(全国通用)2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第4节合情推理与演绎推理课件文新人教A版
2018高三数学(理)一轮复习课件：第6章 第4节 推理与证明
实质
由因导果
执果索因 Q⇒P1→P1⇒P2→…→ 得到一个明显成立的条件
框图 P⇒Q1→Q1⇒Q2 表示 →…→Qn⇒Q 文字 因为……所以……或 语言 由……得……
要证……只需证即证……
4.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明 方法． (1)反证法的定义：假设原命题
解析：f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确．
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( D ) A．2ab－1－a2b2≤0
4 4 a ＋ b B．a2＋b2－1－ 2 ≤0
a＋b2 C. 2 －1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
4．下列命题适合用反证法证明的是________． x－2 ①已知函数f(x)＝a ＋ (a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根； x＋1
x
②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2， 1＋x 1＋y 求证： y 和 x 中至少有一个小于2； ③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的； ④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
答案：b1b2b3…b17－n(n＜17，n∈N*)
考点一
类比推理
即时应用
1．如图，已知点O是△ABC内任意一点，连 接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1， OA1 OB1 OC1 C1，则 AA ＋ BB ＋ CC ＝1，类比猜想：点 1 1 1 O是空间四面体ABCD内任意一点，连接 AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面 BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1， D1，则有________．
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第六章 不等式、推理与证明 6.4
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为 g(x)，则 g(x)＝
fx×10 000 1 000x
称为正数 a，b 的④几 __何 ___平__均__数_.
第十页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥⑤_2_a_b___(a，b∈R)． a＋b2
((23))aab＋≤2 b⑥2≤__⑦_2_________a__2_＋_2_(a_b，_2 _b(a∈，Rb)∈．R)．
(4)ba＋ab≥⑧__2____(a·b＞0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
第十一页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当⑨___x＝__y_____时，x＋ y 有最小值是⑩_2__p___(简记：“积定和最小”)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当⑪____x_＝__y___时， xy 有最大值是⑫____s_2_____(简记：“和定积最大”)．
＝
10fx x
＝
10x2＋71x＋100 x
＝
10x
＋
1
000 x
＋
710≥2
1 10x·
0x00＋710＝910.
当且仅当 10x＝1 0x00，即 x＝10 时等号成立．
综上可知应把楼层建成 10 层，此时平均综合费用最低，为
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第六章 不等式、推理与证明 6.6 精品
【解析】选D.由条件知,左边从20,21到2n-1都是连续的, 因此当n=k+1时,左边应为1+2+22+…+2k-1+2k,而右边应 为2k+1-1.
感悟考题 试一试
3.(2016·东营模拟)用数学归纳法证明
“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所
得的式子为 ( )
1 ＞ k k 1
1 k 1
k k 1 1
＞
k2 1
k 1
k 1.
k 1
k 1 k 1
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)可知对任何n∈N*,n>1,
1 1 1 均 成1 立＞ . n
23
n
3.若不等式 1 1 1 a 对一切正整数n都
n 1 n 2
3n 1 24
成立,求正整数a的最大值,并证明结论.
2k 2k 1 2k 2
1 1 1 1 .
k2 k3
2k 1 2k 2
即当n=k+1时，等式也成立. 综合(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.
【规律方法】数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路：用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”, 弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始 值n0是多少.
【变式训练】(2014·安徽高考改编)设整数p>1. 证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px. 【证明】①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不 等式成立.
②假设当p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立. 则当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)·(1+kx) =1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x. 所以当p=k+1时,原不等式也成立. 综合①②可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式 (1+x)p>1+px均成立.
2018一轮北师大版理数学课件：第6章 不等式、推理与证
全国卷Ⅰ· T21 全国卷 Ⅱ· T17 全国卷Ⅰ· T24 全国卷 Ⅱ· T24
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全国卷Ⅱ· T17
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一元二次不等 全国卷Ⅰ· T1 全国卷 式及其解法 简单线性规划 合情推理与演 绎推理 Ⅲ· T1 全国卷Ⅰ· T16 全国 卷Ⅲ· T13 —
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全国卷Ⅰ· T1 全国卷 Ⅱ· T1
全国卷Ⅰ· T1 全国卷Ⅱ· T1 全国卷Ⅱ· T9
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答 题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规 划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接 证明． 2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章 节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明， 主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明． 3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考
查．
[导学心语] 1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式 的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式 是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次 不等式问题． 2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函 数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证， 强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
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全国卷Ⅰ· T15 全 全国卷Ⅰ· T9 全国卷 国卷Ⅱ· T14 — Ⅱ· T9 全国卷Ⅰ· T14
2018版高考一轮总复习数学理习题 第6章 不等式、推理
(时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对 答案 B解析 本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1) 答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B.4．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·2…(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B.2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.1k＋答案 D解析 当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…2k ，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…2k (2k ＋1)(2k ＋2)，所以从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是k ＋k ＋k k ＋k ＋kk ＋k ＋＝k ＋1k ＋k ＋＝1k ＋，选D.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k项 答案 D解析 运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋ (2)＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k＝2k项．6．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案1k ＋k ＋解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋，故填1k ＋k ＋.7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n n ＋2(n ∈N *)的第三步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．答案 3k ＋2解析 n ＝k ＋1比n ＝k 时左边变化的项为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2. 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________________________________________________________________________.答案nn ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.9．用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n－1(n ∈N *)能被9整除． 证明 ①当n ＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立， 即(3k ＋1)·7k－1能被9整除，则当n ＝k ＋1时， ·7k ＋1－1＝(3k ＋1)·7k ＋1－1＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋6(3k ＋1)·7k＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k.由于(3k ＋1)·7k －1和9·(2k ＋3)·7k 都能被9整除，所以(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k 能被9整除，即当n ＝k ＋1时，命题也成立，故(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．10．用数学归纳法证明不等式：2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋3k ＋＞k ＋1·2k ＋3k ＋＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋k ＋， 由基本不等式2k ＋32＝k ＋＋k ＋2≥k ＋k ＋成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立．所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知n ∈N *时，不等式2＋12·4＋14·…·2n ＋12n＞n ＋1成立．(时间：20分钟)11．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋2＝n 2＋n ＋22个区域．12．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．13．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝________.答案 －123解析 ①a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12.②求出a 4＝13，a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝a 1a 2a 3＝3. 14．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝1， 右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k， 这表明n ＝k ＋1时，结论成立， 由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)成立．。
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第4讲 合情推理与演绎推理课件 文
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——合情推理与其他知识的交汇创新 数列{an}的通项公式 an＝ncos n2π＋1，前 n 项和为 Sn， 则 S2 016＝___3_0_2_4__．
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【解析】
当
n＝4k＋1(k∈N)时，an＝(4k＋1)·cos
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【解析】 依题意得，f1(x)＝x＋x 2， x
f2(x)＝x＋xx＋2＋2 2＝3xx＋4＝（22－1x）x＋22，
x f3(x)＝3x3x＋x＋4＋4 2＝7x＋x 8＝（23－1x）x＋23，…，
由此归纳可得 fn(x)＝（2n－1x）x＋2n(x＞0)．
＝
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＝52n；
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当 n 为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝52(n－1)＋2＝52n－12.
52n，n为偶数， 综上所述：Sn＝ 52n－12，n为奇数.
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演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应 用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提， 如果前提是显然的，则可以省略．
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1．下面几种推理是合情推理的是__①__②__④__．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，归纳出所有三角形的内角和都是 180°； ③某次考试张军的成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩 都是 100 分； ④三角形的内角和是 180°，四边形的内角和是 360°，五边 形的内角和是 540°，由此得出凸 n 边形的内角和是(n－ 2)·180°. [解析] ①是类比推理，②④是归纳推理，③不是合情推理．
2018年秋高考数学一轮总复习课件：第六章 不等式、推理与证明 6.1
10
2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集与其对应的 函数y=ax2+bx+c的图像有什么关系?
提示:ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是其对应函数y=ax2+
bx+c的图像在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.
11
3.一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件是 什么?
6
Δ>0
Δ=0
Δ<0
判别式
Δ=b2-4ac 一元二次方 NhomakorabeaΔ>0
Δ=0
Δ<0
程ax2+bx+c
=0(a>0)的 根
有两个相异实 有两个相等实
根x1,x2(x1<x2) 根x1=x2=
没有实
数根
b 2a
7
判别式
Δ=b24ac ax2+bx+c >0 (a>0)的 Δ>0
{x|x<x1或x >x2}
(
)
世纪金榜导学号99972181
A. b = b m B. a > a m b bm C. a < a m b bm D. 与 的大小关系不确定 a am b bm a am
23
【解题指南】(1)先比较a2+1,a-1,2a的大小,再由函数 的单调性求解(或用特值法求解).
m>p>n.
26
(2)选C. b b m b(a m) a(b m) m(b a) . a am a(a m) a(a m) 因为a>b>0,m>0.
2018年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时达标36 合情推理与演绎推理 理
2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标36合情推理与演绎推理理[解密考纲]高考中，归纳推理和类比推理主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现．一、选择题1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( B )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大前提错误．故选B．2．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( A )A．8 B．9 C．10 D．11解析：观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A．3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z} ，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 013∈[3]；②－2∈[2]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确结论的个数为( C )A．1 B．2 C．3 D．4解析：因为2 013＝402×5＋3，所以2 013∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a，b 属于同一“类”，因为整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C ．4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3,(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( D )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，从而g (x )是奇函数． ∴g (－x )＝－g (x )．5．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算：a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2； a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；…. 若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k＝2 017时，“企盼数”k 为( B )A ．22 017＋2 B ．22 017C ．22 017－2 D ．22 017－4解析：a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg k ＋2lg 2＝2 017，lg(k ＋2)＝lg 22 017，故k ＝22 017－2.6．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c,△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3, S 4，内切球半径为R ，四面体S ABC 的体积为V ，则R ＝( C )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋ S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋ S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋ S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋ S 4解析：把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R ，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，解得R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.二、填空题7．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据上述规律，第n个不等式应该为1＋122＋132＋…＋1n ＋2＜2n ＋1n ＋1.解析：不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋122＋…＋1n ＋2，不等式的右边为2n ＋1n ＋1，所以第n 个不等式应该为1＋122＋132＋…＋1n ＋2＜2n ＋1n ＋1. 8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝49…照此规律，第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.解析：观察这些等式，第一个等式左边是1个数，从1开始；第二个等式左边是3个数相加，从2开始；第三个等式左边是5个数相加，从3开始；…；第n 个等式左边是2n －1个数相加，从n 开始．等式的右边为左边2n －1个数的中间数的平方，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.9．设等差数列{a n }的前n 项和为 S n ，则 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论我们可以得到一个真命题为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可． 三、解答题10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.求：(1)a 18的值； (2)该数列的前n 项和S n .解析：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.11．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何—个三次函数都有“拐点”；任何—个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017. 解析：(1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×12－512＝1.由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 017＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫32 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 017＝2，…f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝2，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝12×2×2 016＝2 016.12．给出下面的数表序列：表1 表2 表3 11 31 3 54 4 8 …12其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于他肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解析：表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 重点强化课3 不等式及其应用教师用书
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重点强化课(三) 不等式及其应用［复习导读］本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法,简单的线性规划问题,基本不等式及其应用,针对不等式具有很强的工具性,应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．重点1 一元二次不等式的综合应用（1)（2016·山东青岛一模)函数y＝错误!的定义域为（）A．（－∞，1］B．［－1,1]C．［1,2）∪（2，＋∞)D。
错误!∪错误!(2)已知函数f（x)＝错误!则满足不等式f(1－x2)〉f(2x)的x的取值范围是__________．(1）D（2)(－1，错误!－1) [（1）由题意得错误!解得错误!即－1≤x≤1且x≠－错误!，所以函数的定义域为错误!，故选D.（2）由题意得错误!或错误!解得－1〈x<0或0≤x〈错误!－1.所以x的取值范围为（－1，错误!－1）．］［规律方法］一元二次不等式综合应用问题的常见类型及求解方法(1)与函数的定义域、集合的综合，此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集．（2）与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．（3）与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．［对点训练1] 已知f(x）是定义在R上的奇函数．当x〉0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________. 【导学号：31222215】(－5，0)∪(5，＋∞）[由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时,f(0)＝0；当x〈0时，－x〉0,所以f(－x）＝x2＋4x＝－f(x），即f(x)＝－x2－4x，所以f（x)＝错误!由f（x)〉x，可得错误!或错误!解得x〉5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞）．］重点2 线性规划问题(1）(2017·深圳二次调研）在平面直角坐标系xOy中,若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为（)A。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第六章 不等式、推理与证明 6.3 精品
【知识梳理】 1.重要不等式 a2+b2≥_2_a_b_(a,b∈R)(当且仅当_a_=_b_时等号成立).
2.基本不等式: ab a b .
2
(1)基本不等式成立的条件是_a_>_0_,_b_>_0_.
(2)等号成立的条件是:当且仅当_a_=_b_时取等号.
(3)其中 a b 称为正数a,b的_算__术__平__均__数__,
的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积
是
.
【解析】设一边长为xm,则另一边长可表示为(10-x)m, 由题知0<x<10,则面积S=x(10-x)≤( x 10 x=)22 5,当
2
且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,
故当矩形的长与宽相等,都为5时面积取到最大值25 m2.
答案:25m2
xy=0,则x+2y的最小值为 ( )
A.8
B.4
C.2
D.0
【解题导引】依据题意由基本不等式得x+2y=xy≤
1 ( x 2y )2,从而求得x+2y的最小值或者化简x+2y-xy=0,
22
得 2 1 =1然后变换x+2y的形式,利用基本不等式求出
xy
x+2y的最小值即可.
【规范解答】选A.因为x>0,y>0,
且函数f x ln x是增函数，
所以p f ab q f( a b ). 2
【加固训练】
1.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,则 1 1 1 的最小值
abc
为
.
【解析】因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
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用一类事物的性质去推测另一类事物的性质， 得出一个明确的命题(猜想)． 所以， 由“ 半径为 R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大” ，推理出“ 半径为 R 的球的内 接长方体中，正方体的体积最大” 是类比推理，选 B.]
3．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计 算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式是( A．an＝3n－1 C．an＝n2 ) B．an＝4n－3 D．an＝3n－1
[ 规律方法]
1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察， 寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、 等比数列等； (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图 形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性． 2．归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质； (2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．
C [a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想 an＝n2.]
4． “因为指数函数 y＝a 是增函数(大前提)， 而 所以函数
x
1 y＝3x 是指数函数(小前提)，
1 y＝3x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(
)
A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提错误导致结论错误
A [“ 指数函数 y＝ax 是增函数” 是本推理的大前提，它是错误的．因为实数 a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]
5．(2014· 全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市 时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．
4 (1)C (2)3n(n＋1)
mm＋1 m [(1)数列 在数列中是第 1＋2＋3＋…＋m＝ 2 m＋1
5 5 项，当 m＝5 时，即6是数列中第 15 项，则第 20 项是7，故选 C. 4 4 (2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的3是个固定数，3后面第一 4 个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 π 的系数的一半，3后面第二个 4 4 数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为3×n×(n＋1)，即3n(n＋1)．]
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(
பைடு நூலகம்
[ 答案]
(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．由“半径为 R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为 R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( A．归纳推理 C．演绎推理 B )
B．类比推理 D．以上都不是
[ 类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)
A [由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去 过同一城市”，说明甲去过 A，C 城市，而乙“没去过 C 城市”，说明乙去过城市 A，由此可知，乙去过的城市为 A.]
归纳推理
1 1 2 1 2 3 1 2 (1)(2016· 武汉 4 月调研)数列2，3，3，4，4，4，…， ， ，…， m＋1 m＋1 m ，…的第 20 项是( m＋1 5 A.8 5 C.7 ) 3 B.4 6 D.7
(2)(2016· 山东高考)观察下列等式： π－2 2π－2 4 sin ＋sin ＝ ×1×2； 3 3 3 π－2 2π－2 3π－2 4π－2 4 sin ＋sin ＋sin ＋sin ＝ ×2×3； 5 5 5 5 3 π － 2 2π － 2 3π － 2 6π － 2 4 π － 2 sin ＋ sin ＋ sin ＋…＋ sin ＝ ×3×4 ； sin ＋ 7 7 7 7 9 3 2π－2 3π－2 8π－2 4 sin ＋sin ＋…＋sin ＝ ×4×5； 9 9 9 3 …… 照此规律， π 2π 3π 2nπ －2 －2 －2 －2 sin sin sin sin ＋ ＋ ＋…＋ ＝_______. 2 n ＋ 1 2 n ＋ 1 2 n ＋ 1 2 n ＋ 1
特征的推理
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种
特殊 的推理． 推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到_____
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )
(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适．( )
(3)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍 数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( ) )
1．合情推理 类型 归纳推理 定义 特点
部分 对象具有某种特征，推出 由____ 部分到_____ 整体 、 根据一类事物的_____ 全部 对象都具有这种特征的推理 这类事物的_____
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象
一般 由个别到_____
特殊 到_____ 特殊 类比推理 的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些 由_____
抓 基 础 · 自 主 学 习
第六章
第四节
不等式、推理与证明
合情推理与演绎推理
明 考 向 · 题 型 突 破
课 时 分 层 训 练
[ 考纲传真]
1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，
体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演 绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一 些简单的演绎推理．