【2018年数学高考】河南省信阳市普通2018届高中高三第二次教学质量检测 数学文
2018年河南省信阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年河南省信阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N＝R B．M∪（∁R N）＝R C．N∪（∁R M）＝R D．M∩N＝M 2．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱3．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1+i；p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题为（）A．p1，p2B．p2，p4C．p2，p3D．p3，p44．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）5．（5分）若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）6．（5分）的展开式的常数项是（）A．5B．﹣10C．﹣32D．﹣427．（5分）某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的平均数是20，则+的最小值为（）A．1B．C．2D．8．（5分）若输出的S的值等于22，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＞5B．i＞6C．i＞7D．i＞89．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若＝，则直线l的倾斜角θ（0＜θ＜）等于（）A．B．C．D．11．（5分）设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则的大小关系不可能是（）A．B．＝＝C．D．12．（5分）如图，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形ABCD的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为（）A．3B．3C．5D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝1，|2﹣|＝，则||＝．14．（5分）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是．15．（5分）过双曲线的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，AB＝1，∠D＝150°，则四边形ABCD 面积的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足：（a+b+c）（sin B+sin C ﹣sin A）＝b sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设a＝，S为△ABC的面积，求S+cos B cos C的最大值．18．（12分）为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X，求X的数学期望E（X）．参考公式：k2＝（n＝a+b+c+d）．附表：19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a 1＝2，2S n＝（n+1）2a n ﹣n2a n+1，数列{b n}满足b1＝a1，nb n+1＝a n b n．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足c n＝a n+b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知直线l与椭圆C：+＝1（a＞b＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，又＝（ax1，by1），＝（ax2，by2），若⊥且椭圆的离心率e＝，又椭圆经过点（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）试问△AOB的面积是否为定值？21．（12分）已知函数f（x）＝4x2+﹣a，g（x）＝f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x＝1是函数y＝xf（x）的一个极值点，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3＝0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离的最大值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣5|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）解不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0．2018年河南省信阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N＝R B．M∪（∁R N）＝R C．N∪（∁R M）＝R D．M∩N＝M【解答】解：N＝{x|0＜x＜1}；∴M∪N＝{x|x＜2}，∁R N＝{x|x≤0，或x≥1}，M∪（∁R N}＝R．故选：B．2．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，则a﹣2d＝a﹣2×＝．故选：B．3．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1+i；p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题为（）A．p1，p2B．p2，p4C．p2，p3D．p3，p4【解答】解：复数z＝＝＝﹣1﹣i．∴|z|＝，z2＝2i，＝﹣1+i，z的虚部为﹣1．因此只有p2，p4是真命题．故选：B．4．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax3+x2+ax+1，其导数f′（x）＝ax2+2x+a，若函数f（x）＝ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则f′（x）＝ax2+2x+a＝0有2个零点，则有△＝4﹣4a2＞0，且a≠0，解可得：﹣1＜a＜1，且a≠0，即实数a的取值范围是（﹣1，0，（0，1）；故选：D．5．（5分）若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解答】，解：根据题意，偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，则其在[0，+∞）上为增函数，又由f（3）＝0，则f（﹣3）＝0，由图象知当x＜﹣3或x＞3时，f（x）＞0；当﹣3＜x＜3时，f（x）＜0，（x﹣1）f（x）＞0等价为或，即或，得x＞3或﹣3＜x＜1综合可得：不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（﹣3，1）∪（3，+∞）；故选：A．6．（5分）的展开式的常数项是（）A．5B．﹣10C．﹣32D．﹣42【解答】解：由于的通项为，故的展开式的常数项是+（﹣2）5＝﹣42，故选：D．7．（5分）某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的平均数是20，则+的最小值为（）A．1B．C．2D．【解答】解：根据茎叶图知，这组数据的平均数是[12+13+15+19+17+23+（20+a）+25+28+（20+b）]＝20，∴a+b＝8，∴+＝（+）（a+b）＝（1+9++）≥（10+2）＝2，当且仅当b＝3a＝6时取“＝”，∴+的最小值为2．故选：C．8．（5分）若输出的S的值等于22，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＞5B．i＞6C．i＞7D．i＞8【解答】解：S＝1+1＝2，i＝2，不满足条件，执行循环；S＝2+2＝4，i＝3，不满足条件，执行循环；S＝4+3＝7，i＝4，不满足条件，执行循环；S＝7+4＝11，i＝5，不满足条件，执行循环；S＝11+5＝16，i＝6，不满足条件，执行循环；S＝16+6＝22，i＝7，满足条件，退出循环体，输出S＝22故判定框中应填i＞6或i≥7故选：B．9．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：＝，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选：C．10．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若＝，则直线l的倾斜角θ（0＜θ＜）等于（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：由题意可得直线AB的斜率k存在设A（x1，y1）B（x2，y2），F（1，0）则可得直线AB的方程为y＝k（x﹣1）联立方程，整理可得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∴x1+x2＝，x1x2＝1∴x2﹣x1＝＝，∵＝﹣＝＝＝，∴解得：k＝或k＝﹣，∵0＜θ＜，∴k＝，∴θ＝，故选B．方法二：由抛物线的焦点弦性质，+＝＝1，由＝，解得：|AF|＝，|BF|＝4，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝＝＝，解得：sinα＝，∵θ＝，故选：B．11．（5分）设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则的大小关系不可能是（）A．B．＝＝C．D．【解答】解：x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＝k＞0，可得：x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1．∴＝2k﹣1，＝3k﹣1，＝5k﹣1，①若0＜k＜1，则函数f（x）＝x k﹣1单调递减，∴＞＞；②若k＝1，则函数f（x）＝x k﹣1＝1，∴＝＝；③若1＜k，则函数f（x）＝x k﹣1单调递增，∴＜＜．∴的大小关系不可能是D．因此A，B，C，正确；D错误．故选：D．12．（5分）如图，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形ABCD的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为（）A．3B．3C．5D．5【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD＝θ，θ∈．OE＝2cosθ，DE＝2sinθ．可得CD＝2OE＝4cosθ，∴梯形ABCD的面积S＝（4+4cosθ）•2sinθ＝4sinθ（1+cosθ），S′＝4（cosθ+cos2θ﹣sin2θ）＝4（2cos2θ+cosθ﹣1）＝4（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．∵θ∈．∴cosθ∈（0，1）．∴当cosθ＝即θ＝时，S取得最大值，S＝3．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝1，|2﹣|＝，则||＝1．【解答】解：∵向量，的夹角为60°，||＝1，|2﹣|＝，∴|2﹣|2＝＝3，解得：＝1．故答案为：114．（5分）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是30万元．【解答】解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：再设分别生产甲、乙两种肥料各x、y车皮产生的利润为z＝10000x+5000y＝5000（2x+y），由得两直线的交点M（2，2）．令t＝2x+y，当直线L：y＝﹣2x+t经过点M（2，2）时，它在y轴上的截距有最大值为6，此时z＝30000．故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30万元．故答案为：30万元．15．（5分）过双曲线的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2＝4cx，所以F'为抛物线的焦点O为FF'的中点，E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，那么OE∥PF'因为OE＝a那么PF'＝2a又PF'⊥PF，FF'＝2c所以PF＝2b设P（x，y）x+c＝2ax＝2a﹣c过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2＝4b24c（2a﹣c）+4a2＝4（c2﹣a2）得e＝．故答案为：．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，AB＝1，∠D＝150°，则四边形ABCD面积的取值范围是（，）．【解答】解：平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，∴∠C＝90°；延长AD、BC相交于点O，则△OAB为等边三角形，如图（1）所示；此时△AOB的面积为×1×1×sin60°＝；当A，D重合时，AC⊥BC，∠B＝60°，如图（2）所示；此时△ABC的面积为×1××sin60°＝；∴平面四边形ABCD的面积S满足＜S＜．故答案为：（，）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足：（a+b+c）（sin B+sin C ﹣sin A）＝b sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设a＝，S为△ABC的面积，求S+cos B cos C的最大值．【解答】解：（Ⅰ）（a+b+c）（sin B+sin C﹣sin A）＝b sin C，由正弦定理可得（a+b+c）（b+c﹣a）＝bc，即（b+c）2﹣a2＝bc，即为b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ， 由余弦定理可得cos A ＝＝﹣，由0＜A ＜π，可得A ＝；（Ⅱ）a ＝，由正弦定理可得：＝＝＝＝2，可得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 则S ＝bc sin A ＝sin B sin C ， S +cos B cos C ＝sin B sin C +cos B cos C＝cos （B ﹣C ），当B ＝C ＝时，S +cos B cos C 的最大值为．18．（12分）为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X ，求X 的数学期望E （X ）． 参考公式：k 2＝（n ＝a +b +c +d ）．附表：【解答】解：（1）根据列联表计算观测值K2＝≈2.0513，因为K2＜3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，不能认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”；（2）由图表知这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率为P＝＝；（3）由题意知X服从B（4，），则E（X）＝np＝4×＝．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，2S n＝（n+1）2a n﹣n2a n+1，数列{b n}满足b1＝a1，nb n+1＝a n b n．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足c n＝a n+b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（I）由2S n＝（n+1）2a n﹣n2a n+1，可得：2S n+1＝（n+2）2a n+1﹣（n+1）2a n+2，两式相减可得：2a n+1＝（n+2）2a n+1﹣（n+1）2a n+2﹣（n+1）2a n+n2a n+1，∴2a n+1＝a n+2+a n，∴数列{a n}是等差数列，2S1＝22a1﹣a2，a1＝2，解得a2＝4．∴d＝4﹣2＝2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．由b1＝a1＝2，nb n+1＝a n b n．∴b n+1＝2b n，∴数列{b n}是等比数列，首项与公比都为2．∴b n＝2n．（II）c n＝a n+b n＝2n+2n，∴数列{c n}的前n项和T n＝+＝2n+1+n2+n﹣2．20．（12分）已知直线l与椭圆C：+＝1（a＞b＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，又＝（ax1，by1），＝（ax2，by2），若⊥且椭圆的离心率e＝，又椭圆经过点（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）试问△AOB的面积是否为定值？【解答】解：（Ⅰ）由题意的离心率e＝＝＝，则a＝2b，将（，1）代入，即，解得：b＝1，则a＝2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由⊥，则•＝0，即4x1x2+y1y2＝0，由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，则，两式相乘，（y12+4x12）（y22+4x22）＝（y1y2）2+16（x1x2）2+4（x12y22+x22y12），＝（4x1x2+y1y2）2+4（x1y2﹣x2y1）2＝4（x1y2﹣x2y1）2＝16，∴（x1y2﹣x2y1）2＝4，∴△AOB的面积S△AOB＝|x1y2﹣x2y1|＝1，△AOB的面积为定值1．注S△AOB＝||或过A，B分别作y轴的垂线转化为直角梯形，与直角三角形的面积问题即可．21．（12分）已知函数f（x）＝4x2+﹣a，g（x）＝f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x＝1是函数y＝xf（x）的一个极值点，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝4x2+﹣a，则y＝xf（x）＝4x3+1﹣ax的导数为y′＝12x2﹣a，由题意可得12﹣a＝0，解得a＝12，即有f（x）＝4x2+﹣12，f′（x）＝8x﹣，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，﹣7），即有曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7＝7（x﹣1），即为y＝7x﹣14；（2）由f（x）＝4x2+﹣a，导数f′（x）＝8x﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x＝处取得极小值，且为3﹣a，由f（x）有两个零点，可得3﹣a＝0，即a＝3，零点分别为﹣1，．令t＝g（x），即有f（t）＝0，可得t＝﹣1或，则f（x）＝﹣1﹣b或f（x）＝﹣b，由题意可得f（x）＝﹣1﹣b或f（x）＝﹣b都有3个实数解，则﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即b＜﹣1且b＜，可得b＜﹣1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（﹣∞，2）．选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3＝0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离的最大值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（其中t为参数），转化为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3＝0，转化为直角坐标方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：C1的参数方程为：（θ为参数）．所以：点P到直线l的距离d＝＝，则：，此时：cos（）＝1，解得：（k∈Z）．所以：，故P（）到直线l的距离最大．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣5|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）解不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|x﹣5|﹣|x﹣2|＝，当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（Ⅱ）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴5﹣≤x＜5；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为{x|5﹣≤x≤6}．。
2018年高三最新 河南省信阳市2018学年高三第二次调研
河南省信阳市2018—2018学年度高三第二次调研考试数学（文科）2018.1.16本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
2.考试结束，考生将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.0<x<6是不等式|x－2|<6成立的 .A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函数||()(01)xxf x a ax=<<的图像大致是3.已知集合22|194x yM x⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，32|1N yx y⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，则M N等于A.∅B.{}(3,0),(2,0) C.[]3,0)(0,3- D.{}3,24.把函数c o s 2in 2y x x =-的图像按向量平移后得到的图象关于y 轴对称，则||m 的最小值为A.12πB.6πC.3πD.512π5.已知函数3()42f x x x =-且''()()f x f a >成立，则实数a 的取值范围是A. (,1)-∞B. (1,)+∞C. (,1)(1,)U -∞-∞D. (1,1)- 6.已知向量(1,2)a =，(1,)b x x =+-，且a b ⊥，则x =A.2B.23C.1D.07.设函数,22,232(){xx xx x f x <≥+=若()1f a >，则a 的取值范围是A. (0,2)(3,)U +∞B. (3,)+∞C. (0,1)(2,)U +∞D. (0,2) 8.等差数列中有两项1m a k=，1k a m=则该数列前mK 项之和为A.12m k + B.2m k k + C.2m k m+ D.2k m +9.设椭圆221xym n +=的一个焦点与抛物线28xy =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆方程为A.2211612xy+= B.2216448xy+= C.2214864xy+= D.2211216xy+=10.已知,x y 满足1032602x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值是A.1B.13C.3613D.13411.某人射击8次，有3次命中目标，其中恰有2次连续命中目标的情形有A.15种B.30种C.48种D.60种 12.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4lo g y x =的图像的交点个数为A.3B.4C.6D.8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
河南省2018届高三第二次统一考试
河南省2018届高三第二次统一考试数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()11z i i -=-，则z =2i +2.已知集合{}21|log 1,|1A x x B x x ⎧⎫=≤=>⎨⎬⎩⎭，则()R A C B =A. (],2-∞B. (]0,1C. []1,2 D.()2,+∞ 3.已知()()2,,1,2a m b ==-，若()//2a a b +，则m 的值是 A. 4- B. 4 C. 0 D.2-4.已知直线()1y k x =+与不等式组40300,0x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>>⎩表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是A.[)0,+∞B. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5.执行如图所示的程序，则输出的结果是A. 513B. 1023C. 1025D. 20476.平面内凸四边形有2条对角线凸五边形有5条对角线，依次类推，凸13边形的对角线条数为A. 42B. 65C. 143D. 169 7.刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居中，鳖臑居一，不易之率也.”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为1:2，这个比是不变的.下图是一个阳马的三视图，则其表面积为A. 2B. 2338.已知()sin 4f x a x =+，若()lg33f =，则1lg 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B. C. D.9.已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则下列说法错误的是A. ωπ=B. 4πϕ=C. ()f x 的单调递减区间是132,2,44k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D. ()f x 的对称中心为1,0,4k k z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭10.设函数()()0sin fx x =，定义()()()()()()()()1021,,,f x f f x f x f f x ⎡⎤⎡⎤''==⎣⎦⎣⎦()()()()1,n n f x f f x -⎡⎤'=⎣⎦则()()()()()()122017000151515f f f +++的值是11.将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为 A.27π B. 827π C. 3π D.29π 12.已知(),P x y （其中0x ≠）为双曲线2214y x -=上的任一点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A,B ，则PAB ∆的面积为 A.25 B. 45 C.825D.与P 点位置有关第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足11y xx y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是 ．14.已知1,2,()3a b a b b ==+⋅= ，设a 与b 的夹角为θ，则θ等于 ． 15已知圆C 的圆心时直线20x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与圆22(2)(3)9x y -+-=相外切，若过点(1,1)P -的直线l 与圆C 交于两点，当最小时，直线l 的方程为. ．16.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且113,222n n n a a S +==-，则5a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，已知扇形的圆心角23AOB π∠=，半径为C 是AB 上一动点（不与点,A B 重合）.（1）若弦1)BC =，求BC 的长； （2）求四边形OACB 面积的最大值.18. 已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，PA ⊥平面,4,ABCD PA AB AC AB AC ===⊥，点,E F 分别在线段,AB PD 上. （1）证明：平面PDC ⊥平面PAC ； （2）若三棱锥E DCF -的体积为4，求FDPD的值.19.已知药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该中药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：6666211111126,33,()()557,()84,66i i i i i i i i i x x y y x x y y x x ========--=-=∑∑∑∑621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和为62 6.00661ˆ()236.64,3167i i y ye =-=≈∑，分别为观察数据中温度和产卵数1,2,3,4,5,6i =，（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.1 ）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程0.2103ˆ0.06x y e =，且相关指数20.9952R =，试与（1）中的回归模型相比.①用2R 说明哪种模型的拟合效果更好；②用拟合效果更好的模型预测温度为035C 时该中药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分为121()()ˆˆˆ,()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，相关指数22121ˆ()()ni i nii y yR y y ==-=-∑∑20. 在直角坐标xOy 中，已知椭圆E 中心在原点，长轴长为8，椭圆E 的一个焦点为圆22:420C x y x +-+=的圆心.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设P 是椭圆E 上y 轴左侧的一点，过P 作两条斜率之积为12的直线12,l l ，当直线12,l l 都与圆C 相切时，求P 的坐标. 21.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）若曲线()y f x =与直线1ln 20x y ---=相切，求实数a 的值； （2）若不等式(1)()ln xx f x x e+≤-在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C的方程是)4πρθ=-，直线l 的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，0απ≤<），设(1,2)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）当0α=时，求AB 的长度； （2）求22PA PB +的取值范围.23.已知函数()1(0)2f x x a a a=-+≠. （1）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值； （2）当12a <时，函数()()21g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围.一、选择题：DCACD BBCBA BC。
2018年河南省信阳高中高考数学二模试卷和答案(理科)
＝1，则 f（
）的值为
．
16．（5 分）设 an 表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{an}
的前 n 项和为 Sn，那么 S63 的值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在△ABC 中，D∈BC，
x
1.6
1.7
1.74
1.8
10
y
4.953
5.474
5.697
6.050
22026
lnx
0.470
0.531
0.554
0.588
2.303
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标 系与参数方程]
第 4 页（共 18 页）
22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
＝
＝λ．
（1）求证：AD 平分∠BAC；
（2）当
时，若 AD＝1，DC＝ ，求 BD 和 AC 的长．
18．（12 分）国家放开计划生育政策，鼓励一对夫妇生育 2 个孩子．在某地区的 100000 对 已经生育了一胎夫妇中，进行大数据统计得，有 100 对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎， 其余的均为单胞胎．在这 99900 对恰好生育一孩的夫妇中，男方、女方都愿意生育二孩 的有 50000 对，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有 x1 对，男方不愿意生育二孩 女方愿意生育二孩的有 x2 对，其余情形有 x3 对，且 x1：x2：x3＝300：100：99．现用样 本的频率来估计总体的概率．
（1）说明“其余情形”指何种具体情形，并求出 x1，x2，x3 的值；
河南省信阳市普通2018届高中高三第二次教学质量检测 数学理
信阳市2017—2018学年普通高中高三第二次教学质量检测数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码。
请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x ｜x ＜2}，N ＝{x ｜2x －x ＜0}，则下列关系中正确的是A ．M ∪N ＝RB ．M ∪（C R N ）＝R C ．N ∪（CR M ）＝R D ．M ∩N ＝M2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．54钱 B ．53钱 C ．32钱 D ．43钱 3．下面是关于复数z ＝21i i －－的四个命题：p 1：｜z ｜＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1．其中的真命题为A ．p 1，p 2B ．p 2，p 4C ．p 2，p 3D ．p 3，p 44．已知定义在R 上的函数f （x ）＝313ax ＋2x ＋ax ＋1有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是A ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）B ．[－1，0）∪（0，1]C ．（－1，1）D ．（－1，0）∪（0，1）5．若偶函数f （x ）在区间（－∞，0]上单调递减，且f （3）＝0，则不等式（x －1）f （x ）＞0的解集是A ．（－3，1）∪（3，＋∞）B ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）C ．（－∞，－3）∪（3，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（3，＋∞）6．25(2)x＋1的展开式的常数项为 A ．5 B ．－10 C ．－32D ．－427．某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图1所示，若这组数据的平均数是20，则1a ＋9b的最小值为 A ．1 B ．32C ．2D ．52 8．若输出的S 的值等于22，那么在如图2所示的程序框图中的判断框内应填写的条件是A ．i ＞5B ．i ＞6C ．i ＞7D ．i ＞89．要得到函数f （x ）＝cos （2x ＋3π）的图象，只需将函数g （x ）＝ sin （2x ＋3π）的图象 A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 10．过抛物线2y ＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若1AF －1BF ＝12，则 直线l 的倾斜角θ（0＜θ＜2π）等于 A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 11．设x ，y ，z 为正实数，且2log x ＝3log y ＝5log z ＞0，则2x ，3y ，5z 的大小关系不可是 A ．2x ＜3y ＜5z B ．2x ＝3y ＝5z C ．3y ＜2x ＜5z D ．5z ＜3y ＜2x12．如图3，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为A ．5B ．3C ．5D ．3第Ⅱ卷（满分90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝1，｜2a－b b｜＝__________．14．某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是____________万元．15．过双曲线22221x ya b－＝（a＞0，b＞0）的左焦点F（－c，0）作圆222x y a＋＝的切线，切点为E，延长FE交抛物线2y＝4cx于点P，O为坐标原点，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_____________．16．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，AB＝1，∠D＝150°，则四边形ABCD面积的取值范围是_____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
河南省六市2018届高三第二次联考(二模)数学(理)试题答案
(Ⅱ )当a<12时 ,g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+21a
ìïï-3x+a+21a+1,x<a, = íïïï-x-a+21a+1,a≤x≤12,…………………………………………………… 7分
îïïï3x-a+21a-1,x>1 2,
∴g(x)min=g(12)=12
15.15
11-12 CA
16.Sn
=
(n2-n+1)·3n+1 2
17.解:(Ⅰ )依题设:sinA=
1-cos2A =
1-
(3)2 4
=
7, 4
sinC=
1-cos2C =
1-
(1)2 8
=387,故
cosB
=cos[π
﹣
(A
+C)]
=-cos(A+C)=-(cosAcosC-sinAsinC)=-(332-2312 )=196.……… 4分
令平面 ABC 的一个法向量为n=(x,y,z)
{ { 则有
n·AB→=0 n·AC→=0
即 -y+ 3z=0 - 3-y=0
令z=1,则x=-1,y= 3
……… 8分
∴n=(-1,3,1)
令 AB1 与平面 ABC 所成的角为θ
则sinθ=|cos<n,AB→1>|=
n·AB→1 |n||AB→1|
(Ⅱ )由 (Ⅰ )知 :sinB =
1-cos2B =
1=
(9 )2 16
57 = 16
,
再由正弦定理易得:a4=b5=c6,…………………………………………………… 6分
2018届高三第二次质量检测文科数学答案
2018届高三第二次质量检测卷文科数学参考答案第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．3; 14. [3,)+∞; 15．1(,1)2; 16.2π3+ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三个集合：{}22log (58)1A x x x =∈-+=R ，{}22821R x x B x +-=∈=，{}22190R C x x ax a =∈-+->.（I ）求A B ；（II ）已知,A C B C ≠∅=∅，求实数a 的取值范围.解：(Ⅰ){}{}25822,3R A x x x =∈-+==, ………………………........................2分 {}{}22802,4R B x x x =∈+-==-, ……………………….....................4分{}2,3,4.A B ∴=- ……………………....................…5分(Ⅱ),A C B C ≠∅=∅,2,4,3.C C C ∴∉-∉∈ …………………….................…6分{}22190,R C x x ax a =∈-+->22222222190,(4)4190,33190.a a a a a a ⎧-+-≤⎪∴-++-≤⎨⎪-+->⎩…………………….................…10分即35,222 5.a a a a -≤≤⎧⎪--≤≤-⎨⎪<->⎩或解得3 2.a -≤<-……………………….................11分 所以实数a 的取值范围是[3,2).--.................................................................................12分 18. （本小题满分12分）已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-()x ∈R 的部分图象如图所示,其中,a b 分别是ABC ∆的角,A B 所对的边, ππ0,[,]22ωθ>∈-.（I ）求,,,a b ωθ的值；（II ）若cos ()+12CC f =，求ABC ∆的面积S .解：（Ⅰ）0,0a ω>>及图象特征知： ①()f x 的最小正周期2π3ππ2[()]π,88ω=--=2.ω=……………………….......................................................................................................2分②当()sin 1x ωθ+=-时,min ()1f x a b =--=； 当()sin 1x ωθ+=时，max ()1f x a b =-=.解得 1.a b ==………………………..................................................................................4分③ππ()))1188f θ-=-+-=，得ππ2π,42k θ-+=-π2π,4k θ=-.k ∈Z由ππ[,]22θ∈-得π.4θ=- 所以π2,, 1.4a b ωθ==-==…………………….....................................................…6分（II ）由π()214f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及cos ()+12C C f =得，πsin c s os o 4c C C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=，即C C sin 21cos = ……………….............…..........................................................................8分又22sin cos 1C C +=，得552sin ,54sin 2±==C C …………………………...........…10分由0πC <<得，sin C =1sin 2S ab C ==……………………...........……12分 19．（本小题满分12分）中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下：（I ）写出“套餐”中方案1的月话费y （元）与月通话量t （分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；（II ）学生甲选用方案1，学生乙选用方案2，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；（III ）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由.解： (Ⅰ) 30, 048,300.6(48) , 48.t y t t ≤≤⎧=⎨+⨯->⎩， ……………………..............……3分即：30, 048,0.6 1.2 , 48.t y t t ≤≤⎧=⎨->⎩………………………...........…4分（Ⅱ）设该月甲乙两人的电话资费均为a 元,通话量均为b 分钟.当048b ≤≤时, 甲乙两人的电话资费分别为30元, 98元,不相等；…….........5分 当170b >时, 甲乙两人的电话资费分别为1300.6(48)y b =+-（元）,2980.6(170)y b =+-元, 21 5.20y y -=-<,21y y <； ……………......…6分当48170b <≤时, 甲乙两人的电话资费分别为300.6(48)a b =+-（元）,98a =（元）, 解得484.3b =所以该月学生甲的电话资费98元. …………….................................…8分（Ⅲ）月通话量平均为320分钟，方案1的月话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）； ……………….........9分方案2的月话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）； ……………..........…10分 方案3的月话费为168元. 其它方案的月话费至少为268元. …………….........…11分 经比较, 选择方案3更合算. ……………........…12分 20.（本小题满分12分）已知函数32()f x ax x b =++的图象在点1x =处的切线方程为13y =,其中实数,a b 为常数.（I ）求,a b 的值;（II ）设命题p 为“对任意1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x =”，问命题p 是否为真命题？证明你的结论.解: （I ）32(),f x ax x b =++ 2()32.f x ax x '∴=+……………......................…1分(1)1,(1)32,f a b f a '=++=+∴函数()f x 的图象在点1x =处的切线方程为(1)(32)(1)y a b a x -++=+-, 即(32)21y a x b a =++-- ………………4分该切线方程为13y =, ∴1320,21,3a b a +=--=…………....................……5分 即2,0.3a b =-= ………….....................……6分（II ）命题p 为真命题. ……………................…7分证明如下: 322(),3f x x x =-+ 2()222(1).f x x x x x '=-+=-- 当1x >时, ()0f x '<,()f x 在区间(1,)+∞单调递减,集合{}1()1,(,(1))(,).3R A f x x x f =>∈=-∞=-∞ ……………..................…9分当2x >时, ()f x 的取值范围是4(,(2))(,).3f -∞=-∞-集合132,(,0).()4R B x x f x ⎧⎫=>∈=-⎨⎬⎩⎭…………….................…11分从而.B A ⊆所以对任意1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得211(),()f x f x =即12()() 1.f x f x = ……………..................…12分21．(本小题满分12分) 已知函数1()ln ,1xf x a x x-=++其中实数a 为常数且0a >. （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 既有极大值，又有极小值，求实数a 的取值范围及所有极值之和； （III ）在（II ）的条件下，记12,x x 分别为函数()f x 的极大值点和极小值点，求证：1212()()()22x x f x f x f ++<. 解:(Ⅰ) 函数2()ln 11f x a x x=+-+的定义域为∞(0,+)，22222(1)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +-+'=-=++， …………...........……1分 设222()2(1)4(1)44(12).g x ax a x a a a a =+-+∆=--=-，① 当12a ≥时, 0∆≤，()0,g x ≥()0f x '≥，函数()f x 在∞(0,+)内单调递增； …………..........……2分② 当102a <<时, 0∆>，方程()0g x =有两个不等实根：12x x ==，且1201.x x <<< 1()0()00,f x g x x x '>⇔>⇔<<或2.x x >12()0()0.f x g x x x x '<⇔<⇔<< .............................................3分综上所述，当12a ≥时, ()f x 的单调递增区间为∞(0,+),无单调递减区间；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为1a a -(0,， 1a a -+∞(),单调递减区间.............................................................4分（II ）由（I ）的解答过程可知，当12a ≥时,函数()f x 没有极值. ......................................5分 当102a <<时，函数()f x 有极大值1()f x 与极小值2()f x ，121212(1), 1.x x x x a+=-=12()()f x f x ∴+=121211*********(1)(ln )(ln )ln()0.11(1)(1)x x x x a x a x a x x x x x x ---+++=+=++++ .....................................7分故实数a 的取值范围为1(0,)2,所有极值之和为0. ……………................8分 （III ）由（II ）知102a <<,且1211()(1)ln(1)212x x f f a a a a+=-=-+-, 12()()02f x f x +=.…………9分原不等式等价于证明当102a <<时,1ln(1)210a a a-+-<，即11ln(1)2a a-<-. ………………......................................10分设函数()ln 1h x x x =-+,则(1)0,h =当1x >时，1()10h x x'=-<. 函数()h x 在区间[1,)+∞单调递减,由102a <<知111a ->,1(1)(1)0h h a -<= ……………….....................................11分 . 即11ln(1)2a a-<-. 从而原不等式得证. ………………....................................12分22.[选修4−4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为122(2x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）；曲线1C的极坐标方程为2cos ρθθ=+；曲线2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数） （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程、曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线1C 曲线2C 在第一象限的交点分别为,M N ,求,M N 之间的距离。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
信阳市2017—2018学年普通高中高三第二次教学质量检测
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码。
请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷 （满分60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．复数z ＝3i i
＋7的实部与虚部分别为 A ．7，－3 B ．7，－3i C ．－7，3 D ．－7，3i 2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜x ＜－
12，或x ＞1}，B ＝{x ｜－1≤x ≤2，x ∈Z}，则图1
所示的阴影部分表示的集合等于
A ．{－1，2}
B ．{－1，0}
C ．{1，2}
D ．{0，1}
3．已知命题p ：x ∃∈R ，x
e －x －1≤0，则p ⌝为
A ．x ∀∉R ，x e －x －1＞0
B ．x ∀∈R ，x e －x －1≥0
C ．x ∀∈R ，x e －x －1＞0
D ．x ∃∈R ，x e －x －1＞0
4．已知双曲线22
221x y a b
－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（3，则双曲线的离心率为
A B ．2 C 2 D 2 5．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ．在直角坐标系xOy 中，以（x ，y ）为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为
A ．19
B ．112
C ．536
D ．16 6．如果f （x ）是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是 A ．y ＝x ＋f （x ） B ．y ＝2x ＋f （x ） C ．y ＝xf （x ） D ．y ＝2x f （x ）
7．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，a 1＋a 3＝
52，且a 2＋a 4＝54，则n n S a 等于 A ．n 2－1 B ．1n －2 C ．1n －4
D ．1n 4－ 8．执行图2所示的程序框图，若输出的y 的值为5，则判断框
中可以填入的条件是
A ．i ＜6?
B ．i ＜5?
C ．i ＜4?
D ．i ＜3?
9．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、
丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙
说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一
人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人
中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，并且这四人
中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
10．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．
若asinBcosC ＋csinBcosA ＝
12
b ，且a ＞b ，则B 等于 A ．56π B ．3π C ．23π D ．6π 11．已知x ＝－
8π与0x 分别是函数f （x ）＝Asin （ωx ＋ϕ）（A ＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2
π）的一条对称轴和零点，且｜0x ＋8π｜min ＝4
π，则ϕ等于 A ．－8π B ．－4π C ．8π D ．4
π 12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （－x ）＝8－f （4＋x ），函数g （x ）＝432x x ＋－，若函数 f （x ）与g （x ）的图象共有168个交点，记作P i （x i ，y i ）（i ＝1，2，…，168），则
（x 1＋y 1）＋（x 2＋y 2）＋…＋（x 168＋y 168）的值为
A ．2018
B ．2017
C ．2016
D ．1008
第Ⅱ卷（满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．设向量a ＝（1，－2），a ＋b ＝（0，2），则｜a －2b ｜＝________________．
14．已知椭圆C ：221x my ＋＝的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m ＝_______________．
15．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆C ：22
240x x y y －＋＋＝相交于A ，B 两点，且｜AB uu u r
则CA uu r ·CB uu r ＝_______________。
16．某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮
乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是____________万元．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ＋bsinA ＝0．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若a ＋c ＝4，b ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{n a }的前n 和为n S ，且S 5＝45，S 6＝60．
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式n a ；
（Ⅱ）若数列{n b }满足1n b ＋－n b ＝n a （n ∈N ﹡），且b 1＝3，求数列{1n
b }的前n 和为n T ．
19．（本小题满分12分）
二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单
（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为ω＝0．052
x －1．75x ＋17．2（单位：万元），根据（Ⅰ）
中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z （单位：万元）最大?
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2x ＝2py （p ＞0）的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且以AB 为
直径的圆M 与直线y ＝－1相切于点N ．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；。