数学：4.3《向量与实数相乘》课件(湘教必修二)
向量的乘法详细版.ppt
1
2
ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2
ax bx 2 ay by 2 az bz 2
axbx ayby azbz
.精品课件.
4
于是
a b ax, ay, az bx,by,bz axbx ayby azbz
运算律:
a b
由此得
|
b | Pr jba
Pr jab
|a
a b a
| Pr
ea
jab
b
.
.精品课件.
3
推导数量积的坐标表达式
b
a b
如右图,由余弦定理得:
a
b
cos
1 2
a
2
b
2
a
b
2
a
设 a ax, ay , az ,b bx,by,bz , 则上式可写成
a b cos
| b |
0,
cos 0,
,
ab .
()
ab,
a
b
|
a || b
, 2
| cos
2
cos
0.
0,
.精品课件.
7
定理的坐标形式为
若
a ax, ay , az ,b bx,by,bz ,
则
a
b
a x bx
ayby
azbz
0
.精品课件.
8
例a
1 b
；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，；b （ {31）,a2,在2}b，上求的（投1）影.
14
向量积 符合下列运算规律： 如果 a,b , c 是任意向量, λ,μ是任意实数,
那么
高二数学实数与向量的积4精选教学PPT课件
(2) | a || || a |
(3)a(a 0)的方向： 0, 与a同向； 0, 与a反向； 特别的 0或a 0, 则a 0
几何意义：把向量 a沿着a的方向或a的反方向 放大或缩小。
(1)根据定义，求作向量 （ 3 2a )和(6a )(a为非零向量), 引例： 并进行比较 . (2)已知向量a, b , 求作向量2(a b )和2a 2b , 并进行
比较。
a
b
3(2a )
3(2a ) = 6 a
a b
2a 2b
a
2b
2a
2(a b ) 2a 2b
设a , b 为任意向量， ，为任意实数，则有：
（ 1）（a ) ( )a (2)( )a a a (3) (a b ) a b
向量数乘
a
记作
a
a
a
a a a
(a ) (a ) (a ) 3a
B
a a a 3a
A
P Q
1 则 AP ___ 3 AB
2 BP ___ 3 AB
实数和向量a的乘积是一个向量，记作a。
例1 计算下列各式：
1 a （1）( 2) 2
（2） 2(a b ) 3(a b ) （3） ( )(a b ) ( )(a b ) (4) 4(2a 3b ) 5(3a 2b )
例2 设x 是未知向量，解方程 （ 5 x a ) 3( x b ) 0
《向量数乘运算》课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
实数与向量相乘PPT教学课件
细胞周期 22 h 22 h
分裂次数 存活时间
50~60 45.8~55 d
∞
1951年至今
②无限增殖与恶性增殖 能无限增殖和恶性增殖这两种表述虽然不一样,但都体现了 癌细胞增殖失控的特点,这是癌细胞的最主要特征｡恶性增殖 主要指癌细胞在体内的表现,能无限增殖则主要是指癌细胞 在体外培养的情况｡
除示意图｡
凋亡诱 导因子
结①合
膜受体
凋亡 信号
激活
凋亡相 关基因
执行
细胞 凋亡
吞噬②细胞
清除凋 亡细胞
据图分析,不正确的是( )
A.①过程表明细胞凋亡是特异性的,体现了生 物膜的信息传递功能 B. 细胞凋亡过程中有新蛋白质合成,体现了基 因的选择性表达 C. ②过程中凋亡细胞被吞噬,表明细胞凋亡是 细胞被动死亡过程
考点3 细胞的癌变 1. 癌细胞的概念 有的细胞受到致癌因子的作用,细胞中遗传物质发生变化,就 变成不受机体控制的､连续进行分裂的恶性增殖细胞｡
2. 癌细胞的主要特征
(1)在适宜条件下可以无限增殖(适宜条件如温度､pH､营养物 质等)
(2)恶性增殖的“不死细胞”
①癌细胞与正常细胞的比较
细胞来源 正常人肝细胞 海拉宫颈癌细胞
结果:形成不同组织和器官 特点:稳定性､持久性､__不_可__逆__性_______ 意义 ①细胞分化是生物_个__体__发__育_________的基础 ②细胞分化使多细胞生物体中的细胞趋向专门化､有利于提 高各种生理功能的效率 实质:基因的_选__择__性___表达 全能性 含义:已经分化的细胞仍然具有发育成完整个体的潜能
四、巩固练习
如设图，AB矩 a形, DAABCb试D中用，向E量、Ma、, b表F、示N向是量ABAE、, ADD，C 并的写三出等图分中点与，
湘教版高中数学必修2课件 4.3 向量与实数相乘课件2
课前探究学习
课堂讲练互动
纠错心得 解答数学问题讲究逻辑性，要肯定一个结论成 立，需要经过严密的推理证明，而指出一个结论不成立， 则只须举一反例即可．我们在作图求向量的加法与减法 时，确实碰到过a与b共线时，画出来的a＋b与a－b共线， 但这不能代替证明．错解中的“反之，a＋b与a－b共线 时，不能保证a与b共线”，即使是对的，由于没有举出反 例，难以令人信服，何况这个论断是错的．
E、F，试问，E→F与A→B＋D→C共线吗？ 提示 表面看来，好像不共线，但眼见不
一定为实，还得要让计算来说明问题． 因为E→F＝E→D＋D→C＋C→F，E→F＝E→A＋A→B＋ B→F，两式相加得，2E→F＝(E→D＋E→A)＋A→B＋D→C＋(C→F＋B→F)， 而E→A，E→D是一对相反向量，C→F，B→F也是一对相反向量， 所以 2E→F＝A→B＋D→C，即E→F＝12(A→B＋D→C)，故E→F与A→B＋D→C 共线．
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3. 已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线，如果A→B＝2e1＋3e2，B→C＝ 6e1＋23e2，C→D＝4e1－8e2.求证：A、B、D 三点共线． 证明 ∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A→B， ∴向量A→D与向量A→B共线．
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1．计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)； (2)1312（2a＋8b）－（4a－2b）； (3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)． 解 (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c ＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c ＝6a＋4b.
2019年数学新同步湘教版必修2第4章 4.3 向量与实数相乘
4．3向量与实数相乘以下是生活中我们常见的实例．1．在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速，经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍．2．一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式v t＝gt可知，它在1 s末和2 s 末的速度，大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下．以上两个问题反映了向量的何种运算呢？实数与向量相乘的法则1．将向量v乘以一个正数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相同，长度|λv|是|v|的λ倍．2．将向量v乘以一个负数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相反，长度|λv|是|v|的|λ|倍．3．向量v乘以0得到的0v是零向量．1．已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题有()①λ＜0，a≠0，λa与a的方向一定相反；②λ＞0，a≠0，λa与a的方向一定相同；③λ≠0，a≠0，λa与a是共线向量；④λμ＞0，a≠0，λa与μa的方向一定相同；⑤λμ＜0，a≠0，λa与μa的方向一定相反．A．2个B．3个C．4个D．5个[提示]由λa方向的规定易知，命题①②③正确；对于命题④与⑤，当λμ＞0时，λ与μ同为正或同为负，所以λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，因而λa与μa同向，故命题④正确；当λμ＜0时，λ与μ异号，则λa 与μa 中，一个与a 同向，一个与a 反向，因而λa 与μa 反向，故命题⑤正确．故选D.2．化简：4(a －b )－3(a ＋b )－b . [提示] a －8b .1．当非零向量a ，b 方向相同或相反时，我们既称a ，b 共线，也称a ，b 平行． 2．零向量与所有的向量平行．3．两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．由向量AB ―→＝λAC ―→可否得出A ，B ，C 三点共线？反过来成立吗？[提示] 由AB ―→＝λAC ―→，又AB ―→，AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，反之也成立，这是证明三点共线的常用方法．1．向量与实数的乘法满足以下运算律 (1)设a 是任意向量，x ，y 是任意两个实数，则 (x ＋y )a ＝xa ＋ya ，x (ya )＝(xy )a .(2)设a ，b 是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 2．单位向量：长度为1的向量称为单位向量．[例1] 计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )； (3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．[思路点拨] 利用数乘向量的运算可化简．[边听边记] (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b .(2)原式＝13[](a ＋4b )－(4a －2b )＝13(－3a ＋6b )＝2b －a . (3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .1．(1)化简23⎣⎡⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )； (2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ， 求⎝⎛⎭⎫13a －b －⎝⎛⎭⎫a －23b ＋(2b －a )． 解：(1)原式＝23⎣⎡⎦⎤4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4－32a ＋⎝⎛⎭⎫－3＋13＋74b ＝23⎝⎛⎭⎫52a －1112b ＝53a －1118b . (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝⎛⎭⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝⎝⎛⎭⎫－5＋103i ＋⎝⎛⎭⎫－103－53j ＝－53i －5j .[例2] 两个不共线的向量e 1，e 2，若向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与向量c 共线？[思路点拨] 根据向量共线定理，若存在实数k ，使d ＝kc ，则d ，c 共线．反之，则不共线．[边听边记] d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2.要使d 与c 共线，则存在实数k ，使d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝2ke 1－9ke 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，3μ－3λ＝－9k . 解得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d 与c 共线.2．如图，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC上，且BN ＝13BC .求证：M ，N ，D 三点共线．证明：设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，则BC ―→＝AD ―→＝e 2. ∵BN ―→＝13BC ―→＝13e 2，BM ―→＝12AB ―→＝12e 1，∴MN ―→＝BN ―→－BM ―→＝13e 2－12e 1.又∵MD ―→＝AD ―→－AM ―→＝e 2－32e 1＝3⎝⎛⎭⎫13e 2－12e 1＝3MN ―→， ∴向量MN ―→与MD ―→共线．又M 是公共点，∴M ，N ，D 三点共线．[例3] 在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于点G ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AG ―→.[思路点拨] 在△ABG 中用a ，b 表示AG ―→在△AGC 中用a ，b 表示AG ―→的两个表达式相等→参数值→AG ―→的表达式．[边听边记] 在△ABG 中，AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋λBE ―→＝AB ―→＋λ2(BA ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋λ2(－AB ―→＋AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λ2AC ―→＝(1－λ)a ＋λ2b ，在△AGC 中，AG ―→＝AC ―→＋CG ―→＝AC ―→＋m CF ―→＝AC ―→＋m 2(CA ―→＋CB ―→)＝AC ―→＋m 2(－AC ―→＋AB ―→－AC ―→)＝(1－m )AC ―→＋m 2AB ―→＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG ―→＝13a ＋13b .3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ―→＝13AB ―→＋25AC ―→，BQ ―→＝15AB ―→＋25AC ―→. 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BQ ―→＝－13AB ―→－25AC ―→＋AB ―→＋15AB ―→＋25AC ―→＝1315AB ―→，所以PQ ―→∥AB ―→.又|AB ―→|＝15，所以|PQ ―→|＝13，故|PQ ―→|≠|AB ―→|，于是四边形APQB 为梯形．1．已知m ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．若ma ＝0，则必有a ＝0B ．若m ≠0，a ≠0，则ma 与a 方向相同C ．若m ≠0，a ≠0，则|ma |＝m |a |D ．若m ≠0，a ≠0，则ma 与a 共线解析：若ma ＝0，则a ＝0或m ＝0，故A 错误；若m ≠0，a ≠0，则|ma |＝|m ||a |，ma 与a 共线，方向相同或相反，故B ，C 错误，D 正确．答案：D2．已知a ，b 是不共线的非零向量，实数x ，y 满足(xa ＋2b )－(a －yb )＝0，则( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2解析：∵a ，b 为不共线的非零向量，(xa ＋2b )－(a －yb )＝(x －1)a ＋(2＋y )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.答案：C3．已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实m 使得AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心． 设点D 为底边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，故m ＝3. 答案：B4．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________.解析：原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0. 答案：05.如图，在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：MN ―→＝CN ―→－CM ―→＝14CA ―→－12CB ―→＝12BC ―→－14AC ―→＝12AD ―→－14(AB ―→＋AD ―→)＝14AD ―→－14AB ―→＝14(b －a )． 答案：14(b －a )6．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.通过这节课的学习，谈谈你对向量共线定理的认识？由a ＝λb ⇒a ∥b 中，若λ＝0，则a ＝0，零向量与任一向量都平行；若λ>0，则a 与b 同向；若λ<0，则a 与b 反向．由a ∥b ⇒a ＝λb 中，由λ的唯一性，得b ≠0.该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判定图形的形状等；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是坐标轴上向量坐标化的依据．一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BE ―→＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .答案：A2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP ―→＝ 13⎝⎛⎭⎫12OA ―→＋12 OB ―→＋2OC ―→ ，则点P 一定为( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．BC 边中线的中点D ．AB 边的中点解析：∵O 是△ABC 的重心，∴OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴OP ―→＝13⎝⎛⎭⎫－12 OC ―→＋2OC ―→ ＝12OC ―→，∴点P 是线段OC 的中点，即AB 边中线的三等分点(非重心)．故选B. 答案：B3.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，则BN ―→＝( )A.14a －34b B ．34a －14bC.14b －34a D ．34b －14a解析：BN ―→＝BA ―→＋AN ―→＝BA ―→＋34AC ―→＝－AB ―→＋34(AB ―→＋AD ―→)＝－14AB ―→＋34AD ―→＝－14a ＋34b .答案：D4．在△ABC 中，点P 是BC 上的一点，BP ―→＝2PC ―→，AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则( ) A ．λ＝2，μ＝1 B ．λ＝1，μ＝2 C ．λ＝13，μ＝23D ．λ＝23，μ＝13解析：∵BP ―→＝2PC ―→，∴AP ―→－AB ―→＝2(AC ―→－AP ―→)， ∴AP ―→＝13AB ―→＋23AC ―→，∴λ＝13，μ＝23.答案：C二、填空题5．已知AM ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析：根据AM ―→＝14AB ―→＋34AC ―→可知，M 是BC 边上的一点．设BM ∶CM ＝λ，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λλ＋1BC ―→＝AB ―→＋λλ＋1(AC ―→－AB ―→)＝1λ＋1AB ―→＋λλ＋1AC ―→，∴⎩⎨⎧14＝1λ＋1，34＝λλ＋1，解得λ＝3，∴BM ∶CM ＝3，即BM ∶BC ＝3∶4.∵两个三角形等高，∴两个三角形面积比为3∶4.答案：3∶46.如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD上移动时，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则t ＝λ－μ的最大值是________．解析：设AE ―→＝k AD ―→,0≤k ≤1，则AE ―→＝k (AC ―→＋2CB ―→)＝k [AC ―→＋2(AB ―→－AC ―→)]＝2k AB ―→－k AC ―→，∵AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k .又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取得最大值3. 故t ＝λ－μ的最大值为3. 答案：3 三、解答题7．已知向量e 1，e 2不共线，判断下列向量a ，b 是否共线． (1)a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2；(2)a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1－2e 2.解：(1)设a ＝λb ，则12e 1－13e 2＝λ(3e 1－2e 2)＝3λe 1－2λe 2，∴⎩⎨⎧12＝3λ，－13＝－2λ，解得λ＝16，故a 与b 共线．(2)设a ＝λb ，则2e 1－e 2＝λ(e 1－2e 2)＝λe 1－2λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，－1＝－2λ，λ无解，故a 与b 不共线． 8.如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，求实数m 的值．解：AP ―→＝AN ―→＋NP ―→＝14AC ―→＋NP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，∴NP ―→＝m AB ―→－344AC ―→.又NB ―→＝NC ―→＋CB ―→＝34AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→－14AC ―→，设NP ―→＝λNB ―→(0≤λ≤1)，则λAB ―→－14λAC ―→＝m AB ―→－344AC ―→，∴m ＝λ＝311.。
4.3向量与实数相乘_课件-湘教版必修2PPT
自主探究
如图，四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为
E、F，试问，E→F与A→B＋D→C共线吗？ 提示 表面看来，好像不共线，但眼见不
一定为实，还得要让计算来说明问题． 因为E→F＝E→D＋D→C＋C→F，E→F＝E→A＋A→B＋ B→F，两式相加得，2E→F＝(E→D＋E→A)＋A→B＋D→C＋(C→F＋B→F)， 而E→A，E→D是一对相反向量，C→F，B→F也是一对相反向量， 所以 2E→F＝A→B＋D→C，即E→F＝12(A→B＋D→C)，故E→F与A→B＋D→C 共线．
2. 如右图所示，平行四边形 ABCD 两条对角 线相交于点 M，且A→B＝a，A→D＝b.试用 a， b 表示M→A、M→B、M→C和M→D. 解 在▱ABCD 中， ∵A→C＝A→B＋A→D＝a＋b，D→B＝A→B－A→D＝a－b， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴M→A＝－12A→C＝－12(a＋b)＝－12a－12b， M→B＝12D→B＝12(a－b)＝12a－12b， M→C＝12A→C＝12a＋12b， M→D＝－M→B＝－12D→B＝－12a＋12b.
(2)原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)] ＝13(－3a＋6b)＝2b－a. (3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b ＝－2(m＋n)b.
题型二 用图形中指定向量表示其他向量 【例2】 如图所示，在△ABC 中，C→A＝a，C→B＝b，
M 为A→B的中点，用 a、b 表示： (1)A→M；(2)B→A；(3)C→M. 解 (1)A→M＝12A→B＝12(C→B－C→A)
正解 若 a 与 b 共线，则存在不为零的实数 m，使 a＝mb， 从而aa＋－bb＝＝（（mm＋－11））bb，，得 a＋b＝mm＋－11(a－b)，此时 a＋b 与 a－b 共线；若 a＋b 与 a－b 共线，则存在不为零的实数 p， 使 a＋b＝p(a－b)，即 a＝pp＋－11b，此时 a 与 b 共线． 因此若a与b共线，则a＋b与a－b共线，反之，若a＋b与a －b共线，则a与b共线．
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
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