数值分析课程设计学生题目
数值分析课程实验设计——数值线性代数实习题
数值分析课程实验设计——数值线性代数
实习题
1. 实验目的
本实验的主要目的是进一步加深对数值线性代数的理解，熟悉
常见矩阵分解方法，并在此基础上解决实际问题。
2. 实验内容
本次实验将任务分为两个部分，分别是矩阵分解与求解线性方
程组。
2.1 矩阵分解
首先，我们需要熟悉三种常见的矩阵分解：QR分解、LU分解
和奇异值分解。
我们需要通过Python语言实现这三种分解方法，
并利用这些方法解决实际问题。
2.2 求解线性方程组
其次，我们需要学会用矩阵分解的方法来求解线性方程组。
我
们将通过两个例子来进行说明，并利用Python语言实现这些方法。
3. 实验要求
本次实验要求熟悉矩阵分解的基本方法，在此基础上解决实际问题；能够运用多种方法来求解线性方程组，并分析比较它们的优缺点。
4. 实验总结
本次实验通过矩阵分解和求解线性方程组两个部分的学习，巩固了我们对于数值线性代数的知识，并在实际问题的解决中得到了应用。
感谢老师的指导，我们会在今后的学习中持续探索数值分析方面的知识。
数值分析课程设计题目(信计12)
《数值分析》课程设计负责老师：徐艳面向对象：信计12级全体同学 时 间：第十五周周一至周五全天 地 点：理学院实验室203 要求：(1) 4人一小组做一个设计题目，依次做下面的设计；(2) 每小组推选一位同学参加答辩，答辩不通过者，成绩等级将视为不及格； (3) 课程设计期间严格实行考勤记录，要求同学们到指定教室； (4) 严格按照课程设计的要求提交课程设计论文；(5) 论文于第十五周周四下午5点前以班为单位收齐后交到文理314，第十五周周五上午8:30在实验室203进行答辩。
题目（一）1、考虑两点边值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.11,00,10,22y y a a dx dy dx y d ε 容易知道它的精确解为.1111ax e e a y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--εε为了把微分方程离散，把[]1,0区间n 等分，令nh 1=，ih x i =，,1,,2,1-=n i 得到差分方程 ,21211a h y y hy y y ii i i i =-++-++-ε简化为()(),2211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=h h h h h h h A εεεεεεεεεε2222对1=ε，4.0=a ，200=n ，分别用1=ω、5.0=ω和5.1=ω的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差，探讨使超松弛迭代法收敛较快的ω取值，对结果进行分析。
改变n ，讨论同样问题。
题目（二）2、先用你所熟悉的计算机语言将不选主元、列主元和完全主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下面的方程组（考虑n 从120到130）123216186186186186186n n n x x x x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=71515151514⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。
数值分析课程设计题目_0811_
《数值分析》课程设计负责老师：刘瑞华、许安见、牛普 面向对象：0811-1、-2班级全体同学 时 间：第十八周周一至周五全天 地 点：实验楼B503 要求：(1) 4人一小组做一个设计题目，按照上次分组顺利，依次做下面的设计； (2) 每小组推选一位同学参加答辩，答辩不通过者，成绩等级将视为不及格； (3) 课程设计期间严格实行考勤记录，要求同学们到指定教室；(4) 严格按照课程设计的要求提交课程设计论文，需要制作封面，打印成绩评定书，其中成绩评定书装订在第2页；(5) 论文于第十八周周四下午5点前以班为单位收齐后交到实验楼B501，第十八周周五上午8:30在实验楼B502进行答辩。
题目（一）1、考虑两点边值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.11,00,10,22y y a a dx dydx y d ε 容易知道它的精确解为.1111ax e e a y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--εε为了把微分方程离散，把[]1,0区间n 等分，令nh 1=，ih x i =，,1,,2,1-=n i 得到差分方程 ,21211a h y y hy y y ii i i i =-++-++-ε简化为()(),2211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=h h h h h h h A εεεεεεεεεε2222对1=ε，4.0=a ，200=n ，分别用1=ω、5.0=ω和5.1=ω的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差，探讨使超松弛迭代法收敛较快的ω取值，对结果进行分析。
改变n ，讨论同样问题。
题目（二）2、先用你所熟悉的计算机语言将不选主元、列主元和完全主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下面的方程组（考虑n 从120到130）123216186186186186186n n n x x x x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =71515151514⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。
数值分析课程课程设计汇总
课程 设 计我再也回不到大二了，大学是那么短暂设计题目 数值分析 学生姓名 李飞吾 学 号 x x x x x x x x 专业班级 信息计x x x x x 班 指导教师设 计 题 目共15题如下成绩数值分析课程设计1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。
由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。
第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。
第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？（15621） 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题 解：算法分析：解该问题主要使用递推算法，关于椰子数目的变化规律可以设起初的椰子数为0p ，第一至五次猴子在夜里藏椰子后，椰子的数目分别为01234,,,,p p p p p 再设最后每个人分得x 个椰子,由题:14(1)5k k p p +=- （k=0,1,2,3,4）51(1)5x p =-所以551p x =+,11k k p p +=+利用逆向递推方法求解151,4k k p p +=+ （k=0,1,2,3,4）MATLAB 代码： n=input('n= '); n= 15621 for x=1:n p=5*x+1; for k=1:5 p=5*p/4+1; endif p==fix(p), break end enddisp([x,p])1．2 设，15nn x I dx x=+⎰ （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式：115(1,2,20)n n I I n n-=-+=计算机从1I 到20I 的近似值；（2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式：111(30,29,,3,2)55n n I I n n-=-+=计算从1I 到20I 的近似值；解：首先第一步，估计0I 和30I 的值：syms x n;int (x^0/(5+x),0,1) ans=log(2)+log(3)-log(5) eval(ans) ans= 0.1823则取0I 为0.18 syms x n;int(x^30/(5+x),0,1) ans =931322574615478515625*log(2)+931322574615478515625*log(3)-931322574615478515625*log(5)-79095966183067699902965545527073/465817912560 eval(ans) ans = 0MATLAB 中小数点后保留四位，由上面计算知道积分的值不为了零。
信计专业数值分析课程设计选题
信计06级数值分析课程设计选题(任选一题)1．非线性方程求解：编制用一般迭代法、牛顿法、弦截法求解方程0)(=x f 的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。
2． 插值方法：编制用牛顿插值、哈密特插值、分段插值、样条插值的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。
3． 数值积分方法：编制用牛顿—科特斯、复化求积、龙贝格公式计算积分的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。
4． 求解线性方程组：编制用直接法（消去法、三角分解法）与间接法（迭代法）解线性方程组的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。
5． 求解微分方程初值问题：编制用欧拉方法、龙格－库塔法、线性多步法解常微分方程初值问题的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。
6． 用追赶法解三对角方程组设计一种用追赶法解三对角方程组的程序及可输入数据的界面,并用数值例子计算。
7． 比较高斯消元法和追赶法设计一种方法用以比较用高斯消元法和用追赶法解三对角方程组的程序及可输入数据的界面，并讨论它们的计算复杂性。
8． 最小二乘法建立一个用最小二乘法解决实际问题的例子，并用数值方法计算。
9． 雅可比迭代法设计用雅可比迭代法解大型方程组的程序，并用数值例子计算。
10． 用高斯－勒让德公式计算定积分设计用高斯－勒让德求积公式计算定积分的程序，并用数值例子计算。
11． 加速提高算法效率数值方法总结数值分析中应用加速提高算法效率数值方法，并分析它们的异同。
12． 代数精度讨论引入代数精度概念的目的和意义。
13． 求大区间积分的数值方法设计一种方法求解积分dx eI x⎰-=20002的数值方法，并分析它的可行性14． 椭圆数值积分已知椭圆的周长可以表示成)(cos 1012022<<+=⎰ρθθρπd a s ，取a=1，（1） 针对ρ从0.1到0.9（步长h=0.1）分别求出周长s ；（用Romberg 积分方法） （2） 对于以上数据，求出s 关于ρ的插值多项式；（3） 对于（1）中数据，试用最小二乘的思想求作拟合多项式（要求是偶次），并对这些多项式的优劣进行比较。
数值分析课程课程设计
课程 设 计设计题目 数值分析 学生姓名 李飞吾 学 号 x x x x x x x x 专业班级 信息计x x x x x 班 指导教师设 计 题 目共15题如下成绩数值分析课程设计1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。
由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。
第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。
第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？（15621） 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题 解：算法分析：解该问题主要使用递推算法，关于椰子数目的变化规律可以设起初的椰子数为0p ，第一至五次猴子在夜里藏椰子后，椰子的数目分别为01234,,,,p p p p p 再设最后每个人分得x 个椰子,由题:14(1)5k k p p +=- （k=0,1,2,3,4）51(1)5x p =-所以551p x =+,11k k p p +=+利用逆向递推方法求解151,4k k p p +=+ （k=0,1,2,3,4）MATLAB 代码： n=input('n= '); n= 15621 for x=1:n p=5*x+1; for k=1:5 p=5*p/4+1; endif p==fix(p), break end enddisp([x,p])1．2 设，15nn x I dx x=+⎰ （1）从0I 尽可能精确的近似值出发，利用递推公式：115(1,2,20)n n I I n n-=-+=计算机从1I 到20I 的近似值；（2）从30I 较粗糙的估计值出发，用递推公式：111(30,29,,3,2)55n n I I n n-=-+=计算从1I 到20I 的近似值；解：首先第一步，估计0I 和30I 的值：syms x n;int (x^0/(5+x),0,1) ans=log(2)+log(3)-log(5) eval(ans) ans= 0.1823则取0I 为0.18 syms x n;int(x^30/(5+x),0,1) ans =931322574615478515625*log(2)+931322574615478515625*log(3)-931322574615478515625*log(5)-79095966183067699902965545527073/465817912560 eval(ans) ans = 0MATLAB 中小数点后保留四位，由上面计算知道积分的值不为了零。
数值分析课程设计报告题目
课程设计1〔三个人，用不同方法〕土木工程和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的各种参数〔如宽度，深度，渠道内壁光滑度〕及水流速度、流量、水深等物理量之间的关系。
假设修一条横断面为矩形的水渠，其宽度为B ，假定水流是定常的，也就是说水流速度不随时间而变化。
根据质量守恒定律可以得到 Q=UBH 〔1.1〕其中Q 是水的流量〔s m /3〕，U 是流速〔s m /〕，H 是水的深度〔m 〕。
在水工学中应用的有关流速的公式是3/23/22/1)2()(1H B BH S n U += 〔1.2〕这里n 是Manning 粗糙系数，它是一个与水渠内壁材料的光滑性有关的无量纲量；S 是水渠的斜度系数，也是一个无量纲量，它代表水渠底每米内的落差。
把〔1.2〕代入〔1.1〕就得到3/23/52/1)2()(1H B BH S n U += 〔1.3〕为了不同的工业目的〔比方说要把污染物稀释到一定的浓度以下，或者为某工厂输入一定量的水〕，需要指定流量Q 和B ，求出水的深度。
这样，就需要求解0)2()(1)(3/23/52/1=-+=Q H B BH S n H f 〔1.4〕一个具体的案例是s m Q S n m B /5 ,0002.0 ,03.0 ,203====求出渠道中水的深度H 。
所涉及的知识——非线性方程解法。
课程设计2〔三个人，用不同方法〕在化学工程中常常研究在一个封闭系统中同时进展的两种可逆反响CD A CB A ⇔+⇔+2其中A ，B ，C 和D 代表不同的物质。
反响到达平衡是有如下的平衡关系：d a cba c C C C k C C C k ==221 , 其中2241107.3 ,104--⨯=⨯=k k 称为平衡常数，),,,(d c b a n C n =代表平衡状态时该物质的浓度。
假定反响开场时各种物质的浓度为：10 ,5 ,20 ,500,0,0,0,====d c b a C C C C而且反响到达平衡时，由第一和第二种反响生成的C 物质浓度分别为21,x x ，于是平衡时21,x x 满足的方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--++=--++=))((,)()2(20,20,210,210,210,210,1x C x C x x C k x C x C x x C k d a c b a c 用不同的数值方法求解上述方程。
数值分析课程设计--三次样条插值
《数值分析》课程设计三次样条插值算法院（系）名称信息工程学院专业班级 09普本信计1班学号 090111073学生姓名宣章然指导教师孔繁民2012年06月08日数值分析课程设计评阅书课程设计任务书2008—2009学年第二学期专业班级： 09普本信计1班学号： 060111060 姓名：宣章然课程设计名称：数值分析设计题目：三次样条插值完成期限：自 2012 年 6 月 8 日至 2012 年 6 月 13 日共 1 周设计依据、要求及主要内容：一、设计目的熟练掌握三次样条插值算法的原理和推导过程，并且能够应用Matlab软件编写相应的程序和使用Matlab软件函数库软件。
二、设计要求(1)用Matlab函数库中相应函数对选定的问题，求出具有一定精度的结果。
(2)使用所用的方法编写Matlab程序求解,对数值结果进行分析。
(3)对于使用多个方法解同一问题的，在界面上设计成菜单形式。
三、设计内容首先构造三次样条插值函数的定义和一般特征,并对实例问题进行实例分析,并总结四、参考文献[1] 黄明游,冯果忱.数值分析[M].北京:高等教育出版社,2008.[2] 马东升,雷勇军.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2006.[3] 石博强,赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程[M].北京:中国铁道出版社.2005.[4]郝红伟，MATLAB 6，北京，中国电力出版社，2001[5]姜健飞，胡良剑，数值分析及其MATLAB实验，科学出版社，2004[6]薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005 计划答辩时间：2012年6月18日指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月三次样条插值摘 要分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。
利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。
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《数值分析》课程设计
本课程设计的内容为：每个小组的同学均应完成以下五个案例； 目标：能将数值分析课程中所学的算法知识熟练应用于实际问题中。
案例1
土木工程和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的各种参数（如宽度，深度，渠道内壁光滑度）及水流速度、流量、水深等物理量之间的关系。
假设修一条横断面为矩形的水渠，其宽度为B ，假定水流是定常的，也就是说水流速度不随时间而变化。
根据质量守恒定律可以得到 Q=UBH （1.1）
其中Q 是水的流量（s m /3
），U 是流速（s m /），H 是水的深度（m ）。
在水工学中应用的有关流速的公式是
3
/23
/22/1)2()(1H B BH S
n U += （1.2）
这里n 是Manning 粗糙系数，它是一个与水渠内壁材料的光滑性有关的无量纲量；S 是水渠
的斜度系数，也是一个无量纲量，它代表水渠底每米内的落差。
把（1.2）代入（1.1）就得到
3
/23
/52/1)2()(1H B BH S
n U += （1.3）
为了不同的工业目的（比如说要把污染物稀释到一定的浓度以下，或者为某工厂输入一定量
的水），需要指定流量Q 和B ，求出水的深度。
这样，就需要求解
0)
2()(1)(3
/23
/52/1=-+=Q H B BH S n H f （1.4）
一个具体的案例是
s m Q S n m B /5 ,0002.0 ,03.0 ,203====
求出渠道中水的深度H 。
所涉及的知识——非线性方程解法。
案例2
在化学工程中常常研究在一个封闭系统中同时进行的两种可逆反应
C
D A C
B A ⇔+⇔+2
其中A ，B ，C 和D 代表不同的物质。
反应达到平衡是有如下的平衡关系：
d a c
b
a c C C C k C C C k ==
22
1 , 其中2
24
1107.3 ,104--⨯=⨯=k k 称为平衡常数，),,,(d c b a n C n =代表平衡状态时该物质的浓度。
假定反应开始时各种物质的浓度为：
10 ,5 ,20 ,500,0,0,0,====d c b a C C C C
而且反应达到平衡时，由第一和第二种反应生成的C 物质浓度分别为21,x x ，于是平衡时
21,x x 满足的方程为：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
--++=
--++=))((,)()2(20,20,2
10,210,2
10,210,1x C x C x x C k x C x C x x C k d a c b a c 用不同的数值方法求解上述方程。
所涉及的知识——非线性方程组解法。
案例3
湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低。
这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。
如果把水温看成
环境工程师希望：
1） 用样条插值求出 T(x).
2） 求在什么深度处dx dT 达到最大（即02
2=dx
T
d ） 所涉及的知识——插值、数值微分。
案例4
在排污管道设计中，工程师关心管道坡度、管子直径和污水流量之间的关系。
对于圆截面管道这些量之间有如下经验公式：
21αααS D Q =
其中Q 代表流量（s m
/3
），S 代表管道坡度（m/m ），D 代表圆管直径（m ），21,,ααα是三个通过实验测定的经验参数。
用适当的数值方法求出21,,ααα
所涉及的知识——最小二乘拟合。
案例5
在研究建筑物通过地板散失热量时，我们需要计算建筑物下方地基中的温度变化。
假设建筑物是圆形的，其半径r=2m （如图所示）
假定： i) 室内温度恒定保持在25°C 。
ii) 室外离开建筑物2m 以外（即R≥4m ）地基温度不受室内温度影响。
iii) 地层4m 一下温度保持为10°C 。
iv) 室外地表温度随昼夜温度变化而变化，其变化规律为
)24/2cos(1010t T outer π+=
（12.1）
时间单位为小时。
我们再假设，地基是由均匀的黄土组成，其物性参数是 密度
3/880m kg =ρ 导热系数 C s m J k o ⋅⋅=/94.0
比热 C kg kJ c o ⋅=/17.1
我们要研究的是半径R=4m ，高度H=4m 的一块柱形地基中的温度变化问题。
由于几何上的对称性，我们可以沿对称轴做一个垂直剖面，并建立坐标系（如图所示） 在地基内P 温度应当满足柱坐标下的热传导方程
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2222
21z T r T r r
T a t T （12.2）
其中 ρ
c k a =
2
边界条件为
z
⎩⎨
⎧≤≤+≤=4
2 ),24/ 2cos(10102
,25),0,(r t r t r T π （12.3）
C t r T o 10),4,(= （12.4）
根据地层传热学中的傅立叶定律可以得知
24240,2cos 12exp 10),,4(22πωωωω=≤≤⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=其中•z t x a z a t z T 因为随着时间的流逝，在开始一瞬间)0,,(z r T 对后来温度变化的影响逐渐消失，所以
)0,,(z r T 可以任意假设，不妨设其为10°C 。
值得指出的是我们需要知道的是足够长的时间之后（t≥T ），24小时地基温度的变化和由建
筑物内P 流失到地层中的热量。
所涉及的知识——数值微分，线性方程组求解，数值积分。
对于变量z r ,分别去等步长z r ∆∆,，令
⎩⎨
⎧=∆==∆=8,2,1,0,8
,,2,1,0, j z j z i r i r j
i 为了简便，我们可以取5.0==∆=∆h z r
这样我们构造出了逼近（12.2）式的差分方程式。
221221224(0,)[2(1,)(0,1)(0,1)](1)(0,)(12.3)
(,)[(1,)(1,)(,1)(,1)](14)(,)(12.4)
n n
n n n n n
i i n
a a T j T j T j T j T j h h T i j a m T i j n T i j T i j T i j a T i j ττλλ++⎧=+++-+-⎪⎪⎪=++-+++-⎨⎪+-⎪
⎪⎩
其中2
h τ
λ=
1
12
2
,,i i i i i i
r
r
m n r r +
-
=
=
，
这就是我们求解构造的差分方程。
（要求4
1
2
≤
λa ，格式稳定）
案例6
数值分析课程中一类算法的可视化设计
包括插值或数值微分，积分或解线性方程组或非线性方程的求根或常微分方程的数值解法。