解题中常见错误类型

解题中常见错误类型

数学是一门逻辑性很强的学科，每个数学命题都有着严密的逻辑结构．不少同学在做数学题时，常因一些“小问题”而导致解题出错，平时考试后也只停留在把本题改正，而不注意探究错误的根本原因，以致在高考中仍经常犯类似的错误。因此，解数学题必须思考细心，论证严密．现就解题中的错误类型概括如下．

一、对数学概念、定义、法则的理解含糊

对数学概念、定义、法则的理解掌握是解题的基础．若对概念理解含糊，容易容易造成解题错误．

例1 若函数y＝f（x）＝log22x－log2x3＋3的定义域为集合A，值域D＝[1，7]，集

合B＝[1

2，2]∪[4，16]，则集合A与集合B的关系为（）

A．A?≠B B．A＝B C．B?≠A D．A?B

〖错解〗由1≤log22x－log2x3＋3≤7，得1

4≤（log2x?

3

2）

2≤25

4，

1

2≤|log2x?

3

2|≤

5

2，

即?1≤log2x≤1或2≤log2x≤4，

∵y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，∴1

2≤x≤2或4≤x≤16，∴A＝[

1

2，2]∪[4，

16]＝B，故应选B．

〖剖析〗根据函数的定义，函数值域可由其定义域与对应法则得出，但由值域与对应法则是否得出唯一的定义域呢？答案是否定的．除非加强条件（比如函数具有单调性

等）．实际上，本题中[1

2，2] 与[4，16]是f（x）的两个单调区间，由错解可知当

1

2≤x

≤2时，可得1≤y≤7，当4≤x≤16时，也可推得1≤y≤7．这就是说，[1

2，2]与[1，16]

都可作为函数的定义域．而集合B只是f（x）值域为[1，7]时x的最大允许值范围，并非是函数的定义域．可以观察f（x）是否是A到D上的一一映射，若是则A＝B，若不是则

A?≠B．

〖正解〗由以上错解可知，若A＝B时，能满足题意，故否定答案A、C，由错因分

析可知，若A＝[1

2，2]

?

≠B时，也能满足题意，故否定B，应选D．

二、忽视题中的隐含条件

有些数学题，题中隐含着一定的条件，若忽视了这些条件，也会造成错误．

例2 已知α，β是关于x的方程x2－（k－2）x＋k2＋3k＋5＝0（k∈R）的两个实根，试求α2＋β2的最大值．

〖错解〗由韦达定理知???α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，于是

α2＋β2 ＝（α＋β）2－2αβ＝（k －2）2－2（k 2＋3k ＋5）＝－（k ＋5）2＋19．

∴当k ＝－5时，α2＋β2有最大值19．

〖剖析〗忽视了方程有两个实数根，判别式Δ≥0这一隐含条件．

〖正解〗由Δ≥0，得（k －2）2－4（k 2＋3k ＋5）≥0，－4≤k ≤－ 43 ． 又－4≤k ≤－ 43

时，α2＋β2 ＝－（k ＋5）2＋19是减函数，故当k ＝－4时，原式取得最大值18． 三、忽视定理公式的使用范围

每个数学定理公式都有一定的适用范围，若超出范围使用，会造成错误．

例3 在数列{a n }中，已知S n ＝3n 2－n ＋1，求通项a n ．

〖错解〗a n ＝S n －S n ?1＝（3n 2－n ＋1）－[3（n －1）2－（n －1）＋1]＝6n －4．

〖剖析〗当且仅当S 0＝0时才能用公式a n ＝S n －S n ?1计算，当S 0≠0时应分段表示． 〖正解〗n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－1＋1＝3；n ≥2时， a n ＝6n －4．

∴a n ＝???3， n ＝16n －4，n ≥2．

四、错把充分条件当成充要条件

充分条件只可作为判断结论正确性的依据，由于不知是否具备必要性而导致条件不完备，即可能有其它条件同样可以得到结论的正确性．忽视这些可能造成错误．

例4 （a －2）x 2＋2（a －2）x －1＜0对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．

〖错解〗结合二次函数图象，要使（a －2）x 2＋2（a －2）x －1＜0对一切x ∈R 恒成立，必须使

???a －2＜0，Δ＝[2(a －2)]2－4×(a －2)×(－1)＜0，

（*） 即???a ＜2，1＜a ＜2，∴a 的取值范围是（1，2）． 〖剖析〗条件（*）只是使得（a －2）x 2＋2（a －2）x －1＜0对一切x ∈R 恒成立的充分条件，而不是充要条件．原题中并没有指出是“二次”不等式，应考虑二次项系数可能为零的情形．

〖正解〗当a ＝2时，a －2＝0，不等式化为－1＜0对一切x ∈R 恒成立．

结合错解，a 的取值范围是（1，2]．

五、错把必要条件当成充要条件

必要条件可能只为结论的一部分，不能保证结论的完整．忽视这些同样可能出现错误． 例5 已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A （1，2），要使过A 点作圆的切线有两条，求a 的取值范围．

〖错解〗将圆的方程配方得：（x ＋

a 2 ）2＋（y ＋1）2 ＝ 4－3a 24 ． ∵其圆心坐标为C （－ a 2 ，－1），半径r ＝4－3a 2

4

． 当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，则|AC|＞r ． 即(1＋ a 2)2＋(2＋1)2＞4－3a 2

4

．即a 2＋a ＋9＞0，解得a ∈R ． 〖剖析〗上述解法仅由条件得出|AC|＞r ，这只是圆有两条切线的必要条件，而忽视了另一制约圆的必要条件r ＞0．

〖正解〗结合错解，圆有两条切线的充要条件是|AC|＞r ＞0，即???a 2＋a ＋9＞0，4–3a 2＞0，

由此可得a 的取值范围是（－ 233 ， 233

）． 六、忽视对结论的检验或检验不彻底

如果在时运算时不能把握问题本质或对概念的理解不深，常会在运算后产生增根，解决的方法之一，是依据题设条件对结论进行检验．忽视检验或检验不彻底都会产生错误．

例6 全集U ＝{1，2a －4，a 2－a －3}，A ＝{a －1，1}，C U A ＝{3}，则a ＝ ． 〖错解〗∵C U A ＝{3}，∴3∈U ＝{1，2a －4，a 2－a －3}．

⑴由2a －4＝3，得a ＝ 72

； ⑵由a 2－a －3＝3，得a ＝3或a ＝－2． 经检验a ＝ 72 时，U ＝{1，3， 234 }，A ＝{ 52

，1}，集合中元素互异； a ＝3时，U ＝{1，2，3}，A ＝{2，1}，集合中元素互异；

a ＝－2时，U ＝{1，－8，3}，A ＝{－2，1}，集合中元素互异． ∴a ＝ 72

，a ＝3或a ＝－2． 〖剖析〗虽然错解紧扣了补集定义，利用分类讨论的方法，进行了问题的解决，并依据集合中元素的互异特性，做了检验．但未能进行是否构成补集的检验依然出错．

〖正解〗结合错解．

a ＝ 72 时，U ＝{1，3， 234 }，A ＝{ 52

，1}，A /?U ，舍去； a ＝3时，U ＝{1，2，3}，A ＝{2，1}，C U A ＝{3}，满足条件A ∩C U A ＝?，A ∪C U A ＝U ； a ＝－2时，U ＝{1，－8，3}，A ＝{－2，1}， A /?U ，舍去．

∴a ＝3．

七、一叶障目，不见泰山

数学概念要全面理解，若一叶障目，不见泰山，容易致错．

例7 △ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，已知a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，

求证：△ABC 为正三角形．

〖错解〗∵b ·c ＝c ·a ，∴c ·（b －a ）＝0．

∵c ≠0，∴b ＝a ，同理可得b ＝c ．故△ABC 是正三角形．

〖剖析〗由于向量的数量积满足分配律，所以由b ·c ＝c ·a 可以得到c ·（b －a ）＝0，但由教材中向量的数量积性质知：“当a ，b 都是非零向量时，a ⊥b ?a ·b ＝0”．所以由c ·（b －a ）＝0，c ≠0不能得到b ＝a ．事实上c ·（b －a ）＝0?c ＝0，b －a ＝0或c ⊥（b －a ）．另外，若a ＝b ＝c ，则△ABC 的三条边平行或重合，也不能得到△ABC 是正三角形．

〖正解〗∵b ·c ＝c ·a ，∴c ·（b －c ）＝0．

又∵c ＝－（a ＋b ），∴－（a ＋b ）·（b －a ）＝0．

∴|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，同理|b |＝|c |，故△ABC 是正三角形．

八、证明不够严密

对于数学的证明题，要严密进行逻辑推理，一步不慎，满盘皆输．

例8 P 为120°的二面角α－MN －β内一点，P 到α，β的距离均为10，求点P 到棱a 的距离．

错解1：过点P 作PA ⊥α于A ，PB ⊥α于B ，过A 作OA ⊥MN 于O ，连结PO ，OB ． ∵PA ⊥α，∴PA ⊥MN ，∵OA ⊥MN ，∴面PAO ⊥MN ．同理，面PBO ⊥MN ． 而面PAO ∩面PBO ＝PO ，∴面PAO 与面PBO 应重合，即A 、O 、B 、P 在同一平面内，∠AOB 为二面角的平面角．……

错解2：过点P 作PA ⊥α于A ，PB ⊥α于B ．

设相交直线PA 、PB 确定的平面为γ，MN ∩γ于O ，则γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ． ∵PA ⊥α，PB ⊥β，∴PA ⊥MN ，PB ⊥MN ，∴MN ⊥γ，∵OA ?γ，OB ?γ，∴∠AOB 为二面角的平面角．……

〖剖析〗错解1中，“同理”二字不妥，这是因为其证法不尽相同，OB 是否与MN 垂直有待证明．错解2中，MN ∩γ＝O 有些欠妥，MN 与γ是否相交还不清楚．

〖正解1〗“同理，面PBO ⊥MN ．”改为：∵面PAO ⊥MN ，∴PO ⊥MN ，∵PB ⊥α，∴PB ⊥MN ，∴面PBO ⊥MN ．

〖正解2〗过点P 作PA ⊥α于A ，PB ⊥α于B ，则PA ⊥MN ，PB ⊥MN ，相交直线A B P O M

α β N

PA 、PB 确定平面PAB ，∴MN ⊥平面PAB ，设MN ∩平面PAB ＝O ，连结OA ，OB ，则OA ?平面PAB ，OB ?平面PAB ，，∴∠AOB 为二面角的平面角．……

九、遗漏特殊情况

在解题中要注意特殊情况对结论造成的影响，遗漏特殊情况可能致错．

例6．求过定点P （0，1）且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有（ ）

A ．0条

B ．1条

C ．2条

D ．3条

〖错解〗设直线方程为y ＝kx ＋1（k ≠0），

由方程组???y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，

消去y ，得k 2x 2＋2（k －1）x ＋1＝0， 由直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4（k －1）2－4k 2＝0，即k ＝ 12

，故选择答案：B ．

〖剖析〗以上出错在于对公共点情况的盲目判断导致的，其错误有两点：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．

〖正解〗由以上错解可知k ＝ 12 有一条直线y ＝ 12

x ＋1；而当斜率不存在时，直线x ＝0满足条件；当直线平行于抛物线的轴时，即直线y ＝1也满足条件；故选择答案：D ．

十、考虑问题不周全 解题时要仔细观察，克服粗心大意，若考虑问题不周全，可能导致结果遗漏．

例10 已知（x ＋ 13 x

）的展开式中有理项共有4项，求n 的取值范围． 〖错解〗 展开式的第k ＋1项为

T k+1＝C k n （x ）n-k （ 13 x

）k ＝C k n x n ―2 5k －― 6（k ＝0，1，…，n ）． 为了使T k+1是有理项，n 必须是偶数，且k 是6的倍数，要使k 在其取值范围内有4个满足条件的值，

∴ n 可取的值为18，20，22．

〖剖析〗T k+1是有理项并不一定要求n 是偶数，若果n 是奇数，k ＝6m ＋3（m ∈Z 时， n 2 － 5k 6

仍为整数）． 〖正解〗展开式第k ＋1项为T k+1＝ C k n x n ―2 5k －― 6（k ＝0，1，…，n ）．

为了使T k+1是有理项，有以下两种情况：

⑴当n 为偶数时，k 是6的倍数，

∵ 0≤k ≤n ，且共有4个有理项，

∴ 18≤n ＜24，即n ＝18，20，22；

⑵当n 为奇数时，k ＝6m ＋3（m ∈Z ），

∵0≤k≤n，且共有4个有理项，

∴21≤n＜27，即n＝21，23，25．

∴n取值的范围是｛18，20，21，22，23，25｝．