(优选)大学物理竞赛辅导力学.

（优选）大学物理竞赛辅导力 学.
质点运动学
1、描述质点运动的 基本量：
1)位置矢量 r xi yj zk
r x2 2)位移 3)速度
4)加速度
y2 z2
v
r dr
dt
a
dv
dt
cos x , cos y , cos z
r rrຫໍສະໝຸດ i yj zkvxv
i v
v
yj
一 质心
有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
rc
m1r1 m2r2 miri mnrn
m1 m2 mi mn
n mi ri
i 1 n
mi
n
i 1
若取 m' mi 为质点系内各质点的质量总和
i
上式可写为
m' drc
n
dt i1
1m'rc
mi
质点系的动量定理
t2
t1
n i1
Fi外
dt
n i1
mivi2
-
n i1
miv i1
3）质点系的动量守恒定律（惯性系）
n
如 Fi 0
则
mivi 常矢量
i 1
i
n
如 Fix 0 i 1
则
mivi x 常量
i
注意：
1、动量守恒定律
只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系
求：v,
a
以及 轨迹方程 等。
解法：求导
若已知
r
r (t)
则
v
dr
dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
若已知 s s( t )
则
v
ds dt
0
v0 ,
a
dv
dt 0
v2
n0
2） 已知：a求:及初值v条及件
r (t)
解法：积分
(1)a(t ) dv dt
v
v0
t
t0
a(t )dt
t
-
1 2
gt
2
3) 匀变速圆周运动
0
＋
w0t
1 2
t 2
w＝w0 t
4) 线量和角量关系
ds Rd
an
v2 R
Rw 2
w 2w02 ＋ 2 ( - 0 )
v ds R d Rw
dt dt
a
dv dt
R dw
dt
R
v
w
r
3、运动学中的两类问题(按求解时所用数学方法的不同）：
1） 已知：质点的运动学方程
的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）—— —近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 定律更普遍的最基本的定律
质点(系)动力学
1、牛顿三定律 适用于低速宏观惯性系
2、力的瞬时效应
dv
d
2
r
F ma m m
dt dt 2
1）质点的角动量（固定点） L r mv
合外力对固定点的力矩
M
r
F
2）质点（系）的角动量定理（固定点） M
dL
dt
质点（系）角动量守恒定律
若 M 0 ，则
L
r
dri dt
n miri 此式对时间求导为：
i1 即m'vc
n
mivi
n
pi
i 1
i 1
上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于系统
in=1 =F质内 心0的速度乘in1 以ddP系ti 统i的n1 质Fi外量。
(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力， 而运用动量守恒。
4）质心
几种系统的质心
▲ 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
▲
连续体 z
dm
r
×C
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
rc m
xC
xdm m
0
x
y
……
▲均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
▲ “小线度”物体的质心和重心是重合的。
vz
vx2
k
vy2
vz2
axi ay j azk
a
ax2
a
2 y
az2
在自然坐标系的表述:
(1) 位置
r r (s) P点起轨迹的弧长S ——弧坐标
（2） 速度 (3) 加速度
v
a
ds dt
0
v0 ,
dv
dt 0
v2
n0
矢量性： 瞬时性： 相对性：
a
a2
a2 n
dv
2
v2
解：据题意知，加速度和时间的关系为：
a
a0
a0
t
a dv dv adt dt
v
0tadt
t( 0
a0
a0
t
)dt
v
a0t
a0
2
t2
v dx dx vdt dt
x
0tvdt
t( 0
a0t
a0
2
t2
)dt
x
a 0
t2
a 0
t3
2 6
例，一足球运动员在正对球门前25m处，以20m/s的初 速度罚任意球。已知门高3.44m，若要在垂直于球门 的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面 成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）
v(t)
dr
dt
r
-
r
0
t
t0
v(t )dt
一维直线运动 (直线运动中可用标量代替矢量）
(2)a( x) dvx
dt
dv
(3)a(v x )
x
dt
dv
vx
x
dx
分离变量
例：一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0， 以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过 t 秒后质点的速度和运动的距离。
mv
常
矢量
同一问题中的力矩和角动量都是对于惯性系中的 同一固定点。
质点（系）动力学 3、力的时间积累效应
1）冲量：
I t2 Fdt t1
动量： P＝mv
2）质点的动量定理 平均冲力概念
I
t2 t1
Fdt
mv2
-
mv1
F
1
t2
Fdt
mv2
- mv1
t2 - t1 t1
t2 - t1
有
F外
dP
d t
d dt
(mvC )
m
dvC dt
F外 maC — 质心运动定理
质心的运动如同一个在质心位置处的质点的
运动，该质点集中了整个质点系的质量和所受
的外力。 在质点力学中所谓“物体”的运动，
实际上是物体质心的运动。
思考
·C 纸 × 拉力
球往哪边 移动？
质心 质心运动定理
n
(1) 守恒条件是 Fi 0 而不是 i 1
(t2
t1
Fi )dt 0
n
(2) 若 Fi 0 或 ΣF外«F内，则系统无论沿那个方向的动量都守恒； i 1
n
若 Fi 0，但若某一方向的合外力零，或该方向 ΣF外«F内
i 1
则该方向上动量守恒；
(3)系统内各量必须是同一时刻，对同一惯性系的物理量 ；
2
dt
叠加性：
二、相对运动
r r r
AC
AB
BC
aAC aAB aBC
v v v
AC
AB
BC
2.质点运动的几种典型形式
1) 匀变速直线运动
x
x0
v0t
1 2
at2
v v0 at v2 v02 ＋ 2a(x - x0 )
2) 抛体运动 运动方程
x
v0
cos
t
y
v0
sin