北师大版数学高一必修4课时作业：18平面向量数量积的坐标表示_Word版含解析
2017-2018学年高一数学北师大版必修4教师用书：第2章
§6 平面向量数量积的坐标表示1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)2．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点) 3．了解直线的方向向量的概念．(难点)[基础·初探]教材整理 平面向量数量积的坐标表示 阅读教材P 98～P 99，完成下列问题． 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(2)a 2＝x 21＋y 21，即|a |(3)设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝ (4)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．直线的方向向量给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.( )(3)两向量a 与b 的夹角公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22的使用范围是a ≠0且b ≠0.( )【解析】 (1)错误．如a ＝(－1，－1)，b ＝(2,2)，显然cos θ＝a ·b|a |·|b |＜0，但a 与b 的夹角是180°，而并非钝角．(2)正确.AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，所以|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)正确．两向量a 与b 的夹角公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22有意义需x 21＋x 22≠0且y 21＋y 22≠0，即a ≠0，且b ≠0.此说法是正确的．【答案】 (1)× (2)√ (3)√[小组合作型](1)求向量a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求(a ＋c )·b .【精彩点拨】 根据a 与b 共线设出a 的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a 的坐标，进而求(a ＋c )·b.【自主解答】 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)．又∵a·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)法一：a ＋c ＝(4,3)，∴(a ＋c )·b ＝4＋6＝10. 法二：(a ＋c )·b ＝a·b ＋c·b ＝10＋0＝10.进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.[再练一题]1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求：(1)(2a－3b)·(a＋2b)；(2)(a＋b)2.【导学号：69992025】【解】法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝(－10,5)，a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)，∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200.(2)∵a＋b＝(10，－5)，∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125.法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30.(1)(2a－3b)·(a＋2b)＝2a2＋a·b－6b2＝2×20＋30－6×45＝－200.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125.已知(1)求|a＋2b|；(2)若(a＋b)·c＝52，求向量a与c的夹角．【精彩点拨】(1)利用|a|＝x21＋y21求解．(2)利用cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解．【自主解答】(1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，∴|a＋2b|＝(－3)2＋(－6)2＝3 5.(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，∴a＋b＝－a，∴(a＋b)·c＝－a·c＝5 2.设a与c的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a||c|＝－525×5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝23π，即a与c的夹角为2 3π.1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝x2＋y2进行计算．2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；(3)由公式cos θ＝a·b|a||b|，计算cos θ的值；(4)在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ.[再练一题]2．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．【解】a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－1 2.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ＜0，且cos θ≠－1，所以a·b ＜0，且a 与b 不反向． 由a·b ＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－12， 由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.(3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 所以a·b ＞0且a ，b 不同向．由a·b ＞0，得λ＞－12，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．[探究共研型]探究1 【提示】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，由向量长度的坐标表示可得|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 探究2 求向量的坐标一般采用什么方法？ 【提示】 一般采用设坐标、列方程的方法求解．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 的坐标和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.【精彩点拨】 (1)将已知向量的坐标代入运算即可．(2)利用a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求得c 的坐标表示，然后求模．【自主解答】 (1)a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， 所以a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58.(2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－6＋5＝－1，所以c ＝a ＋b ＝(1,6)，所以|c |＝12＋62＝37.求向量的模的两种基本策略1．字母表示F 的运算利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． 2．坐标表示F 的运算若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2， 于是有|a |＝x 2＋y 2.[再练一题]3．(1)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝ . (2)已知|a |＝10，b ＝(1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标．【解析】 (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，a ∥b ，所以1×m －2×(－2)＝0， 所以m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)， 所以|2a ＋3b |＝(－4)2＋(－8)2＝4 5. 【答案】 4 5(2)设a 的坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧2x －y ＝0，x 2＋y 2＝10，解得⎩⎨⎧ x ＝25，y ＝45或⎩⎨⎧x ＝－25，y ＝－45，所以a ＝(25，45)或a ＝(－25，－45)．1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 a ·b ＝(1,1)·(－1,2)＝1×(－1)＋1×2＝1. 【答案】 A2．已知a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么a ·b 的夹角θ＝( )【导学号：66470057】A ．120°B ．30°C ．150°D ．60°【解析】因为a·b＝(－3，－1)·(1，3)＝－23，|a|＝(－3)2＋(－1)2＝2，|b|＝12＋(3)2＝2.所以cos θ＝a·b|a|·|b|＝－232×2＝－32.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.【答案】 C3．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)＝. 【解析】法一：a＋b＝(0,7)，a－b＝(4，－1)，所以(a＋b)(a－b)＝0×4＋7×(－1)＝－7.法二：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝13－20＝－7.【答案】－74．已知a＝(1，x)，b＝(－3,1)，若a⊥b，则x＝. 【解析】∵a⊥b，∴－3＋x＝0，∴x＝3.【答案】 35．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)·a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的射影．【解】(1)∵c＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，∴b·c＝(2，－2)·(6,6)＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0·a＝0.(2)∵a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)，∵(a＋λb)⊥a，∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，得λ＝5 2.(3)法一：设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b| ＝1×2＋2×(－2)12＋22×22＋(－2)2＝－1010. ∴向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝12＋22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－22. 法二：∵a·b ＝(1,2)·(2，－2) ＝－2，|b |＝2 2.∴向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝a·b |b|＝－222＝－22.。
高中数学必修四课时作业1：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、基础过关1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12[答案] D[解析] 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为() A ．－17 B.17C ．－16 D.16[答案] A[解析] 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3B ．2 3C ．4D ．12[答案] B[解析] a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 [答案] D[解析] 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②由①②解得x ＝－79，y ＝－73. 5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4[答案] C[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵0≤α≤π，∴α＝π4. 6．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.[答案] 1[解析] a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529. 二、能力提升已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1[答案] B[解析] 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3. 已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C. －322D ．－3152[答案] A[解析] AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322. 10．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.[答案] (－4,8)[解析] 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．11．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132. 故所求k 的值为－23或113或3±132.12．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋m b，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．解∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝a＋m b＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.又∵|c|＝1，|d|＝(1－2m)2＋(2－3m)2，∴cos 45°＝c·d|c||d|＝2－3m(1－2m)2＋(2－3m)2＝22.化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝35.三、探究与拓展已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。
2020-2021学年数学北师大版必修4学案：2.6 平面向量数量积的坐标表示 Word版含解析
§6平面向量数量积的坐标表示知识点平面向量数量积的做坐标运算及方向向量[填一填]1．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2), a与b的夹角为θ，则(1) a·b＝x1y2+x2y1；(2) |a|＝x21＋y21；(3)若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.2．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．[答一答]如何判断a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线与垂直？提示：(1)判断共线有两种方法：第一种方法是向量共线的判定定理，b＝λa(a≠0)⇔a∥b.第二种方法是坐标共线的条件，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)判断向量垂直的方法：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.1．对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明(1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化，其将数与形紧密联系在一起，使向量的运算方式得到拓展．(2)向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点P (x ，y )，使得OP →＝a ＝(x ，y )，故|OP →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点P 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，故|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．2．在不同表示形式下求向量夹角的策略(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求出a ·b ，|a |和|b |或直接得出它们之间的关系．(2)若a ，b 是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解．类型一 平面向量数量积及夹角的坐标表示【例1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，求a ·b ，(a －b )·(2a ＋3b )． 【思路探究】 (1)利用平面向量数量积的坐标表示可直接求a ·b .(2)(a－b )·(2a ＋3b )可先展开，再求值，也可先求(a －b )及(2a ＋3b )的坐标，再求值．【解】 法1：∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)， ∴a ·b ＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a －b )·(2a ＋3b )＝2a 2＋a ·b －3b 2 ＝2|a |2＋a ·b －3|b |2＝2×(12＋22)＋11－3×(32＋42)＝－54. 法2：∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，∴a ·b ＝11. 又∵a －b ＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)， 2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(3,4)＝(11,16)，∴(a －b )·(2a ＋3b )＝(－2，－2)·(11,16)＝(－2)×11＋(－2)×16＝－54. 规律方法 (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，其关键是确定向量a ，b 的坐标．(2)若题目中涉及图形的数量积运算，则要充分利用两点间的距离公式求出向量的坐标，再由向量的坐标求得数量积．(1)向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则(a ＋b )·(a －b )＝5.(2)已知平面向量a ，b 满足条件a ＋b ＝(0,1)，a －b ＝(－1,2)，则a ·b ＝－1.解析：(1)法1：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝[32＋(－1)2]－[12＋(－2)2]＝5； 法2：因为a ＋b ＝(4，－3)，a －b ＝(2,1)，所以(a ＋b )·(a －b )＝(4，－3)·(2,1)＝4×2－3×1＝5.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． 因为a ＋b ＝(0,1)，a －b ＝(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝0，x 1－x 2＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝1，y 1－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－12，x 2＝12，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝32，y 2＝－12.所以a ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－12，因此，a ·b ＝－12×12＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.类型二 两向量垂直的坐标表示【例2】 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，如图，求D 点及AD →的坐标．【思路探究】 解决此题的关键是确定D 点的位置，可知AD →与BC →垂直，又B ，D ，C 三点共线，利用向量平行与垂直的坐标表示求解．【解】 设D (x ，y )，所以AD →＝(x －2，y ＋1)，又因为BC →＝(－6，－3)，且AD →⊥BC →，所以AD →·BC →＝0，所以－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y ＝3. ①又因为BD →与BC →为共线向量，BD →＝(x －3，y －2)，BC →＝(－6，－3)，所以－3(x －3)＋6(y －2)＝0，即x －2y ＝－1. ② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以D (1,1)，AD →＝(－1,2)．规律方法 利用向量数量积的坐标表示，可以使两个向量垂直的条件更加代数化，因而其判定方法也更加简捷，在以后解题中要注意应用．(1)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？ (2)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．解析：(1)a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)， 因为(a ＋m b )⊥ (a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0， 即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0， 所以m ＝233.(2)当∠A ＝90°时，AB →·AC →＝0， 所以2×1＋3×k ＝0，所以k ＝－23； 当∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0，所以k ＝113；当∠C ＝90°时，AC →·BC →＝0，所以－1＋k (k －3)＝0， 所以k ＝3±132. 类型三 向量的模【例3】 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.【思路探究】 (1)将已知向量的坐标代入运算即可；(2)主要是利用a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求得c 的坐标，然后求模的大小．【解】 (1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，∴|a－2b|＝72＋32＝58.(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝12＋62＝37.规律方法本题是平面向量的数量积和模的基本运算，只要公式记忆熟练就不难求解．本例题中的条件不变，问题变为“若|2a＋k b|＝234，求k的值”，如何求解？解：由条件，知2a＋k b＝(6－2k,10＋k)．∵|2a＋k b|＝234，∴(2a＋k b)2＝(6－2k)2＋(10＋k)2＝5k2－4k＋136＝136，∴5k2－4k＝0，∴k＝0或k＝4 5.类型四坐标法的应用【例4】已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．【思路探究】【解】(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． 则AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴点C 的坐标为(0,5)． AC →＝(－2,4)，|AC →|＝(－2)2＋42＝25，故点C 的坐标为(0,5)，矩形ABCD 的对角线的长度为2 5.规律方法 利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有： (1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可． (3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( B )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：如图所示，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线OA 为y 轴，O 为原点建立直角坐标系．则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫y －322－32≥－32，当P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，所求的最小值为－32.——规范解答——与数量积的坐标运算相关的综合问题的解法【例5】 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA →·CB →取到最小值时的OC →. (2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB . 【审题】审条件→三向量的坐标，C 在直线OP 上 ↓建联系→求解使CA →·CB →取到最小值时的向量OC →，需建立函数，求函数取得最值时的坐标↓找思路→根据坐标运算求得向量CA→，CB→，由数量积的坐标运算得函数，求坐标【解题】(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量OC→与OP→共线，设OC→＝tOP→，则OC→＝(2t，t)．CA→＝OA→－OC→＝(1－2t,7－t)，CB→＝OB→－OC→＝(5－2t,1－t)，CA→·CB→＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，当t＝2时，CA→·CB→取得最小值，此时OC→＝(4,2)．(2)当OC→＝(4,2)时，CA→＝(－3,5)，CB→＝(1，－1)，所以|CA→|＝34，|CB→|＝2，CA→·CB→＝－8，cos∠ACB＝CA→·CB→|CA→||CB→|＝－41717.【小结】 1.隐含信息的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件，如本例中“C是直线OP上的一点”隐含着“向量OC→与OP→共线”．2．注意函数思想在解决最值中的应用涉及求解最值的问题，常常先通过题设建立函数关系式，在此基础上，借助函数知识求解，如本例第(1)问．AB→＝(6,1)，BC→＝(4，k)，CD→＝(2,1)．(1)若A，C，D三点共线，求k的值．(2)在(1)的条件下，求向量BC→与CD→的夹角的余弦值．解：(1)因为AC→＝AB→＋BC→＝(10，k＋1)，由题意A，C，D三点共线，所以AC→∥CD→，所以10×1－2(k＋1)＝0，即k＝4.(2)因为CD→＝(2,1)，设向量BC→与CD→的夹角为θ，则cos θ＝BC→·CD→|BC→||CD→|＝1242×5＝31010.一、选择题1．已知m∈R，向量a＝(m,1)，若|a|＝2，则m等于(D)A．1 B. 3C．±1 D．±3解析：∵a＝(m,1)且|a|＝2，∴m2＋12＝2，解得m＝±3，故选D.2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(C)A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11解析：本题考查平面向量加法及数量积运算．∵a＋2b＝(－5,6)，c＝(3,2)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(B)A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：本题考查数量积的运算，向量垂直的条件．m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3.二、填空题4．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为(0，－2)．解析：考查向量相等的定义．∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．设D (x ，y )，∵AB →＝DC →，∴(8,8)＝(8－x,6－y )，∴x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a与c 的夹角的大小为120°.解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，∵(a ＋b )·c ＝52，∴x＋2y ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，∵a ·c ＝x ＋2y ，∴cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525＝－12. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.三、解答题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
高中数学必修四北师大版 平面向量数量积的坐标表示 课时提升作业 含答案
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课时提升作业二十一平面向量数量积的坐标表示一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2016·西安高一检测)已知向量a=(，1)，b=(m，1).若向量a，b的夹角为，则实数m=( )A.-B.C.-或0D.2【解析】选A.因为向量a=(，1)，b=(m，1)，且向量a，b的夹角为，所以a·b=m+1=··cos=-，解得m=0或m=-，代入验证当m=0时，方程可化为1=-1，矛盾，应舍去，所以m=-.2.已知向量a=(λ，1)，b=(λ+2，1)，若|a+b|=|a-b|，则实数λ=( )A.1B.-1C.2D.-2【解析】选B.因为|a+b|=|a-b|，所以a⊥b，所以a·b=λ(λ+2)+1=0，解得λ=-1.3.(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，cos<m，n>=.若n⊥(t m+n)，则实数t的值为( )A.4B.-4C.D.-【解析】选B.设=4，则=3，因为n⊥(t m+n)，所以t m·n+|n|2=0，即t·3〓4〓+16=0，所以t=-4.4.与向量a=(-1，+1)的夹角为的单位向量是( )A.或B.或C.或D.或【解题指导】设出单位向量b=(x，y)，列出方程组求出解即可.【解析】选A.设b=(x，y)，则即化简得解得或所以b=，或b=.5.(2016·宝鸡高一检测)若向量a=(1，-2)，b=(2，1)，c=(-4，-2)，则下列说法中错误的是( )A.a⊥bB.b∥cC.向量a与向量c的夹角为90°D.对同一平面内的任意向量d，都存在一对实数k1，k2，使得d=k1b+k2c 【解析】选D.因为向量a=(1，-2)，b=(2，1)，c=(-4，-2)，所以a·b=1〓2-2〓1=0，所以a⊥b，A正确；因为c=-2b，所以b∥c，B正确；同理可得a·c=1〓(-4)-2〓(-2)=0，所以a⊥c，C正确；因为b∥c，所以b和c不能作基底，D错误.【误区警示】共线向量不能作为基底.二、填空题(每小题5分，共15分)6.平面向量a=(1，2)，b=(4，2)，c=m a+b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=________.【解析】因为向量a=(1，2)，b=(4，2)，所以c=m a+b=(m+4，2m+2)，又因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以所以=，解得m=2.答案：27.(2016·抚州高一检测)直线l的一个方向向量d=(1，2)，则l与直线x+y+2=0的夹角的余弦值为________.【解析】因为直线x+y+2=0的方向向量是(1，1)，又因为直线l的一个方向向量d=(1，2)，所以直线l与x+y+2=0的夹角的余弦值是=.答案：8.(2016·芜湖高一检测)设x∈R，向量a=(x，1)，b=(1，-2)，且|a+b|=，则向量a，b夹角的所有可能的余弦值之积为________. 【解题指南】设向量a，b夹角为θ，则cosθ=.再根据|a+b|=，求得x的值，可得cosθ的值，从而求得向量a，b夹角的所有可能的余弦值之积.【解析】设向量a，b夹角为θ，则cosθ==，由|a+b|=，得x2+1+5+2·cosθ=5，得=-2cosθ，即=-2·，化简可得，x2+2x-3=0，求得x=-3或x=1，所以cosθ=-，或cosθ=-，。
数学北师大版必修4课堂导学：2.6平面向量数量积的坐标
课堂导学三点剖析1.两个向量数量积的坐标【例1】 已知：a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π)求证：a +b 与a -b 互相垂直.思路分析：要证（a +b ）⊥(a -b ),只要证两者的数量积为0，解题过程中要用到三角函数知识 证法一：由已知a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),有a +b =(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a -b =（cosα-cosβ,sinα-sinβ）,又(a +b )·(a -b )=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=0,所以（a +b ）⊥(a -b ).证法二：∵a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),∴(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=(cos 2α+sin 2α)-(cos 2β+sin 2β)=1-1=0.∴(a +b )⊥(a -b ).友情提示两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一. 各个击破类题演练 1已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），求证：△ABC 是直角三角形证明:∵AB =（2-1，3-2）=（1，1）,AC =（-2-1，5-2）=（-3，3）, ∴·=1×(-3)+1×3=0, ∴⊥即AB ⊥AC∴△ABC 是直角三角形.变式提升 1已知a =(4,2),求与a 垂直的单位向量的坐标.解析：设b =(x,y)为所求单位向量则x 2+y 2=1①又∵a ⊥b∴a ·b =(4,2)·(x,y)=4x+2y=0∴4x+2y=0② 由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.552,55552,55y x y x 或∴b =(552,55-)或b =(552,55-). 2.建立向量与坐标间的关系，体现数形结合思想【例2】 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角.思路分析：本题思路较多.可以由条件求出a ·(a +b )及|a +b |代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一：根据|a|=|b |，有|a|2=|b |2，又由|b |=|a -b |,得|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2，∴a ·b =21|a |2. 而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2,∴|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则 cosθ=23||3||||21||||||)(22=+=++a a a a b a a b a a ， ∴θ=30°.解法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB.∵|a |=|b |，即||=||，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时=a +b ，=a -b .而|a |=|b |=|a -b |，即||=||=||.∴△AOB 为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°. 友情提示本题的二种解法是基于平面向量的二种不同的表示方法而产生的，这一点需要大家认真体会类题演练 2已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量求两直角边上的中线所成钝角的余弦值.解析：建立如右图所示的坐标系.则A （4，0），B （0，6），E （2，0），F （0，3）.=（-4，3），=（2，-6），||=5，||=102，cos ∠501013101026||||-=-=BE AF . ∴两中线所成钝角的余弦值为501013-. 变式提升 2设a =(4,-3),b =(2,1)，若a +t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值.解析:a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),(a +t b )·b =(4+2t,t-3)·（2，1）=5t+5,|a +t b |=20)1(5)3()24(222++=-++t t t .由（a +t b ）·b =|a +t b ||b |cos45°,得5t+5=4)1(5252++t , 即t 2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去.∴t=1.3.向量垂直的等价条件的应用【例3】 如右图，已知正方形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（5，3），则点C 的坐标是()A.（2，7）B.（23，215） C.（3，6） D.（25，213） 思路分析：欲求点C 的坐标，可设点C 为（x ，y ），然后利用条件建立x 、y 的方程组.注意到四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，且|AB |=|BC |，可用它们建立x 、y 的方程组. 解：设C 点坐标为（x ，y ），则AB =（4，3），BC =（x-5，y-3）.∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ⊥BC ，|AB |=|BC |. ∴⎩⎨⎧=+--+=+⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+=-+-∙.09610,2934,)3()5(34,0)3(3)5(4222222y x y x y x y x y x 即解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==.1,87,2y x y x 或 又∵C 点在第一象限，∴⎩⎨⎧-==.1,8y x 舍去. 答案：A友情提示求点的坐标，设出点的坐标然后建立坐标的方程组是解决这类题的常用方法.另外还可考虑几何法，作BM ⊥x 轴于点M ，DN ⊥x 轴于点N ，易得△ABM ≌△DAN ，可得D 点坐标为（-2，4），然后利用=+，易得C 点坐标.类题演练 3如右图，已知△ABC 中，A （2，-1），B （3，2），C （-3，-1），AD 是BC 边上的高，求及点D 的坐标.解析：设D 的坐标为（x,y ）∵AD ⊥BC,∴AD ⊥BC ,CD 与BC 共线. 又∵AD =(x-2,y+1),BC =(-6,-3),CD =(x+3,y+1).∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+-=-+⎩⎨⎧=+++-=+---.1,1.012,032.0)1(6)3(3,0)1(3)2(6y x y x y x y x y x 解得即 ∴D 点坐标为（1，1），∴AD =（-1，2）.变式提升 3以原点O 和A （4，2）为2个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°,求B 的坐标和AB 的长.解析：如右图，设B 的坐标为（x,y ）,则OB =（x,y ）,AB =(x-4,y-2).∵∠B=90°,∴⊥,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x 2+y 2=4x+2y.① 设的中点为C ，则C(2,1),=(2,1),=(x-2,y-1).∵△AOB 为等腰直角三角形，∴⊥, 2（x-2）+(x-1)=0,即2x+y=5.②由①②可得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==.1,3.3,12211y x y x 或 ∴B 的坐标为（1，3）或（3，-1），AB =（-3，1）或（-1，-3）， ∴|AB|=|AB |=10.。
2020-2021学年数学北师大版必修4课时作业：2-4 平面向量的坐标 Word版含解析
课时作业18 平面向量的坐标时间：45分钟 满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB →可以表示为( C )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：记O 为坐标原点，则OA →＝2i ＋3j ，OB →＝4i ＋2j ，所以AB →＝OB →－OA →＝2i －j .2．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( A ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)解析：b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．3．若AB →＝(1,1)，AD →＝(0,1)，BC →＋CD →＝(a ，b )，则a ＋b ＝( A ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：BC →＋CD →＝BD →＝AD →－AB →＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a ＝－1，b ＝0，a ＋b ＝－1.4．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( C ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.5．已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝23，∠xOA ＝120°，则向量OA →的坐标为( A )A ．(－3，3)B ．(3，3)C ．(3，－3)D ．(－3，－3)解析：设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos120°＝23cos120°＝－3，y ＝|OA →|sin120°＝23sin120°＝3.即A (－3，3)，∴OA →＝(－3，3)．6．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( A )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}解析：本题主要考查向量知识及集合的运算．根据题意知，(1,0)＋m (0,1)＝(1,1)＋n (－1,1)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝1－n m ＝1＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0m ＝1.∴P ∩Q ＝{(1,1)}．7．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( D )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，∴4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)．又∵表示4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，解得d ＝(－2，－6)，故选D.8．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)，(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( C )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)解析：由已知，可令平移到M (x ，y )，有PM →＝5v ， ∴(x ，y )＝(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)，故选C. 二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为－1,2.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝32λ1＋3λ2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝2.10．已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝112.解析：AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)． ∵AC →＝2BD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝2×(x －2)2＝2×(y －3)，解得⎩⎨⎧x ＝32y ＝4.∴x ＋y ＝32＋4＝112.11．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝4.解析：本题考查平面向量的坐标运算问题．以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，所以λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)．若k a ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．解：解法一：向量k a ＋2b 与2a －4b 平行，则存在唯一实数λ，使k a ＋2b ＝λ(2a －4b )．∵k a ＋2b ＝k (1,2)＋2(－3,2)＝(k －6,2k ＋4)，2a －4b ＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，∴(k －6,2k ＋4)＝λ(14，－4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k －6＝14λ，2k ＋4＝－4λ，解得⎩⎨⎧λ＝－12，k ＝－1.即实数k 的值为－1.解法二：∵k a ＋2b ＝k (1,2)＋2(－3,2)＝(k －6,2k ＋4)，2a －4b ＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，k a ＋2b 与2a －4b 平行，∴(k －6)(－4)－(2k ＋4)×14＝0.解得k ＝－1.13．(13分)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )，由OP →＝OA →＋tAB →，得(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .当P 在x 轴上时，y ＝0，即2＋3t ＝0，所以t ＝－23.当P 在y 轴上时，x ＝0，即1＋3t ＝0，所以t ＝－13.当P 在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <02＋3t >0⇔－23<t <－13. (2)不能．理由：若四边形OABP 能构成平行四边形，则OP →＝AB →，即(1＋3t,2＋3t )＝(3,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3，这是不可能的．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．——能力提升类——14．(5分)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )．已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝(－2,1)．解析：设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.15．(15分)已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系记作v ＝f (u )．(1)求证：对任意向量a ，b 与常数m ，n 恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )； (2)若a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，用坐标表示f (a )和f (b )； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标．解：(1)证明：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则m a ＋n b ＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，所以f (m a ＋n b )＝(my 1＋ny 2，2(my 1＋ny 2)－(mx 1＋nx 2))，而mf (a )＋nf (b )＝m (y 1,2y 1－x 1)＋n (y 2,2y 2－x 2)＝(my 1,2my 1－mx 1)＋(ny 2,2ny 2－nx 2)＝(my 1＋ny 2,2(my 1＋ny 2)－(mx 1＋nx 2))，所以f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )．(2)f (a )＝(1,2－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,0－1)＝(0，－1)．(3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )，令⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝p 2y －x ＝q ，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q y ＝p. 所以c ＝(2p －q ，p )．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
【精品推荐】高中数学北师大版必修四课后训练2.6平面向量数量积的坐标表示 Word版含答案
课后训练1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )．A ．x ＝12- B ．x ＝－1 C ．x ＝5 D ．x ＝02．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影的数量为( )．A B C D 3．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )．A B C ．5 D ．254．已知a ＝(1，m )与b ＝(n ，－4)共线，且c ＝(2,3)与b 垂直，则m ＋n 的值为( )． A ．163 B ．203 C ．152D ．－45．已知a ＝1,2⎛- ⎝⎭，|b |＝a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( )． A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．在平面直角坐标系中点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到向量OQ ，则点Q 的坐标是__________．7．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为______；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为______．8．已知平面向量a ＝ (3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )且a ∥b ，a ⊥c ．(1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD ．(1)求证：AB ⊥AC ； (2)求点D 和向量AD 的坐标；(3)设∠ABC ＝θ，求cos θ．10．已知平面xOy 内有向量OA ＝(1,7), OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点X 为直线OP 上的一个动点． (1)当XA XB ⋅ 取最小值时，求OX 的坐标；(2)当点X 满足(1)的条件时，求cos ∠AXB 的值．参考答案1答案：D2答案：A3答案：C4答案：A5答案：A6答案：(-7答案：(1)⎝⎭(2)8答案：(1)b＝(9,12)，c＝(4，－3)(2)3 4π9答案：(1)略(2)D点75, 22⎛⎫ ⎪⎝⎭33 ,22AD⎛⎫=-⎪⎝⎭(3)1010答案：(1)(4,2)(2)17 -。
高中数学 北师大必修四 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2020/12/16
•7
思考：
已知向量a＝(x，y)，与向量a共线的单位
向量a0的坐标是什么？
提示：∵a0＝±|aa|＝± x21＋y2(x，y)，
∴a0＝(－
x2x＋y2，－
y x2＋y2)
或 a0＝( x2x＋y2， x2y＋y2)．
向量垂直和平行的坐标表示:
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角
复习引入
(1)a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
a b
思考：我们学过两向量的和与差可以转
化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的 坐 标 表 示 a b呢 ？
x＝72， x＝32， 解得y＝－32或y＝72.
∴B72，－32或 B32，72.
课堂小结
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积 的 数量积 和，即a·b＝ x1x2＋y1y2
两个向 量共线
a//b⇔ x1y2=x2y1
(2)cos∠OAB＝cos〈 AO， AB〉＝ AO·AB . | AO|| AB|
其中 AO·AB＝－OA·AB
＝－(16,12)·(－21,3)
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
故 cos∠OAB＝20×30105＝ 222.∴∠OAB＝45°.
总结：
利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为： (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用| |＝ x2＋y2求两向量的模． (3)代入夹角公式求 cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．
高中数学北师大版必修4学案2.6 平面向量数量积的坐标表示 Word版含解析
§平面向量数量积的坐标表示．掌握数量积的坐标表达式．(重点)．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点) ．了解直线的方向向量的概念．(难点)[基础·初探]教材整理平面向量数量积的坐标表示阅读教材～，完成下列问题．．平面向量数量积的坐标表示设向量＝(，)，＝(，)．()·＝＋；()＝＋，即＝；()设向量与的夹角为θ，则θ＝＝；()⊥⇔＋＝.．直线的方向向量给定斜率为的直线，则向量＝(，)与直线共线，我们把与直线共线的非零向量称为直线的方向向量．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()若两非零向量的夹角θ满足θ＜，则两向量的夹角θ一定是钝角．( ) ()若(，)，(，)，则＝.( )()两向量与的夹角公式θ＝的使用范围是≠且≠.( )【解析】()错误．如＝(－，－)，＝()，显然θ＝＜，但与的夹角是°，而并非钝角．()正确＝(－，－)，所以＝.()正确．两向量与的夹角公式＝有意义需＋≠且＋≠，即≠，且≠.此说法是正确的．【答案】()×()√()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()求向量的坐标；()若＝(，－)，求(＋)·.【精彩点拨】根据与共线设出的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得的坐标，进而求(＋)·.【自主解答】()∵与同向，且＝()，∴＝λ＝(λ，λ)(λ＞)．又∵·＝，∴λ＋λ＝，∴λ＝，∴＝()．()法一：＋＝()，∴(＋)·＝＋＝.法二：(＋)·＝·＋·＝＋＝.。
【精准解析】高中数学北师大必修4一课三测：2.6+平面向量数量积的坐标表示+Word版含解析byde
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高中学习讲义
A．4 2 B．2 5 C．8 D．8 2 7．已知向量 m＝(1,1)，向量 n 与向量 m 的夹角为3π，且 m·n＝－
4 1，则|n|＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2 8．在四边形 ABCD 中，A→C＝(1,2)，B→D＝(－4,2)，则该四边形的 面积为( ) A. 5 B．2 5 C．5 D．10 二、填空题 9．已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，则(a－b)·(2a＋3b)＝________. 10．已知向量 a＝(x,1)，b＝(1,2)，c＝(－1,5)，若(a＋2b)∥c，则|a| ＝________. 11．已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量A→B在 C→D方向上的投影为________． 12．已知平面向量 a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c， 若 m＝2a－b，n＝a＋c，则向量 m，n 的夹角的大小为________． 三、解答题 13．已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求 a 的坐标； (2)若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.
知识点一
数量积的坐标运算
1.设向量 a＝(1，－2)，向量 b＝(－3,4)，向量 c＝(3,2)，则向量(a
＋2b)·c＝( )
A．(－15,12) B．0
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高中学习讲义
C．－3 D．－11 2．已知向量 b 与向量 a＝(1，－2)的方向相反，且|b|＝3 5. (1)求向量 b 的坐标； (2)若 c＝(2,3)，求(c－a)·(c－b)的值．
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C. D.
解析：∵四边形OABC是平行四边形，∴ ＝ 即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)，∴a＝6.又∵ ＝(4,2)， ＝(2,6)，
∴cos〈 ， 〉＝ ＝ ＝ ，
又〈 ， 〉∈[0，π]，∴ 与 的夹角为 .
答案：B
12．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则实数t＝________.
(2)因为a＋2b与2a－b垂直，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，将|a|＝ ，|b|＝ 代入，得a·b＝－ .
所以cosθ＝ ＝－1，
又由θ∈[0，π]，得θ＝π，
即a与b的夹角为π.
14．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4 2＋3.易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]，所以|a－tb|的取值范围是[ ，2 ]．
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11．设点A(4,2)，B(a,8)，C(2，a)，O为坐标原点．若四边形OABC是平行四边形，则向量 与 之间的夹角为()
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 .
答案：D
2．已知向量a＝(1， )，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为 ，则实数m的值为()
A．2 B．－
C．0D.
解析：由题意得|a|＝2，|b|＝ ，a·b＝3＋ m＝2 cos ，解得m＝ ，选D.
答案：D
3．若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影的数量为()
A．2 B．2
答案：－2
7．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
解析：c＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝ ，|b|＝2 ，
设c，a的夹角为α，c，b的夹角为θ，
又因为cosα＝ ，cosθ＝ ，
由题意知 ＝ ，即 ＝ .
解得m＝2.
答案：2
8.
如图，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 · ＝ ，则 · 的值是________．
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设F(x,2)，
所以 ＝( ，1)， ＝(x,2)， ＝( ，0)，
所以 · ＝ x＝ ，
北师大版数学高一必修4课时作业：18平面向量数量积的坐标表示_Word版含解析
课时作业
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()
A．－8B．－6
C．6D．8
解析：由题可得a＋b＝(4，m－2)，又(a＋b)⊥b，∴4×3－2×(m－＝0，∴m＝8.故选D.
所以x＝1，所以F(1,2)，
所以 ＝(1,2)－( ，0)＝(1－ ，2)，
所以 · ＝ .
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解析：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
答案：1
13．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2 ，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解析：(1)由a＝(1,2)，得|a|＝ ＝ ，
又|c|＝2 ，所以|c|＝2|a|.
又因为c∥a，所以c＝±2a，
所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
解析：因为a＝(4，－3)，b＝(2,1)，
所以a＋tb＝(2t＋4，t－3)，
所以(a＋tb)·b＝5t＋5.
又|a＋tb|＝
＝ ，
|b|＝ ，(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，
所以5t＋5＝ × × ，
整理得t2＋2t－3＝0，
解得t＝1或t＝－3，
经检验知t＝－3不成立，故t＝1.
10．已知向量a＝(1， )，b＝(－2,0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围．
解析：(1)因为向量a＝(1， )，b＝(－2,0)，所以a－b＝(1， )－(－2,0)＝(3， )，
所以cos〈a－b，a〉＝ ＝ ＝ .
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为 .
解得 即c＝ .
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则m＝________.
解析：a＋b＝(m＋1，－3)＋(1，m－1)＝(m＋2，m－4)，
a－b＝(m＋1，－3)－(1，m－1)＝(m，－2－m)，
因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0，所以m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，解得m＝－2.
C. D．10
解析：设a，b的夹角为θ，则|a|cosθ＝|a|· ＝ ＝ ＝2.
答案：B
4．已知O为坐标原点，向量 ＝(2,2)， ＝(4,1)，在x轴上有一点P使得 · 有最小值，则点P的坐标是()
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0)D．(4,0)
解析：设点P的坐标为(x,0)，则 ＝(x－2，－2)， ＝(x－4，－1)，
· ＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时， · 有最小值1，
∴点P的坐标为(3,0)．
答案：C
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()
A. B.
C. D.
解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得