2018届苏教版 不等式选讲 单元测试
2018苏教版七年级下册数学一元一次不等式组练习卷及答案(二)
2018苏教版七年级下册数学一元一次不等式组练习卷及答案（二）一．选择题（共15小题）1．不等式组的整数解有（）A．0个 B．5个 C．6个 D．无数个2．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x≤23．已知关于x的不等式组无解，则m取值范围是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．不能确定4．如果不等式组只有一个整数解，那么a的范围是（）A．3＜a≤4 B．3≤a＜4 C．4≤a＜5 D．4＜a≤55．不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（）A．a＜4 B．a=4 C．a≤4 D．a≥46．不等式组的解集在数轴上的表示是（）A．B． C．D．7．不等式组的整数解是（）A．﹣1 B．﹣1，1，2 C．﹣1，0，1 D．0，1，28．不等式组的最大整数解为（）A．8 B．6 C．5 D．49．如果不等式组有解，那么m的取值范围是（）A．m＞7 B．m≥7 C．m＜7 D．m≤710．已知不等式组的解集中共有5个整数，则a的取值范围为（）A．7＜a≤8 B．6＜a≤7 C．7≤a＜8 D．7≤a≤811．若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1＜m＜012．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B． C．D．13．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶（不为0瓶），登山人数及矿泉水的瓶数是（）A．5、13 B．3、5 C．5、15 D．无法确定14．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣115．若不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2二．填空题（共11小题）16．不等式组的解集是．17．若不等式无解，则实数a的取值范围是．18．若不等式组有解，则a的取值范围是．19．已知不等式组的解集是2＜x＜3，则关于x的方程ax+b=0的解为．20．不等式组的解集是．21．不等式组的解集中含有3个整数，那么m的取值范围是．22．不等式组的最小整数解是．23．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是．24．已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范是．25．若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范是．26．不等式组的最小整数解是．三．解答题（共10小题）27．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．28．解不等式组，并把解集表示在数轴上．29．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．30．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．31．解不等式组把解集在数轴上表示，并求不等式组的整数解．32．解不等式组：．33．已知方程组，当m为何值时，x＞y？34．为了抓住保国寺建寺1000年的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？34．有一群猴子，一天结伴去偷桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下9个；如果每个猴子分5个，就都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个．你能求出有几只猴子，几个桃子吗？36．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．2018苏教版七年级下册数学一元一次不等式组练习卷及答案（二）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．不等式组的整数解有（）A．0个 B．5个 C．6个 D．无数个【分析】先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求整数解即可．【解答】解：解不等式x+3＞0，得x＞﹣3，解不等式﹣x≥﹣2，得x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，∴整数解有：﹣2，﹣1，0，1，2共5个，故选B．【点评】本题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．2．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x≤2【分析】由题意分别解出不等式组中的两个不等式，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出不等式的解集．【解答】解：由﹣x＜1得，∴x＞﹣1，由3x﹣5≤1得，3x≤6，∴x≤2，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故选D．【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a的范围．3．已知关于x的不等式组无解，则m取值范围是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．不能确定【分析】根据不等式组无解，可以求出实数m的取值范围．【解答】解：由于不等式组无解，所以m≥2，故选C．【点评】本题是反向考查不等式组的解集，也就是在不等式组有实数解的情况下确定不等式中字母的取值范围，解答本题时，易忽略m=2，当m=2时，不等式组无解．4．如果不等式组只有一个整数解，那么a的范围是（）A．3＜a≤4 B．3≤a＜4 C．4≤a＜5 D．4＜a≤5【分析】首先解不等式组，求得不等式组的解集，然后根据不等式组只有一个整数解即可确定a的值．【解答】解：解不等式①：x≥a，解不等式②得：x＜5．则不等式组的解集是：a≤x＜5．∵不等式组只有一个整数解，则3＜a≤4．故选A．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5．不等式组的解集为x＜4，则a满足的条件是（）A．a＜4 B．a=4 C．a≤4 D．a≥4【分析】先解不等式组，解集为x＜a且x＜4，再由不等式组的解集为x＜4，由“同小取较小”的原则，求得a取值范围即可．【解答】解：解不等式组得，∵不等式组的解集为x＜4，∴a≥4．故选：D．【点评】本题考查了不等式组解集的四种情况：①同大取较大，②同小取较小，③小大大小中间找，④大大小小解不了．6．不等式组的解集在数轴上的表示是（）A．B． C．D．【分析】分别把两条不等式解出来，然后判断哪个选项表示的正确．【解答】解：由（1）式x＜2，由（2）x＞﹣1，所以﹣1＜x＜2．故选C．【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．7．不等式组的整数解是（）A．﹣1 B．﹣1，1，2 C．﹣1，0，1 D．0，1，2【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到整数解．【解答】解：解不等式x+1≥0，得x≥﹣1解不等式x﹣2＜0，得x＜2∴不等式得解集为﹣1≤x＜2∴该不等式组的整数解是﹣1，0，1．故选C．【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．不等式组的最大整数解为（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】先求出各个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≥﹣8，解不等式②得：x＜6，∴不等式组的解集为﹣8≤x＜6，∴不等式组的最大整数解为5，故选C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．9．如果不等式组有解，那么m的取值范围是（）A．m＞7 B．m≥7 C．m＜7 D．m≤7【分析】解出不等式组的解集，与不等式组有解相比较，得到m的取值范围．【解答】解：由（1）得x＜7，由（2）得x＞m，∵不等式组有解，∴m＜x＜7；∴m＜7，故选C．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．10．已知不等式组的解集中共有5个整数，则a的取值范围为（）A．7＜a≤8 B．6＜a≤7 C．7≤a＜8 D．7≤a≤8【分析】根据不等式组的解集中共有5个整数解，求出a的范围即可．【解答】解：∵不等式组的解集中共有5个整数，∴a的范围为7＜a≤8，故选A．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1＜m＜0【分析】先求出不等式的解集，根据题意得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵不等式组的解集为m﹣1＜x＜1，又∵不等式组恰有两个整数解，∴﹣2≤m﹣1＜﹣1，解得：﹣1≤m＜0恰有两个整数解，故选A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集的应用，解此题的关键是能求出关于m的不等式组，难度适中．12．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B． C．D．【分析】分别把两条不等式解出来，然后结合选项判断哪个选项表示的正确．【解答】解：由①得：x＞﹣3由②得x≤2所以﹣3＜x≤2．故选D．【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．13．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶（不为0瓶），登山人数及矿泉水的瓶数是（）A．5、13 B．3、5 C．5、15 D．无法确定【分析】设登山的有x人，则矿泉水有（2x+3）瓶，根据若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶可列不等式组求解．【解答】解：设登山的有x人，，4＜x＜6．2×5+3=13．故选A．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出人数，表示出瓶数，根据若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶，这个不等量关系列不等式组求解．14．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1【分析】将不等式组解出来，根据不等式组无解，求出a的取值范围．【解答】解：解得，，∵无解，∴a≥1．故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．15．若不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2【分析】本题实际就是求这两个不等式的解集．先根据第一个不等式中x的取值，分析m的取值．【解答】解：原不等式组可化为（1）和（2），（1）解集为m≤1；（2）有解可得m＜2，则由（2）有解可得m＜2．故选A．【点评】本题除用代数法外，还可画出数轴，表示出解集，与四个选项对照即可．同学们可以自己试一下．二．填空题（共11小题）16．不等式组的解集是3≤x＜4．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＜4；由②得：x≥3，则不等式组的解集为3≤x＜4．故答案为：3≤x＜4【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．若不等式无解，则实数a的取值范围是a≤﹣1．【分析】先把a当作已知条件求出不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出a的取值范围．【解答】解：，由①得，x≥﹣a，由②得，x＜1，∵不等式组无解，∴﹣a≥1，解得a≤﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解答此题的关键．18．若不等式组有解，则a的取值范围是a＜3．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据不等式组有解即可得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：，由①得，x＞a﹣1；由②得，x≤2，∵此不等式组有解，∴a﹣1＜2，解得a＜3．故答案为a＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．19．已知不等式组的解集是2＜x＜3，则关于x的方程ax+b=0的解为﹣．【分析】根据不等式组的解集即可得出关于a、b而愿意方程组，解方程组即可得出a、b值，将其代入方程ax+b=0中，解出方程即可得出结论．【解答】解：∵不等式组的解集是2＜x＜3，∴，解得：，∴方程ax+b=0为2x+1=0，解得：x=﹣．【点评】本题考查了解一元一次不等式以及一元一次方程的解，解题的关键是求出a、b值．本题属于基础题，难度不大，解集该题型题目时，根据不等式组的解集求出未知数的值是关键．20．不等式组的解集是x＞3．【分析】分别解出题中两个不等式组的解，然后根据口诀求出x的交集，就是不等式组的解集．【解答】解：由（1）得，x＞2由（2）得，x＞3所以解集是：x＞3．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，比较简单．21．不等式组的解集中含有3个整数，那么m的取值范围是6＜m≤7．【分析】先解不等式组，再根据解集中只含有3个整数，列出不等式，从而可确定m的取值范围．【解答】解：，由①得：x＞3，∴不等式组的解集为：3＜x＜m，∵解集中含有3个整数，∴6＜m≤7，故答案为：6＜m≤7．【点评】此题主要考查不等式组的解法及整数解的确定．先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．22．不等式组的最小整数解是0．【分析】首先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找出适合条件的最小整数即可．【解答】解：由①得x＞﹣；由②得3x≤12，即x≤4；由以上可得不等式组的解集是：﹣＜x≤4，所以不等式组的最小整数解是0．【点评】正确解不等式组求出解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．23．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2．【分析】将a看做已知数，求出不等式组的解集，根据解集中整数解有5个，即可确定出a的范围．【解答】解：不等式组解得：a≤x≤2，∵不等式组的整数解有5个为2，1，0，﹣1，﹣2，∴﹣3＜a≤﹣2．故答案为：﹣3＜a≤﹣2．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键．24．已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范是﹣3＜a≤﹣2．【分析】首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定a的范围．【解答】解：，解①得：x≥a，解②得：x＜2．∵不等式组有四个整数解，∴不等式组的整数解是：﹣2，﹣1，0，1．则实数a的取值范围是：﹣3＜a≤﹣2．故答案是：﹣3＜a≤﹣2．【点评】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．25．若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范是﹣2＜a≤﹣1．【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是正整数解得出a的取值．【解答】解：，解①得：x≥a，解②得：x＜1，则不等式组的解集是：a≤x＜1，恰有两个整数解，则整数解是0，﹣1．则﹣2＜a≤﹣1．故答案是：﹣2＜a≤﹣1．【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．26．不等式组的最小整数解是x=﹣3．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，画出数轴便可直接得出答案．【解答】解：由①得，x＞﹣，由②得，x＜，所以不等式的解集为﹣＜x＜，在数轴上表示为：由图可知，不等式组的最小整数解是x=﹣3．【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得出x的最小整数解．三．解答题（共10小题）27．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．【分析】求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为：x≤1，在数轴上表示不等式组的解集为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．28．解不等式组，并把解集表示在数轴上．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x＞2，由②得，x≤4，故此不等式组的解集为：2＜x≤4．在数轴上表示为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．29．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式3（x﹣2）≥x﹣4得：x≥1，解不等式＞x﹣1得：x＜4，∴不等式组的解集是1≤x＜4，在数轴上表示不等式组的解集是：．【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．30．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】根据一元一次不等式组的解法，求出两个不等式的解集，然后求出公共解集即可．【解答】解：，解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x＞﹣1，∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2．用数轴表示如下：【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，注意在数轴上表示时，有等号的用实心圆点表示，没有等号的用空心圆圈表示．31．解不等式组把解集在数轴上表示，并求不等式组的整数解．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．【解答】解：，解不等式①，得x＜2．解不等式②，得x≥﹣1．在数轴上表示不等式①，②的解集，这个不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．因此不等式组的整数解为：﹣1、0、1【点评】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集及解一元一次不等式组，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．32．解不等式组：．【分析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．【解答】解：不等式组可以转化为：，在坐标轴上表示为：∴不等式组的解集为x＜﹣7．【点评】求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．33．已知方程组，当m为何值时，x＞y？【分析】解此题首先要把字母m看做常数，然后解得x、y的值，结合题意，列得一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：，②×2﹣①得：x=m﹣3③，将③代入②得：y=﹣m+5，∴得，∵x＞y，∴m﹣3＞﹣m+5，解得m＞4，∴当m＞4时，x＞y．【点评】此题提高了学生的计算能力，解题的关键是把字母m看做常数，然后解一元一次方程组与一元一次不等式．34．为了抓住保国寺建寺1000年的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？【分析】（1）关系式为：A种纪念品8件需要钱数+B种纪念品3件钱数=950；A 种纪念品5件需要钱数+B种纪念品6件需要钱数=800；（2）关系式为：用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，得出不等式组求出即可．【解答】解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，根据题意得方程组得：，解方程组得：，∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元；（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个，∴，解得：50≤x≤53，∵x 为正整数，x=50，51，52，53∴共有4种进货方案，分别为：方案1：商店购进A种纪念品50个，则购进B种纪念品有50个；方案2：商店购进A种纪念品51个，则购进B种纪念品有49个；方案3：商店购进A种纪念品52个，则购进B种纪念品有48个；方案4：商店购进A种纪念品53个，则购进B种纪念品有47个．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键，注意第二问应求得整数解．35．有一群猴子，一天结伴去偷桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下9个；如果每个猴子分5个，就都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个．你能求出有几只猴子，几个桃子吗？【分析】设有x只猴子，则有桃子（3x+9）个，根据题意的不相等关系都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个建立不等式组，求出其解即可．【解答】解：设有x只猴子，则有桃子（3x+9）个，由题意，得0＜3x+9﹣5（x﹣1）＜5，解得：4.5＜x＜7∵x为整数，∴x=5，6，当x=5是，桃子的个数是：3×5+9=24个．当x=6时，桃子的个数是：3×6+9=27个．答：当猴子5个时，桃子24个；当猴子6个时，桃子27个．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时根据条件的不等量关系建立不等式组是关键．36．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【分析】（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【解答】解：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．。
专题06不等式(测) 2018年高考数学二轮复习讲练测Word版含解析(江苏版)
2018年高三二复习讲练测之测案【苏教版数学】专题六 不等式总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、填空题1. 【山东省德州市2018届高三上学期期中考试数学（理）】在ABC ∆中， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边， ()()4,2cos cos 1a c b A a B +=-=+，则ABC ∆面积的最大值为__________． 【答案】3点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积． (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量．(3)求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围．2. 【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】若点(),x y P 满足约束条件022x x y a x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，且点(),x y P 所形成区域的面积为12，则实数a 的值为 ．【答案】8【解析】由题意作出其平面区域，∵点(),x y P 所形成区域的面积为12，∴0a >，由2x y a -=，令x =0得2ay =-， 由22x y a x y -=+=⎧⎨⎩ 解得44,212832312a a a x S a ++=∴=⨯+⨯=∴=（），.【名师点睛】二元一次不等式组确定的平面区域的面积已知，应先根据两条定直线确定的区域和动直线确定的区域的公共部分的变化情况决定参数取何值，最后利用线性规划的方法求最值.3. 【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】.已知1a b >>且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 ▲ . 【答案】3【名师点睛】根据已知条件求出两个变量的相互关系，然后消元后利用基本不等式求最小值，一般地，求多元变量的最值基本方法是多元问题一元化，如果消元比较困难，那么我们可以对给定的代数式变形，找和为定值或积为定值，用基本不等式求最值.4．【 百校联盟2018届TOP20一月联考（全国Ⅰ卷）理】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()22622absinA ac sin B b sinAcosC +-=， 2b =，则ABC ∆外接圆面积的最小值为__________．【答案】98π【名师点睛】解答本题时注意以下两点：（1）与解三角形有关的最值问题一般与面积有关，且常与基本不等式结合在一起考查，解题时要注意构造应用不等式的形式，同时还要说明等号成立的条件．（2）已知三角形的边和它的对角可求出三角形外接圆的半径，即2sin ar A=，此结论的用途很大，需要记住．5. 【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）】已知,,x y z 均为正数，212x y+=， 22x y z xyz ++=，则xyz 的最小值为_______. 【答案】16 【解析】2122,22y x y x xy x y xy++==∴+= ， 2222x y z xy z xyz ++=+=，因为,,x y z 均为正数，所以()()()222880,20,228222=88162222xy xy z xy xyz xy xy xy xy xy xy =>->∴==-++≥-⨯+=----，当且仅当()8222xy xy -=- 时取等号，所以xyz 的最小值为16，故答案为16. 【名师点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.6. 【天津市第一中学2018届高三上学期第三次月考数学（文）】对任意的0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是__________． 【答案】[]4,5-【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7. 【江苏省徐州市铜山中学2018届高三第一学期期中】已知实数,x y 满足223x y +=，则()()221422x y x y ++-的最小值为___________．【答案】35【解析】()()221422x y x y ++-()()()()()()()()2222222222242141515152222x y x y x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤++--+=+=++⎢⎥⎢⎥+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()2222242193521515522x y x y x y x y ⎡⎤-+⎢⎥≥+⋅==⎢⎥+-⎣⎦【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8. 【泰州市2016届高三第一次模拟考试】若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 ． 【答案】3212- 【解析】令1,(0)2x t t y+=>，则222(22)(52)(2),(45)(88)80yt y y t y t y -=+--+-+=，因此22232(88)32(45)02470012t t t t t ∆=---≥⇒+-≤⇒<≤-+，当3212t =-+时，2628352424400451712212216t y x t ---==>=>---，，因此12x y +的最大值为3212-． 【名师点睛】二元二次等式条件下的二元目标函数的最值，如果利用基本不等式求需要“配凑拼”等代数技巧，它们由一定的难度，此时设二元目标函数为一个整体，通过消元转变为关于一个变量的方程的解的存在性问题，利用判别式法求整体的范围，最后要注意验证等号是否成立． 9. 【山东省枣庄市第三中学2018届高三一调模拟考试】已知圆221:4C x y +=和圆()()222:224C x y -+-=，若点(),,(0,0)P a b a b >>在两圆的公共弦上，则19a b+的最小值为 __________． 【答案】8【名师点睛】两圆的公共弦的方程是两圆作差后得到的二元一次方程．在这个基础上作恒等变形()191192a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭后得到能积为定值的代数式，从而利用基本不等式求最小值．类似的和积转化还有()2222x y x y xy +=++、22ax by ax by +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭等（既有等式中的和积转化、也有不等式中的和积转化）． 10. 【“超级全能生”浙江省2017届高三3月联考】已知22142(0,0)x y xy x y =+-<<，则2x y+的取值范围为__________．【答案】[)2,1--【解析】由题意得()2231x y y -+= ，令()()3cos ,sin π,03x y y ααα-==∈- ，则 π2cos 3sin 2sin 6x y ααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭ ，且3cos sin 03x αα=+< ，所以ππ,3α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， π5πππ1,,1sin 66662αα⎛⎫⎛⎫+∈---≤+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即[)22,1x y +∈--.【名师点睛】对于在二元二次方程条件下的二元一次目标函数，我们可以有两个处理的策略：（1）配方法：把给定条件配成平方和的形式，从而利用三角代换把目标函数转化三角函数，利用辅助角公式求最值；（2）把二次方程配成()2214122x y xy x y +=+=+ ，再利用基本不等式得到()22222x y x y +≥-，从而得到欲求的取值范围.11. 【山西省孝义市2017届高三下学期高考考前质量检测三】已知函数()()()25f x x x x a =+++的图象关于点()2,0-对称，设关于x 的不等式()()f x b f x +'<'的解集为M,若()1,2M ⊂，则实数b 的取值范围为________________. 【答案】60b -≤<【名师点睛】含参数的函数的图像若是中心对称或轴对称，我们可以取特殊值求出参数的具体值，又集合的包含关系意味着一元二次不等式在给定的范围上是恒成立的，分类讨论即可．12. 【江苏省徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】已知函数()()2,f x x ax b a b R =-++∈的值域为(],0-∞，若关于x 的不等式()1f x c >-的解集为()4,1m m -+，则实数c 的值为__________． 【答案】214-【名师点睛】值域为(],0-∞意味着二次三项式是一个完全平方，把二次假设为()22a f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即可，一般地在求二次函数的解析式时，要根据题设条件选择二次函数的解析式的形式（双根式、顶点式和一般式）．13. 【2018届高三数学训练题(43)：不等式的概念与性质】三个正数,,a b c 满足2a b c a ≤+≤，2b a c b ≤+≤，则ba的取值范围是________． 【答案】23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】三个正数,,a b c 满足2a b c a ≤+≤，2b a c b ≤+≤，则：12b ca a≤+≤，① 且21b c b a a a ≤+≤即21b c b a a a-≤--≤-② ①+②有： 2112b b b a a a -≤-+≤-，即： 211{ 12b ba ab b a a-≤-+-+≤-，求解关于b a 的不等式组可得b a 的取值范围是23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【名师点睛】题设中给出的三元一次不等式组，要求的是一个分式的范围，所以通过对三元一次不等式组。
2018届苏教版 不等式 单元测试
【2017年高三数学优质试卷分项精品】专题七 不等式【文】一、选择题1. 【2016届湖北八校高三二联】若244x y +=，则2x y +的最大值是 . 【答案】2【解析】因为242422x y x y =+=+≥=，所以22242x y +≤=，即22x y +≤，当且仅当2222x y ==，即21x y ==时2x y +取得最小值2.2. 【2016届邯郸市一中高三十研】 若正数,a b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11a b+的值为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．172【答案】C【解析】由2362log 3log log ()a b a b +=+=+得()()236log 4log 27log ()a b a b k ==+=，所以有42,273,6k k k a b a b ==+=，所以108236k k k ab a b =⨯==+，即11108a b+=,故选C. 3. 【2016江西师大附中高三上学期期末】不等式2220x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤22B ．a ≥22C ．a ≤311D ．a ≤29【答案】A4. 【2016届襄阳五中宜昌一中龙泉中学高三联考】设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上 确界. 若,a b R +∈，且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ） A ．5-B ．4-C ．92-D ．92【答案】C5. 【2016年河南省六市高三联考】若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b +< D ．a b a b +>+ 【答案】D.【解析】0b a <<，A ，B ，C 正确，而||||||a b a b a b +=--=+，故D 错误，故选D ．6. 【2016年河南省六市高三联考】已知实数x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y=-的最小值为-1，则实数m =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】B.【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线l ：y x =，平移l ，即可知，当21213y x x x y y =-=⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩时符合题意，又∵(2,3)在直线x y m +=上，∴5m =，故选B ．7.【2016届邯郸市一中高三十研】若,x y 满足不等式30301x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．11B ．-11C ．13D ．-13 【答案】A【解析】在坐标系内作出可行域如下图所示，由图可知，当目标函数3z x y =+经过可行域内的点(4,1)B -时有最大值，所以max 34111z =⨯-=，故选A.8. 【2016安徽省安庆市高三二模】已知0a >,0b >,11a b a b +=+,则12a b+的最小值为（ ）A ．4 B． C ．8 D ．16 【答案】B 【解析】由ab b a b a b a +=+=+11有1=ab ,则ba 21+22212=⨯≥b a ,故选B. 9. 【2016江西省九江高三三模】已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0,02,0，若y x z +=2的最大值为5，则z 的最小值为（ ）A.1-B.0C.1D.2【答案】A10. 【2016山西省榆林市二测】设变量,x y 满足约束条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最小值为（ ）A ．-2B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中52(),(0,1),(2,0)33A B C -，,则直线2x y z +=过B 点时取最小值2，选C.11.【2016届江西师大附中、鹰潭一中高三联考】 已知实数x ，y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞,－1) B ．(0,1) C ．(1,＋∞) D ．[1,＋∞) 【答案】C【解析】作出可行域如图:要使得目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是()1,3P ,则只需直线:l y ax z =+ 的斜率大于直线20x y -+=的斜率即可.故C 正确. 所以1a >.12.【2016届河南省八市重点高中质量检测试题】若不等式()0()f x x R ≤∈的解集为[]1,2-，则不等式(lg )0f x >的解集为_______.【答案】110x x x ⎧⎫<<>⎨⎬⎩⎭|0或10013. 【2016江西师大附中高三上学期期末】若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区 域面积为（ ） A.1或14 B.12或18 C.1或12 D.12或14【答案】D14.运行下面的程序框图，输出的结果是（ ）A ．7B ．4-C ．5-D ．6【答案】D【解析】首先执行第一次判断，i 是奇数，所以有1=+=i s s ，1121<=+=i i ；执行第二次判断，i 是偶数，所以有1--==i s s ，1131<=+=i i ；执行第三次判断，i 是奇数，所以有2=+=i s s ，1141<=+=i i ；执行第四次判断，i 是偶数数，所以有2--==i s s ，1151<=+=i i ；继续执行上述循环，可知输出的与输出时的i 有如下的关系⎩⎨⎧=-+-+-=+=---+-=k i i s k i i s 2)1( (43211)2)1(......4321，当12=i 时，输出s ，所以输出结果为61110987654321=+-+-+-+-+-=s ，本题的正确选项为D.15.【2016年广东省揭阳市高考数学一模】已知不等式组所表示的平面区域为D ，直线l ：y=3x+m 不经过区域D ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣3，3]C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）答案：D【解析】解：由题意作平面区域如下，，当直线l 过点A （1，0）时，m=﹣3； 当直线l 过点B （﹣1，0）时，m=3； 结合图象可知，实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）， 故选：D ．16. 【2016年河南省商丘市高三三模】已知)0,0(),1,2(O A ，点),(y x M 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤≤,22,2,21y x y x 则AM OA z ⋅=的最大值为（ ）A ．5-B ．1-C ．0D ．1 【答案】D【解析】试题分析：()()2,12,125z OA AM x y x y =⋅=⋅--=+-,画出可行域如下图所示，由图可知:目标函数在点()2,2处取得最大值为4251z =+-=．17. 【2016届山西省四校联考】已知变量y x ,满足2036020x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则22y x z +=的最大值为 . 【答案】10x。
2018届苏教版 基本不等式 单元测试
基本不等式基础巩固组1.已知a>0,b>0,若2a+b=4,则1ab 的最小值为( ).A .14 B.4C .12D.2答案:C解析:由题中条件知,1ab =44ab =2a +b 4ab=12b +14a ≥2 12b ·14a, 当且仅当a=1,b=2时,等号成立, 故1a 2b 2≥4·12b ·14a ,即1ab ≥12.2.若不等式1a -b +1b -c +λc -a<0当a>b>c 时恒成立,则λ的取值范围是( ).A.(-∞,0]B.(-∞,1)C.(-∞,4]D.(4,+∞)答案:D解析:变形得λ>(a-c )1a -b +1b -c =[(a-b )+(b-c )]· 1a -b +1b -c =1+a -b b -c +b -ca -b+1≥4(当且仅当(a-b )2=(b-c )2时,等号成立),则λ>4.故选D .3.若log 4(3a+4b )=log 2 ab ,则a+b 的最小值是( ). A.6+2 3 B.7+2 3 C.6+4 3 D.7+4 3答案:D解析:由log 4(3a+4b )=log 2 ab ,得12log 2(3a+4b )=12log 2(ab ),所以3a+4b=ab ,即3b+4a=1.所以a+b=(a+b ) 3b +4a =3ab +4b a +7≥4 3+7,当且仅当3a b =4b a,即a=2 3+4,b=3+2 3时取等号.故选D .4.(2015吉林长春质检三)若对∀x ,y ∈[0,+∞),不等式4ax ≤e x+y-2+e x-y-2+2恒成立,则实数a 的最大值是( ). A .14B.1C.2 D .12答案:D解析:因为e x+y-2+e x-y-2+2=e x-2(e y+e-y)+2≥2(e x-2+1),再由2(e x-2+1)≥4ax,可得2a≤1+e x-2,令g(x)=1+ex-2,则g'(x)=e x-2(x-1)-12,可得g'(2)=0,且在(2,+∞)上g'(x)>0,在[0,2)内g'(x)<0,则g(x)的最小值为g(2)=1,于是2a≤1,即a≤12.故选D.5.若两个正实数x,y满足2+1=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是().A.(-∞,-2)∪(4,+∞)B.(-∞,-4)∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)答案:D解析:x+2y=(x+2y)2x +1y=2+4yx+xy+2≥8,当且仅当4yx =xy,即4y2=x2时,等号成立.x+2y>m2+2m恒成立,则m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4<m<2.故选D.6.(2015河北保定一模)司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析().A.甲合适B.乙合适C.油价先高后低甲合适D.油价先低后高甲合适答案:B解析:设甲每次加m升油、乙每次加n元钱的油,第一次加油x元/升,第二次加油y元/升.甲的平均单价为mx+my2m =x+y2,乙的平均单价为2nnx+ny=2xyx+y.因为x≠y,所以x+y22xyx+y=x2+y2+2xy4xy>4xy4xy=1,即乙的两次平均单价低,乙的方式更合适.故选B.7.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则zxy的最小值为.答案:1解析:∵z=x2-3xy+4y2(x>0,y>0,z>0),∴zxy=x2-3xy+4y2xy=x y +4yx-3≥2xy·4yx-3=1,当且仅当xy =4yx,即x=2y=4时,等号成立.8.设a,b均为正实数,求证:1a2+1b2+ab≥2 2.证明:因为a,b均为正实数,所以1a2+1b2≥21a2·1b2=2ab,当且仅当1a2=1b2,即a=b时,等号成立.又2ab +ab≥22ab·ab=22,当且仅当2ab=ab时,等号成立,所以1a2+1b2+ab≥2ab+ab≥22,当且仅当1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=24时,等号成立.能力提升组9.若关于x的不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围是().A.-∞,1-32B.1+32,+∞C.-∞,1-32∪1+32,+∞D.1-32,1+32答案:C解析:∵x∈(0,2],∴a2-a≥xx2+1=1x+1x.要使a2-a≥1x+1x在x∈(0,2]时恒成立,则a2-a≥1x+1xmax.由基本不等式得x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即1x+1xmax =12.则a2-a≥1,解得a≤1-3或a≥1+3.10.已知a,b都是正实数,且2a+b=1,则s=2ab-4a2-b2的最大值为().A.2-1B.2-1C.2+1D.2+1答案:A解析:∵a>0,b>0,1=2a+b ≥2 2ab ,∴ ab ≤ 24, 4a 2+b 22≥2a +b2.∴4a 2+b 2≥12,-4a 2-b 2≤-12. ∴s=2 ab -4a 2-b 2≤2 ab −12≤2-12,当且仅当2a=b 时,等号成立.故选A .11.要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 (单位:元). 答案:160解析:设池底长为x m,宽为y m,则xy=4,所以y=4x ,则总造价为:f (x )=20xy+2(x+y )×1×10=80+80x +20x=20 x +4x +80,x ∈(0,+∞). 所以f (x )≥20×2 x ·4+80=160,当且仅当x=4,即x=2时,等号成立. 所以最低总造价是160元. 12.(2015河南信阳二调)已知函数f (x )=ln e xe -x ,若∑k =12014f k e2015 =1 007(a+b ),则a 2+b 2的最小值为 . 答案:2解析:根据题意:f k e 2015 =ln e k e2015e -k e 2015=ln k e2015-k , 所以∑k =12014f k e 2015=ln e 2014+ln 2e2013+...+ln 2014e 1=ln e ×2e ×3e × (2014)1×2×3×…×2014=lne 2014=2014=1007(a+b ),解得a+b=2.所以a 2+b 2≥(a+b )22=2(当且仅当 a =b ,a +b =2,即a=b=1时取“等号”).所以a 2+b 2的最小值为2.13.某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为C (x )(单位:万元),当年产量不足80千件时,C (x )=13x 2+10x (单位:万元).当年产量不小于80千件时,C (x )=51x+10000x-1 450(单元:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L (x )(单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元,依题意得:当0<x<80时,L (x )=(0.05×1000x )-13x 2-10x-250=-13x 2+40x-250. 当x ≥80时,L (x )=(0.05×1000x )-51x-10000x+1450-250=1200- x +10000x. 则L (x )= -13x 2+40x -250,0<x <80,1200- x +10000x,x ≥80.(2)当0<x<80时,L (x )=-13(x-60)2+950. 此时,当x=60时,L (x )取得最大值L (60)=950. 当x ≥80时,L (x )=1200- x +10000x≤1200-2 x ·10000=1200-200=1000, 当且仅当x=10000x,即x=100时,L (x )取得最大值1000.因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1000万元.。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习 专题11.8 不等式选讲(测)理
专题11.8 不等式选讲一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1.设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为【 解析】由柯西不等式得：22222()()()a b m n ma nb ++≥+所以2225()5m n +≥，得225m n +≥,≥2.不等式521≥++-x x 的解集为 .【答案】(][),32,-∞-+∞3. 若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________. 【答案】3- 【解析】因为等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以51,33-为方程23ax -=的根, 即52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=- 4.对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为________．【答案】35. 若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）由图可知：()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,由题意得：215222a a ++≤，解这得:11,2a -≤≤ 所以答案应填：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 6. 已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 .【答案】12【解析】()222222249(111)(23)a b c a b c ++++≥++，所以2224912a b c ++≥.7. 在实数范围内，不等式211x --≤的解集为___________.【答案】[]0,4 【解析】2111211,222,0 4.x x x x --≤∴-≤--≤∴-≤-≤∴≤≤，因此解集为[]0,4.8.已知a, b, m, n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为 .【答案】2【解析】由柯西不等式可得()22()()2am bn bm an mn a b ≥=+=＋＋. 9. 若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.【答案】24a -≤≤【解析】1|||1|3a x a x -≤-+-≤,解得:24a -≤≤10. 若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤,则实数k =__________【答案】2【解析】由2|4|≤-kx 可得62≤≤kx ,所以321≤≤x k ,所以12=k ,故2=k . 二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
2018届苏教版(文) 不等式 检测卷
不等式1．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－2,2]解析 原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2,2]．2．若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋3≥0，y ≥－1，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．答案 11解析 在坐标系内作出可行域如图所示(包括边界)，由图可知，当目标函数z ＝3x ＋y 经过可行域内的点B (4，－1)时有最大值， 所以z max ＝3×4－1＝11.3．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是______． 答案 7＋4 3解析 由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号．4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则ab 的最大值为________． 答案5021解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0作出可行域如图(含边界)．联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2＝0，8x －y －4＝0，解得B (65，285)．化z ＝ax ＋by 为y ＝－abx ＋z b ，由图可知，当直线y ＝－a b x ＋z b过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．此时z ＝65a ＋285b ＝8，即3a ＋14b ＝20.∵a >0，b >0，∴20＝3a ＋14b ≥242ab ，即ab ≤5021.∴ab 的最大值为5021.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y －1≤0，x －a ≥0，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x －2≤12，则实数a 的取值范围为________． 答案 [0,1] 解析yx －2表示区域内点(x ，y )与定点A (2,0)连线的斜率k ，由图易观察到BC 与y 轴重合时，|k |≤k AC ＝12，当BC 向右移动时，|k |≤k AC <12.综上，a ∈[0,1]．6．已知直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，则2a ＋4b的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，所以a ＋2b ＝1， 则2a＋4b＝2a＋22b≥22a ·22b ＝22a ＋2b＝2 2.7．已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，174]解析 x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0⇒a ≤(x ＋y )＋1x ＋y ，而x ＋y ＋4＝2xy ≤2(x ＋y 2)2⇒x ＋y ≥4(负舍)，因此(x ＋y )＋1x ＋y ∈[174，＋∞)，即实数a 的取值范围为(－∞，174]． 8．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≤0，2x ＋y －3≤0表示的平面区域，圆C ：(x －5)2＋y 2＝1上的点与区域D 上的点之间的距离的取值范围为____________．答案 [17－1，34＋1]解析 首先求解平面区域的顶点，确定各顶点到圆心的距离d ＝ x －5 2＋y 2，最后求出最小距离减半径和最大距离加半径，即为所求范围.故所求范围为[17－1，34＋1]．9．已知正实数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________．答案509解析 ∵正实数a ，b 满足1a ＋2b＝3，∴3＝1a ＋2b≥22ab ，当且仅当a ＝23，b ＝43时取等号，∴ab ≥223，∴ab ≥89. ∵1a ＋2b＝3，∴2a ＋b ＝3ab ，∴(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝4ab ＋2 ≥4×89＋2＝509，∴(a ＋1)(b ＋2)的最小值是509. 10．设实数x ，y 满足x 24－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是______．答案 6＋4 2解析 令x 2＋y ＝t ，则x 2－y ＝1t，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝12 t －1t ，则3x 2－2xy ＝6＋2t 2＋4t2≥6＋4 2.11．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3 ，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 12解析 画出可行域如图(含边界)：当直线z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，代入直线y ＝a (x －3)，得a ＝12.12．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点C ，D 在函数y ＝x ＋1x(x >0)的图象上．记AB ＝m ，BC ＝n ，则mn2的最大值为________．答案 14解析 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则由y 1＝y 2， 得x 1＋1x 1＝x 2＋1x 2，因为x 1≠x 2，所以x 1x 2＝1，因此m n 2＝x 2－x 1x 2＋1x 22＝x 2－1x 2 x 2＋1x 22＝tt 2＋4≤t 2t 2·4＝14. 其中t ＝x 2－1x 2>0，当且仅当t ＝2时取等号．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，则不等式f (f (x ))≤3的解集为__________．答案 (－∞，3]解析 由题意得f (f (x ))≤3⇒f (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，f 2x ＋2f x ≤3⇒f (x )≥－3⇒x <0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－x 2≥－3 ⇒x ≤ 3.14．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，y ≥1，3x ＋y －6≤0表示的平面区域为D ，已知点O (0,0)，A (1，0)，点M 是D 上的动点，OA →·OM →＝λ|OM →|，则λ的最大值为________． 答案53434解析 作可行域如图阴影部分(含边界)：由题意知：B (53，1)，C (43，2)．所以y x ∈[35，32]．设M (x ，y )，由OA →·OM →＝λ|OM →|得：x ＝λx 2＋y 2，所以λ＝x x 2＋y2＝11＋ yx2∈[413，2534]， 即λ的最大值为2534＝53434.。
2018年江苏省高三数学试题分类选考之选修4-5：不等式选讲
四、不等式选讲（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·21D ）已知1a >，1b >，求2211b a a b +--的最小值.【答案】因为1a >，1b >，所以24(1)41b a b a +-≥-，24(1)41a b a b +-≥-.两式相加：224(1)4(1)11b a a b a b +-++-≥--44b a +，所以22811b a a b +≥--.当且仅当24(1)1b a a =--且24(1)1a b b =--时“=”成立.即2a b ==时，2211b a a b +--取得最小值8. 2.（2018·常州期末·21）已知0,0a b >>，求证：3322a b a b++【答案】证明：0,0a b >>，不妨设0a b >≥，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a ++≥，所以51515151222222222222a ab b a b b aa b a b ++=++≥3.（2018·南京盐城期末·21）.已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值. 【答案】解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤， ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得6x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当x y ==max ()x y += 所以当x y +取最大值时x的值为x =………………10分4.（2018·苏州期末·21）已知a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，若2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】解 因为a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，由柯西不等式得2222()()(111)3a b c a b c -+++++=≤， ·································· 4分 因为2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立， 所以|1||1|3x x -++≥． 当1x <-时，23x -≥，即32x -≤； 当11x -≤≤时，23≥不成立； 当1x >时，23x ≥，即32x ≥；综上，实数x 的取值范围为33(,][,)22-∞-+∞ ． ················································· 10分5.（2018·苏北四市期末·21）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【答案】证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分 又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分6. （2018·镇江市期末·21D ）已知函数()||||f x x a x a =-++，若对任意x R ∈，不等式2()3f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围。
2018届苏教版 不等式选讲2
课时作业(六十八) 不等式的证明1．若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝ab 。
(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由。
解析：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立。
故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立。
所以a 3＋b 3的最小值为42。
(2)由(1)知，2a ＋3b≥26ab ≥43。
由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6。
2．(2016·福建质检)若a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2。
(1)求abc 的最大值； (2)证明：1a ＋1b ＋1c ≥92。
解析：(1)因为a ，b ，c ∈R ＋，所以2＝a ＋b ＋c≥33abc ，故abc≤827。
当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立，所以abc 的最大值为827。
(2)证明：因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝2，所以根据柯西不等式， 可得1a ＋1b ＋1c ＝12(a ＋b ＋c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝12[(a)2＋(b)2＋(c)2]× ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2 ≥12⎝⎛⎭⎪⎫a ×1a＋b ×1b＋c ×1c 2＝92。
所以1a ＋1b ＋1c ≥92。
3．已知函数f(x)＝|x －a|＋|x －3|，a ∈R 。
(1)当a ＝1时，求不等式f(x)≤4的解集；(2)若不等式f(x)＜2的解集为空集，求实数a 的取值范围。
解析：(1)当a ＝1时，f(x)＝|x －1|＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x x＜1 2 1≤x＜32x －4 x≥3 。
所以不等式f(x)≤4的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜14－2x≤4或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x＜32≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x≥32x －4≤4，即0≤x≤4，故不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤4}。
【精品】2018年江苏省高三上期末数学试题分类：选考选修4-5：不等式选讲
四、不等式选讲（一）试题细目表南京盐城期末·21D 解 答 集合的运算 （二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·21D ）已知1a >，1b >，求2211b a a b +--的最小值.【答案】因为1a >，1b >，所以24(1)41b a b a +-≥-，24(1)41a b a b +-≥-.两式相加：224(1)4(1)11b a a b a b +-++-≥--44b a +，所以22811b a a b +≥--.当且仅当24(1)1b a a =--且24(1)1a b b =--时“=”成立.即2a b ==时，2211b a a b +--取得最小值8. 2.（2018·常州期末·21）已知0,0a b >>，求证：3322a b a b++【答案】证明：0,0a b >>，不妨设0a b >≥，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a ++≥，所以51515151222222222222a ab b a b b aa b a b ++++≥3.（2018·南京盐城期末·21）.已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值. 【答案】解：由柯西不等式，得22222[)][1(](1)33x x ++≥⨯⨯， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以223333x y ≤+≤， ………………5分 由313233x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得33x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3326x y ==时，max2()33x y +=所以当x y +取最大值时x 的值为3x = ………………10分4.（2018·苏州期末·21）已知a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，若2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】解 因为a ，b ，c ∈R ，2221a b c ++=，由柯西不等式得2222()()(111)3a b c a b c -+++++=≤， ························· 4分 因为2|1||1|()x x a b c -++-+≥对一切实数a ，b ，c 恒成立， 所以|1||1|3x x -++≥． 当1x <-时，23x -≥，即32x -≤； 当11x -≤≤时，23≥不成立； 当1x >时，23x ≥，即32x ≥；综上，实数x 的取值范围为33(,][,)22-∞-+∞． ····································· 10分5.（2018·苏北四市期末·21）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【答案】证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分 又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分6. （2018·镇江市期末·21D ）已知函数()||||f x x a x a =-++，若对任意x R ∈，不等式2()3f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围。
2018届苏教版 选修部分 单元测试
一．基础题组1. 【2011新课标，理22】选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．【答案】见解析2. 【2011新课标，理23】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x a y a =⎧⎨=+⎩(α为参数) M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM = ，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程； (2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.【答案】见解析3. 【2011新课标，理24】选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．【答案】（1）不等式组的解集为{}2a x x ≤- （2）a ＝2【解析】：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a x a x ≤⎧⎨-+≤⎩ 即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩因为a ＞0，所以不等式组的解集为{}2ax x ≤-． 由题设可得12a -=-，故a ＝2. 二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理22】(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．【答案】见解析(2)连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为1 2 .2.【2013课标全国Ⅱ，理23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinx ty t=⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【答案】（1）M的轨迹的参数方程为cos cos2,sin sin2xyαααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)．（2）当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点3.【2013课标全国Ⅱ，理24】(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)2221a b cb c a++≥.【答案】见解析【解析】：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为22ab ab+≥，22bc bc+≥，22ca ca+≥，故222()a b c a b c b c a+++++≥2(a ＋b ＋c )， 即222a b c b c a++≥a ＋b ＋c . 所以222a b c b c a++≥1. 4. 【2015高考新课标2，理22】选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ） 若AG 等于O 的半径，且AE MN ==求四边形EBCF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；．因为2OM OE ==，12DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，AB =．所以四边形EBCF 的面积221122⨯-⨯=【考点定位】1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质． 5. 【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．【答案】（Ⅰ）(0,0)和3)2；（Ⅱ）4．【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值． 6. 【2015高考新课标2，理24】（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >>>是a b c d -<-的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【考点定位】不等式证明．三．拔高题组1.【2014全国2，理20】（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，P 是e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与e O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交e O 于点E 。
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考点52 不等式选讲一、 选择题1.(2017·天津高考理科·T8)已知函数f(x)=23,12,1x x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩设a ∈R ,若关于x 的不等式f(x)≥2xa +在R 上恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A.47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2⎡⎤-⎣⎦D.3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式、二次函数最值、基本不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与综合运算能力.【解析】选A.不等式f(x)≥2xa +可化为-f(x)≤2x +a ≤f(x) ①,当x ≤1,①式为-x 2+x-3≤2x+a ≤x 2-x+3, 即-x 2+2x -3≤a ≤x 2-32x+3, 又-x 2+2x -3=-214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-4716≤-4716,x 2-32x+3=234x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+3916≥3916, 所以,-4716≤a ≤3916.当x>1,①式为-x-2x ≤2x +a ≤x+2x ,所以-32x-2x ≤a ≤12x+2x, 又-32x-2x =-322x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤12x+2x≥2,所以a ≤2, 综上-4716≤a ≤2. 2.(2017·天津高考文科·T8)已知函数f(x)=2,12,1x x x x x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩设a ∈R ,若关于x 的不等式 f(x)≥2xa +在R 上恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A.[-2,2]【命题意图】本题考查不等式恒成立问题,题目综合了分段函数、绝对值不等式等知识点.要求考生掌握分类讨论思想,具有较强的转化能力与数形结合思想.【解析】选A.方法一:因为函数f(x)=2,12,1x x x x x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩所以,令g(x)= 2x a +=22x a +,当x=-2a 时,g(x)取最小值,最小值为0,g(x)是斜率为±12的一簇折线,当x ≥1时,函数f(x)的最小值在,最小值为所以函数f(x)和g(x)的图象如图所示,所以要使f(x)≥2xa +恒成立,当a>0时,应满足222a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩0<a ≤2;当a=0时,f(x)≥2x a +恒成立;当a<0时,应满足-a ≤2,解得-2≤a<0.综上所述,a 的取值范围是-2≤a ≤2.方法二:满足题意时f(x)的图象恒不在函数y=2xa +下方,当,函数图象如图所示,排除C,D 选项;当,函数图象如图所示,排除B 选项,二、填空题1(2017·浙江高考·T17)已知a ∈R ,函数f ()x =4x a x+-+a 在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 .【命题意图】本题主要考查基本不等式和求解绝对值不等式.【解析】当x ∈[]1,4时,x+4x ∈[]4,5. (1)当a ≥5时,f(x)=a-x-4x +a=2a-x-4x ,函数的最大值2a-4=5,所以a=92(舍去).(2)当a ≤4时,f(x)=x+4x -a+a=x+4x≤5,此时符合题意.(3)当4<a<5时,()max f x ⎡⎤⎣⎦=max {}4,5a a a a -+-+,则4545a a a aa a⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4545a a a aa a⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩解得a=92或a<92,综上可得,实数a的取值范围是9,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.答案:9,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦三、简答题1.(2017·全国丙卷·文科·T23)同(2017·全国丙卷·理科·T23)[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=│x+1│-│x-2│.(1)求不等式f(x)≥1的解集.(2)若不等式f(x)≥x2-x +m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解;当-1<x<2时,f(x)=x+1+(x-2)=2x-1,令2x-1≥1,得x≥1,所以1≤x<2,当x≥2时,f(x)=x+1-(x-2)=3,因为3>1,所以x≥2.综上所述,f(x)≥1的解集为[1,+∞).(2)原式等价于存在x∈R,使f(x)-x2+x≥m成立,即[f(x)-x2+x]max≥m,设g(x)=f(x)-x2+x,由(1)知g(x)=2223,131,123,2x xx xx xxxx⎧-+-≤-⎪⎪-+--<<⎨⎪-++≥⎪⎩当x≤-1时,g(x)=-x2+x-3,其开口向下,对称轴为x=错误！未找到引用源。
>-1,所以g(x)≤g(-1)=-5;当-1<x<2时g(x)=-x2+3x-1,其开口向下,对称轴为x=错误！未找到引用源。
,所以g(x)≤g32⎛⎫⎪⎝⎭=错误！未找到引用源。
,当x≥2时g(x)=-x2+x+3,其开口向下,对称轴为x=1 2 ,所以g(x)≤g(2)=1,综上:g(x)max=54,即m的取值范围为错误！未找到引用源。
.2.(2017·全国乙卷理科·T23)[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x-1│. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集.(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及恒成立问题的解决策略. 【解析】方法一:(1)当a=1时,f ()x =-x 2+x+4,是开口向下,对称轴x=12的二次函数.g ()x =1x ++1x -=2,12,112,1x x x x x >⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩当x ∈(1,+∞)时,令-x 2+x+4=2x,解得x=12g ()x 在(1,+∞)上单调递增,f ()x 在(1,+∞)上单调递减, 所以此时f ()x ≥g ()x解集为⎛ ⎝⎦. 当x ∈[]1,1-时,g ()x =2,f ()x ≥f ()1-=2. 当x ∈(),1-∞-时,g ()x 单调递减,f ()x 单调递增, 且g ()1-=f ()1-=2.综上所述,f ()x ≥g ()x的解集为⎡-⎢⎣⎦.(2)依题意得:-x 2+ax+4≥2在[]1,1-恒成立. 即x 2-ax-2≤0在[]1,1-恒成立.则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-≤⎪⎨----≤⎪⎩解得-1≤a ≤1. 故a 取值范围是[]1,1-.方法二:将函数g(x)=|x+1|+|x-1|化简,可得g(x)=2,12,112,1x x x x x >⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩(1)当a=1时,作出函数图象可得f(x)≥g(x)的范围在F 和G 点中间,联立224y x y x x =⎧⎨=-++⎩可得点G 1⎫⎪⎪⎝⎭,因此可得解集为⎡-⎢⎣⎦.(2)即f(x)≥g(x)在[-1,1]内恒成立,故而可得-x 2+ax+4≥2⇒x 2-2≤ax 恒成立,根据图象可得:函数y=ax 必须在l 1,l 2之间,故而可得-1≤a ≤1.3.(2017·全国乙卷文科·T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x-1│. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集.(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及恒成立问题的解决策略. 【解析】方法一:(1)当a=1时,f ()x =-x 2+x+4,是开口向下,对称轴x=12的二次函数.g ()x =1x ++1x -=2,12,112,1x x x x x >⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩当x ∈(1,+∞)时,令-x 2+x+4=2x,解得g ()x 在(1,+∞)上单调递增,f ()x 在(1,+∞)上单调递减,所以此时f ()x ≥g ()x解集为⎛ ⎝⎦. 当x ∈[]1,1-时,g ()x =2,f ()x ≥f ()1-=2. 当x ∈(),1-∞-时,g ()x 单调递减,f ()x 单调递增, 且g ()1-=f ()1-=2.综上所述,f ()x ≥g ()x的解集为⎡-⎢⎣⎦. (2)依题意得:-x 2+ax+4≥2在[]1,1-恒成立. 即x 2-ax-2≤0在[]1,1-恒成立.则只需()()2211201120a a ⎧-⋅-≤⎪⎨----≤⎪⎩解得-1≤a ≤1. 故a 取值范围是[]1,1-.方法二:将函数g(x)=|x+1|+|x-1|化简,可得g(x)=2,12,112,1x x x x x >⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩(1)当a=1时,作出函数图象可得f(x)≥g(x)的范围在F 和G 点中间,联立224y xy x x =⎧⎨=-++⎩可得点G 1⎫⎪⎪⎝⎭,因此可得解集为⎡-⎢⎣⎦.(2)即f(x)≥g(x)在[-1,1]内恒成立,故而可得-x 2+ax+4≥2⇒x 2-2≤ax 恒成立,根据图象可得:函数y=ax 必须在l 1,l 2之间,故而可得-1≤a ≤1.4.(2017·全国甲卷文·T23)[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4.(2)a+b≤2.【命题意图】不等式的证明、基本不等式的运用,意在考查学生的推理论证能力和转化与化归的思想方法.【证明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+()234a b+(a+b)=2+()334a b+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.5.(2017·全国丙卷·理科·T23)[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=│x+1│-│x-2│.(1)求不等式f(x)≥1的解集.(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)当x≤-1时,f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,无解.当-1<x<2时, f(x)=x+1+(x-2)=2x-1. 令2x-1≥1, 得x ≥1, 所以1≤x<2. 当x ≥2时, f(x)=x+1-(x-2)=3. 因为3>1, 所以x ≥2.综上所述,f ()x ≥1的解集为[1,+∞).(2)原式等价于存在x ∈R ,使f ()x -x 2+x ≥m 成立, 即()2max f x x x ⎡⎤-+⎣⎦≥m.设g(x)=f(x)-x 2+x,由(1)知g ()x =2223,131,123,2x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪-+--<<⎨⎪-++≥⎩当x ≤-1时,g ()x =-x 2+x-3,其开口向下,对称轴为x=12>-1,所以g ()x ≤g ()1-=-5. 当-1<x<2时g ()x =-x 2+3x-1, 其开口向下,对称轴为x=32, 所以g ()x ≤g 32⎛⎫⎪⎝⎭=54. 当x ≥2时g ()x =-x 2+x+3,其开口向下,对称轴为x=1 2 ,所以g()x≤g()2=1.综上:g ()maxx=54,即m的取值范围为5,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦.6.(2017·全国甲卷理科·T23).[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4.(2)a+b≤2.【命题意图】不等式的证明、基本不等式的运用,意在考查学生的推理论证能力和转化与化归的思想方法.【证明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+错误！未找到引用源。