第三节 点、线、面的位置关系

第三节点、线、面的位置关系高考试题考点一判断点、线、面的位置关系1.(2013年浙江卷,文4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )(A)若m∥α,n∥α,则m∥n (B)若m∥α,m∥β,则α∥β(C)若m∥n,m⊥α,则n⊥α(D)若m∥α,α⊥β,则m⊥β解析:A项,当m∥α,n∥α时,m,n可能平行,可能相交,也可能异面,故错误;B项,当m∥α,m∥β时,α,β可能平行也可能相交,故错误;C项,当m∥n,m⊥α时,n⊥α,故正确;D项,当m∥α,α⊥β时,m可能与β平行,可能在β内,也可能与β相交,故错误.故选C.答案:C2.(2012年四川卷,文6)下列命题正确的是( )(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行解析:如图所示,在正方体ABCD A 1B1C1D1中,直线A1B1和B1C1与下底面所成的角相等(都是0),但A1B1与B1C1不平行.即选项A不正确;若E、F、G、H分别为AA1、BB1、CC1、DD1的中点,则平面ABB1A1内点A、B、B1、A1到平面EFGH的距离都相等,但平面EFGH与平面ABB1A1相交,即选项B不正确;A1B1∥平面ABCD,A1B1∥平面CDD1C1,易知A1B1平行于平面ABCD与平面CDD1C1的交线CD,平面ABB1A1与平面BCC1B1都与底面ABCD垂直,但两平面不平行.即选项D不正确;故选C.答案:C3.(2012年浙江卷,文5)设l是直线,α,β是两个不同的平面( )(A)若l∥α,l∥β,则α∥β(B)若l∥α,l⊥β,则α⊥β(C)若α⊥β,l⊥α,则l⊥β(D)若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析:当l∥α,l∥β时,α与β可能相交,这时l平行于α与β的交线,故选项A错误;由于l∥α,故在α内存在直线l′∥l,又因为l⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β,所以选项B正确;若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此时l在平面β内,因此选项C错误;已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β内,则l∥α且l∥β,因此选项D错误.答案:B4.(2011年四川卷,文6)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )(A)l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3 (B)l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3(C)l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面 (D)l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面解析:如图,在正方体ABCD A 1B1C1D1中:对于选项A:A1D1⊥AA1,AB⊥AA1,但A1D1与AB是异面直线,选项A错误;对于选项C:AB∥A1B1∥C1D1,但三线不共面,选项C错误;对于选项D,AB、AA1、AD共点于A,但三线不共面,选项D错误.正确答案是B.答案:B5.(2010年山东卷,文4)在空间,下列命题正确的是( )(A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两条直线平行解析:平行直线的平行投影可能平行,故选项A不正确;平行于同一直线的两个平面可能相交,故选项B不正确;垂直于同一平面的两个平面也可能相交.故选项C不正确;选项D是直线与平面垂直的性质定理,故选项D正确.答案:D6.(2011年浙江卷,文4)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( )(A)α内的所有直线与l异面(B)α内不存在与l平行的直线(C)α内存在唯一的直线与l平行(D)α内的直线与l都相交解析:由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.答案:B7.(2010年湖北卷,文4)用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题的序号是( )(A)①②(B)②③(C)①④(D)③④解析:①是平行公理,正确;②空间中垂直于同一直线的两直线可能平行,也可能相交、异面但不垂直,故②不正确;③平行于同一平面的两直线可能平行、相交或异面,故③不正确;④垂直于同一平面的两直线平行,是直线与平面平行的性质定理,正确,故答案选C.答案:C8.(2009年江苏卷,12)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.上面命题中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号).解析:命题①是两个平面平行的判定定理,正确;命题②是直线与平面平行的判定定理,正确;命题③中在α内可以作无数条直线与l垂直,但α与β只是相交关系,不一定垂直,错误;命题④中直线l与α垂直可推出l与α内两条直线垂直,但l与α内的两条直线垂直推不出直线l与α垂直,所以命题④不正确.答案:①②考点二几何体中点、线、面的位置关系1.(2013年江西卷,文15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.解析:依题意把正四面体CDEF放在正方体内,假设AB与CD等长,使AB与CD重合.在正四面体CDEF内,易得CD与EF所在直线是异面直线且互相垂直,故正方体内与CD(也即AB)垂直的平面必与EF平行,这样的平面有2个.又因EF不与平面α垂直,易知EF与正方体内其他4个平面的关系是相交的.答案:42.(2012年安徽卷,文15)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则(写出所有正确结论的编号).①四面体ABCD每组对棱相互垂直;②四面体ABCD每个面的面积相等;③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°;④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.解析:把四面体补形为平行六面体,由三组对棱分别相等可知此平行六面体为长方体,如图所示,只有长方体为正方体时①才正确,故①不正确.在长方体中,有△BAC≌△DCA.△ABC≌△DCB,△CBD≌△ADB.∴四面体ABCD每个面的面积都相等,故②正确.对于③,以∠BAC,∠CAD,∠BAD为例说明.∵△BAC≌△DCA,∴∠CAD=∠ACB.又∵△DAB≌△CBA,∴∠BAD=∠ABC.∴∠BAC+∠CAD+∠BAD=∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,故③不正确.对于④,连接四面体ABCD对棱中点的线段即是连接长方体对面中心的线段,显然相互垂直平分,故④正确.对于⑤,以AB、AC、AD为例进行说明.∵AD=BC,AB、AC、BC三边长可构成△ABC,∴AB、AC、AD可以作为一个三角形的三边长.同理可得从其他顶点出发的三条棱的长也可以作为一个三角形的三边长.故⑤正确.答案:②④⑤3.(2010年江西卷,文11)如图所示,M是正方体ABCD A 1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;②过M 点有且只有一条直线与直线AB,B 1C 1都垂直; ③过M 点有且只有一个平面与直线AB,B 1C 1都相交; ④过M 点有且只有一个平面与直线AB,B 1C 1都平行. 其中真命题是( ) (A)②③④ (B)①③④ (C)①②④ (D)①②③解析:在AB 上任取一点P,则平面PMC 1与AB,B 1C 1都相交,这样的平面有无数个,故③是假命题,结合选项可知应选C. 答案:C4.(2009年海南、宁夏卷,文9)如图所示,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F,且EF=12,则下列结论中错误的是( )(A)AC ⊥BE (B)EF ∥平面ABCD(C)三棱锥A BEF 的体积为定值 (D)△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 解析:∵AC ⊥平面BB 1D 1D,又BE ⊂平面BB 1D 1D,∴AC ⊥BE,故选项A 正确. ∵B 1D 1∥平面ABCD, 又E 、F 在直线B 1D 1上运动, 故EF ∥平面ABCD.故选项B 正确.选项C 中由于点B 到直线EF 的距离是定值,故△BEF 的面积为定值,又点A 到平面BEF 的距离为定值,故A BEF V 不变.故选项C 正确.由于点A 到B 1D 1的距离与点B 到B 1D 1的距离不相等,因此△AEF 与△BEF 的面积不相等,故选项D 错误. 答案:D考点三 利用线面关系解决有关数量问题1.(2013年北京卷,文8)如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,P 为对角线BD 1的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有( )(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个解析: 如图,取底面ABCD 的中心O,连接PA,PC,PO.∵AC⊥平面DD1B,又PO⊂平面DD1B,∴AC⊥PO.又O是AC的中点,∴PA=PC.同理,取B1C与BC1的交点H,易证B1C⊥平面D1C1B,∴B1C⊥PH.又H是B1C的中点,∴PB1=PC,∴PA=PB1=PC.同理可证PA1=PC1=PD.又P是BD1的三等分点,∴PB≠PD1≠PB1≠PD,故点P到正方体的顶点的不同距离有4个.答案:B2.(2012年重庆卷,文9)设四面体的六条棱的长分别为a,且长为a面,则a的取值范围是( )解析:如图所示设点E为AB的中点 ,则ED⊥AB,EC⊥AB,则同理.由构成三角形的条件知∴答案:A3.(2009年湖南卷,文6)平行六面体ABCD A 1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:与AB 共面也与CC 1共面的棱有CD,BC,BB 1,AA 1,C 1D 1,共5条. 答案:C4.(2013年安徽卷,文15)如图,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段CC 1上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<12时,S 为四边形;②当CQ=12时,S 为等腰梯形; ③当CQ=34时,S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R=13;④当34<CQ<1时,S 为六边形;⑤当CQ=1时,S 的面积为2解析:利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. ①当0<CQ<12时,如图(1).在平面AA 1D 1D 内,作AE ∥PQ, 显然E 在棱DD 1上,连接EQ, 则S 是四边形APQE.②当CQ=12时,如图(2).显然PQ ∥BC 1∥AD 1,连接D 1Q, 则S 是等腰梯形. ③当CQ=34时,如图(3).作BF ∥PQ 交CC 1的延长线于点F,则C 1F=12. 作AE ∥BF,交DD 1的延长线于点E,D 1E=12,AE ∥PQ,连接EQ 交C 1D 1于点R,由于Rt △RC 1Q ∽Rt △RD 1E, ∴C 1Q ∶D 1E=C 1R ∶RD 1=1∶2,∴C 1R=13.④当34<CQ<1时,如图(3),连接RM(点M 为AE 与A 1D 1交点),显然S 为五边形APQRM.⑤当CQ=1时,如图(4).同③可作AE ∥PQ 交DD 1的延长线于点E,交A 1D 1于点M,显然点M 为A 1D 1的中点,所以S 为菱形APQM,其面积为12MP ×AQ=12答案:①②③⑤5.(2011年福建卷,文15)如图所示,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB=2,点E 为AD 的中点,点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C,则线段EF 的长度等于 .解析:由于在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB=2,∴又E 为AD 中点,EF ∥平面AB 1C,EF ⊂平面ADC,平面ADC ∩平面AB 1C=AC,∴EF ∥AC.∴F 为DC 中点.∴EF=12答案6.(2013年陕西卷,文18)如图,四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形,O 是底面中心,A 1O ⊥底面ABCD,AB=AA 1(1)证明:平面A 1BD ∥平面CD 1B 1; (2)求三棱柱ABD A 1B 1D 1的体积. (1)证明:由题设知,BB 1DD 1,∴BB 1D 1D 是平行四边形, ∴BD ∥B 1D 1.又BD平面CD 1B 1,∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1B 1C 1BC, ∴A 1BCD 1是平行四边形, ∴A 1B ∥D 1C. 又A 1B 平面CD 1B 1, ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B=B,∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解:∵A 1O ⊥平面ABCD, ∴A 1O 是三棱柱ABD A 1B 1D 1的高.又∵AO=12AC=1,AA 1∴A 1=1.又∵S △ABD =12×∴111ABD A B C V -=S △ABD ×A 1O=1.7.(2013年湖南卷,文17)如图,在直棱柱ABC A 1B 1C 1中,∠BAC=90°1=3,D 是BC 的中点,点E在棱BB 1上运动.(1)证明:AD ⊥C 1E;(2)当异面直线AC,C 1E 所成的角为60°时,求三棱锥C 1A 1B 1E 的体积. (1)证明:因为AB=AC,D 是BC 的中点,所以AD ⊥BC. ① 又在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,BB 1⊥平面ABC,而AD ⊂平面ABC,所以AD ⊥BB 1. ② 由①②,得AD ⊥平面BB 1C 1C.由点E 在棱BB 1上运动,得C 1E ⊂平面BB 1C 1C, 所以AD ⊥C 1E.(2)解:因为AC ∥A 1C 1,所以∠A 1C 1E 是异面直线AC,C 1E 所成的角. 由题意知∠A 1C 1E=60°. 因为∠B 1A 1C 1=∠BAC=90°, 所以A 1C 1⊥A 1B 1. 又AA 1⊥A 1C 1, 从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1. 于是A 1C 1⊥A 1E.故C 1E=11cos 60AC又B 1C 1所以B 1从而111A B E C V -三棱锥 =1113A B ES ·A 1C 1=13×12×223. 考点四 求异面直线所成的角1.(2012四川卷,文14)如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 .解析:如图所示,取CN 的中点K,连接MK,则MK 为△CDN 的中位线,所以MK ∥DN.所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角.连接A 1C 1,AM.设正方体棱长为4,则A 1K= ,MK=12 DN==A 1M=∴A 1M 2+MK 2=A 1K 2, ∴∠A 1MK=90°. 答案:90°2.(2012年大纲全国卷,文16)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点,那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为 . 解析:如图所示,连接DF,则AE ∥DF,∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角. 设正方体棱长为a,则D 11∴cos∠D1222a⎫⎫+-⎪⎪35.答案:35模拟试题考点一判断点、线、面的位置关系1.(2013广东珠海高三上学期期末)已知直线l、m和平面α,则下列命题正确的是( )(A)若l∥m,m⊂α,则l∥α(B)若l∥α,m⊂α,则l∥m(C)若l⊥m,l⊥α,则m∥α(D)若l⊥α,m⊂α,则l⊥m解析:对于选项A,l可能在α内;对于选项B,l与m可能异面;对于选项C,m可能在α内,只有选项D正确.答案:D2.(2012湖北襄阳模拟)关于直线a、b、l以及平面α、β,下面命题中正确的是( )(A)若a∥α,b∥α,则a∥b(B)若a∥α,b⊥a,则b⊥α(C)若a⊥α,a∥β,则α⊥β(D)若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥α解析:如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,A1B1∥平面ABCD,B1C1∥平面ABCD,但A1B1∩B1C1=B1,故选项A不正确;A1B1∥平面ABCD,A1D1⊥A1B1,但A1D1∥平面ABCD,故选项B不正确;对于平面ABCD内的直线AB、CD都与直线A1D1垂直,但A1D1∥平面ABCD,故选项D不正确.故选C.答案:C考点二判断几何体中点、线、面的位置关系1.(2011浙江省嘉兴市高三教学测试)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是( )(A)MN与CC1垂直(B)MN与AC垂直(C)MN与BD平行(D)MN与A1B1平行解析:由于C1D1与A1B1平行,MN与C1D1是异面直线,所以MN与A1B1是异面直线,故选项D错误.答案:D2.(2012安徽蚌埠模拟)如图所示,在四面体OABC 中,OA 、OB 、OC 两两垂直,且OB=OC=3,OA=4.给出以下命题:①存在点D(O 点除外),使得四面体DABC 有三个面是直角三角形;②存在点D,使得点O 在四面体DABC 外接球的球面上;③存在唯一的点D 使得四面体DABC 是正棱锥;④存在无数个点D,使得AD 与BC 垂直且相等.其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号填上).解析:①过O 作平面ABC 的垂线(O ′为垂足),延长至D 使O ′D=OO ′,连接AD,BD,CD,则四面体DABC 有三个面是直角三角形,故①正确;②在以O 、A 、B 、C 确定的球上,显然存在点D 满足条件,故②正确;③因为所以当点D 满足AD=5,四面体是以△BCD 为底面的正棱锥,这样的D 点有两个,所以③不正确.④取BC 的中点O 1,在平面AOO 1内以A 为圆心,以BC 为半径作圆,圆周上任一点满足条件,所以这样的点D 有无数个,故④正确.答案:①②④考点三 利用点、线、面关系解决有关数量问题1.(2013北京西城区模拟)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,与体对角线AC 1异面的棱有( )(A)3条 (B)4条 (C)6条 (D)8条解析:正方体的12条棱中,以点A 和点C 1作为一个端点的棱各有3条,故与AC 1异面的棱有12-6=6条. 故选C.答案:C2.(2011辽宁抚顺)已知空间四边形ABCD 中,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,则下列判断正确的是( )(A)MN ≥12(AC+BD) (B)MN ≤12(AC+BD) (C)MN=12(AC+BD) (D)MN<12(AC+BD) 解析:如图所示,在空间四边形ABCD 中,取BC 的中点E,连接ME 、NE,则ME=12AC,NE=12BD.在△MNE 中,MN<ME+NE=12(AC+BD).故选D.答案:D 考点四 求异面直线所成的角(2013山东临沂3月月考)在正四棱锥V ABCD 中,底面正方形ABCD 的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA 与BD 所成角的大小为( ) (A)π6(B)π4 (C)π3 (D)π2 解析:如图所示,连接AC 、BD,设AC ∩BD=O,∵BD ⊥AC,BD ⊥VO,AC ∩VO=O,∴BD ⊥平面VAC,VA ⊂平面VAC,∴BD ⊥VA,即异面直线BD 与VA 所成的角是π2. 答案:D 综合检测1.(2013潍坊一模)已知直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,则“α∥β”是“l ⊥m ”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件解析:若α∥β,l ⊥α,则l ⊥β,又m ∥β,∴l ⊥m,若l ⊥m,l ⊥α,m ∥β,不一定有α∥β,故“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件. 故选A.答案:A2.(2012海南琼海一模)已知一个平面α,l 为空间中的任意一条直线,那么在平面α内一定存在直线b 使 得( )(A)l ∥b (B)l 与b 相交(C)l 与b 是异面直线 (D)l ⊥b解析:当l 与平面α相交时,平面α内不存在直线l 满足l ∥b,故选项A 错;当l ∥α时,l 与b 平行或异面,故选项B 错;当l ⊂α时,l 与b 平行或相交,故选项C 错误;无论l 与α的位置关系如何,在平面α内总存在直线b ⊥l.故选D.答案:D。