《光纤通信》试题计算分析题练习
要自信，绝对的自信，无条件的自信，时刻自信，即使在错的时候！！！
《光纤通信》计算、综合、分析练习公布
精选精炼+课后精讲（QQ在线讲解）
张延锋
2014/8/1
忍人之所不能忍，方能为人知所不能为！！！
计算、综合、分析题练习
1. 一阶跃折射率光纤，纤芯折射率n1=1.5，相对折射率差，工作波长为
1310nm，试计算：
(1) 为了保证单模传输，其芯径应取多大？
(2) 若取芯径，求其数值孔径及其模式数。
2.设PIN光电二极管的量子效率为75％，渡越时间为10ps。问：
(1) 计算该检测器的3dB带宽；
(2) 计算在1.3um和1.55um波长时的响应度，并说明为什么在1.55um处光电
二极管比较灵敏。
3.已知阶跃型光纤的n1=1.5，△=0.5％，工作波长λ=1.31μm光纤中的导模M=2
求：
(1) 光纤的数值孔径NA。(2分)
(2) 全反射临界角θc。(3分)
(3) 光纤的纤芯半径a。(5分)
4.一个GaAsPIN光电二极管平均每两个入射光子，产生一个电子－空穴对，假设所有的电子都被接收。
(1) 计算该器件的量子效率；
(2) 设在1.31um波段接收功率是10－7W，计算平均输出光生电流。
(3) 计算这个光电铒极管的长波长截止点λc（超过此波长光电二极管将不工
作）。
5.某SI型光纤，光纤的芯径d=2a为100μm，折射率n1=1.458，包层的折射率
n2=1.450，在该光纤中传输的光波的波长λ=850nm。
（1）计算该光纤的V参数；
（2）估算在该光纤内传输的模式数量；
（3）计算该光纤的数值孔径；
（4）计算该光纤单模工作的波长。
6.有一GaAlAs半导体激光器，其谐振腔长为300，材料折射率n=3.0，两端的解
理面的反射率为0.35。
(1)求因非全反射导致的等效损耗系数。
(2)求相邻纵模间的频率间隔和波长间隔。
(3)若此激光器的中心波长λ=1310nm，与此相应的纵模序数。
7.设140Mb/s的数字光纤通信系统，工作波长1300 nm，其他参数如下：
发射光功率为-3dBm，接收机的灵敏度为-38 dBm （BER=10-9），系统余量为4 dB，连接器损耗为0.5 dB /个，平均接头损耗为0.05 dB/km，光纤损耗为0.4 dB/km，试计算损耗限制传输距离。
8.分光比为3：1的定向耦合器，假设从输入口0输入的功率为1mW，从输入口
0到输入口1的插入损耗为1.5dB，求两个输出口的输出光功率。
9.已知阶跃折射率光纤中n1=1.52，n2=1.49。
（1）光纤浸没在水中(n0=1.33)，求光从水中入射到光纤输入端面的光纤最大接收角；
（2）光纤放置在空气中，求数值孔径。
10.若一个565Mbit/s单模光缆传输系统，其系统总体要求如下：
光纤通信系统光纤损耗为0.4dB/km，光纤接头损耗为0.1dB/km，光源的入纤功率为-2.5dbm，接收机灵敏度为-37dbm，线路码型5B6B，传输速率为677990kbit/s,光源采用MLM－LD，光源谱宽为2nm，光纤的色散系数为
2.5ps/(km nm)，ε光通道功率参数取0.115。设计中取光功率代价为1db,光连
接器衰减为1db，光纤富余度为0.1db/km,设备富余度为5.5db。
试求：系统的最大中继距离。
11.弱导波阶跃光纤芯子和包层的折射指数分别为n1=1.5,n2=1.45,试计算:
(1)纤芯和包层的相对折射指数差Δ；
(2)光纤的数值孔径NA。
12.光波从空气中以角度33°投射到平板玻璃表面上，这里的是入射光与玻璃表面
之间的夹角。根据投射到玻璃表面的角度，光束一部分被反射，另一部分发生折射，如果折射光束和反射光束之间的夹角正好为90°，请问玻璃的折射率等于多少？这种玻璃的临界角又是多少？
13.计算及的阶跃折射率光纤的数值孔径。如果光纤端面外介质折射率，则允许
的最大入射角为多少？
14.已知阶跃光纤纤芯的折射率为，相对折射（指数）差，纤芯半径，若，计算
光纤的归一化频率及其中传播的模数量。
15.一根数值孔径为0.20的阶跃折射率多模光纤在850nm波长上可以支持1000
个左右的传播模式。试问：
（1）其纤芯直径为多少？
（2）在1310nm波长上可以支持多少个模？
（3）在1550nm波长上可以支持多少个模?
16.用纤芯折射率为，长度未知的弱导光纤传输脉冲重复频率的光脉冲，经过该
光纤后，信号延迟半个脉冲周期，试估算光纤的长度。
17.有阶跃型光纤，若，，那么
（1）若，为保证单模传输，光纤纤芯半径应取多大？
（2）若取芯径，保证单模传输时，应怎么选择？
18.渐变光纤的折射指数分布为
求光纤的本地数值孔径。
19.某光纤在1300nm处的损耗为，在1550nm波长处的损耗为。假设下面两种光
信号同时进入光纤：1300nm波长的的光信号和1550nm波长的的光信号。试问这两种光信号在8km和20km处的功率各是多少？以为单位。
20.一段12km长的光纤线路，其损耗为。试回答：
（1）如果在接收端保持的接收光功率，则发送端的功率至少为多少？
（2）如果光纤的损耗变为，则所需的输入光功率为多少？
21.有一段由阶跃折射率光纤构成的5km长的光纤链路，纤芯折射率，相对折射
率差。
（1）求接收端最快和最慢的模式之间的时延差；
（2）求由模式色散导致的均方根脉冲展宽；
（3）假设最大比特率就等于带宽，则此光纤的带宽距离积是多少？
22.有10km长的多模阶跃折射光纤，如果其纤芯折射率为，计算光纤带宽。
23.计算一个波长为的光子能量，分别对1MHz和100MHz的无线电做同样的计
算。
24.太阳向地球辐射光波，设其平均波长，射到地球外面大气层的光强大约为。
如果恰好在大气层外放一个太阳能电池，试计算每秒钟到达太阳能电池上每平方米板上的光子数。
25.如果激光器在上工作，输出1W的连续功率，试计算每秒从激活物质的高能
级跃迁到低能级的粒子数。
26.设PIN光电二极管的量子效率为80%，计算在和波长时的响应度，说明为什
么在处光电二极管比较灵敏。
27.假设我们想要频分复用60路FM信号，如果其中30路信号的每一个信道的
调制指数，而另外30路信号的每一个信道的调制指数，试求出激光器的光调制指数。
28.假设一个SCM系统有120个信道，每个信道的调制指数为2.3%；链路包括
一根损耗为1dB/km的12km长的单模光纤，每端有一个损耗为0.5dB的连接器；激光光源耦合进光纤的功率为2mW，光源的RIN=-135dB/Hz；PIN 光电二极管接收机的响应度为0.6A/W，B=5GHz，I D=10nA，R eq=50Ω,F t=3dB。
试求本系统的载噪比。
29.假设一个有32个信道的FDM系统中每个信道的调制指数为4.4%，若，PIN
光电二极管接收机的响应度为，，，，。
（1）若接收光功率为，试求这个链路的载噪比；
（2）若每个信道的调制指数增加到7%，接收光功率减少到，试求这个链路的载噪比。
30.一直有一个565Mb/s单模光纤传输系统，其系统总体要求如下：
（1）光纤通信系统的光纤损耗为0.1dB/km，有5个接头，平均每个接头损耗为0.2dB，光源的入纤功率为-3dBm，接收机灵敏度为-56dBm
（BER=10-19）。
（2）光纤线路上的线路码型是5B6B，光纤的色散系数为2ps/（km.nm），光源光谱宽度为1.8nm。
求：最大中继距离是多少？
注：设计中选取色散（功率）代价为1dB，光连接器损耗为1dB（发送和接收端各一个），光纤富于度为0.1dB/km，设备富于度为5.5dB。
31.一个二进制传输系统具有以下特性：
（1）单模光纤色散为15ps/(nm.km)，损耗为0.2dB/km。
（2）发射机用的GaAs激光源，发射平均光功率为5mW，谱宽为2nm。
（3）为了正常工作，APD接收机需要平均1000个光子/比特。
（4）在发射机和接收机处耦合损耗共计3dB。
求：
（1）数据速率为10和100Mb/s时，找出受损耗限制的最大传输距离。
（2）数据速率为10和100Mb/s时，找出受色散限制的最大传输距离。
（3）对这个特殊系统，用图表示最大传输距离与数据速率的关系，包括损耗和色散两种限制。
32.比较下面两个速率为100Mb/s的系统其损耗受限的最大传输距离。
系统1工作在850nm：
（1）GaAlAs半导体激光器：0dBm(1mW)的功率耦合进光纤；
（2）硅雪崩光电二极管：灵敏度为-50dBm；
（3）渐变折射率光纤：在850nm处的损耗为3.5dBm/km；
（4）连接器损耗：每个连接器为1dB。
系统2工作在1300nm：
（1）InGaAsPLED：-13dBm的功率耦合进光纤；
（2）InGaAsPIN光电二极管：灵敏度为-38dBm；
（3）渐变折射率光纤：在300nm处的损耗为1.5dBm/km；
（4）连接器损耗：每个连接器为1dB。
每个系统均要求6dB的系统富于度。
33.某光纤通信系统，其发送光功率为-4dBm，光接收机灵敏度为-40dBm，设备
富余度为6 dB，光缆富余度为0.1dB/km，光纤接头损耗为0.2dB/km，且不考虑色散的影响，求当无光缆配线架时，如果希望最长中继距离为60 km，此时的光缆的衰减系数为多大？
34.阶跃型光纤中，已知纤芯折射率n1=1.51，n2＝1.49，纤芯半径a＝4μm，工作
波长λ＝1.31 μm。求：
（1）相对折射指数差；
（2）光纤中传输的模式数量；
（3）每公里长度光纤的模式色散
35.一光纤通信系统的光纤损耗为0.35 dB/km，光发射机的平均发送光功率为-1
dBm，全程光纤平均接头损耗为0.05 dB/km。设计要求系统富裕度为6 dB，无中继传输距离为70 km。求：
（1）满足上述要求，光接收机灵敏度至少应取多少？
（2）若要求系统允许的最大接收功率为－10 dBm，则光接收机的动态范围至少应取多少？
36.已知阶跃型光纤的n1=1.5，Δ=0.01，芯子半径a=10μm，波长λ0=1.5μm,试计
算：
（1）数值孔径NA
（2）归一化频率
（3）入射光线的激励角范围
37.已知阶跃型光纤的n1=1.5，Δ=0.5%，λ0=1.3μm, 若光纤中的导模数量N=2，
试问至少纤芯半径为多大？
38.有一五次群单模光缆传输系统，线路码型为3B4B码，应用InGaAs-LD，其
It<50mA，标称波长为1310nm，光谱宽度为2nm，发送光功率为-2.3dBm, 接收灵敏度为-38dBm, 动态范围≥20dB。采用的光缆其固有损耗为0.4dB/km, 接头损耗为0.1dB/km，光连接器衰减为1dB，光纤色散系数≤2.0ps/nm·km,光纤富余度为0.1dB/km。若考虑1dB色散代价（ε取0.115），5dB设备富余度，试计算在系统设计时，最大中继距离为多少？
39.一无备用系统的光缆通信系统，在420km内共设10个中继器，各种设备的故
求：
（1）系统总故障率。
（2）平均无故障时间。
40.已知均匀光纤的n1=1.51，Δ=0.01，工作波长λ0=0.85μm, 当纤芯半径a=25
μm。试求：
（1）此光纤中传输的导模数是多少？
（2）若要实现单模传输，纤芯半径应为多少？
（3）系统中采用1∶1的主备比，在系统发送和接收端各存在一个转换设备，
转换设备的故障率为200fit（一端），平均故障修复时间为4小时。求：
①此系统的失效率。
②若系统的设计寿命为20年，则在此间系统的中断通信时间。
41.如果在无备用系统情况下，容许5000km光纤通信系统双向全程每年4次全程
故障，那么280km的数字段双向全程每年允许出现的全程故障是多少次？
42.某激光器的输出光功率为500mw, 问此功率可折合为多少dBm?
43.某种光纤的纤芯和包层的折射率分别是1.48和1.46，则其临界传播角为？
44.光接收机的灵敏度Sr是指在满足给定误码率或信噪比条件下，接收机接受微
弱信号的能力，工程上常用最低平均光功率Pmin来描述，现若有最低平均光功率Pmin为10mW，则其灵敏度Sr为？
45.光接收机的动态范围D是指在保证系统误码率指标要求下，接收机的最低光
功率Pmin和最大允许光功率Pmax之比，现知Pmin和Pmax分别是10W 和100W，则其动态范围D为？
46.一阶跃折射率光纤，已知纤芯和包层的折射率分别是：
n1=1.486,n2=1.472,现仅考虑模式色散，则：
（1）每1km长度的脉冲宽度。
（2）假设输入光脉冲的宽度T与模式色散产生的展宽?t相比可以忽略不计，在以上情况下计算可传输光脉冲的最大比特率。
47. 一阶跃折射率光纤，已知纤芯和包层的折射率分别是：n1=1.48,n2=1.46,求：（1）其临界入射角θc；
（2）其临界传播角αC；
（3）其数值孔径NA；
（4）其最大接收角θ0；
（5）是否能得知相对折射率差?的大小？相对折射率差?和光纤与光源之间的
耦合效率有何关系？实际光纤对?有什么要求？
48.已知某光纤参数如下：a=4.0μm,?=0.003,纤芯折射率为n1=1.48。试问：
（1）此光纤能否传输波长λ=1.31μm的TE01和TM01模？说明理由。
（2）如要使TE01和TM01模能够传输，光波长应做怎样的调整？
49. 已知某光纤参数如下：a=6μm,?=0.002,纤芯折射率为n1=1.5。若干HEmn
模的截止频率和若干EHmn模的截止频率如表1和表2。试问：
（1）当光波长分别为λ1=1.55μm，λ2=1.31μm，λ3=0.85μm时，光纤中能传输哪些导波模？
（2）从（1）中能看出波长与归一化频率、可传输的模式数量有何关系？可传输的模式数量与归一化频率的近似关系表达式是？
（3）归一化频率的值一般还决定了包层传输的功率占总功率的比例，对于上例光波长为λ1=1.55μm而言，若假设总功率为1000dBm，则包层传输
的功率P包层为多少？
50. 已知某阶跃光纤参数如下：?=0.003，纤芯折射率为n1=1.46，其中光波长
是λ=1.31μm，求单模传输时光纤具有的纤芯半径a。
51.对于单纵模激光器，定义边模抑制比MSR为主模功率P主与次边摸功率P边
之比，它是半导体激光器频谱纯度的一种度量，若P主=10dBm，P边=1dBm，则MSR为？
52.光检测器的响应度R表明了光检测器将光信号转化成电信号的效率，现知光
检测器的光电流Ip=1.0A，其入射光功率为Pin=1.4286W，则响应度R的大小为？
53.某LAN光纤链路工作波长λ=850nm，链路长度L=2000m，最大比特率为
16Mb/s，采用线宽为20nm的LED光源，光设备的上升时间为8ns，10/100Mb/s LAN最大光缆长度如表1，用MMF（多模光纤）62.5/125μm的光纤。
表1 10/100Mb/s LAN最大光缆长度
求：
(1) 系统要求的上升时间Δtr。
(2) 模式色散引起的脉冲展宽Δtmod，即光线模式上升时间。
(3) 色度色散引起的脉冲展宽Δtch。
(4) 求系统实际上升时间Δtsys。
(5) 可以达到指定的比特率吗？
(6) 如果光纤的带宽不能满足要求，你认为该如何解决？
注：色度色散计算公式Dλ=S04（λ-λ04λ3）和Δtch=|Dλ|ΔλL。
计算、综合、分析题练习答案
1.解：由单模传输条件
得
由数值孔径的定义式有
则模式数为，
所以光纤中存在13个模式。
2. 解：（1）
（2）响应度R定义为光生电流与输入光功率之比，即
因为入射光功率对应于单位时间内平均入射的光子数而入射光子以量子效率部分被吸收，并在外电路中产生光电流，则有响应度
波长为1.3um时，(A/W)_
波长为1.55um时，(A/W)
由上式可知，在量子效率一定时，响应度与波长成正比。所以由PIN在1.55um 处的灵敏度高于在1.3um处。
3. 解：(1)
(2)
，
(3)
4.解：(1) 由量子效率的定义得
）
（2）由公式得
（3) 根据光电效应的产生条件hf>Eg可得，因GaAs的禁带宽度为1.424ev,所以。
5.解：(1)由于归一化频率
(2)传播的模式总数
(3)该光纤的数值孔径:
(4)该光纤单模工作的波长:
(μm)
6.解：已知
1) 因非全反射导致的等效损耗系数
(mm-1)
2)由q=1,2,3….
(Hz)
波长间隔(m)
3）由1374
7.解：根据题意得
，，，，
/个 ,
由
得
8.解：由题意得即
故有
已知，得
由于所以
9.（1）见图，由折射定律可得n0sinα=n1sinβ（1）n1sin(90°-β)=n2sinγ（2）要使光波能在光纤中传输，右图中的A点必须满足全反射条件。因此，当γ=90°时，式（2）变为cosβ= (3)
由式(1)和式(3)联立可得sinα=(4)
将题中已知参量代入式(4)，得到
sinα=
∴α≈13.06°
即光从水中入射到光纤输入端面的光纤最大接收角为13.06°。
（2）光纤放置在空气中，则n0=1NA=
10.解：衰减的影响
L a=(P T-P R-2A c-P p-Me)/(A f+As+Mc)=(-2.5+37-2-1-5.5)/(0.4+0.1+0.1)=43.3(km )
色散的影响
L D=(ε×106)/(B×Δλ×D)=(0.115×106)/(677.99×2×2.5)=33.9km
由上述计算可以看出,中继段距离只能小于33.9km,对于大于33.9km的线段,可采取加接转站的方法解决。
11.对于弱导波光纤:Δ=(n1-n2)/n1=(1.5-1.45)/1.5=0.033;NA=n1√(2Δ)=1.5√(2*0.033)=0.387。
12.解：入射光与玻璃表面之间的夹角33°，则入射角°，反射角°。由于折射光束
和反射光束之间的夹角正好为90°，所以折射角°。
由折射定律，得到
其中利用了空气折射率。这种玻璃的临界角为
13.解：阶跃光纤的数值孔径为
允许的最大入射角
自己用matlab算出来
14.解：光纤的归一化频率
光纤中传播的模数量
15.解：（1）由，得到纤芯直径为
（2）当，有
得到模的个数为
（3）当，得到模的个数为
16.解：信号的周期为
信号在纤芯中传输的速度为
由于信号延迟半个脉冲周期，则光纤的长度为
17.解：（1）由归一化频率得到
为了保证光纤中只能存在一个模式，则要求，则要求光纤纤芯半径（2）若取芯径，保证单模传输时，则
18.解：渐变光纤纤芯中某一点的数值孔径为
19.解：由, 得
对于1300nm波长的光信号，,在8km和20km处的功率各是
，
对于1550nm波长的光信号，,在8km和20km处的功率各是
，
20.解：（1）根据损耗系数定义
得到发送端的功率至少为
（2）如果光纤的损耗变为，则所需的输入光功率为
21.解：（1）纤芯和包层的相对折射率差为
则得到
接收端最快和最慢的模式之间的时延差
（2）模式色散导致的均方根脉冲展宽实际上就等于最快和最慢的模式之间的时延差
（3）光纤的带宽距离积
22.解：纤芯和包层的相对折射率为
由阶跃光纤的比特距离积，得到光纤带宽
23.解：波长为的光子能量为
对1MHz和100MHz的无线电的光子能量分别为
24.解：光子数为
25.解：粒子数为
26.解：时的响应度为；
时的响应度为。
因为响应度正比于波长，故在处光电二极管比处灵敏。
27. 解：由得到。
28.解：由得到。
激光耦合进光纤的功率为，用dBm表示，光检测器接收到的功率为，根据，得到
其中损耗系数，长度，为两个连接器的损耗。由于是PIN，所以载噪比为把参数，，，，，，，，代入上式，就得出的值。
29.解：（1）由得到，参数，，，，，，，，，代入上式，就得出的值。，
（2）将上式的，，代入上式很容易就求出载噪比。
30.解：（1）把，，，，，，代入
其中右边分子上的1是指色散（功率）代价。于是可通过计算得到损耗
限制的最大中继距离。
（2）受色散限制的最大传输距离为
由于是单模光纤，所以，，，分子上的是为了和分母的的单位相匹配，的
单位一定要用Mb/s。代入数据就可以求出的值来。其中。
求出受色散限制的最大传输距离，然后与损耗限制的最大中继距离相
比，取最小值，就是最大中继距离。
31.解：（1）由“为了正常工作，APD接收机需要平均1000个光子/比特”得到APD
的接收功率为
其中是普朗克常数，是光速，是波长。
又已知，把发射功率和接收功率用dBm表示出来。
受损耗限制的最大传输距离为
其中
（2）受色散限制的最大传输距离为
由于是单模光纤，所以，，，分子上的是为了和分母的的单位相匹配，
的单位一定要用Mb/s。代入数据就可以求出的值来。
（3）对这个特殊系统，用图表示最大传输距离与数据速率的关系，包括损耗和色散两种限制。用matlab很容易表示。
32.解：系统1：把，，，，代入
可得到损耗受限的最大传输距离。
系统2：把，，，，代入
可得到损耗受限的最大传输距离。
33.解：
=
34.解：（1）n1=1.51，n2＝1.49
△≈(n1－n2)/ n1=(1.51-1.49)/1.51=0.013
(2) M=V2/2
(3)
35.解：(1) 由P T = P min + Lα+ Lα1 + M
P min =P T－L(α+α1)－M =-1-70×(0.35+0.05)-6=-35 dBm
(2) 动态范围D=P max－P min
D=-10-(-35)=25 dB
36.解:
37.解：
38.解：
39.解：
40.解：
41.解：
42.解：
43.解：αC=arcsin1-（n2n1）2=arcsin1-（1.461.48）2=9.4°
44.解：该处必须注意单位Sr的单位是dBm，Pmin的单位是mW，计算时要注
意单位以免出错，依据公式Sr=10lgPmin=10lg10=10 dBm
45.解：D=10lgPmaxPmin=10lg10010=1 dB，注意单位！
46.解：（1）光纤长度单位和光速单位分别是km和km/s，则?t=Ln1cn1-n2n2=1×1.4863×1051.486-1.4721.472=1.47×10-8s=47.1(ns)
(2)输入光脉冲的宽度T与模式色散产生的展宽?t相比可以忽略不计，则最大
比特率为Bmax=12?t=12×1.47×10-8=10.6（Mb/s）
47.解：（1）临界入射角θc=arcsin（n2n1）=arcsin（1.461.48）=80.60。（2）αC=arcsin1-（n2n1）2=arcsin1-（1.461.48）2=9.4°。
（3）NA=sinθ0=（n12-n22）12=（1.482-1.462）12=0.242
(4)θ0=arcsinNA=140
(5)数值孔径NA在实际计算时还有另外的计算公式为：NA=sinθ0=（n12-n22）12=（2n12）12×（n12-n22）12（2n12）12=n12?
则：?=12（sinθ0n1）2=12（0.2421.48）2=0.013368。
一般而言，相对折射率差?大一些，光纤与光源之间的耦合效率就高一些，但是?要过大的话，色散影响就越严重，实际光纤总有??1。
48.解：（1）由方程V=k0n1a2?可得：
V=2πλn1a2?=2π1.31×10-6×1.48×4.0×10-62×0.003=2.2，
而TE01和TM01模的归一化截止频率Vc=2.045，显然V<2.045，故不能传输波长为1.31μm的TE01和TM01模。
（2）对于TE01和TM01模，其截止波长为
λc=2πVcn1a2?=2π2.045×1.48×4.0×10-62×0.003=1.20μm
即入射光波长应小于1.20μm时，才能传播。
49.解：（1）我们先求出上述波长对应的归一化频率V，然后将它们与前述各种模式归一化截止频率Vc相比较，凡是满足V>Vc条件的模式都可以在光纤中传输。
因为V=2πλn1a2?，所以有：
V1=2πλ1n1a2?=2π1.55×10-6×1.5×6×10-62×0.002=2.306
V2=2πλ2n1a2?=2π1.31×10-6×1.5×6×10-62×0.002=2.73
V3=2πλ3n1a2?=2π0.85×10-6×1.5×6×10-62×0.002=4.21
当λ1=1.55μm时，0VcHE11 此时光纤中只能传输HE11导波模。 当λ2=1.31μm时， 2.045VcTE01，TM01，HE21 3.832VcHE31,EH11， 此时光纤中只能传输TE01，TM01，HE21和HE11导波模。 当λ1=0.85μm时， 3.832VcHE31，EH11，HE12 4.21< 5.136VcEH21， 此时光纤中只能传输HE31，EH11，HE12，TE01，TM01，HE21和HE11导波模。 故光纤中能传输的导波模有HE31，EH11，HE12，TE01，TM01，HE21和HE11。（2）从（1）中可以看出，波长越短，归一化频率越高，可传输的模式数量就越多，可传输的模式数量与归一化频率的近似关系表达式是 N=12V2 (3) 归一化频率的值一般还决定了包层传输的功率占总功率的比例,即P包层P 总=223V，对于光波长为λ1=1.55μm而言，V1=2.306，总功率为P总=1000dBm，则包层传输的功率P包层为 P包层=223V1×P总=223×2.306×1000=408.85 dBm 50.解：a<2.405λ2πn12?=2.405×1.31×10-62π×1.462×0.003=4.44 μm注意填写时加单位。 51. 解：MSR=10lgP主P边=10lg101=10 52. 解：依定义R=IpPin=1.01.4286=0.7 A/W，注意填写单位。 53. 解：（1）带宽与比特率的关系Δfsys=B=16MHz，从而得： Δtr=0.35Δfsys=0.3516×106=21.9（ns） （2）由表可知，62.5/125μm光纤工作于850nm时的带宽距离积为160MHz·km，由于链路长度是2000m，故模式带宽（光电宽）为 Δfmod=160MHz·km2000m=80（MHz）， 转换成电带宽Δfe1-mod=0.707×Δfmod=56.6MHz, 则Δtmod=0.35Δfe1-mod=0.3556.6=6.2（ns） （3）由色度色散计算公式Dλ=S04（λ-λ04λ3）和Δtch=|Dλ|ΔλL，可得 Dλ≈0.1ns/(ns·km),故有Δtch=0.1nsns·km×20nm×2km=4 ns (4)有以上得Δtfib=(Δtmod)2+(Δtch)2=6.22+42=7.4 ns 故系统实际上升时间 Δtsys=(Δtfib)2+(Δteq)2=7.42+82=10.9 ns 其中，光设备的上升时间Δteq为8ns是已知条件。 （5）由于系统实际上升时间小于系统所要求的上升时间21.9ns，故光纤的选择满足系统设计的要求。 （6）如果光纤的带宽不能满足要求，可以将波长换为1300nm或采用LD光源。世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。不要随意发脾气，谁都不欠你的 一.计算题： 1． (235+-）（235--）； 2. 1145 -－ 7 114-－7 32+ ； 3.（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ） ÷a 2b 2m n ； 4.（a ＋b a ab b +-）÷（b ab a +＋ a a b b -－ab b a +） （a ≠b ）． 二.求值： 1.已知x ＝ 2 323-+，y ＝ 2 32 3+-，求 322342 3 2y x y x y x xy x ++-的 值． 2.当x ＝1－ 2 时，求 2 2 2 2 a x x a x x +-+＋ 2 2 2 22 2a x x x a x x +-+-＋221 a x +的值． 三.解答题： 1．计算（2 5＋1）（211 +＋ 3 21+＋431 +＋… ＋100 991 +）． 2.若x ，y 为实数，且y ＝ x 41-＋14-x ＋21 ．求 x y y x ++2－ x y y x +-2的值． 计算题： 1、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2 －2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 2、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式． 【解】原式＝1116)114(5-+－7 11) 711(4-+－ 79) 73(2--＝4＋ 11－11－ 7－3＋ 7＝1． 3、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2 m n －m ab mn ＋ m n n m ）·2 21b a n m ＝2 1b n m m n ?－mab 1n m m n ? ＋ 2 2b ma n n m n m ? ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221 b a ab a +-． 4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a a b b ab a +-++÷) )(() )(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+-- ＝ b a b a ++÷) )((2 222b a b a ab b a b ab b ab a a -++---- ＝ 二次根式计算专题训练 解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×． （1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣） （1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?． ①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值． 16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简． 21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，…解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想=； （2）计算： （++…+）×（） 24．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ==﹣1 二次根式计算专题 1．计算：⑴36 4236 42⑵(3)2 (3)0 2732 【答案】 (1)22; (2) 6 4 3 【解析】 试题分析： (1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案 . (2) 分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案 . 试题解析： (1) 3 6 4 2 3 6 4 2 (3 6) 2 (4 2) 2 =54－ 32 =22. （2）( 3)2 ( 3) 0 27 3 2 3 1 3 3 2 3 6 4 3 考点 : 实数的混合运算 . 2．计算（ 1） ﹣ × （2）（ 6﹣ 2x ）÷3． 【答案】（ 1） 1；（ 2） 1 3 【解析】 试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案 . 试题解析： (1) 20 5 1 5 12 3 2 5 5 3 3 5 2 3 3 2 1； （2）(6 x 2x 1 ) 3 x 4 x ( 6 x 2x x ) 3 x 2 x (3 x 2 x ) 3 x x 3 x 1 . 3 考点 : 二次根式的混合运算 . 3．计算： 3 12 2 1 48 2 3 ． 3 【答案】 14 ． 3 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式 ,再算括号里面的 ,最后算除法． 试 题 解 析 ： 3 12 2 1 48 2 3 =(6 3 2 3 4 3) 2 3 28 3 2 3 14 ． 3 3 3 3 考点：二次根式运算． 6 4．计算： 3 6 2 3 2 【答案】 2 2. 【解析】 试题分析：先算乘除、去绝对值符号 ,再算加减 . 试题解析：原式 =3 2 3 3 2 = 2 2 考点：二次根式运算 . 5．计算： 2 18 3( 3 2) 【答案】 3 3 ． 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式 ,再化简． 试题解析： 2 18 3( 3 2)= 2 32 33 6 33． 考点：二次根式化简． 6．计算： 323 1 4 ． 2 2 【答案】 2 ． 2 【解析】 试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可 . 试题解析： 32 1 4 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 ． 2 2 考点：二次根式的计算 . 完美 WORD 格式 二次根式计算专题 1．计算： ⑴ 3 6 4 2 3 6 4 2 ⑵ ( 3) 2 (3) 0 273 2 【答案】 (1)22; (2) 6 4 3 【解析】 试题分析： (1) 根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答 案. (2) 分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案 . 试题解析： (1) 3 6 4 2 3 6 4 2 (3 6) 2 (4 2) 2 =54－ 32 =22. （ 2） ( 3) 2 ( 3) 0 27 3 2 3 1 3 3 2 3 6 4 3 考点 : 实数的混合运算 . 2．计算（ 1） ﹣ × （ 2）（ 6 ﹣ 2x ）÷3 ． 【答案】（ 1） 1；（ 2） 1 3 【解析】 试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案 . 试题解析： (1) 20 5 1 5 1 2 3 2 5 5 3 3 5 2 3 3 2 1 ； （ 2） (6 x 2x 1 ) 3 x 4 x (6 x 2x x ) 3 x 2 x ( 3 x 2 x ) 3 x x 3 x 专业知识分享 1 . 3 考点 : 二次根式的混合运算. 3．计 算： 3 12 2 1 48 2 3 ． 3 【答案】14． 3 【解 析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次 根式, 再算括号里面的 , 最后算 除法． 试题解析： 3 12 2 1 48 2 3 =(6 3 2 3 4 3) 2 3 28 3 2 3 14 ． 3 3 3 3 考点：二次根式运算． 4．计算： 3 6 6 23 2 【答案】 2 2 . 【解析】 试题分析：先算乘除、去绝对值符号, 再算加减 . 试题解析：原式= 3 2 3 3 2 =2 2 考点：二次根式运算. 5．计算： 2 18 3( 3 2) 【答案】 3 3 ． 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式, 再化简． 试题解析： 2 18 3( 3 2)= 2 3 2 3 3 6 3 3 ．考点：二次根式化简． 6．计 算：32 3 1 4 ． 2 2 【答案】 2 ． 2 【解析】 试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可. 试题解 析：32 1 4 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 ． 2 2 二次根式综合练习题 第一部分（选择题共30分）一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 、 、 、、是二次根式的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.若y x2 是二次根式、则下列说法正确的是（） A.0 ,0≥ ≥y x B. 0 ,0> ≥y x C. y x, 同号 D. ≥ y x 3.下列各式中、是最简二次根式的是（） A.5 1 B. C. D. 4.对于二次根式92 +x ，下列说法中不正确的是（ ） A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是一个最简二次根式 D.它的最小值为3 5.若3)1()2(2 2 =++-x x ，则 x 的取值范围 是（ ） A. 0=x B.21≤≤-x C. 2≥x D.1-≤x 6.已知直角三角形有两条的长分别是3cm 、4cm ，那么第三条边的长是（ ） A. cm 5 B. cm 7 C.cm 5或者cm 7 D. cm 5 7.下列二次根式中、是同类二次根式的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 下列各式： 、 、 、 、 、 、 、其中与 是同类 二次根式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如果1≤a ，那么化简=-3)1(a （ ） A. a a --1)1( B.1)1(--a a C.1)1(--a a D.a a --1)1( 10.化简2 2)32(144--+-x x x 得 （ ） A. 2 B2.x 44- C.44-x D.2- 第二部分（非选择题 共120分） 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若 +有意义，则x 的取值范围是 。 12.写出两个与 是同类二次根式的 式子 。 13.若最简二次根式与的被开方式相同、则a 的值 为 。 1 二次根式综合练习题 第一部分（选择题共30分） 一.选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1.下列式子中：、辰、J a 1、J a 2 b 2 、 d m 1、^/80 、口、是二次根式的有 （ ） A.2个 C.4个 2x -0 D. y 3. 下列各式中、是最简 二次根式的是 （ ） B.3个 D.5个 2.若］I y 是二次根式、 则下列说法正 A. x 0, y B. x 0, y 0 C. x,y 司号 A. V 5 1 4. 对于二次根式 正确的是（ A. 它是 B. 它是一个无理数 C. 它是一个最简二次根式 D.它的最小值为 3 5若A O 乔3,则 是（ A. C. x D. x 6.已知直角三角形有两条的长分别是 3cm 、4cm ，那么第三条边的长是（ A. 5cm B. "^cm c.^/15 D.2辰 ） 9，下列说法中不 的取值范围 B. C. 5cm或者J7cm D. J5cm 7.下列二次根式中、是同类二次根式的一组是（） A. Ja2b 与Va B. C. 丁50 与75 D. Ja b 与 Ja2 b2 8.下列各 式: 顷、丁12、^/4、届、￡、V24、V5o、其中与丿2是同类 二次根式的/ 有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如果a 1 ，那么化简J（1 a）3（） A. (a 1)Jl a B. (1 a)Ja 1 C.(a 1)Ja 1 D. (1 a)J1 a A. 2 c.4x 第二部分（非选择题 共120分） 二.填空题（共6小题，每小题3分， 满分18分） 11若＞/r~X +J x 2有意义，则x 的取 值范围是 12. 写岀两个与V 3是同类二次根式的 式子 _____________________ 。 13. 若最简二次根式 百G 与J 4 2a 的被 司、贝y a 的值 10.化 ( 4x 1 (2x 3)2 得 B2. 4 4x D. 2 开方式相 为 ___________ 《二次根式》培优 一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。 时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解 基础巩固 1.化简： （1 ） （2 （3 （4 ） （5 （6 ） 解：（1 ）. （2 3. （3 ） （4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0= 填空题 1. 使式子x 4 有意义的条件是。 【答案】x≥4 【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥ 0，解得x≥ 4 2. 当__________时，x 2 1 2 x 有意义。 【答案】 -2≤x≤ 1 2 【分析】 x+2≥ 0， 1-2x≥ 0 解得 x≥－ 2， x≤ 1 12 3. 若m有意义，则 m 的取值范围是。 m 1 【答案】 m≤0且m≠﹣1 【分析】﹣ m≥0 解得 m≤ 0，因为分母不能为零，所以m＋1≠ 0 解得 m≠﹣ 1 4.当 x __________ 时， 1 x 2 是二次根式。 【答案】 x 为任意实数 【分析】﹙1－ x﹚2是恒大于等于0 的，不论 x 的取值，都恒大于等于0，所以 x 为任意实数 5.在实数范围内分解因式： x49 __________, x2 2 2x 2__________ 。【答案】﹙x 2＋ 3﹚﹙ x＋3﹚﹙ x－3﹚，﹙ x－ 2 ﹚2 【分析】运用两次平方差公式：x 4－ 9＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x 2－3﹚＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x＋ 3 ﹚﹙x － 3 ﹚，运用完全平方差公式：x 2－ 2 2 x＋ 2＝﹙ x－ 2 ﹚2 6.若 4 x22x ，则 x 的取值范围是。 【答案】 x≥0 【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x≥ 0，解得 x≥0 7.已知x 2 2 x ，则x的取值范围是。2 【答案】 x≤2 【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－ x≥0，解得 x≤ 2 8.化简： x2 2 x 1 x p 1的结果是。【答案】 1 －x 【分析】x2 2 x 1 ＝(x1)2 2 ，因为 x 1 ≥0，x＜1所以结果为1－x 9.当1x p5时，x 2 x 5 _____________ 。1 分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2 －xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式 ，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知 ＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式 总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3b c a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.521 3 (2－x)2(x －3)2 31－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1 x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112 (x －1)21x －11 1－x 27x 2＋11 2 a 2 b 182761 3 8y y ５、如果分式 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋ 1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 五、解答题：（每题 8 分，共 32 分） １、某人在环形跑道上跑步，共跑两圈，第一圈的速度是 x 米/分钟，第二圈的速度是 米/分钟（x ＞），则他平均一分钟跑的路程是多少？ 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋2 2x 84 2 1223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2 x －1 20＋55 1312a b 2a a 5b 31 ab 4ab y y y 二次根式计算专题训练 一、解答题（共30 小题） 1．计算： （1）+ ；（2）（+ ）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+| ﹣2| ﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2． 3．计算化简： （1）++ （2）2﹣6 +3． 4．计算 （1）+ ﹣（2）÷×． 5．计算： （1）×+3 ×2 （2）2 ﹣6 +3 ． 6．计算： （1）（）2﹣20+| ﹣| （2）（﹣）× （3）2 ﹣3 + ；（4）（7+4 ）（2﹣）2+（2+ ）（2﹣） 7．计算 （1）? （ a≥ 0）（2）÷ （3）+ ﹣﹣（4）（3+ ）（﹣） 8．计算：： （1）+ ﹣（2）3 + （﹣）+ ÷． 9．计算 （1）﹣4 + ÷（2）（1﹣）（1+ ）+（1+ ）2． 10．计算： （1）﹣4 + （2）+2 ﹣（﹣） （3）（ 2 + ）（2 ﹣）；（4）+ ﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3 + ﹣4 ）÷（ 2）+9 ﹣2x2? ． 12．计算： ①4+﹣+4；②（ 7+4 ）（ 7﹣ 4 ）﹣（ 3 ﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣ +2 （3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+ （6）． ．已知： a=， b=，求2+3ab+b2的值． 14 a 15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值． 16．化简：﹣a ． 17．计算： （1）9 +5 ﹣3 ；（2）2 ； （3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知 y= + ﹣4，计算 x﹣y2的值． 20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简．21．已知 1＜ x＜5，化简：﹣| x﹣5| ． 二次根式练习01 一、填空题 1、下列和数1415926.3)1( . 3.0)2( 7 22 )3( 2)4( 38 )5(- 2 ) 6(π ...3030030003.0)7( 其中无理数有________，有理数有________（填序号） 2、 9 4 的平方根________，216.0的立方根________。 3、16的平方根________，64的立方根________。 4、算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________。 5、若2562 =x ，则=x ________，若2163-=x ，则=x ________。 6、已知ABC Rt ?两边为3，4，则第三边长________。 7、若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积________。 8、已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,122 2 ++++为正整数，则此三角形是________三角形。 9、如果 0)6(42=++-y x ，则=+y x ________。 10、如果12-a 和a -5是一个数m 的平方根，则.__________,==m a 11、三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为________。 12、直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形一点到各边距离相等，那么这个距离为________。 二、选择题 13、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 25,24,6===c b a B. 5.2,2,5.1===c b a C. 4 5,2,32=== c b a D. 17,8,15===c b a 14、小强量得家里彩电荧屏的长为cm 58，宽为cm 46，则这台电视机尺寸是（ ） A. 9英寸（cm 23） B. 21英寸（cm 54） C. 29英寸（cm 74） D .34英寸（cm 87） 15、等腰三角形腰长cm 10，底边cm 16，则面积（ ） A.2 96cm B. 248cm C. 224cm D. 232cm 16、三角形三边c b a ,,满足ab c b a 2)(2 2 +=+，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 17、2 )6(-的平方根是（ ） A .6- B .36 C. ±6 D. 6± 18、下列命题正确的个数有：a a a a ==23 3)2(,) 1(（3）无限小数都是无理 数（4）有限小数都是有理数（5）实数分为正实数和岁实数两类（ ） A .1个 B. 2个 C .3个 D.4个 19、x 是2 )9(-的平方根，y 是64的立方根，则=+y x （ ） A. 3 B. 7 C.3，7 D. 1，7 20、直角三角形边长度为5，12，则斜边上的高（ ） A. 6 B. 8 C. 13 18 D. 13 60 21、直角三角形边长为b a ,，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ） 二次根式计算专题训练 解答题（共 30 小题） 1．计算： （ 1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算： ﹣ 2| ﹣+（）﹣2 ．（2）﹣4 ﹣（﹣）． （ 1）（π﹣3.14） +| （ 3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2． 3．计算化简： （ 1） ++ （ 2）2﹣6 +3． 4．计算 （ 1）+﹣（2）÷×． （ 1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （ 1）（）2﹣20+|﹣|（2）（﹣）× （ 3） 2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （ 1）?（a≥0）（2）÷ （ 3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣） （ 1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （ 1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （ 1）﹣4+（2）+2﹣（﹣） （ 3）（ 2 +）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （ 1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?． ① 4 +﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （ 1）××（2）﹣+2 （ 3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （ 5）÷﹣×+（6）． 14．已知： a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （ 1） 9 +5﹣3；（2）2；（ 3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c 是△ ABC的三，化．21．已知 1＜x＜ 5，化：| x 5| ． 22．察下列等式： ①==； ②==； ③== ?回答下列： （ 1）利用你察到的律，化： （ 2）算：+++?+． 23．察下面的形律： =，=，=，=，? 解答下面的： （ 1）若 n 正整数，你猜想=； （ 2）算： （++?+）×（） 二次根式专项训练答案 一、选择题 1．1 =-，那么x的取值范围是（） x A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<16 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即x-1≥0求解即可. 【详解】 由于二次根式的结果为非负数可知：x-1≥0， 解得，x≥1， 故选A. 【点睛】 本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围. 2．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．a的值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 4．若x、y 4 y=，则xy的值为() A．0 B．1 2 C．2 D．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x?1?0且1?2x?0， 解得x?1 2 且x? 1 2 ， ∴x=1 2 ， y=4， ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C. 5．下列运算正确的是（） A． B ）2=2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.【详解】 根据二次根式的加减，可知 A选项错误； 根据二次根式的性质2=a（a≥0 2=2，所以B选项正确； (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? ＞ ＜ ﹣11|=11，所以C选项错误； D D选项错误． 故选B． 专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案) ? 类型之一 利用二次根式的性质a 2＝|a|化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a|＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. 1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1＝( ) A ．1－3 B .3－1 C ．3－3 D .3－3 2．当a ＜12且a ≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a ＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|. 4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－ 14c 2－4c ＋16. ? 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简 5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( ) A ．－a b B ．a －b C ．－a －b D ．a b 6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）； (3) 2.25a 2b ； (4) －25－9； (5)9a 34 . ? 类型之三 利用隐含条件求值 7．已知实数a 满足（2016－a ）2＋a －2017＝a ，求a －12016 的值． 8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求x y ＋y x 的值． ? 类型之四 巧用乘法公式化简 9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)； (3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017. ? 类型之五 巧用整体思想进行计算 10．已知x ＝5－26，则x 2－10x ＋1的值为( ) A ．－30 6 B ．－186－2 C ．0 D ．10 6 11．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，求x 2－xy ＋y 2的值． 12．已知x ＞y 且x ＋y ＝6，xy ＝4，求x ＋y x －y 的值． ? 类型之六 巧用倒数法比较大小 13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a _ 二次根式计算专题训练 一、解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣）0+|﹣2|﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×． 5．计算： （1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣） 8．计算：： （1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣） （3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?． 12．计算： ①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2； （3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==；②==； ③==………回答下列问题： 二次根式练习题 一.选择题(共4小题) 1.要使式子有意义,则x得取值范围就是() A.x＞1 B.x＞﹣1 C.x≥1 D.x≥﹣1 2.式子在实数范围内有意义,则x得取值范围就是() A.x＜1 B.x≤1 C.x＞1 D.x≥1 3.下列结论正确得就是() A.3a2b﹣a2b=2 B.单项式﹣x2得系数就是﹣1 C.使式子有意义得x得取值范围就是x＞﹣2 D.若分式得值等于0,则a=±1 4.要使式子有意义,则a得取值范围就是() A.a≠0 B.a＞﹣2且a≠0 C.a＞﹣2或a≠0 D.a≥﹣2且a≠0 二.选择题(共5小题) 5.使有意义,则x得取值范围就是. 6.若代数式有意义,则x得取值范围为. 7.已知就是正整数,则实数n得最大值为. 8.若代数式+(x﹣1)0在实数范围内有意义,则x得取值范围为. 9.若实数a满足|a﹣8|+=a,则a=. 四.解答题(共8小题) 10.若a,b 为实数,a=+3,求. 11.已知,求得值？ 12.已知,为等腰三角形得两条边长,且,满足,求此三角形得周长 13.已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+,求a+b+c得平方根. 14.若a、b为实数,且,求. 15.已知y＜++3,化简|y﹣3|﹣. 16.已知a、b满足等式. (1)求出a、b得值分别就是多少？ (2)试求得值. 17.已知实数a满足+=a,求a﹣20082得值就是多少？ 参考答案与试题解析 一.选择题(共4小题) 1.(2016?荆门)要使式子有意义,则x得取值范围就是() A.x＞1 B.x＞﹣1 C.x≥1 D.x≥﹣1 【解答】解:要使式子有意义, 故x﹣1≥0, 解得:x≥1. 则x得取值范围就是:x≥1. 故选:C. 2.(2016?贵港)式子在实数范围内有意义,则x得取值范围就是() A.x＜1 B.x≤1 C.x＞1 D.x≥1 【解答】解:依题意得:x﹣1＞0, 解得x＞1. 故选:C. 3.(2016?杭州校级自主招生)下列结论正确得就是() 第十一章二次根式综合练习 【例题精选】： 例1：x取什么实数时，下列各式有意义？ （1）（2）（3） 分析：因为二次根式中，被开方数a必须是非负数。即：，据此，可以确定被开方数中字母的取值围。 解：（1） 有意义； （2）； （3）是非负数，不论取任何实数总有。 为任意实数时，都有意义； 例2：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ （1）（2）（3）（4） （5） 分析：由二次根式定义：中，必须大于等于0，所以只要判断二次根号的被开方数是非负数即可。 解：（1）是二次根式； （2）不是二次根式； （3）是二次根式； （4）不是二次根式； （5）不是二次根式。 例3：写出下列各等式成立的条件： （1）（2） （3）（4） （5） 分析：本题考察算术平方根的概念，二次根式的定义、性质及公式成立的条件，所取x的值一定要使等式左、右两边都能成立； 解：（1） （2）由二次根式性质知： （3）由得： （4）由 例4：如果求的算术平方根。 分析：因为是非负数。也是非负数，而它们的和等于0，所以只有。 解：由题意，得： 例5：计算：（1）（2）（3） （4） 分析：利用可直接计算（1）（2）小题， 由积的乘方可计算（3）（4）小题； 解：（1）（2） （3） （4） 例6：化简下列各式： （1）（2）已知，化简 （3） （4）已知化简 分析：要根据已知字母的取值围，判断二次根式的被开方数是正数的平方还是负数的平方，再由二次根式及绝对值的性质进行化简。 解：（1） 例7：化简：（1） （2） 分析：如果一个二次根式的被开方数中有完全平方形式的因式（或数）则要利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或数）开出来。 解： 注意：在二次根式的化简与计算中，凡是被开方数是多项式的，必先进行因式分解，再利用根式乘法法则进行计算，如果题目中没有给出字母的取值围，则需要讨论，如上题。当时，及当，即为讨论。 例8：把根号外的因式移入根号。 分析：由二次根式的性质，如果被开方数中有的因式能开的尽，那么这些因式可用它们的算术平方根代替而移到根号外面，本题须利用上述开方的逆运算。 根据及把根号外面的非负因式平方后移至根 二次根式计算专题训练 一、解答题(共30小题) 1 ?计算： (1) 不+「; 2?计算： (1) (n - 314)0+| '们?】)-2 (2) n 4「—(U). 4 ?计算 (1) 一+ r —工』 5.计算： (1 ) .Ux -+3 二X 2.〒 (2) 2 r — 6 丄+3 二. 6.计算： (1)(二)2— 20+| — 1 | (2) ( =- ：)X = (2) (「: + 不)+ (九-7). (3)( x — 3) (3 - x ) (x — 2) 3 ?计算化简： (1) 「+下 + = (2) 2 r — 6 +3 二. 7?计算 (3) = +「-—= ⑷(3W))(眉-需) 9?计算 (2)(1 - -) (1+ ") + (1+心-)2 8 ?计算：： (1) 「+ 一 -门上(2) 3 ? + 匚(「- -) + 一十 _. 10.计算： (1).二-4：二+ 匚(2) 7+2 二-(“-二) (3) 2 r- 3 =+ 厂I;(4) (7+4 ;) (2 - ;) 2+ (2+ ;) (2 -;) (1).二-4 + U 十二 o CM (寸 ) ( K CM L <) K CO < (L —— 詈) I 叵寸——卜)叵寸+卜)? (L — 畧)—(寸) —— 弓十唇 (L +^'(^——L ——)o ) (L) ■ -号 十号I 遂+号 寸一 -M 44 ■ 二号——^ 0) (常 +^0)O ) 14已知：叮，，求a2+3ab+b2的值. 15?已知x, y都是有理数，并且满足,求的值. 17?计算: (1) 9 乙+5 r - 3 二; (3)( = 7)2016( ^- 7) 2015. 丄 18. 计算"- 19. 已知y=Js；-」+ ―二:- 4,计算x - y2的值. 20. 已知：a、b、c是厶ABC的三边长，化简 . 二次根式计算专题（30题） 1．⑴ ()() 24632463+- ⑵ 20 (3)(3)2732π++-+- 2．（1）﹣ × （2）（6 ﹣2x ）÷3 ． 3．1 312248233?÷ ? 4．322663-+-? 5．)23(3182+-? 6．2 4 21332- - 7．)13)(13(2612-++÷- 83631222-? 9．()0 +1123π-- 10．4 35.0313 8+-+ 11．（1） （2）()0 2014120143π---- 12． 212 )31()23)(23(0 +---+ 130(2013)|+-+- 14．12)82432 3(÷+- 15 16．（1）8 3250+ （2）21 63)1526(-?- 17．（1)2 （2） 2 181)(1+ 19．2 31|21|27)3(0 ++-+-- 20．①0 1 2??+- ??? ② ? ?③?- ? 21．（1）2012 101(1) 5()1)2----+ （2） 22．（1(0 π+- （2）2(3(4+-+ 23.（1）18282-+ （2）3127112-+ （3）0)31(3 3 122-++ （4）)2332)(2332(-+ 243 25．（1（2）()2 3 3 1422 -?--+ 26 ．?÷ ? 2+ 27．（1）)3 1 27(12+- （2）( )()6618332 ÷ -+ - 28 ．(- 29． （1 （2 ） 30．（1 ） （2 ） （3 （4） 14 100道二次根式训练题 1. 45451243+-+ 2. 114134325225162549 ?÷? 3. 21124331+-- 4. ()5276484123-+÷ 5. 132443???- ? ?? ? 6. 81151345273-?? 7. ()221133+ 8. 221112222????- ? ????? 9. 12213352÷?? 10. 213223332???- ? ??? 11. 1181268 ?? 12. ()345448-÷ 13. 123325372 ++--- 14. 37310215421÷ 15. 7373-+÷51256 ++ 16. 已知2242420x y x y ++-+=，求2254x y +的值 17. 1118412232??+-÷ ? ?-?? 18. 已知a =3,2b = 2b = 3 求a a a b a b -+-的值 19. ()()1510550-÷? 20. 1132362?÷ 21. 已知3232 x +=- 求5x x - 的值 22. ()() 22112323++- 23. 1 12212315 48333+-- 24. 2211a a a a ????+-- ? ?? ??? 25. 2a b a b ab a b a b -+---- 26. x y y x y x x y x y y x y x x y -+-+- 27. 212121335 ÷? 28. 53233(0,0)2b ab a b a b b a ???-÷>> ??? 29. 2a ab b a b a a b a ab b ab b ab ??++--÷ ? ?-+-+?? 30. 1223285247??÷?- ??? 31. ()()200020013232+?-二次根式提高练习题(含答案)
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