控制系统频域分析
控制系统频域分析
控制系统频域分析控制系统频域分析是对控制系统的频率特性进行研究和评估的方法。
它通过在频域上分析信号的幅值和相位响应，帮助我们了解系统的稳定性、性能以及对不同频率输入的响应。
一、引言控制系统在现代工程中起着至关重要的作用。
通过对系统的频域特性进行分析，我们可以更好地理解和优化控制系统的性能。
二、频域分析的基本概念1. 频率响应控制系统的频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应能力。
通过频率响应，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
2. 幅频特性幅频特性是指系统输出信号的幅度与输入信号的频率之间的关系。
通常用幅度曲线图来表示，可以帮助分析系统的放大或衰减程度。
3. 相频特性相频特性描述了系统输出信号的相位与输入信号的频率之间的关系。
相位曲线图可以帮助评估系统的相位延迟或提前程度。
三、常见的频域分析方法1. 频率响应函数频率响应函数是一个复数函数，可以描述系统的幅频和相频特性。
常见的频率响应函数包括传递函数和振荡函数等。
2. Bode图Bode图是一种常用的频域分析工具，可以将系统的幅频和相频特性直观地表示出来。
它以频率为横轴，幅度或相位为纵轴，通过线性坐标或对数坐标来绘制。
3. Nyquist图Nyquist图是一种使用复平面来表示频率响应的图形。
它可以帮助我们判断系统的稳定性，并评估系统的相位边界和幅度边界。
四、频域分析的应用频域分析在控制系统设计和优化中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 系统稳定性分析通过频域分析，我们可以判断系统是否稳定，以及如何设计控制器来维持或改善系统的稳定性。
2. 性能评估频域分析可以帮助我们评估系统的性能，比如响应时间、超调量等。
通过调整系统的频率响应，我们可以提高系统的性能。
3. 滤波器设计频域分析在滤波器设计中起着重要的作用。
通过分析系统的频率响应，我们可以设计出满足特定要求的滤波器。
4. 控制系统建模频域分析可以帮助我们建立控制系统的数学模型，从而更好地理解和优化系统的性能。
控制系统频域分析
控制系统频域分析1. 引言频域分析是控制系统理论中的重要内容之一，它可以帮助工程师们深入了解控制系统的特性和性能。
通过对系统在频域上的响应进行分析，可以得到系统的频率响应曲线和频率特性，从而更好地设计和调节控制系统。
本文将介绍控制系统频域分析的基本概念、常用方法和应用场景。
2. 控制系统频域分析的基本概念2.1 传递函数传递函数是描述系统输入与输出之间关系的数学模型。
对于线性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数的频域特性可以通过对传递函数进行频域变换得到。
2.2 频率响应频率响应是控制系统在不同频率下的输出响应，它是描述系统在不同频率下性能的重要指标。
频率响应可以通过传递函数的频域特性来分析。
2.3 增益余弦图增益余弦图是描述控制系统增益和相位随频率变化的图形。
在增益余弦图中，横轴表示频率，纵轴表示增益和相位角。
通过分析增益余弦图，可以得到系统的幅频特性和相频特性。
3. 控制系统频域分析的常用方法3.1 简单频率响应分析简单频率响应分析是最基本也是最常用的频域分析方法之一。
它通过对系统输入信号进行正弦波信号的傅里叶变换，得到系统的频率响应曲线。
常用的频率响应曲线有幅频特性曲线和相频特性曲线。
3.2 Bode图Bode图是一种常用的频域分析方法，它将系统的增益和相位角随频率变化的情况绘制在一张图中。
通过分析Bode图，可以得到系统的幅频特性和相频特性，并进行系统的稳定性分析。
3.3 Nyquist图Nyquist图是一种用于分析系统稳定性的频域分析方法。
它将系统的传递函数关联到一个复平面上，通过对系统传递函数的频域特性进行分析，可以得到系统的稳定性信息。
Nyquist图可以帮助工程师们更好地设计和调节控制系统。
4. 控制系统频域分析的应用场景频域分析在控制系统设计和调节中有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：4.1 控制系统稳定性分析通过对控制系统的频域特性进行分析，可以判断系统的稳定性。
自动控制原理第5章-频域分析
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
控制系统频域分析
c •
K g 0 系统不稳定
在Bode图上可测取相角裕度和幅值裕度
L() dB
1
kg
20 lg h
20 lg
| Gk ( jg ) |
0dB
c
kg rad / s
20 lg | Gk ( jg ) |
F( )
00
-1800
g
rad / s
MATLAB中用来求系统幅值裕度和相位裕度的函数为 margin( )，它的调用格式有以下几种：
1
| Gk ( jg ) |
例：已知系统开环传递函数为：
Gk
s
ss
5
10.1s
1
试绘制系统Bode图并求系统相角裕量和幅值裕量。
num=[5]; den=conv (conv ([1 0],[1 1]), [0.1 1]); sys=tf (num, den); margin (sys) [Gm,Pm,Wg,Wc]=margin (sys)
系统的频域性能指标为：
Gm =2.2000；Pm =13.5709；Wg =3.1623；Wc = 2.1020
即：系统的剪切频率ωc=2.1020rad/s；相位裕度 =13.5709°，
相位穿越频率ωg=3.1623rad/s； 幅值裕量kg=20*log10(2.2)=6.8485dB。
一、极坐标图（Nyquist图） 当ω：0→∞变化时，G(jω)的端点在复平面上的运动轨迹。
注意：极坐标图中ω是隐含变量。在作图时要注明ω= 0， 和ω→∞的位置及运动轨迹的方向。
MATLAB中用来绘制连续系统极坐标图的指令为 nyquist( )，其调用格式为：
nyquist (sys)——sys为由tf、zpk建立起来的控制系统数 学模型。此时绘制出来的极坐标图的默认角频率w是从 -∞~ +∞。这点与自动控制原理略有不同。
控制系统的时间频域分析与控制方法
控制系统的时间频域分析与控制方法时间频域分析是控制系统中一种常用的方法，用于研究系统的动态响应和控制方式。
通过对系统输入输出信号的时域响应进行频谱分析，我们可以了解系统的频率特性，从而选择合适的控制策略。
本文将介绍控制系统的时间频域分析方法及相应的控制方法。
一、频率响应函数频率响应函数是描述控制系统在各个频率下的响应的函数。
它是输入信号和输出信号的频谱之比。
频率响应函数可以通过系统的传递函数来表示，也可以通过实验测量得到。
常用的频率响应函数包括幅频特性和相频特性。
1. 幅频特性幅频特性是指系统在不同频率下的幅值响应。
通过绘制系统的幅频特性曲线，我们可以直观地了解系统对不同频率信号的放大或衰减程度。
常用的表示幅频特性的方法有Bode图和封闭轨迹图。
2. 相频特性相频特性是指系统在不同频率下的相位响应。
相位响应描述了系统对输入信号的相位偏差。
通过绘制系统的相频特性曲线，我们可以了解系统对不同频率信号的相位变化情况。
相频特性对于稳定性分析和相位补偿很重要。
二、频域分析方法频域分析是利用傅里叶变换原理将信号从时域转换到频域的过程。
在控制系统中，频域分析方法可以帮助我们分析系统的频率特性和稳定性。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学变换方法。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，包括频率和幅值。
2. 快速傅里叶变换快速傅里叶变换是对离散信号进行傅里叶变换的高效算法。
在频域分析中，使用快速傅里叶变换可以快速得到信号的频谱信息，进而进行频率特性分析。
三、频域控制方法频域控制是一种基于频率响应函数的控制方法，通过操作系统的频率响应函数，实现对系统性能的改善。
1. 根轨迹设计法根轨迹设计法是一种通过改变系统的开环传递函数来改进系统动态性能的方法。
通过绘制系统的根轨迹，我们可以分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差。
根轨迹设计法可以用来进行系统参数的调整和控制器的设计。
2. Bode图设计法Bode图设计法是一种根据系统的幅频特性和相频特性进行控制器设计的方法。
控制系统的频域分析实验报告
控制系统的频域分析实验报告
摘要：
本实验旨在通过频域分析的方法来研究和评估控制系统的特性和性能。
在实验中，我们采用了频域分析的基本工具——Bode图和Nyquist图，通过对控制系统的幅频特性和相频特性进行分析，得出了系统的稳定性、干扰抑制能力和稳态性精度等方面的结论。
实验结果表明，频域分析是评估和优化控制系统的一种有效方法。
一、引言
频域分析是控制系统分析中常用的一种方法，通过对系统的频率响应进行研究，可以揭示系统的动态特性和性能，为控制系统的设计和优化提供指导。
在本实验中，我们将利用频域分析方法对一个具体的控制系统进行分析，通过实验验证频域分析的有效性。
二、实验装置和方法
实验所用控制系统包括一个控制对象（如电动机或水流系统）和一个控制器（如PID控制器）。
在实验中，我们将通过改变输入信号的频率来研究系统的频率响应。
实验步骤如下：
1. 连接实验装置，确保控制系统可正常工作。
2. 设计和设置适当的输入信号，包括常值信号、正弦信号和随
机信号等。
3. 改变输入信号的频率，记录系统的输出信号。
4. 利用实验记录的数据，绘制系统的幅频特性曲线和相频特性
曲线。
三、实验结果与讨论
根据实验记录的数据，我们绘制了控制系统的幅频特性曲线和
相频特性曲线，并对实验结果进行了分析和讨论。
1. 幅频特性分析
幅频特性曲线描述了控制系统对不同频率输入信号的增益特性。
在幅频特性曲线中，频率越高，输出信号的幅值越低，说明系统对
高频信号具有抑制作用。
控制系统的时域与频域分析及应用研究
控制系统的时域与频域分析及应用研究控制系统的时域与频域分析是控制工程中的两个重要方面，它们为我们研究和设计控制系统提供了强大的工具。
本文将探讨控制系统的时域与频域分析的基本概念、方法和应用，并讨论它们在实际工程中的重要性。
控制系统的时域分析是对系统在时间域内的行为进行分析和研究。
时域分析的主要目标是研究系统的稳定性、响应速度和稳态误差等特性。
在时域分析中，我们通常关注系统的脉冲响应、阶跃响应和频率响应等。
通过对这些响应的分析，我们可以了解系统对输入信号的处理方式和输出响应的特点。
时域分析的基本方法包括传递函数法、状态空间法和信号流图法等。
其中，传递函数法是最常用的方法之一。
它通过求解系统的传递函数，将输入信号和输出响应之间的关系用数学表达式表示出来。
传递函数法可以帮助我们分析系统的稳定性、零极点分布和频率响应等重要特性。
另外，状态空间法可以帮助我们直观地理解系统的动态特性，以及对多输入多输出系统进行分析和设计。
信号流图法则可以帮助我们将系统的结构图形象地表示出来，从而更好地理解和分析系统的性能。
除了时域分析，控制系统的频域分析也是十分重要的。
频域分析是通过将系统的输入和输出信号转换为频率域内的频谱图来研究系统的动态特性。
频域分析的主要目标是研究系统的频率响应、幅频特性和相频特性等。
在频域分析中，我们可以使用频率响应法、傅里叶变换法和拉普拉斯变换法等方法来分析系统。
其中，频率响应法是最常用的分析方法之一。
它通过将系统的输入和输出信号的频谱进行比较，得出系统的幅度响应和相位响应。
频率响应法可以帮助我们分析系统的频率特性，如共振频率、带宽和滤波特性等，从而指导系统的设计和优化。
控制系统的时域与频域分析在实际工程中具有广泛的应用。
首先，时域分析可以通过对系统的阶跃响应进行研究，帮助我们评估系统的稳态误差和响应速度，从而指导系统的控制策略和参数调节。
其次，频域分析可以通过对系统的幅度响应和相位响应进行研究，帮助我们评估系统的稳定性和抑制高频噪声的能力。
控制系统的频域分析方法-Nyquist
交界频率ωg： 即φ(ωg)=-180 时的角频率， 亦即 Nyquist 曲线穿越负实轴时的频率。 相角裕量γ： γ= 180°+ φ（ωc）
o
γ 的含义：如果系统对频率 ωC 的信号的相角滞后再增大γ度，则系统处于临 界稳定状态。 结论：开环稳定系统，若γ>0，系统稳定，表示 G(jω)H(jω)曲线不包围（-1，j0） 点；γ<0，系统不稳定。
例：一单位反馈系统，其开环传函 G(s)=
2 ， s −1
解：S 右半平面的开环极点数 P=1，而奈氏曲线如图， 反时针包围(-1,j0)点一圈， R=1， 所以系统稳定. 即 Z=P- R=0
（二）第二种情况 当 G(s)H(s)在 s 平面的虚轴或原点处有极点时，需修正 Nyquist 轨线 无限小半圆上的动点 s 可表示为：
系统稳定 系统不稳定
工程上要求:
γ= 30°- 60°, Kg>6db 。也可只对γ提要求。
as + 1 例 1：单位反馈控制系统开环传递函数 G ( s ) = 2 ，试确定使相位 s
裕度γ = 45°的 a 值。 解
L(ω ) = 20 lg (aω c ) 2 + 1
ωc2ຫໍສະໝຸດ =0ωc4 = a2 ωc 2 + 1
γ = 180 ° + arctan( aω c ) − 180 ° = 45 °
aωc = 1 联立求解得
ωc = 4 2
a = 1 / 4 2 = 0.84
二、系统的 Nyquist 图和 Bode 图的对应关系
Nyquist 图 单位圆 实轴负方向 系统稳定的条件 对于最小相角系统： 当γ>0 时，Kg >1 或 20lgKg >0 定程度越好。 当γ<0 时， Kg <1 或 20lgKg <0 ，系统不稳定。 当 γ=0，Kg =1 或 20lgKg =0 时，系统临界稳定。 系统稳定，γ和 Kg 越大，系统稳 Bode 图 0db 线 -180°线
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5.3 奈 奎 斯 特 判 据
❖
在工程中，分析或设计系统时，首先必须保证系统是稳
定的，这一点是尤为重要的！
❖
在时域分析中我们讨论过系统的稳定性，可以从系统闭
包围原点N次．若令：Z为包围于LS内的F(s)函数的零点数；
P为包围于LS内的F(s))函数的极点数，则 N＝Z-P
❖ 若包围LS的是F(s)的Z个零点和P个极点时，则，[F(s)]平 面上的对应轨迹绕原点顺时针转N=Z-P圈．
❖ 根据式N=Z-P(幅角原理的数学表达式)可知：
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
其中:G(j) G(j) ej G(j) G(j) ej; G(j) G(j)
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
由欧拉公式:sin=ej
G (s)U c(s) 1 1 Ur(s) R 1C1s1 T s1
设ru AS ti,则 nU r(s)s2A ω ω 2
1 A Uo(s)T s1s22
u 0(t)1 A 2 tT 2e t/T1 A 2 T 2S( itn ar T c)t
稳态分 A量 S(in tar cT t)g 12T2
❖
奈奎斯特判据：在频域中，利用系统的开环频率特性来
获得闭环系统稳定性的判别方法，不仅可以确定系统的绝对
稳定性，而且还可以提供相对稳定性的信息，即系统如果是
稳定的，那么动态性能是否好；或者如果系统是不稳定的，
那么离稳定还差多少等。所以频域稳定性判据不仅用于系统
的稳定性分析，而且更方便地用于控制系统的设计和综合。
微分方程 sp
传递函数
系统
s j频率特性来自j p§频率特性的图示
频率特性的图示方法有多种： 幅相图(极坐标图，奈奎斯特Nyquist 图） 对数频率特性图（又称波德图Bode） 对数幅相频率特性图（又称尼科尔斯
Nichols), 幅频特性图,相频特性图,实频特性图，虚频
特性图等。 其中在工程中用的最多的是波德图和奈奎
❖ 由以上的关系，可以知道原来系统稳定的 充分必要条件GC(S)的所有极点均需具有负实 部，现在变成了F(S)的所以零点均需具有负实 部。
❖ 由于我们只讨论n>=m的情况，所以系统 的闭环极点数目等于系统的开环极点数目。
❖
由于F(S)沟通了G0(S)和 GC(S)之间的关系，
所以可以利用G0(S)通过F(S)来判定闭环系统的
第五章 频率响应法
5.0 频 率 特 性 法 5.1 频 率 特 性 分 析 5.2 典型环节和开环频率特性 5.3 奈 奎 斯 特 判 据 5.4 开 环 频 率 特 性 5.5 闭 环 频 率 特 性
本章作业
5.0 频率分析法 (P152)
Frequency Response Methods
❖ 采用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法称为频率分析法。 时域(响应)分析法： 阶跃、脉冲等信号 频率分析法： （不同频率）正弦信号
§辅助函数
如右图所示的开环传递函数为
G0(s)
G(s)
M(s) N(s)
闭环传递函数为
Gc(s)1 G G 0(0s()s)N(sM )(sM )(s)
作辅助 函数F(S)，也就是系统的闭环特征多项式为：
F(s)1G0(s)N(sN ) (sM )(s)
F(s) 零点，同时又是闭环极点 F(s) 极点，同时又是开环极点
内容：频率特性的概念及作图、频域稳 定性判据、开环频域性能分析
实例
频率分析法特点
（1）频率特性具有严密的数学基础
和明确的物理意义；
f
(t)
a0
2
[an
n1
sinn0t
bn
cosn0t]
a20n1[an
sinn0t
bn
sin(n0t
]
2
（2）频率特性计算量很小，
可用作图方法，易于在工程技术界使用；
频率分析法特点
（3）正弦信号易产生、测量可采用实验的 方法求出系统或者元件的频率特性，用 于分析系统性能、辨识系统
（4）主要适用于线性系统，但可推广到非 线性系统；
正是由于这些优点，频率特性法在工程 技术领域得到了非常广泛的使用。
5.1 频率特性分析
例 1：对图示RC系统，求当输 入信号为正弦信号时输出
§对数坐标图（Bode）
对数坐标图又称为波德图(曲线)， 对数坐标图有对数幅频特性图和对 数相频特性图。 Bode图横坐标采 用对数分度，对数幅频曲线的纵坐
标轴 L()20lgA()其单位是分贝，
记作dB；对数相频曲线的纵坐标不 做改变，其单位是度。
❖ ※注意： ❖ 1) .Bode图横坐标不是以ω等分度的，
对惯性环节，- 20dB/dec ； 振荡环节， - 40dB/dec； 一阶微分环节，+20dB/dec ； 二阶微分环节，+40dB/dec。
§系统开环幅相曲线（ Nyquist图）
§最小相位系统
1.定义： 开环零点和开环极点全部位于s平面的左半平面，即
相频特性的绝对值最小的系统为最小相位系统；否则 为非最小相位系统。 例：Ga(s)1 1 T T1 2ss,Gb(s)1 1 T T1 2ss
(n0,01)
6）积分环节 G(s) s
7）微分环节 G ( s ) 1
s
其中： T=1/ωn ------时间常数 ζ---------阻尼比
§典型环节的频率特性
一、最小相位环节的频率特性
二、非最小相位环节的频率特性
特点：与最小相位典型环节中的某参数反号 1）比例环节 G(s) K (k>0)
A () 1 ,()arctgT 12T2
则可写成： 1
eiarctgT
12T 2
1 1
1 jT 1Ts s j
可见：
1）线性定常系统的频率响应是与输入同频率的正弦信号; 2）频率响应的幅值和相移均是输入正弦信号频率ω的函数，所以 RC网络的幅频特性和相频率特性为：
幅频特性：A()YX
1
1T22
§典型环节
5.2.1 典型环节
❖ 1.最小相位环节
1）比例环节
G(s) K
2）惯性环节
G(s) 1 Ts 1
(T 0)
3）振荡环节 G (s) T 2 s2 + 2 1T s 1 (s n )2 2 1(s n ) 1 (0 1)
4）一阶微分环节 G(s)Ts1
5）二阶微分环节 G(s)sn2 2n2 s1
环极点的位置来判断系统是否稳定，并且给出了代数稳定性
判据（Routh判据、Hurwitz判据、Lienard-Chipard判据），无
须求解系统的解，可以只通过这些判据就可以知道系统是否
稳定。但是，代数稳定性判据提供的是控制系统绝对稳定性
的信息，而对于系统的相对稳定性的信息提供的很少，因此
我们引入了频域稳定性判据即奈奎斯特判据。
相频特性： ()arctanT
RC网络频率特性的两条曲线如图所示（P153，另见实例）
§ 对于一般情况
x(t) xsint,
X(s)
x s2 2
(s
x j)(s
j)
G(s)
N(s) (s pi
)
,(
pi可以为0,实数,复数)
则: y(s)G(s)X(s)
a1 a2
bi
s j s j spi
所以当频率ω从0→+∞及从0→-∞时， 正负频率的曲线是关于实轴对称的。 通常只画出ω从0→+∞的曲线即可。)
❖ 2.三种绘制方法 ❖ a.极坐标系:对应ω,求出 A ( ) P ( 与) (的 )值，并绘图。 ❖ b.直角坐标系:
❖ G (j)P () ,对jQ 应( ω)求出 与
的值Q (,并) 绘图。 ❖ c.由零、极点分布图绘制。
G(j)K A() K
() 1800
§典型环节频率特性小结
5.2.2开环频率特性的绘制
控制系统的频率特性包括开环频率特性和闭环频率 特性，两者都可以用于分析系统的特性，由于开环频率 特性作图简单、方便，所以开环系统分析的应用比较广 泛；而闭环频率特性由于徒手作图困难，需要借助计算 机以及专用的图表，所以应用逐渐减少。
F(s)，或为从原点指向此映射点的向量F(s)．
❖
若在[s]平面上任意选定一封闭曲线LS，只要此曲线不经
过F(s)的奇点，就可将[s]平面的封闭曲线LS映射到[F(s)]平
面上去，结果也是一封闭曲线，记为LF ．当解析点s按顺时
针方向沿LS变化一周时，向量F(s)将按顺时针方向旋转N周，
即F(s)以原点为中心顺时针旋转N周，这就等于LF曲线顺时针
3. Bode图特点
➢最低频段的斜率取决于积分环节的数目v,斜率为－20v dB/dec；
➢注意到最低频段的对数幅频特性可近似为 L()=20lgK-20vlg
➢如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性 为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率；
➢对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生 变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。
20dB;1cm——900或按比例缩放。
绘制Bode图的一般步骤
1式））将G()G写(A ()成 ; )e指i(数) 式（幅值、幅角形
2）求对数幅频特性及对数相频特
性
L()，20lgA() ( )