江苏省2020年高考理科数学模拟试题及答案
江苏省2020年高考理科数学模拟试题及答案
江苏省2020年高考理科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）、选择题（本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
）1.已知全集 U =R ，集合 A={x|2x>4}, B ={x|(x-1)(x-3)<0},则(@AflB=()的焦点距离相等，那么这样的点 P 有（）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积A. (1,2)B. (1,2]C. (1,3)D.(-二，2]2.已知复数z =（a+i ）（1 -i ） （i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 y = 2x 上，则实数a 的值A. 0B. -1C. 11 D.33 . AABC 的内角 A, B, C 的对边分别为b = J6, 8=60%则C 等于（）A. 30. 60. 150. 30°或150°4 .执行如图所示的程序框图，如果输入5. 6. A. 6 B. 24 C. 120 D. 720已知等差数列 A.1｛叫的前行项和为且取 ”&产2,则凡二B.C.D. 30已知直线1 ：做-孙+ 6=0和抛物线C ： / 二做，P 为C 上的一点，且P 到直线l 的距离与P 到CA.0个B. 1个C. 2个D. 无数个7. N=4,则^^出p 为（开始/ IttU P/A. IL 2e 2B.e-1,J2C. D. ；——；.•；8 .从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中，每个袋子中至多放入 1个球，且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有( )A. 46 种 B .36 种 C . 72 种 D . 42 种x 2y 29 .已知双曲线c ：-2—q=1 ( a>0,b >0)的左焦点为F ,第二象限的点 M 在双曲线 a b bC 的渐近线上，且|OM | = a ,若直线MF 的斜率为一，则双曲线的渐近线万程为() a A. y = ±x B . y = ±2x C. y = ±3xD . y = ±4x2n — i32i 10 .已知数列但J 的通项公式是 %小——,其前E 项和5n = 7丁，则项数内=2nt)4p = f (log 4 25 ),则m, n, p 的大小关系为() A. m p n B. p n m C. p m n D. n p m12.已知函数f(x) = e x-ax-1在区间(-1,1)内存在极值点，且f (x )<0恰好有唯一整数解，则a的取值范围是(其中e 为自然对数的底数，e = 2.71828||| )A. 13B. 10C. 9D. 611.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+ 8)单调递增，设m = f 1log 21 I, n = f (7皿-e 2-1 e-1；/C. |丁丈,——U(e-1,e ) D.(e -1,e)je e J二、填空题(本题共 4小题，每小题5分，共20分。
江苏省2020年高考理科数学模拟试题及答案(二)
江苏省2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（ ）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（ ）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （ ）。
A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（ ） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（ ）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)
2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。
2020年江苏省高考数学模拟试卷(5)
22．（ 10 分） 在直角坐标系
xoy 中， 点
P（
0，﹣
1），曲线
??1：
{
??= ??=
?-1???+???????????（??t?为??参数），
其中 0≤α＜π，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： ρ+ρcos2θ＝
8sinθ．
（Ⅰ）若
??=
??，求 4
C1 与
??= 6 ∴ a+b＝﹣ 2．
故答案为：﹣ 2．
2．（ 5 分）已知全集 U ＝ {1 ， 2， 3， 4} ，集合 A＝ {2 ， 3} ，集合 B＝ {1 ， 3} ，则 A∩（ ? UB） ＝ {2}
【解答】 解：∵全集 U＝ {1 ， 2， 3， 4} ，集合 A＝ {2 ， 3} ，集合 B＝ {1 ， 3} ，
﹣ ANC 与四棱锥 P﹣ ABCD 的体积的比值为
．
9．（ 5 分）已知点 P（ 2，2 √2）为抛物线 y2＝ 2px 上一点，那么点 P 到抛物线准线的距离是
．
10．（ 5 分）已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为
48π，则圆柱的
侧面积为
．
11．（ 5 分）设 [ x]表示不超过 x 的最大整数，如 [ π] ＝ 3，[ ﹣ 3.2] ＝﹣ 4，则 [ lg1]+[ lg2]+[ lg3]+ …
1 ．
4
【解答】 解：设平行四边形 ABCD 的面积为 2S，则三角形 ABC 的面积为 S；设四棱锥 P
﹣ ABCD 的高为 2h，则三棱锥 N﹣ ABC 的高为 h，
∵ N 为线段 PB 的中点，
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2020年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析
2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。
2020年江苏省高考数学模拟试卷及答案
2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数iiz 23-=，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23π的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ．5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教（每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数1281--=x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin -=θ，23πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆221x y m +=的离心率是 ． 10．若曲线12+-=x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则BA tan 3tan 2-的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(22=-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ，在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，︒=∠90DAB ，1==DC AD ，AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ．14．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1()()2f t f t+=-，则224ab +的最小值为 ．（第3题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小； （2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ．17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．18．(本小题满分16分)2020年5月1日，某礼品公司计划推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构（该图为轴对称图形），其中△ABC 的支撑杆AB ，CD 由长为3的材料弯折而成（即3=+CD AB ），AB 边的长为t 2（1≤t ≤23）（CA ，CB 另外用彩色线连结，此处不计）.在如图所示的平面直角坐标系中，支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线，其表达式为1cos y x=-，记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是抛物线249y x =的一段，此时记结构的最低点O 到 点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？ （参考数据cos10.54=）19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（1）设12e ，求BCAD值；（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈．（1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x x f ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围； （3）若对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x x f -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．数学附加题21．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征向量.（1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值.（B ）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A （异于极点O ），求直线CA 的极坐标方程.22．（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数,,2,2i i --其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ23．（本小题满分10分） 在自然数列1,2,3,,n 中，任取(0),)k k n k N ≤≤∈个元素，其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求34(1),(0)P P ； （2）证明：11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.数学答案一、填空题．1．[1,2) 2．3- 3．4 4．(1,3)- 5．16 6．]2,(--∞ 7．n n 22+ 8．7249．310．34 11．3 12．]433,433[+- 13．]32,38[-- 14．165一、解答题．15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab c b a c b a 3))((=++-+． （1）求角C 的大小；（2）若53)3sin(=-πB ，求A sin 的值．解析：（1）由ab c b a c b a 3))((=++-+，得ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222………………………………………………………………2分由余弦定理得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ，……………………………4分 因为),0(π∈C ，所以3π=C ……………………………………………………6分（2）由（1）知3π=C ，则)32,0(π∈B ，则)3,3(3πππ-∈-B ，………………………8分 因为53)3sin(=-πB ，所以54)3(sin 1)3cos(2=--=-ππB B …………………10分又因为π=++C B A ，所以)3sin()sin()](sin[sin ππ+=+=+-=B C B C B A]32)3sin[(ππ+-=B …………………………………………………………12分 32sin )3cos(32cos )3sin(ππππ-+-=B B103342354)21(53-=⨯+-⨯=……………………………………………14分 16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，BC AC =，点D 在AB 上，E 为AC 的中点， 且//BC 平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面⊥PCD 平面ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PCD ． 解析：（1）因为//BC 平面PDE ，⊂BC 平面ABC ， 平面⋂PDE 平面DE ABC =，所以DE BC //，………………………………………………4分 因为⊄DE 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以//DE 平面PBC …………………………………………6分 （2）在ABC ∆中，因为E 为AC 的中点，BC DE //，所以D 是AB 的中点…………………………………………8分 因为BC AC =，所以CD AB ⊥，……………………………10分 因为平面⊥PCD 平面ABC ，平面⋂PCD 平面CD ABC =，⊂AB 平面ABC ，所以⊥AB 平面PCD ，………………………………………………12分 因为⊂AB 平面PAB ，所以平面⊥PAB 平面PCD …………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)已知函数1()|1|4=--f x x x ．（1）解方程()0f x =；（2）设()()g x xf x =，求()g x 在[0,2]上的最小值．（1）21104x x x ≥⎧⎪⎨--=⎪⎩或21104x x x <⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：x =或12x =； ……………………4分 （2）322321(01)14()|1|14(12)4x x x x g x x x x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=--=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，则 22132(01)4'()132(12)4x x x g x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ……………………………………………………6分（1）当12x <≤时，()0g x '<，()g x 在[1,2]上单调减，此时min ()g x =9(2)2g =-……8分 （2）当01x ≤≤时，令'()0g x =，解得：x =或x =；∴当0x ≤<时，'()0g x <1x <≤时，'()0g x >； ∴()g x在上单调减，在上单调增， 此时min ()g x=g =………………………………………………12分又92>-，………………………………………………………………13分()g x 在[0,2]上的最小值为9(2)2g =-…………………………………………………14分 18． 解析：（1）对于曲线1C ，因为曲线AOB 的表达式为x y cos 1-=， 所以点B 的坐标为)cos 1,(t t -，所以点O 到AB 的距离为t cos 1-，…………………………………………………………2分因为t DC 23-=，所以4cos 2)cos 1()23()(1+--=-+-=t t t t t h （231≤≤t ）；……………………………4分 对于曲线2C 249y x =，则点B 的坐标为)94,(2t t ， 所以点O 到AB 的距离为294t ，…………………………6分因为t DC 23-=，所以3294)(22+-=t t t h （231≤≤t ）…………………8分（2）因为0sin 2)(1<+-='t t h ， 所以)(1t h 在]23,1[上单调递减，所以当1=t 时，)(1t h 取得最大值1cos 2-………………10分因为43)49(94)(22+-=t t h ，（231≤≤t ）所以当1=t 时，)(2t h 取得最大值为913，……………………………………………………12分因为132cos1 1.469-=>，所以选用曲线1C ，………………………………………………14分且当1=t 时，点O 到点C 的距离最大，最大值为1cos 2-…………………………………16分19．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （1）设12e =，求BC AD值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解析：（1）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>>…………………………………………2分设直线:l x t =(||)t a <，分别与C 1，C 2的方程联立， 求得2222(,),(,)a b A t a t B t a t b a--……………………………………………………4分 当12e =时，3b a =，分别用,A B y y 表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||24B A y BC b AD y a ===……………………………………………………………………8分（2）t =0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率与AN 的斜率相等，即a b t t a=- 解得222221ab e t a a b e-=-=--- ……………………………………………………………12分 因为||,01t a e <<<，所以2211e e -<，解得12e <<…………………………………14分所以当02e <≤l ，使得BO //AN ；……………………………………15分1e <<时，存在直线l 使得BO //AN .…………………………………………………16分20．(本小题满分16分)已知函数x k x x x f )1(ln )( +-=，R k ∈． （1）若1-=k ，求)(x f 的最值；（2）若对于任意][3e e x ，∈，都有x x f ln 4)(<成立，求实数k 的取值范围；（3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有k x xf -->2)(成立，求整数．．k 的最大值．解析：（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为k ＝－1，所以f (x )＝x ln x ，f ′ (x )＝ln x ＋1． 列表如下：所以，f (x )的最小值为－1e ，没有最大值；………………………………………………4分（2）对于任意][3e e x ，∈，都有f (x )＜4ln x 成立，等价于对于任意][3e e x ，∈，都有k ＋1＞(1－4x)ln x 成立， ………………………6分令g (x )＝(1－4x )ln x ，所以g′ (x )＝x －4＋4ln x x 2．因为][3e e x ，∈，所以g′ (x )＞0，所以g (x )在][3e e x ，∈时单调递增． ……………8分因为g (x )在][3e e x ，∈时的最大值是g (e 3)＝3－12e3 ．所以，实数k 的取值范围是(2－12e3 ，＋∞)； (10)分（3）对于任意]2[2e x ， ∈，都有f (x )＞－2x －k 成立，即对于任意]2[2e x ， ∈，都有(ln x －k －1)x ＞－2x －k 成立，因为]2[2e x ， ∈，所以(ln x －k －1)x ＞－2x －k 等价于k ＜x ln x ＋xx －1． ………………12分令h (x )＝x ln x ＋x x －1 ，所以h ′ (x )＝－ln x ＋x －2(x －1)2．令p (x )＝－ln x ＋x －2，求得p′ (x )＝x －1x ．当]2[2e x ， ∈时所以p′ (x )＞0，p (x )在]2[2e x ， ∈上单调递增．因为p (3)＝1－ln3＜1－lne ＝0，p (4)＝2－2ln2＞2－2lne ＝0，且p (x )图像不间断， 所以p (x )在区间(3，4)内有唯一零点，…………………………………………………14分 设唯一零点为x 0，则x 0∈(3，4），且p (x 0)＝－lnx 0＋x 0－2＝0，即lnx 0＝x 0－2．所以，h (x )在[2，x 0]上单调递减，在[x 0，e 2]上单调递增，h (x )在x ＝x 0时取到最小值h (x 0)． 因为lnx 0＝x 0－2，所以h (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－1＝x 0，所以整数k 的最大值为3．………………………………………………………………16分数学附加题参考答案21．（A ）【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分） 设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征向量. （1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值.解(1)设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 是属于特征值λ的一个特征向量，则2223233a λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……2分即262124a λλ+=⎧⎨=⎩，解得41a λ=⎧⎨=⎩，故实数a 的值为1…………………………………………5分 （2）矩阵M 的特征多项式212()(1)(2)63432f λλλλλλλ--==---=----……8分 由()0f λ=，得4λ=或1λ=-，故矩阵M 的特征值为4和1-…………………………10分 21．（B ）【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.解：圆C ：θρθρπθρρsin 2cos 24cos 22+=⎪⎭⎫⎝⎛-= 所以02222=--+y x y x …………………4分所以圆心⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,22C ，与极轴交于()0,2A …………………6分直线CA 的直角坐标方程为2=+y x …………………8分即直线CA 的极坐标方程为14cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． …………………10分22．（本小题满分10分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数,,2,2i i --其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ解：（1）1()2P A =……………………………………………………………………………2分 00413441111511()1()1[(()()()()]122221616P B P B C C =-=-+=-=……………5分 （2）ξ可取1，2，4…………………………………………………………………………6分418141(1)(2)(4)164162164P P P ξξξ=========……………………8分 列出概率分布表：1119()1244244E ξ=⨯+⨯+⨯=…………………………………………………………10分23．（本小题满分10分） 在自然数列1,2,3,,n 中，任取(0),)k k n k N ≤≤∈个元素，其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . （1）求34(1),(0)P P ； （2）证明：11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()nn k kP k =∑的值.解：（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，所以3(1)3P =.……………………………………………………………………………………2分 数列1，2，3，4中保持0个元素位置不动的排列，即每个数字都不在原来的位置上， 所以4(0)9P =.……………………………………………………………………………………4分 （2）数列1,2,3,,n 中任取其中k 个元素位置不动，则有kn C 种，其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()(0)kn n n k P k C P -=故()(0)nnknn n k k k kP k kCP -===∑∑，又11k k n n kC nC --=……………………………………………6分所以11111000()(0)(0)()nnn n kknn n kn n k n k k k k okP k kCP n C Pn P k -------=======∑∑∑∑，…………………8分对任意的0,()!nnk n N P k n =∈=∑，从而11()(1)!n n k Pk n --==-∑所以()(1)!!nnk kP k n n n ==-=∑………………………………………………………………10分。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密★启用前2020 年高考模拟试题（一）理科数学时间：120 分钟分值：150 分注意事项：封号位座1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
密第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题,每小题 5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一不号场考项是符合题目要求的.a b1．已知a，b 都是实数，那么“2 22 2”是“a b ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件订22．抛物线x 2py ( p 0) 的焦点坐标为（）装号证考准p A．,0218p3 6 0 x y≤p218pB．,0C．0,D．0,3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（）A．24 种B．16 种C．12 种D．10 种只4．设x，y 满足约束条件x y 2≥0 ，则目标函数z 2x y 的最小值为（）x≥0, y≥0A． 4 B． 2 C．0 D．2卷5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（）名姓A．5B．34 C．41 D．5 2 此6．sin xf x xx,0 U 0, 大致的图象是（）A．B．C．D．级班7．函数 f x sin x cos x( 0)在,2 2上单调递增，则的取值不可能为（）A．14B．15C．12D．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为 A ，从集合 A 中任取一个元素 a ，则函数 ay x ，x 0, 是增函数的概率为（）A．35B．45C．34D．37开始x 3否x≤ 3是2 2y x x结束输出yx x 11x9．已知A，B 是函数y 2 的图象上的相异两点，若点A，B 到直线y 的距离相等，2则点A，B 的横坐标之和的取值范围是（）A．, 1 B．, 2 C．, 3 D．, 410．在四面体ABCD 中，若AB CD 3 ，AC BD 2，AD BC 5 ，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．2 B．4 C．6 D．811．设x 1是函数 3 2f x a 1x a x a 2x 1 n N 的极值点，n n n数列a n 满足a1 1 ，a2 2 ，b n log 2a n 1 ，若x 表示不超过x的最大整数，则2018 2018 2018L =（）bb b b b b1 2 2 3 2018 2019A．2017 B．2018 C．2019 D．2020ax12．已知函数 f x e a R 在区间0,1 上单调递增，则实数a的取值范围（）xeA．1,1 B．1, C．1,1 D．0,第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共20 分.13．命题“x0 0 ， 2 x0 mx0 2 0”的否定是_________．_C 2π314．在△ABC 中，角 B 的平分线长为 3 ，角，BC 2 ，则AB _________．_15．抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，过F 的直线与抛物线交于 A ，B 两点，且满足A FBF4，点O 为原点，则△AOF 的面积为_________．_16．已知函数f xx x x22 3 sin cos 2cos 02 2 2的周期为2π3 ，当πx 0，3 时，函g x f x m数恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是_________．_三、解答题：共70 分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
元．
（ 3）根据题意及
，揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加
7
（元），
将题目中的天数转化为频率，得
若不裁员，则每天可揽件的上限为
件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为 若裁员 人，则每天可揽件的上限为
（元）； 件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为
（元）
因
以记录的 天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
（ 1）计算该公司 天中恰有 天揽件数在
的概率；
（ 2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（ 3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目
前前台有工作人员 人，每人每天揽件不超过
件，每人每天工资 元，公司正在考虑是否将前台
∴ｋAM∈（
，0） （0， ），
8
（Ⅱ）由题意 F（ ，0）， M（x 0，y 0），其中 x0≠± 2，则
1，
直线 AM的方程为 y
（ x+2），令 x＝0，得点 P 的坐标为（ 0，
），
∵ｋBM
=kAQ
，∴直线 AQ的方程为 y
（ x+2），
令 x＝0，得点 Q的坐标为（ 0，
），由
（，
），
（，
的焦点距离相等，那么这样的点 P 有（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 无数个
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为1源自.B.C.D.
8. 从 2 个不同的红球， 2 个不同的黄球， 2 个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝
试题考生都必须作答．第 22、 23 为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题（共 60 分）
17. （本题满分 12 分）
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，已知
，
，
.
（ 1）求角 ；
（ 2）若点 满足
，求 的长 .
18. （本题满分 12 分）
如图，在三棱锥
中，
底面 ，
为 的中点
（ 1）求证：
由直线 l 的参数方程
2 x＝－ 2＋ 2 t ，
2 y＝－ 4＋ 2 t
消去参数 t ，得 x－ y－ 2＝0. ……５ 分
(2) 直线 l 的参数方程为
2 x＝－ 2＋ 2 t ，
2 y＝－ 4＋ 2 t
( t 为参数 ) ，
代入 y2＝ 2ax, 得到 t 2－ 2 2(4 ＋ a) t ＋ 8(4 ＋ a) ＝ 0，则有 t 1＋ t 2＝ 2 2(4 ＋a) ， t 1· t 2 ＝8(4 ＋ a). 因为 | MN| 2＝ | PM| ·｜PN| ，所以 ( t 1－ t 2) 2 ＝( t 1＋ t 2) 2－ 4t 1·t 2＝ t 1· t 2. 解得 a＝1. ……… 10 分
e
1，
由（ 1）可得 f x 在 1,ea 1 上单调递减，在 ea 1,
上单调递增；
所以 f x min
f ea 1
1
ea
1
，
又存在 x 1, ，使 f x e 1 a 3 成立，
所以，只需 1 ea 1 e 1 a 3 成立，即 ea 1 e 1 a 3 1 0 不等式成立，
令 h x ex 1 e 1 x 3 1，
p f log4 25 , 则 m, n, p 的大小关系为 ( )
A. m p n
B.
p n m C.
p m n D.
npm
12. 已知函数 f x ex ax 1在区间 (-1,1) 内存在极值点 , 且 f x 0 恰好有唯一整数解 , 则 a
的取值范围是 ( 其中 e 为自然对数的底数 , e 2.71828 )
A． 30
B
． 60
C
． 150
D
4. 执行如图所示的程序框图，如果输入 N=4，则输出 p 为（
）
． 30 或 150
A. 6
B. 24
C. 120
D. 720
5. 已知等差数列
的前 项和为 ，且
，则
（）
A.
B.
C.
D.
6. 已知直线
和抛物线 C：
，P 为 C上的一点，且 P 到直线 l 的距离与 P 到 C
15. 设等比数列
的前 项和是 ，若
，则
__________．
16. 已知点
，抛物线
的焦点为 ，连接 ，与抛物线 相交于点 ，延长 ，与
抛物线 的准线相交于点 ，若
，则实数 的值为 __________ ．
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17～ 21 题为必考题，每个
在
中，因为
，
，所以
，
所以在
中，
，
，
由余弦定理得
所以
.
18. （ 1）在
中，由余弦定理得
因为 为 的中点，则
．
因为
，则
，
，则
．
，所以
．
因为
，则
．
因为
底面 ，则
，所以
平面 ，从而
．
（ 2）分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
6
设
，则点
，
设平面 的法向量为
， ，则
，所以 ，即
江苏省 2020 年高考理科数学模拟试题及答案
（满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。）
1. 已知全集 U R ，集合 A x | 2x 4 , B { x | ( x 1)(x 3) 0} ，则 eU A B （ ）
e2 1
A. 2e2 ,e
B.
e2 1 2e2 ,1
e2 1 e 1,
2
2
e2 1 e 1
C. 2e2 , e
e 1,e
D.
e 1,e
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
5
13. 1 x 2x2 展开式中的 x6 的系数为 _______
14. 若向量 a (2, x), b ( 2,1) 不共线，且 (a b) (a b) ，则 a b ______
，直线 l 与曲线 C分别交于 M， N两点 .
(1) 写出曲线 C和直线 l 的普通方程； (2) 若 | PM| ， | MN| ， | PN| 成等比数列，求 a 的值 .
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
设不等式
的解集为 M．
(1) 求集合 M；
(2) 已知
，求证：
．
5
分。）
22． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建坐标系， 已知曲线 C： ρ sin 2θ ＝ 2acos θ ( a＞ 0) ，已知过点 P( － 2 ，－ 4) 的直线 l 的参数方程为
4
2 x＝－ 2＋ 2 t
2 y＝－ 4＋ 2 t
的三个袋子中，每个袋子中至多放入 1 个球，且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有
（
）
A． 46 种
B ． 36 种 C ．72 种 D ． 42 种
9.
已知双曲线
x2 C : a2
y2 b2
1 （ a 0,b 0 ）的左焦点为 F ，第二象限的点 M 在双曲线
C 的渐近线上，且
|OM |
a ，若直线
参考答案
一、选择题 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.D 11.C 12.C 二、填空题
13. 30 14.
3 15.
16.
三、解答题
17. （ 1）由题设及正弦定理得
又
所以
.
， ，
由于
，则
.
又因为
，
所以
.
（ 2）由正弦定理易知
，解得
.
又因为
，所以
，即
.
21．（本题满分 12 分）
已知函数 f x x ln x ax 1 a R .
（ 1）讨论 f x 在 1, 上的零点个数；
（ 2）当 a 1 时，若存在 x 1, ，使 f x e 1 a 3 ，求实数 a 的取值范围 . （ e 为自
然对数的底数，其值为 2.71828 ……） （二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
（ 2）若二面角
的大小为 ，求三棱锥
的体积 .
19. （本题满分 12 分）
某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过
的包裹收费 元；重量超过
的包裹，除
收费 元之外，超过
的部分，每超出
（不足 时按 计算）需再收 元．公司从承揽
过的包裹中，随机抽取
件，其重量统计如下：
3
公司又随机抽取了 天的揽件数，得到频数分布表如下：
取
，则
，
因为
为平面
则
，所以 的法向量， ，即
． ．
，
．
，
所以
，解得
，所以
．
所以
．
19.
样本中包裹件数在
内的天数为 ，频率为
，
可估计概率为 ，未来 天中，包裹件数在
间的天数 X 服从二项分布，