极零点分布与系统频域特性
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数字信号处理常用知识点
z 实信号具有双边频谱的特性，复信号则具有单边频谱的特性。
z 列出三种关于数字信号处理的实现方法通用计算机软件实现、特殊专用集成电路ASIC实现以及可编程器件如FPGA 硬件实现和通用DSP 器件实现等。
z 设系统用差分方程y(n)=x(n)sin(wn)描述，x(n)与y(n)分别表示系统的输入和输出，则这个系统是线性且时变。
z 由于IIR 数字滤波器的冲激响应无限长，故不能采用时域卷积（或频域卷积）的方法实现，只能通过差分方程的形式来实现。
z 第二类线性相位FIR 数字滤波器的相频特点是具有-90o 初相，因此常被用作移相器等非选频特性之应用。
z FIR 数字滤波器常采用窗函数法、频率采样法和最佳等纹波逼近法等直接数字域设计方法，不能采用模拟滤波器的经典设计理论。
z 实信号具有双边频谱的特性，复信号则具有单边频谱的特性。
z 当采用基于DFT 的方法（可使用FFT 算法）对模拟实信号进行谱分析时，会存在四种主要的、无法避免的、或难以减轻的误差，它们是：时域采样时产生的频谱混叠现象，DFT（频率采样）造成的栅栏效应，信号截断（有限长度）导致的频谱（或频率）泄漏和谱间干扰。
z 设系统用差分方程y(n)=x(n)+2x(n-1)+3x(n-2)描述，x(n)与y(n)分别表示系统的输入和输出，则这个系统是线性且时不变。
（注：从线性和时变性回答）z 数字滤波器均可通过差分方程的形式来实现。
对于FIR 数字滤波器，由于冲激响应有限长，故也可用时域卷积（或频域卷积）的方法实现。
z 第一类线性相位FIR 数字滤波器的相频特点是初相为0。
z IIR 数字滤波器设计常采用模拟滤波器设计的经典理论，从模拟滤波器到数字滤波器的过渡通常采用脉冲响应不变法或双线性变换法。
z 模拟信号和数字信号的描述与分析域分别采用s 域与z 域。
z 如果一个数字因果系统是不稳定的，输出幅度随时间呈发散状，那么它的极点至少有一个在z 平面的单位圆外。
利用Z变换分析信号和系统的频域特性.ppt
1 j j n 其中： x () n X ( e ) e d 2 1 j j n X ( e ) e d 微分增量（复指数）： 2
2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的 因果性和稳定性
z 1）因果： R x 2）稳定： 序列h(n)绝对可和，即
图2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性
例 2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性。 解：
N N 1 z z 1 n n R ( z ) R ( n ) z z N N 1 N 1 1 z z ( z 1 ) n n 0 N 1
第八讲
2.6 利用Z变换分析信号和系统的频 域特性
要点
• 离散系统的系统函数和频率响应，系统函 数与差分方程的互求 • 系统频率响应的意义 • 由系统函数的极点分布分析系统的因果性 和稳定性 • 由系统函数的零极点分析系统的频率特性---系统函数零极点的几何意义
第二章作业
2-1 （1）（3）（4）（6）（7）， 2-2，2-3，2-4，2-5 （1）（3）（5）， 2-6 （1）（3），2-10，2-12，2-13 2-14（2）（3）（6）， 2-16，2-23，2-24，2-28
2e
0 .2 e
j
j
6
4
0 .4
1 .5
1
R e[ z ]
j
0
0.2 e
j
4
解：因果系统： z 2
稳 定 系 统 ： 0 . 4 z 1 . 5
2e
6
2.6.3 利用系统的零极点分析系统的频 率特性
常系数线性差分方程：
ayn ( k ) b xn ( k )
信号与系统-第8章
高频渐近线为斜率为40dB/10倍频的直线， 它与低频渐近线交于=1/T2处。
1/T2称为交接频率（断点）。
G2 ( )
40
20 1 -20 -40 10 102 103
1.系统函数的极点与时域特性的关系 （1） 若一阶极点位于s平面的坐标原点
（2） 若一阶极点位于s平面的实轴上 ， 且极点为负实数，p=-a<0
（3） 若一阶极点位于s平面的实轴， 且极点为正实数，p1=a>0
（4） 若有一对共轭极点位于虚轴， p1=jω0及p2=-jω0
（5） 若有一对共轭极点位于s左半平 面，即p1=-a+jω0，p2=-a-jω0，-a<0
应用拉普拉斯变换求解微分方程
• 当电路或系统的输入输出微分方程 已知时，可直接对微分方程应用单边拉 普拉斯变换，利用时域微分性质求出s域 输出 Y(s) ，对其取逆变换得到时域解 y(t) 。
从该例可看出，用拉普拉斯变换法求 解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输 出及其导数，并且可直接得到全响应。 通过上例可以看到，利用拉普拉斯变换 可以避开烦琐的求解微分方程的过程。 特别是对于高阶微分方程，拉氏变换法 可以使计算量大大减小。
1 2 2 H ( ) 2 1 T2 j 2T2 T2
1 2 2 H ( ) 2 1 T2 j 2T2 T2
二次因式的幅频特性的对数增益为
1 2 2 2 2 G 20lg 2 20lg 1 T2 2T2 T2
1 1 G 20lg j 20lg 1 2T12 T1 T1
1 2 2 20lg 10lg(1 T1 ) T1
1 G( ) 20 lg 10 lg(1 2T12 ) T1
1/T2称为交接频率（断点）。
G2 ( )
40
20 1 -20 -40 10 102 103
1.系统函数的极点与时域特性的关系 （1） 若一阶极点位于s平面的坐标原点
（2） 若一阶极点位于s平面的实轴上 ， 且极点为负实数，p=-a<0
（3） 若一阶极点位于s平面的实轴， 且极点为正实数，p1=a>0
（4） 若有一对共轭极点位于虚轴， p1=jω0及p2=-jω0
（5） 若有一对共轭极点位于s左半平 面，即p1=-a+jω0，p2=-a-jω0，-a<0
应用拉普拉斯变换求解微分方程
• 当电路或系统的输入输出微分方程 已知时，可直接对微分方程应用单边拉 普拉斯变换，利用时域微分性质求出s域 输出 Y(s) ，对其取逆变换得到时域解 y(t) 。
从该例可看出，用拉普拉斯变换法求 解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输 出及其导数，并且可直接得到全响应。 通过上例可以看到，利用拉普拉斯变换 可以避开烦琐的求解微分方程的过程。 特别是对于高阶微分方程，拉氏变换法 可以使计算量大大减小。
1 2 2 H ( ) 2 1 T2 j 2T2 T2
1 2 2 H ( ) 2 1 T2 j 2T2 T2
二次因式的幅频特性的对数增益为
1 2 2 2 2 G 20lg 2 20lg 1 T2 2T2 T2
1 1 G 20lg j 20lg 1 2T12 T1 T1
1 2 2 20lg 10lg(1 T1 ) T1
1 G( ) 20 lg 10 lg(1 2T12 ) T1
信号与系统第四章(2)
二. 零极点分布与h(t)的关系
∑ ∑ h(t)
=
L−1[H (s)] =
n
L−1 [
i =1
ki s− p
i
]=
n i=0
ki e pit
2 k1 eαt cos(ωt + θ )
jω
正弦振荡 (等幅)
h(t) 减幅的自由振荡
h(t)
2 k1 eαt cos(ωt + θ )
0
t
p 位于左半平面
+
R1
+
R2
H (s)与U s (s)无关， 由网络结构和参数决定
∴H (s) = I2(s) =
R1CS
U (s) s
R1LCS 2 + (R1R2C + L)S + R1 + R2
转移导纳函数
3、H (s)的一般性质。
(1 ) h ( t ) = L − 1 [ H ( s )]
证 : Q H (s) = Rzs (s) E(s)
当e(t) = δ (t)时E(s) = 1,
故rzs (t) = h(t) = L−1[H (s)]
此时Rzs (s) = H (s)
例3、试求图示电路的冲激 响应u1(t)。
2Ω
L
R1
SL
+ R1
2H
+ 1
is (t ) u1(t ) 1F
C
2Ω R2
Is (s) U1(s)
CS
R2
−
−
解：H (s) = R(s) = U1(s) — —策动点阻抗 E(s) Is (s)
+
Us (s) −
§5.8 系统函数的零极点与时域特性和频域特性的关系
有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 t , h t 0 ，这表明H ( s ) 的极点位于左半平面。
X
1.2 由H(s) 的零、极点确定系统的时域响应
激励： e( t ) u E ( s )
E (s)
l 1 v
( s zl )
H ( s) 系统函数： h( t ) m H (s)
X
第 15 页
2.1 H(s)和频响特性的关系
设系统函数为 H s ，激励源 e t Em sinω0 t 系统的稳态响应 rss t E m H 0 sin ω0 t 0 其中H s s j ω0 H j ω0 H 0 e j0
平面内。
j ω pi M i e j θi
将 j ω z j、 j ω pi 都看作两矢量之差，将矢量图画于复
X
第 18 页
画零极点图
零点 ： jω N j e
jψ j
zj
极点 ： j ω M i e jθi pi
θi
jω
Mi pi
Nj
ψj
jω
Nj
zj
j
zj
O
σ
jω 是滑动矢量， jω 矢量变 , 则 N j、 ψ j 和 M i、 θ i 都 发生变化。
当α 0 ，极点在左半平面，衰减振荡 当 α 0 ，极点在右半平面，增幅振荡
X
第 7页
二阶极点
1 H ( s ) 2 , 极点在原点, h( t ) tu( t ), t , h( t ) s 1 H ( s) , 极点在实轴上， 2 (s a) h( t ) t e t u( t ),α 0, t , h( t ) 0 2s H (s) 2 , 在虚轴上， 2 2 (s ω ) h( t ) t sin tu( t ), t , h( t ) 增幅振荡
2.6 利用z变换分析系统的频域特性.
③ 位于原点处的零点或极点，由于零极点向的长 度始终为1，故位于原点处的零点或极点不影响系统频率 特性。 例：
N
由系统函数零极点分析系统频响过程：
H (e jω )以 2π 为周期，w从0到 2π ，向量终点B沿单位圆逆时针旋转
一周，当B转到极点附近，极点向量最短，故幅频特性出现峰值，
且极点离单位圆越近，极点向量越短，峰值越明显，极点在单位 圆上，峰值为无穷，系统不稳定。当B转到零点附近，零点向量最 短，幅频特性出现谷值，且零点离单位圆越近，零点向量越短， 谷值越明显，零点在单位圆上，谷值为零。 极点：频响的峰值和尖锐程度。（峰值越尖锐选择性越好） 零点：谷点的位置和形状。
H (e ) = A
jω
∏ ∏
r =1 r =1 N
N
(e jω − cr ) (e jω − d r )
cr B
零点向量
jα r jβr
dr B
jω
极点向量
cr B = cr Be
d r B = d r Be
（模和相角的形式） ∴ H (e ) = A
∏c B ∏d B
r =1 r r =1 N r
H ( z) = A
−1 (1 − c z ∏ r ) −1 (1 − d z ∏ r ) r =1 r =1 N
M
分子分母同乘z N+M： H ( z ) = Az N − M
∏ ∏
r =1 r =1 N
M
( z − cr ) ( z − dr )
考虑频率特性（频响） 令z=e jω ：
H (e jω ) = Ae jω ( N − M )
2.6.3 利用系统的零极点分布分析系统 的频率特性－－频率响应的几何确定法
信号与系统第7章(陈后金)3
一、系统函数
2. H(z)与h[k]的关系
[k]
h[k] yzs [k] = [k]*h[k] h[k ]
Z { yzs [k ]} Z {h[k ]} H ( z) Z {h[k ]} Z { [k ]} 1
H ( z ) Z {h[k ]}
h[k ] Z [H ( z)]
H(z)
2.5 1.25 z 1 0.5 z 2 H ( z) 1 0.25 z 2
二、系统函数的零极点分布
系统函数可以表达为零极点增益形式，即
( z r1 )( z r2 )( z rm ) N ( z) H ( z) K D( z ) ( z z1 )( z z2 )( z zn )
-
-
-
W(z)
an-1 an
z域框图
二、离散系统的模拟框图
2. 级联型结构
将系统函数的N(z) 和D(z)分解为一阶或二阶实系
数因子形式，将它们组成一阶和二阶子系统，即
H(z) = H1(z) H2(z) ….. Hn(z)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 子系统级联。
X(z)
H1(z)
H2(z)
D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用表示。 N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。 例如
(2) 1 Im (z) j 0. 5j (3) 0. 5 0 0. 5j j Re (z) 0. 5 1
H (z)
z3(z 1 j)(z 1 j)
(z 0.5)(z 1)2(z 0.5 j0.5)(z 0.5 j0.5)
w[k ] a j w[k j ] x[k ]
《信号与系统》课程教学大纲——工程认证全文
精选全文完整版（可编辑修改）《信号与系统》课程教学大纲课程名称：信号与系统课程代码：TELE1006英文名称：Signal and Linear System课程性质：专业必修课程学分/学时：3.0开课学期：第3学期适用专业：通信工程、信息工程、电子信息工程、电子科学与技术等专业先修课程：高等数学，线性代数，电路分析后续课程：数字信号处理，通信原理，通信系统设计与实践等开课单位：电子信息学院课程负责人：王家俊大纲执笔人：侯嘉大纲审核人：一、课程性质和教学目标课程性质：本课程是通信工程、信息工程、电子信息工程等电子信息类专业的一门重要专业基础课，是通信工程专业的必修主干课。
教学目标：本课程主要讲授信号与线性系统的分析和处理方法的基本原理。
通过理论教学，使学生能建立系统分析的总体概念，掌握信号处理、信号特征分析、线性系统分析等基本概念和基本方法以及若干典型的电路系统分析应用，该课程是从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程，在教学环节中起着承上启下的作用。
能培养学生的电路设计与特征分析能力，思维推理和分析运算的能力，为进一步学习数字信号处理、通信原理等后续课程打下理论和技术基础。
本课程的具体教学目标如下：1、掌握信号与线性系统理论和知识体系所需的基本数理知识，并能用于专业知识与实际系统分析的能力学习中。
【1.1】2、具备信号与线性系统分析与理解的基础知识，能使用数学、自然科学、工程基础和专业知识分析实际工程中结构、电路、信号等相关具体问题。
【1.3】3、具备对常用信号、线性系统的特性、功能及应用进行分析和理解的基础能力，能够理解典型线性电路系统、滤波器、调制解调系统以及信号的时频特性和基本构成原理，能够针对实际工程问题和应用对象进行方案分析。
【1.4】4、具备对线性系统与信号的基本设计与分析能力，能运用基本原理、数理工具和工程方法，完成电子通信领域相关的复杂工程问题与系统设计中单元与环节的正确表达。
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所以
RZS
(s)
2s s2
2s 1 s(s 1)
2(2s 1) (s 2)(s 1)
62 s2 s1
所以
rZS (t) 2et u(t) 6 e2t u(t)
§6.2 系统函数的表示法
F(s)
N(s) D(s)
bm sm bm1sm1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
§6.4 极零点分布与系统频域特性
最小相移函数(minimum-phase function)
•零点仅位于左半平面或jω轴的函数称为“最小相移函数”
jω
p1
z1 j2
jω
p3
j2
z3
j1 1
1
2 1 O 1 2
j1
j1
3
3
2 1 O 1 2
σ
j1
p2
z2 j2
ψ1 ψ3 θ1 θ 3
p4
ψ1 θ1 ψ3 θ 3
j2
z4
左侧相移最小
§6.5 系统的稳定性
一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO） 稳定的系统，简称稳定系统。
对所有的激励信号e(t)
其响应r(t)满足
et Me rt Mr
则称该系统是稳定的。式中，Me , Mr为有界正值。 稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）：
H(s)
N(s) D(s)
H0
(s z1)(s z2 )...(s zm ) (s p1)(s p2 )...(s pn )
pn称为H(s)函数的极点(pole)； zm 称为H(s)函数的零 点(zero)
§6.3 极零点分布与系统时域特性
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。
§6.4 极零点分布与系统频域特性
频响特性分析
Hjω
ω
ω2
1
2
RC
ω π arctan CRω
2
ω 0
ω π
2
ω
1 RC
ω π
4
ω ω 0
ω 0 H jω 0
ω
1 RC
Hjω 1
2
ω H jω 1
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
i 1
k 1
§6.4 极零点分布与系统频域特性
确定图示系统的频响特性。
H s V2(s) R
V1(s) R 1 sC
H(s) s 1
s RCHjωjωjω 1N1 ejψ1 M1 ejθ1
RC
零点：z1 0
极点：p1
1 RC
1
V1 s
sC R V2s
j
M1
N1
1
1
1
O
RC
1 I1s V1 s
1
单端口 网络
策动点导纳
H(s) V1 (s) I1(s)
策动点阻抗
§6.1 引言
转移函数：激励和响应不在同一端口
1 I1s V1 s
1
双端口 网络
2 I2s
2
V2 s
转移导纳函数 H(s) I2 (s) V1 (s)
转移阻抗函数 H(s) V2 (s) I1 (s)
§6.4 极零点分布与系统频域特性
令分子中每一项 jω zi Bi eji
分母中每一项 jω Pk Ak ejk
k
Ak
pk Bi
i
zi
jω
σ O
H(
j)
H0
B1B2 A1A2
Bm An
e j( 1 2 m 1 2 n )
jω是滑动矢量，jω 矢量变化,则Ak、k和 Bi、i都
发生变化。
§6.3 极零点分布与系统时域特性
1. 预言时域特性(回顾) j jω0
α
O
jω0
α
§6.3 极零点分布与系统时域特性
2. 划分系统分量
u
系统函数： h(tm) H(s)
激励：
(s zl )
(s zj )
e(t) E(s) E(s)
l 1 v
(s Pk )
H(s)
j 1 n
(s Pi )
电压传输函数 H (s) V2 (s) 电流传输函数 H (s) I2 (s)
V1 ( s )
I1(s)
§6.1 引言
已知系统d2 r(t) dt2
5
d r(t) dt
6r(t)
2
d2 e(t) dt2
6
d e(t) ，激励为 dt
e(t) (1 et )u(t)，求系统的冲激响应h(t)和零状态响应 rzs (t)。
在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。
主要优点： 1．可以预言系统的时域特性； 2．便于划分系统的各个分量 （自由／强迫，瞬态／稳态）； 3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
§6.2 系统函数的表示法
3. 极点零点分布图(pole-zero diagram)
F(s)
N(s) D(s)
bm sm bm1sm1 b1s b0 ansn an1sn1 a1s a0
对于由集总参数构成的线性系统，上式为实有理函 数(real rational function)。实有理多项式的根为实 数根，或成共轭对的复数根。
§6.4 极零点分布与系统频域特性
全通函数(all-pass function) 所谓全通是指它的幅频特 性为常数，对于全部频率 的正弦信号都能按同样的 幅度传输系数通过。
•极点位于左半平面， •零点位于右半平面， •零点与极点对于虚轴 互为镜像
零、极点分布
jω
p1
θ M1
1
Mθ 33
p3 M2
θ2 p2
ht d t M
M为有界正值。
§6.5 系统的稳定性
1．稳定系统
若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚 轴），则可满足
系统是稳定的。
lim h(t) 0
t
例如 1 , s p
p0
系统稳定；
1 s2 ps q
p 0, q 0 系统稳定。
§6.5 系统的稳定性
2．不稳定系统
• 频率特性曲线 • 复轨迹 • 极点零点分布图
§6.2 系统函数的表示法
2. 复轨迹(comples locus)
j
V (s)
S平面
U(s)
H(s)平面
当 给定而改变 时，就可以在H(s)平面中得到一
条幅度—相角特性曲线。
0时，复变量s在s平面中沿 j 轴变化，这样映
射到Ｈ(s)平面中得到的曲线称为系统函数的复轨迹
称由系统函数的极点确定的复数频率Pn为系统的 自然频率(natural frequency)
方程D(s)=0称为系统的特征方程(characteristic equation)
§6.3 极零点分布与系统时域特性
3. 分析系统的稳定性(stabiljity) jω0
α
O
jω0
α
§6.4 极零点分布与系统频域特性
k 1
响应： r(t) R(s)
u
m
(s zl ) (s zj )
R(s) l1 v
• j1 n
(s Pk ) (s pi )
i 1
R(s)
v Ak k1 s pk
n
i 1
Ai s pi
k 1
i 1
n
v
r(t) L1 R(s) Ai e pi t u(t) Ak e pk t u(t)
i 1
k 1
自由响应分量 ＋强制响应分量
§6.3 极零点分布与系统时域特性
3. 分析系统的稳定性(stability)
系统函数： h(t) H(s) N (s) / D(s)
n
rzi (t ) Ai e pi t u(t)
i 1
自由响应分量(自然响应分量)
m
(s zj )
H (s) j1 n (s Pi ) i 1
如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二
阶（或以上）极点 lim h(t)
t
系统是不稳定系统。
3．临界稳定系统
如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。 t , h(t)为非零数值或等幅振荡。
§6.5 系统的稳定性
系统稳定性判据
时域： h(t) d t
从频域看要求H(s)的极点： ①右半平面不能有极点(稳定) ②虚轴上极点是单阶的(临界稳定,实际不稳定)。
极零点分布与系统频域特性
§6.1 引言
• 系统函数(system function)定义
et
h(t )
r t
Es
H s
Rs
rt et ht Rs Es Hs
所以
H(s) R(s) E(s)
系统函数(system function)定义为零状态响应函 数R(s)与激励函数E(s)之比。
§6.1 引言
1 s2 s 2 k
H s 的极点
p1,2
1 2
9k 4
为使极点均在s左半平面，必须
可得
9 k 0 4
OR
9 4
k
0
1 2
9k 0 4
k 2,即k 2时系统是稳定的。