学案1 任意角和弧度制

若一个扇形的周长与面积的数值相等， 若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的 半径不可能等于 A.5 B.2 C.3 （ D.4 ）
【解析】 解析】
1.［2011年高考课标全国卷］已知角 的顶点与原点重合， ［ 年高考课标全国卷］ 的顶点与原点重合， 年高考课标全国卷 已知角θ的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合，终边在直线 始边与 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ= 轴的正半轴重合 上 （ ）
【评析】扇形面积的公式是圆周长公式C=2πr和圆面积公 评析】扇形面积的公式是圆周长公式 和圆面积公 当用圆心角的弧度数α代替 式S=πr2,当用圆心角的弧度数 代替 时,即可得到一般弧 当用圆心角的弧度数 代替2π时 即可得到一般弧
1 长和扇形面积公式l=αr,S= αr2. 长和扇形面积公式 2
l r
(l是以角 是以角α 是以角
作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径 作为圆心角时所对圆弧的长 为半径). 为半径 弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. （3）用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制 ） 比值lr与所取的 的大小 比值 与所取的r的大小 与所取的 无关 ,仅与 仅与 角的大小 有关. 有关
设扇形的圆心角为α(0<α<2π),半径为 面积为 半径为r,面积为 【解析】解法一:设扇形的圆心角为 解析】解法一 设扇形的圆心角为 半径为 面积为S, 弧长为l,则有 弧长为 则有l=α r. 则有 由题意有α 由题意有 r+2r=4,得r= 得 1 4 2 8α 8α 8 ∴S= ( ) ⋅α = 2 = = = 1(cm2 ) 2 α+2 α + 4α + 4 4 + 4α + 4 4 2 α⋅ + 4 α α 4 4 当且仅当α= ,即α=2时取等号 此时 时取等号,此时 =1(cm). 当且仅当 即 时取等号 此时r=
若角θ的终边与 若角 的终边与
θ 角的终边相同的是______. 角的终边相同的是 3
6π π 的终边相同,则在 则在［ 的终边相同 则在［0,2π)内终边与 内终边与 7
2π 20 34 ຫໍສະໝຸດ π, π 7 21 21【解析】 解析】 6π (2)∵θ= 7π+2kπ(k∈Z), ∵ ∈ θ 2π 2π = + kπ(k∈Z). ∴ ∈ 3 7 3 2π 20 34 θ , π, π 依题意,依次令 依次令k=0,1,2得 = 依题意 依次令 得 3 7 21 21
位于第三象限, 【解析】(1)∵点P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限 解析】 ∵ 位于第三象限 ∴sinθ·cosθ<0,2cosθ<0, 即
{
sinθ>0 cosθ<0,
π (2)∵2kπ+ <θ<2kπ+π(k∈Z), ∵ ∈ 2
∴-1<cosθ<0,
为第二象限角.即角 在第二象限. ∴θ为第二象限角 即角 在第二象限 为第二象限角 即角θ在第二象限
（3）与角 终边相同的角的集合 终边相同的角的集合: ）与角α终边相同的角的集合 {β|β=k·360°+α,k∈Z} ° ∈ 4.弧度制 弧度制 弧度的角:叫 （1）1弧度的角 叫 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 ） 弧度的角 做1弧度的角 弧度的角. 弧度的角 .
（2）规定 正角的弧度数是一个 正数 ,负角的弧度数 ）规定:正角的弧度数是一个 负角的弧度数 是一个 负数 ,零角的弧度数是 0 零角的弧度数是 .|α|=
考点2 考点2
弧长与扇形的面积
已知扇形的周长为4 已知扇形的周长为 cm,当它的半径和圆心角各取什么值 当它的半径和圆心角各取什么值 时,扇形面积最大 并求出这个最大面积 扇形面积最大?并求出这个最大面积 扇形面积最大 并求出这个最大面积. 【分析】利用扇形的弧长和面积公式,可以把扇形的面积表 分析】利用扇形的弧长和面积公式 可以把扇形的面积表 示成圆心角的三角函数,或表示成半径的函数 进而求解 示成圆心角的三角函数 或表示成半径的函数,进而求解 或表示成半径的函数 进而求解.
4 (cm), α+2
2+2 α 故当半径r=1 cm,圆心角为 弧度时 扇形面积最大 其最大值为 圆心角为2弧度时 扇形面积最大,其最大值为 故当半径 圆心角为 弧度时,扇形面积最大
1 cm2.
解法二:设扇形的圆心角为 半径为r,面积为 解法二 设扇形的圆心角为α(0<α<2π),半径为 面积为 则 设扇形的圆心角为 半径为 面积为S,则 扇形的弧长为rα,由题意有 扇形的弧长为 由题意有2r+rα=4 由题意有
弧度; （4）弧度与角度的换算 ）弧度与角度的换算:360°= 2π 弧度 180° ° ° = π 弧度 弧度. （5）弧长公式 ）弧长公式: S扇形=
1 lr 2
l =| a | r
1 a r2 2
,扇形的面积公式 扇形的面积公式: 扇形的面积公式 .
=
考点1 考点1
象限角、三角函数值符号的判断 象限角、
角的顶点在原点,始边在 轴的正半轴 （1）象限角 角的顶点在原点 始边在 x轴的正半轴 上, ）象限角:角的顶点在原点 终边在第几象限,就说这个角是 角的 终边在第几象限 就说这个角是 （2）象限界角 若角的终边在 ）象限界角:若角的终边在 不属于任何象限,它叫 不属于任何象限 它叫 象限界角 第几象限角 . 就说这个角 坐标轴 上,就说这个角 .
1 2 ∴S= αr = 2
α= ⇒
1 4 - 2r 2 × ×r =2r-r2=-(r-1)2+1, r 2
4 - 2r . r
有最大值1(cm2), ∴r=1(cm)时,S有最大值 时 有最大值 此时α= 此时
4 - 2r =2(弧度 弧度), 弧度 r
故当半径为1 圆心角为2弧度时 扇形面积最大,其最大值 故当半径为 cm,圆心角为 弧度时 扇形面积最大 其最大值 圆心角为 弧度时,扇形面积最大 为1 cm2.
4 A.5 3 B.5
C. 3
5
D. 4
5
2.［2010年高考全国卷Ⅰ］记cos（-80°)=k,那么 ［ 年高考全国卷Ⅰ 年高考全国卷 （ ° 那么 tan100°= ° A.
1− k 2 − k
（ ）
1− k 2 − − B. k
C.
k 1 − k2
D. −
k 1− k2
1.区分象限角、范围角（如锐角、钝角）等概念. 1.区分象限角、范围角（如锐角、钝角）等概念. 区分象限角 2.理解弧度概念 正确利用π rad=180° 2.理解弧度概念,正确利用π rad=180°进行度与弧度 理解弧度概念, 的互化. 的互化.
4kπ+π<2θ<4kπ+2π,-1≤sin2θ<0. ∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0,
sin(cosθ) sin(cosθ) <0,∴ ∴ ∴ cos(sin2θ) cos(sin2θ)
的符号是负号. 的符号是负号
【评析】 (1)熟记各个三角函数在每个象限内的符号是 评析】 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是 关键. 关键 (2)判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象 判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象 限. (3)对于已知三角函数式的符号判断角所在象限 可 对于已知三角函数式的符号判断角所在象限,可 对于已知三角函数式的符号判断角所在象限 先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号,再判断 先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号 再判断 角所在象限. 角所在象限
(1)如果点 如果点P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限，试判断角 位于第三象限， 如果点 位于第三象限 试判断角θ 所在的象限； 所在的象限； (2)若θ是第二象限角 则 若 是第二象限角 是第二象限角,则
sin(cosθ) 的符号是什么? 的符号是什么 cos(sin2θ)
由点P所在的象限 知道sinθ·cosθ,2cosθ 【分析】 (1)由点 所在的象限 知道 分析】 由点 所在的象限,知道 的符号,从而可求 的符号. 的符号 从而可求sinθ与cosθ的符号 从而可求 与 的符号 (2)由θ是第二象限角 可求 由 是第二象限角 可求cosθ,sin2θ的范围 进而把 是第二象限角,可求 的范围,进而把 的范围 cosθ,sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角 并判断其所在 看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其所在 看作一个用弧度制的形式表示的角 并判断其所在u 的象限,从而 的符号可定. 的象限 从而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符号可定 从而 的符号可定
学案1 学案1
任意角和弧度制
了解任意角的概念和弧度制的概念. 任意角和 （1）了解任意角的概念和弧度制的概念. 弧度制 （2）能进行弧度与角度的互化. 能进行弧度与角度的互化.
以选择题或填空题的形式考查任意角的三角函数
1 的定义、 角所处的象限等问题. 的定义、半角或 角所处的象限等问题 n
1.角 1.角 (1)角:角可以看成平面内 一条射线 绕着端点从一个 角 角可以看成平面内 位置 旋转 到另一个位置所成的 图形 .旋转开始时的 旋转开始时的 始边 ,旋转终止时的射线叫做角 射线叫做角α的 旋转终止时的射线叫做角α 射线叫做角 的 旋转终止时的射线叫做角 射线的端点叫做角α的 的 终边 ,射线的端点叫做角 的 顶点 . 射线的端点叫做角 零角 、 2.角的分类 角分 正角、 角的分类:角分 角的分类 （按角的旋转方向）. 按角的旋转方向） 3.在直角坐标系内讨论角 在直角坐标系内讨论角 负角