，s 2a 2+t 2b 2=1，相减可得(m−s)(m+s)a +(n−t)(n+t)b =0，即有n−t m−s •n+tm+s=k 1k 2=−b 22=−12．故答案为：−12．16．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，则四棱锥A ﹣BCFE 的体积为56V ．【解答】解：∵三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，∴S 四边形BCFE ＝S △SBC ﹣S △SEF =12×SB ×SC ×sin∠BSC −12×SE ×SF ×sin∠BSC =12×SB ×SC ×sin∠BSC −12×12SB ×13SC ×sin∠BSC =56（12×SB ×SC ×sin∠BSC ）=56S △SBC ，设点A 到平面SBC 的距离为h ， 则三棱锥S ﹣ABC 的体积： V =13×S △SBC ×ℎ，∴四棱锥A ﹣BCFE 的体积：V A ﹣BCFE =13×S 四边形BCFE ×ℎ=13×56S △SBC ×h =56V ． 故答案为：56V ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100）六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为1﹣（0.025﹣0.015×2+0.010+0.005）×10＝0.3．补全的频率分布直方图如图所示．（2）众数为：70+802=75，设中位数为x ，则0.1+2×0.15+(x −70)×0.03=0.5⇒x =7313．抽取学生的平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71（分），所以可估计这次考试的平均分为71分．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； （2）若a =√3，A =π3，求b +c 的取值范围．【解答】解：（1）∵23cos 2A +cos2A ＝23cos 2A +2cos 2A ﹣1＝0， ∴cos 2A =125，又∵A 为锐角，cosA =15， 而a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即b 2−125b −13=0， 解得b ＝5（舍负），∴b ＝5； （2）方法一：（正弦定理）由正弦定理可得b +c =2(sinB +sinC)=2(sinB +sin(2π3−B))=2√3sin(B +π6)， ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B +π6＜5π6， ∴12＜sin(B +π6)≤1， ∴b +c ∈(√3，2√3]． 方法二：（余弦定理）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A 可得b 2+c 2﹣3＝bc ， 即(b +c)2−3=3bc ≤34(b +c)2，∴b+c≤2√3，又由两边之和大于第三边可得b+c＞√3，∴b+c∈(√3，2√3]．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A＝AB，E为PB的中点．（1）若过C，D，E的平面交P A于点F，求证：F为P A的中点；（2）若平面P AB⊥平面PBC，求证：BC⊥P A．【解答】证明：（1）因为ABCD是矩形，所以，CD∥AB，又AB⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，所以CD∥平面P AB，又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面P AB＝EF，所以CD∥EF，…………………（2分）所以AB∥EF，又在△P AB中，E为PB的中点，所以，F为P A的中点．（2）因为P A＝AB，E为PB的中点，所以AE⊥PB，AE⊂平面P AB又平面P AB⊥平面PBC，平面P AB∩⊥平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，又ABCD是矩形，所以AB⊥BC，AE∩AB＝A，AB，AE⊂平面P AB，所以，BC⊥平面P AB，P A⊂平面P AB，所以BC⊥P A．20．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax2﹣1，且f'（1）＝﹣1．（1）求a的值；（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣mx≤﹣1，求m的最小值．【解答】解：（1）对f（x）求导，得f'（x）＝1+lnx+2ax，所以f'（1）＝1+2a＝﹣1，解得a＝﹣1．（2）由f （x ）﹣mx ≤﹣1，得xlnx ﹣x 2﹣mx ≤0，因为x ∈（0，+∞），所以对于任意x ∈（0，+∞），都有lnx ﹣x ≤m ． 设g （x ）＝lnx ﹣x ，则g ′(x)=1x −1， 令g '（x ）＝0，解得x ＝1，当x 变化时，g （x ）与g '（x ）的变化情况如下表：x （0，1）1 （1，+∞）g '（x ） + 0 ﹣ g （x ）增极大值减所以当x ＝1时，g （x ）max ＝g （1）＝﹣1，因为对于任意x ∈（0，+∞），都有g （x ）≤m 成立，所以m ≥﹣1， 所以m 的最小值为﹣1．21．（12分）已知抛物线y ＝x 2上的A ，B 两点满足OA →⋅OB →=2，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ． （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得|MF |＝λ|MO |（λ＞0），若存在请说明理由； （3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标． 【解答】解：（1）由题意知，B （2，4），设A （t ，t 2）， 由OA →⋅OB →=2，得2t +4t 2＝2， 解得：t =12（舍）或t ＝﹣1， ∴A （﹣1，1）；（2）由条件知x 2+(x −14)2=λ2(x 2+y 2)， 把y ＝x 2代入得(1−λ2)y 2+(12−λ2)y +116=0， ∴△=λ2(λ2−34)，当λ＝1时，M 有两个点，当λ=√32时，M 有两个点， 当√32＜λ＜1时，M 点有四个，当λ＞1，M 点有两个， 当0＜λ＜√32，M 点不存在；（3）设B （x 1，x 12），A （x 2，x 22），由题意得：x 1x 2+x 12x 22=2，解得x 1x 2＝﹣2． 设直线AB 的方程为y ＝kx +m ， 联立{y =kx +m y =x 2，得x 2﹣kx ﹣m ＝0， 得x 1x 2＝﹣m ，又x 1x 2＝﹣2，∴m ＝2，则直线经过定点（0，2）， ∴S 四边形OABC ＝S △OAB +S △OBC ＝S △OAB +S △OBF =12×2×(x 1−x 2)+12×14×x 1=98x 1+2x 1≥2√94=3， 当且仅当x 1=43等号成立，四边形OABC 面积最小， ∴B （43，169）．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是y =xtanα(π2＜α＜π)，曲线C 1的参数方程是{x =a +acosφy =asinφ（φ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2b sin θ． （1）写出l 及C 1的极坐标方程；（2）已知a =12，b ＝1，l 与C 1交于O ，M 两点，l 与C 2交于O ，N 两点，求2|OM |2+|OM ||ON |的最大值．【解答】解：（1）将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x tan α得tan θ＝tan α， ∴l 极坐标方程是θ=α(ρ∈R ，π2＜α＜π)． C 1的普通方程是x 2+y 2﹣2ax ＝0， 其极坐标方程是ρ＝2a cos θ； （2）C 1：ρ＝cos θ，C 2：ρ＝2sin θ，将θ＝α分别代入C 1，C 2得|OM |＝﹣cos α，|ON |＝2sin α． ∴2|OM |2+|OM ||ON |＝2cos 2α﹣2cos αsin α =√2sin(π4−2α)+1． ∵π2＜α＜π，∴当α=7π8时，2|OM |2+|OM ||ON |取最大值√2+1． 五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +3|． （1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）若关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得|x ﹣1|+|2x +3|＞4， 当x ≥1时，x ﹣1+2x +3＞4，解得x ≥1； 当−32＜x ＜1时，1﹣x +2x +3＞4，解得0＜x ＜1； 当x ≤−32时，1﹣x ﹣2x ﹣3＞4，解得x ＜﹣2． 可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）； （2）由（1）可得|t ﹣1|+|2t +3| ={3t +2，t ≥1t +4，−32＜t ＜1−3t −2，t ≤−32， 可得t =−32时，|t ﹣1|+|2t +3|取得最小值52，关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立， 等价为52≤|x +l |﹣|x ﹣m |的最大值，由|x +l |﹣|x ﹣m |≤|m +1|，可得|m +1|≥52， 解得m ≥32或m ≤−72．。
2020高考数学卷模拟
2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数学(理工科)试卷注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内;2.选择题必须使用2B 铅笔填土,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写;3.请按照题号顺序在答题卡的答题区域内作答,超出答题区域的其他地方答案无效;4.作图可先试用铅笔画出，确定后必须用黑色签字笔描黑;5.保持卡面清洁、不要折叠、弄破,不准使用修正带、涂改液、刮纸刀.第一部分选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个人符合题目要求1.设集合A =x 4−x +1 x ∈R ,B = x ∈R |√2x −1−x |<2 ,则A B =().(A)(12,2).(B)(3√42,5).(C)(12,3√42).(D)(2,5).2.设复数z =−3+2i ,则复数z 绕原点逆时针旋转π2所得到的复数是().(A)−2−3i .(B)−3−2i .(C)3−2i .(D)−2+3i .3.已知a =20.5,b =log π3,c =log 2sin 2π5,则().(A)a >b >c .(B)b >a >c .(C)c >a >b .(D)b >c >a .4.函数f (x )=2x 3e x +e −x 在[−6,6]的图像大致为()A.y 84B.y 84C.x y84D.xy 845.设{a n },为等差数列，已知S 4=0,a 5=5,则().(A)a n =2n −5.(B)a n =3n −10.(C)S n =2n 2−8n .(D)S n =12n 2−2n .6.设f (x )为奇函数,且当x ≥0时，f (x )=e x −1,则d 当x <0时，f (x )=()(A)e −x −1(B)e −x +1(C)−e −x −1(D)−e −x +11of 57.设α,β是两个平面，则α∥β的充要条件是().(A)α内有无数条直线与平面β平行.(B)α内有两条相交直线与面β平行.(C)α,β平行于同一条直线.(D)α,β垂直于同一个平面.8.若x 1=π4,x 2=3π4是f (x )=sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω=().(A)2.(B)32.(C)1.(D)12.9.下列说法中错误的是().(A)正多面体只有:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种.(B)设映射f :A →B ,集合A 称为f 的定义域,B 称为f 的值域.(C)平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直当且仅当它和这条斜线的射影垂直.(D)如果事件A 的概率P (A )=0,则事件A 与它自己独立.10.若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点，则p =().(A)2.(B)3.(C)4.(D)8.11.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形，E ,F 分别是PA ,PB 的中点，∠CEF =90°,则球O 的体积为().(A)8√6π.(B)4√6π.(C)2√6π.(D)√6π.12.已知a ∈R ,设函数f (x )=x 2−2ax +2a ,x ≤1;x −a ln x ,x >1;，若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为().(A)[0,1].(B)[0,2].(C)[0,e].(D)[1,e].第二部分填空题:本部分共4道小题,每个小题5分,共20分13.若变量x ,y 满足约束条件f (x )=2x +3y −6≥0;x +y −3≤0;y −2≤0;则z =3x −y 的最大值是.14.掷三枚骰子,点数之和为9的概率是.15.△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b =6,a =2c ,∠B =60°则△ABC 的面积为xy16.如上图，已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a ,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与双曲线C 的渐近线相交于A ,B 两点，−−−→F 1A =−−→AB ,−−−→F 1B ·−−−→F 2B =0则双曲线C 的离心率为.第三部分解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题,每个考生都必须作答;第22∼24题为选考题,考生根据要求作答(每题7分,共21分)(一)必考题(共60分)17.(本题满分10分，第一小题满分4分，第二小题满6分)已知数列{a n =sin(nx )},其中x 是给定的常数.(1)求出数列{a n }的前n 项和S n 的通项公式;(2)若S n 有界,求x 的取值范围.18.(本题满分12分，第一小题满分3分，第二小题满4分,第三小题满5分)在三棱锥P −ABC 中,AC =BC =2,∠ACB =90◦,AP =BP =AB ,PC ⊥AC .(1)证明:PC ⊥AB ;(2)求面ABP 和面ACP 所成二面角的正弦值;(3)求点C 到平面APB 的距离.19.(本题满分12分，第一小题满分6分，第二小题满6分)假设一种核酸检测方法对某种特定疾病的诊断准确率是99%(有病被正确诊断和没病被正确诊断的概率都是99%).如果群体中这种病的时点患病率是0.5%,问(1)甲在这种检测方法下,在社区普查时呈现阳性,被诊断患病,问甲的确患病的概率是多少?(2)甲在这种检测方法下,连续两次都呈现阳性,被诊断患病,问甲的确患病的概率是多少?请由此解释复查的意义.20.(本题满分14分,第一小题满分7分，第二小题满7分)(1)证明:反比例函数y=kx是一个双曲线,并写出它的焦点和离心率.(2)猜测一般的双曲线x2a2−y2b2=1上任意一点M到它的两条渐进线的距离乘积的值有什么规律,证明你的结论.21.(本题满分12分，第一小题满分6分，第二小题满6分)设定义在[0,1)上的函数f(x)=12ln1+x1−x−x,g(x)=f(x)−x33(1−x2).(1)证明:当0<x<1时,g(x)<0<f(x).(2)设数列a n=n!e n n n√n,证明a n单调下降.(二)选考题：共10分，请考生在第22∼24中任选一道题作答，如果考生多做，则按给出解答的第一题计分.22.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=0100.(1)计算A2;(2)证明:不存在矩阵B=a bc d,使得B2=A.23.选修4-4:参数坐标系在平面直角坐标系[xOy]中,一簇曲线C(a,b)的参数方程为:x=|b|2+|2ab|cosθ,y=|2ab|sinθ,(θ为参数, a,b是给定的复数),平面区域D可以表示为:D=|a|2+|b|2=1C(a,b)其中的并是指对一切满足|a|2+|b|2=1的复数a,b求并集.(1)试判断区域D的形状,并证明你的结论;(2)给出区域D的面积.(结论不需要证明)24.选修4-5:不等式选讲设a,b,c是正数,且a+b+c=1.(1)证明:a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2⩾6abc;(2)证明:(a+b)(b+c)(c+a)⩾89√3abc.。
2020届全国高考仿真模拟考试(二)理科数学
2020届全国高考仿真模拟考试（二）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝( )A. ⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 答案：A解析：因为函数y ＝log 2x 在定义域内为增函数，故U ＝{y |y >0}，函数y ＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P ＝{y |0<y <12}，所以∁U P ＝{y |y ≥12}．故选A.2．[2019·河南洛阳第一次统考]若复数z 为纯虚数，且(1＋i)z ＝a －i(其中a ∈R )，则|a ＋z |＝( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案：A解析：复数z ＝a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －1－(a ＋1)i 2，根据题意得到a －12＝0⇒a ＝1，z ＝－i ，∴|a ＋z |＝|1－i|＝2，故选A.3．[2019·江西南昌二中模拟]设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p 或q 是真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案：B解析：若命题p 为真命题：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max 在x ∈[－1，1]上恒成立，又(3x )2max ＝3，所以a ≥3.若命题q 为真命题：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，则必须使x 2＋ax ＋1能取所有正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 是真命题，p ∧q 为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当p 为真命题，q 为假命题时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅，当q 为真命题，p 为假命题时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3)，故选B.4．[2019·江西南昌重点中学段考]一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成的，则该几何体的表面积为( )A ．13πB ．12πC ．11πD ．23π 答案：B解析：依题意知，题中的几何体是从一个圆台(该圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2)中挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1，母线长为2)后得到的，圆台的侧面积为π(1＋2)×2＝6π，圆锥的侧面积为π×1×2＝2π，所以题中几何体的表面积为6π＋2π＋π×22＝12π，故选B.5．[2019·湖南岳阳质检]函数f (x )＝(－x 2＋x )e x 的图象大致为( )答案：A解析：令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，所以点(1，0)在函数f (x )＝(－x 2＋x )e x 的图象上，所以排除B ，C.当x →＋∞时，f (x )→－∞，排除D ，故选A.6．[2019·江西赣州十四县(市)期中联考]古代有这样一个问题：“今有墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞长度与第三天打洞长度相同，问两鼠几天能打通墙相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：C解析：依题意得，大鼠每天打洞长度构成等差数列{a n }，且首项a 1＝1，公差d ＝12.小鼠前三天打洞长度之和为12＋1＋2＝72，之后每天打洞长度是常数2，令n ·1＋n (n －1)2·12＋72＋(n－3)·2≥2212(n 指天数，且n 是正整数)，则有n 2＋11n －100≥0，即n (n ＋11)≥100，则易知n 的最小值为6.故选C.7．[2019·河南开封定位考试]将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x (k >0)的图象重合，则k ＋m 的最小值是( )A ．2＋π4B ．2＋3π4C ．2＋5π12D ．2＋7π12答案：A 解析：将函数y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后所得到的图象对应的函数解析式为y ＝－cos[2(x ＋m )]＝－cos(2x ＋2m )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋2m (m >0)，平移后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x ＝k2sin 2x (k >0)的图象重合，所以⎩⎨⎧k2＝1，－π2＋2m ＝2n π(n ∈Z )，得k ＝2，m ＝n π＋π4(n ∈Z )，又m >0，所以m 的最小值为π4，可知k ＋m 的最小值为2＋π4.故选A.8．[2019·山西太原一中检测]已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案：D解析：令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线b ＝2a ，并平移，由图知，当平移后的直线过点(1，0)时，z 取得最大值，且z max＝2×1－0＝2.故选D.9．[2019·河南郑州摸底]现有一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，2，3的四个小球，它们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为( )A.16B.56C.38D.58 答案：D解析：随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球的所有情况共有4×4＝16(种)，其中号码相同的情况共有6种，则号码不同的概率为P ＝1－616＝58，故选D. 10．[2019·辽宁五校期末]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.334或213D.334或736 答案：D解析：由sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，得2sin B cos A ＝3sin 2A ＝6sin A cos A ，即sinB cos A ＝3sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，而C ＝π3，c ＝7，所以B ＝π6，b ＝c tan B ＝7×33＝213，所以此时△ABC 的面积为12bc ＝12×213×7＝736；当cos A ≠0时，可得sin B ＝3sinA ，由正弦定理得b ＝3a ，又c ＝7，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－(7)26a 2＝cos π3＝12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.综上可知，△ABC 的面积为334或736.故选D.11．[2019·河北唐山期中]如图，在△ABC 中，CM →＝2MB →，过点M 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，则mn ＋m 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．6 3 答案：A解析：连接AM ，由已知可得AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23m AP →＋13n AQ →.因为P ，M ，Q 三点共线，所以23m ＋13n ＝1，所以mn ＋m ＝2n ＋m 3＋m ＝2n 3＋4m3＝⎝⎛⎭⎫2n 3＋4m 3⎝⎛⎭⎫23m ＋13n ＝109＋4n 9m ＋4m 9n ≥109＋24n 9m ×4m 9n ＝2，当且仅当4n 9m ＝4m 9n ，即m ＝n ＝1时取等号，所以mn ＋m 的最小值为2.故选A. 12．[2019·陕西汉中模拟]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1，0)的直线在第一象限交抛物线于A ，B 两点，且AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k ＝( )A. 2B.22C. 3D.33答案：B解析：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(易知k >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，可得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝4－2k 2k2.又AF →·BF →＝0，易知F (1，0)，所以(1－x 1)(1－x 2)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝0，即2k 2＋2＋(k 2－1)4－2k 2k 2＝0，解得k ＝22.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2019·陕西宝鸡四校第二次联考]已知α为锐角，且sin α·(3－tan 10°)＝1，则α＝________.答案：40°解析：由题意知sin α(3－tan 10°)＝sin α·3cos 10°－sin 10°cos 10°＝sinα·2(sin 60°cos 10°－cos 60°sin 10°)cos 10°＝sin α·2sin 50°sin 80°＝sin α·2cos 40°2sin 40°cos 40°＝sin αsin 40°＝1，即sinα＝sin 40°.因为α为锐角，所以α＝40°.14．[2019·山东邹城质监]观察下列各式：12＝1×2×36；12＋22＝2×3×56；12＋22＋32＝3×4×76；12＋22＋32＋42＝4×5×96；……照此规律，当n ∈N *时，12＋22＋32＋…＋n 2＝________.答案：n (n ＋1)(2n ＋1)6解析：第一个式子：12＝1×(1＋1)×[1＋(1＋1)]6；第二个式子：12＋22＝2×(2＋1)×[2＋(2＋1)]6；第三个式子：12＋22＋32＝3×(3＋1)×[3＋(3＋1)]6；第四个式子：12＋22＋32＋42＝4×(4＋1)×[4＋(4＋1)]6；……第n 个式子：12＋22＋32＋…＋n 2＝n ·(n ＋1)·[n ＋(n ＋1)]6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.15．[2019·福建龙岩质检]若用1，2，3，4，5，6，7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性都不同的六位数，则这样的六位数共有________个(用数字作答)．答案：288解析：分两步进行，第一步，先从1，3，5，7中选3个进行排列，有A 34＝24种排法；第二步：将2，4，6这3个数插空排列，有2A 33＝12种排法．由分步乘法计数原理得，这样的六位数共有24×12＝288(个)．16．[2019·湖南四校摸底]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ，则f (16)＝________.答案：12解析：由f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＋f (x )＝0，得f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＝f (x ＋5)，所以函数f (x )是以5为周期的函数，则f (16)＝f (3×5＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即1＋a ＝0，解得a ＝－1，所以当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x －1，所以f (－1)＝－12，则f (1)＝－f (－1)＝12，故f (16)＝12.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·河南郑州高中毕业班第二次质量预测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，若a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ·2a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)依题意知a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2且n ∈N *)，且a n >0， 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，两式相除，得S n －S n －1＝1(n ≥2)，可知数列{S n }是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以c n ＝(2n －1)·22n －1，则T n ＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1 ①，4T n ＝1×23＋3×25＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1 ②， ①－②得－3T n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1＝2＋2×8(1－22n－ 2)1－4－(2n－1)×22n ＋1＝－103＋⎝⎛⎭⎫53－2n ×22n ＋1， 所以T n ＝(6n －5)×22n ＋1＋109.18．(12分)[2019·湖南高三毕业班开学调研卷]如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，且AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又因为AD ∥BC ，所以TN 綊AM ，则四边形AMNT 为平行四边形，所以MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB . (2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .由题易知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)，|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525.故直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.19．(12分)[2019·山西省太原市高三上学期期末检测卷]2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据，资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI )，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量．(1)若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQI 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；(2)下表是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170，180)内．AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)设重度污染区AQI 的平均值为x ，则74×2＋114×5＋2x ＝118×9，解得x ＝172.(2)①11月份仅有一天AQI 在[170，180)内，则AQI 小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为P ＝1830＝35.②由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 318C 012C 330＝2041 015，P (X ＝1)＝C 218C 112C 330＝4591 015，P (X ＝2)＝C 118C 212C 330＝2971 015，P (X ＝3)＝C 018C 312C 330＝11203，则X 的分布列为数学期望EX ＝0×2041 015＋1×4591 015＋2×2971 015＋3×11203＝65.20．(12分)[2019·湖南湘东六校联考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，点A (b ，0)，B ，F 分别为椭圆C 的上顶点和左焦点，且|BF |·|BA |＝2 6.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过定点M (0，2)的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点(G 在M ，H 之间)，设直线l 的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P (m ，0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：(1)由离心率e ＝12得a ＝2c ①.由|BF |·|BA |＝26，得a ·b 2＋b 2＝26，∴ab ＝23 ②. 又a 2－b 2＝c 2 ③，∴由①②③可得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2(k >0)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，易知Δ>0，∴k >12.设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，PG →＋PH →＝(x 1＋x 2－2m ，k (x 1＋x 2)＋4)，GH→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1，k (x 2－x 1))．∵菱形的对角线互相垂直，∴(PG →＋PH →)·GH →＝0，∴(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋4k －2m ＝0，得m ＝－2k4k 2＋3，即m ＝－24k ＋3k，∵k >12，∴－36≤m <0(当且仅当3k ＝4k 时，等号成立)．∴存在满足条件的实数m ，m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－36，0.21．(12分)[2019·北京朝阳区期中]已知函数f (x )＝2mx 3－3x 2＋1(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求f (x )在区间[－1，2]上的最大值和最小值；(2)求证：“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分不必要条件．解析：(1)由题意得f ′(x )＝6mx 2－6x ＝6x (mx －1)，所以当m ＝1时，f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.当x 在[－1，2]内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：max min 故f (x )在区间[－1，2]上的最大值和最小值分别为5和－4.(2)因为m >1，所以由f ′(x )＝6mx ⎝⎛⎭⎫x －1m ＝0得x ＝0或x ＝1m. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因为f ⎝⎛⎭⎫1m ＝2m ·1m 3－3·1m 2＋1＝－1m2＋1，且m >1，所以f ⎝⎛⎭⎫1m >0. 又f (－m )＝m 2(－2m 2－3)＋1<0，所以f (x )有唯一零点． 所以“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分条件．当m ＝－2时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又f ⎝⎛⎭⎫－12＝12－34＋1>0，f (0)>0，f (3)<0，所以此时f (x )也有唯一零点． 从而可知“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分不必要条件． 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·湖南衡阳八中模拟][选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若|AB |＝8，求α的值． 解析：(1)直线l 的普通方程为x ·sin α－y ·cos α＋cos α＝0，∵曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ， ∴ρ2cos 2θ＝4ρsin θ，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)代入x 2＝4y ，得t 2·cos 2α－4t ·sin α－4＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1·t 2＝－4cos 2α.∵|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝⎝⎛⎭⎫4sin αcos 2α2－4×－4cos 2α＝8， ∴cos α＝±22，α＝π4或α＝3π4.23．(10分)[2019·福建福州二检][选修4－5：不等式选讲] 已知不等式|2x ＋1|＋|2x －1|<4的解集为M . (1)求集合M ；(2)设实数a ∈M ，b ∉M ，证明：|ab |＋1≤|a |＋|b |.解析：(1)方法一 当x <－12时，不等式化为－2x －1＋1－2x <4，即x >－1，所以－1<x <－12；当－12≤x ≤12时，不等式化为2x ＋1－2x ＋1<4，即2<4，所以－12≤x ≤12；当x >12时，不等式化为2x ＋1＋2x －1<4，即x <1，所以12<x <1.综上可知，M ＝{x |－1<x <1}．方法二 设f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－12，2，－12≤x ≤12，4x ，x >12，函数f (x )的图象如图所示．因为f (x )<4，由图可得，－1<x <1，所以M ＝{x |－1<x <1}． (2)方法一 (综合法)因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1. 而|ab |＋1－(|a |＋|b |)＝|ab |＋1－|a |－|b |＝(|a |－1)(|b |－1)≤0， 所以|ab |＋1≤|a |＋|b |.方法二 (分析法)要证|ab |＋1≤|a |＋|b |，只需证|ab |＋1－|a |－|b |≤0， 只需证(|a |－1)(|b |－1)≤0，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1，所以(|a |－1)(|b |－1|)≤0成立． 所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．方法三 (分析法)要证|ab |＋1≤|a |＋|b |，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1，所以|ab |＋1≥1，|a |＋|b |≥1，所以只需证(|ab |＋1)2≤(|a |＋|b |)2，只需证|ab |2＋2|ab |＋1≤|a |2＋2|ab |＋|b |2， 只需证|ab |2＋1≤|a |2＋|b |2，只需证(|a |2－1)(|b |2－1)≤0， 又|a |2<1，|b |2≥1，所以(|a |2－1)(|b |2－1)≤0成立． 所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．。
2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)14 两角和与差的正弦、余弦、正切(解析版)
考点14 两角和与差的正弦、余弦、正切一、考纲要求1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式。
2、体会化归思想的应用；掌握上述两角和与差的三角函数公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.3、能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用。
4、掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
二、近五年江苏高考“两角和(差)的正弦、余弦和正切”是C 级要求，课标要求是“两个周期函数的叠加仍然是一个周期函数”，其本质就是a sin x +b cos x = A sin ( x + φ )的转化，根据高考考试说明只需对特殊角进行转化，不必涉及非特殊角的情形. 此外，三角恒等式的证明未必会考(近 5 年江苏高考都没有考)，但常利用三角恒等变换进行化简与变形来解决综合题，因为化简的正确性将直接关系到整道题目能否顺利、正确的解决，所以“两角和(差)的正弦、余弦和正切”这个C 级要求务必要引起足够的重视，此C 级要求与其特例“二倍角的正弦、余弦和正切” B 级要求的熟练和准确必须强化训练到位三、考点总结：注意此处的教学要求为C 级，必须要引起足够的重视. 首先，两角和(差)的正弦、余弦及正切是三角恒等变换的基础和核心，后续的二倍角等公式实际是两角和(差)的特例；其次，高考并不一定会考三角恒等式的证明(近五年的江苏省高考试卷就说明了这一点)，在这里重要的是强化三角恒等变换的能力，弱化公式的机械记忆；最后，用三角变换研究较复杂函数的性质，更易体现“在知识的交汇点处命题”这一高考命题的基本思想，这样的题目更显得活泼、有生气，这一点在 2008~2018 年的各地高考试卷中均有相当明显的反映.四、近五年江苏高考试题1、(2019年江苏卷)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】10. 【解析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22221221⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.2、(2018年江苏卷) 已知为锐角，，．（1）求的值； （2）求的值．【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此． 因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.3、(2017年江苏卷).若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 【答案】 75思路分析 α＝⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4. tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.4、(2016年江苏卷) 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 【答案】：8解法1 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以cos B cos C ≠0，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝－tan B tan C tan B ＋tanC1－tan B tan C＝－2tan 2B tan 2C 1－tan B tan C＝2－⎝⎛⎭⎫1tan B tan C －122＋14≥8，当tan B tan C ＝2时等号成立．故tan A tan B tan C 的最小值为8.解法2 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以cos B cos C ≠0，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又由tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ，从而得tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以tan A ，tan B ，tan C >0，所以tan A tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ，即tan A tan B tan C ≥22，即tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时等号成立．故tan A tan B tan C 的最小值为8.解法3 因为tan A tan B tan C ＝sin A sin B sin C cos A cos B cos C ，而sin A ＝2sin B sin C ，所以tan A tan B tan C ＝sin 2A2cos A cos B cos C ，又cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ，从而cos B cos C ＝sin B sin C －cos A ＝12sin A －cos A ，故tan A tan B tan C ＝sin 2A 2cos A ⎝⎛⎭⎫12sin A －cos A ＝tan 2A tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8(因为△ABC 为锐角三角形，所以tan A tan B tan C >0，故tan A －2>0)，当且仅当tan A ＝4时等号成立．故tan A tan B tan C 的最小值为8.5、(2015年江苏卷) 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________【答案】： 3【解析】由题意得tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βtan α＝17＋21－27＝3.6、(2015年江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1) 求AB 的长； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 解题过程：(1) 因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210. 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 五、三年模拟题型一 两角和与差的正弦、余弦和正切1、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且 cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ()2θ－6π的值为________．【答案】5214因为θ是第四象限角，所以sin θ<0， 则sin θ＝－1－cos 2θ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）＝sin θcos π4＋cos θsin π4cos 2θ＝22（sin θ＋cos θ）cos 2－sin 2θ＝22（sin θ＋cos θ）（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）＝2245－⎝⎛⎭⎫－35＝5214.解后反思 本题考查了同角三角函数关系，诱导公式，两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式的应用，应注意正确选择二倍角的余弦公式进行化简．2、(2019扬州期末）设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba ＝________．【答案】 3解法1(方程法) 因为a ，b 是非零实数，由a sin π7＋b cos π7a cos π7－b sin π7＝tan 10π21，得tan π7＋b a 1－b a tanπ7＝tan 10π21，解得ba ＝tan10π21－tan π71＋tan 10π21·tanπ7，即b a ＝tan ⎝⎛⎭⎫10π21－π7＝tan π3＝ 3. 解法2(系数比较法) tan 10π21＝tan ⎝⎛⎭⎫π7＋π3＝tan π7＋31－3tan π7＝sin π7＋3cos π7cos π7－3sin π7，tan 10π21＝sin π7＋b a cos π7cos π7－b a sinπ7＝sin π7＋3cos π7cos π7－3sin π7，所以ba ＝ 3.解后反思 为了求b a 的值，自然要解出ba ，所以解法1是最自然的一种解法；解法2通过配角的技巧，再通过系数比较法求出了ba的值，技巧性强了点．3、(2018南京、盐城一模） 已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________． 【答案】34π【解析】因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan αtan β－(tan α＋tan β)＋1＝2，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，所以tan (α＋β)＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，即α＋β＝34π4、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________．【答案】 97【解析】 由三角函数的定义可知tan α＝21＝2，tan β＝15，故tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－151＋2×15＝97.5、(2017南京、盐城二模） 若sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α的值为________． 【答案】43－310【解析】令α－π6＝β，由已知得β是锐角，且sin β＝35，cos β＝45，所以cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝cos βcos π6－sin βsin π6＝45×32－35×12＝43－310.6、(2017苏州暑假测试） 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________. 【答案】 －4＋6215【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215. 7、(2017苏北四市一模）若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．【答案】 －13【解析】因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13. 8、(2017苏锡常镇调研) 已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 【答案】 23－4解法 1 由题意可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12－π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π12，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12·sin π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝－23－21＋3＝23－4. 解法2 tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝3－11＋3＝2－ 3.因为sin α＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6，即sin α＝332sin α＋32cos α，即tan α＝32－33，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝tan α＋tan π121－tan αtan π12＝32－33＋2－31－32－33－3＝16－83－4＝23－4.9、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B .若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1) 求cos(α－β)的值； (2) 求α＋β的大小．【答案】规范解答 因为锐角α的终边与单位圆交于点A ，且点A 的横坐标是31010，所以由任意角的三角函数的定义可知cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010.(2分) 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.(4分) (1) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×⎝⎛⎭⎫－55＋1010×255＝－210.(8分)(2) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×⎝⎛⎭⎫－55＋31010×255＝22.(11分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2， 所以α＋β＝3π4.(14分)易错警示 求角的大小，经常会因为忽略角的取值范围而导致增解．另外，在求角的大小时，一般地，应首先确定所求角的范围，然后根据角的范围来确定求角的哪个三角函数，通常所选择的那个三角函数应该在范围内是单调的．题型二 二倍角的正弦、余弦和正切1、(2019镇江期末） 若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________． 【答案】 －78解法1 设π4－α＝β⎝⎛⎭⎫β∈⎝⎛⎭⎫－34π，－π4，则α＝π4－β.由2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，得2cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2sin 2β＝4sin βcos β＝sin β，而sin β≠0，故cos β＝14.所以sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝cos 2β＝2cos 2β－1＝－78. 解法2 由2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α得2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝22(cos α－sin α)．又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α－sin α≠0，故cos α＋sin α＝22.两边平方得sin 2α＝－78. 2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，已知向量a ＝(6sin α，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b .(1) 求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12的值． 【解析】(1) 因为a ＝(6sin a ，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b . 所以6sin a ＋2cos α＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝64.2分 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，(4分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝104， 故sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝64所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝155.(6分)(2) 由(1)得cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫1042－1＝14.(8分)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝154.(10分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12＝＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫2a ＋π3sin π4(12分) ＝2－308.(14分) 3、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1) cos α的值； (2) sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． 思路分析 (1) 记α＋π4＝β，则cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝22(cos β＋sin β)，所以要先求出cos β.(2) 2α－π4＝2β－3π4，由(1)易得sin2β与cos2β的值．规范解答 (1) 记α＋π4＝β，则β∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，sin β＝210，cos β＝－1－sin 2β＝－7210.(3分) 所以cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝22(cos β＋sin β)＝－35.(6分) (2) 由(1)得，sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2β－3π4＝－22(sin2β＋cos2β)．(10分) 因为sin2β＝2sin βcos β＝－725，cos2β＝cos 2β－sin 2β＝2425，(12分)所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝－17250.(14分) 解后反思 (1) 也可由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，展开得sin α＋cos α＝15.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，及α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，解得sin α＝45，cos α＝－35.(2) 由(1)得sin2α＝－2425，cos2α＝－725，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝22(sin2α－cos2α)＝－17250.。