吉林省长春市高三数学上学期期中考试 文
吉林省长春市第五中学2021届高三上学期期中考试数学(文)试题 含答案
长 春 市 第 五 中 学 长春市田家炳实验中学数 学 试 卷（文）命题人： 徐徽 考试时间： 120分钟 满分150分一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．若集合{}12A x x =∈-<<Z ，{}220B x x x =-=，则AB = （ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．1,0,1,22．设x ∈R ，“命题1:2p x >”是“命题:(12)(1)0q x x -+<”的（ ） A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若3sin 25πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，且α为第二象限角，则tan =α（ ）A ．43-B ．34- C ．43 D ．344．下列命题正确的是（ ）A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若||||a b a b +=-，则a 与b 垂直2020—2021学年度高三年级第一次调研测试D ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=5．等差数列{}n a 中，135114a a a =+=，，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．函数y =cos(4x +π3)的图象的相邻两个对称中心间的距离为（ ）A ．π8 B ．π4 C ．π2D ．π7．已知向量,a b 满足||1,a =||2b =，且a 与b 的夹角为60︒，则||=a b +( )A B C D ．8．函数的图像可由函数的图像（ ）A ．向左平移个单位得到B ．向右平移个单位得到C ．向左平移个单位得到D ．向左平移个单位得到9．二次函数243y x x =-+ 在区间(]1,4 上的值域是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(]0,3C ．[]1,3-D ．(]1,3-10．已知平面向量(1,2)a =，(2,)b k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（ ）A ．3B ．4CD ．511．函数()cos(3)f x x ϕ=-的图像关于直线4x π=对称，则ϕ的可能值为( )A ．4π-B ．3π-C ．4π D ．3π12．已知等比数列{}n a 满足123a a +=，236+=a a ，则7a =（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128二、填空题:（本大题共4个小题，每个小题5分） 13．已知sin cos 3sin cos αααα+=-，则tan α的值为_____.14．已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10，则)2(f 的值等于 ．15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1，若a 1=1，且对任意的n ∈N +，都有a n+2+a n+1−2a n =0，则S 5=16．下列说法中，正确的是______（填上所有符合条件的序号）①y=e -x在R 上为增函数 ②任取x ＞0，均有3x ＞2x③函数y=f （x ）的图象与直线x=a 可能有两个交点 ④y=2|x|的最小值为1；⑤与y=3x的图象关于直线y=x 对称的函数为y=log 3x ．三、解答题:（17题10分，其余都是12分，共70分）17．已知函数()22sin .f x x x +(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间； (Ⅱ)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()2*114n n S a n N =+∈. （1）求1a 、2a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列.19．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求A ；（2）若,b c 成等差数列，ABC ∆的面积为a ． 20．已知函数32()1f x x ax x =+++，（a ∈R ） （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）设函数()f x 在区间21()33--，内是减函数，求a 的取值范围． 21．已知数列{}n a 满足11a =，()11123n n na n a n +-+=+++⋅⋅⋅+． （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若1n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 22．己知函数()sin 5xf x e a x bx =-+++，a ，b R ∈.（1）当1a =，0b =时，证明：()f x 在()0,∞+上单调递减； （2）当0a =时，讨论()f x 的极值.参考答案1．C 【解析】 【分析】化简集合，再求并集即可. 【详解】{0,1},{0,2}A B =={0,1,2}A B ∴=故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果. 【详解】由(12)(1)0x x -+<，则1x <-或12x >所以“12x >”可推出“1x <-或12x >” 但“1x <-或12x >”不能推出“12x >”故命题p是命题q充分且不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题.3．A【解析】【分析】由已知利用诱导公式，求得cosα，进一步求得sinα，再利用三角函数的基本关系式，即可求解．【详解】由题意3sin()25πα+=-，得3cos5α=-Ⅰ又由α为第二象限角，所以24sin1cos5ααⅠ所以sintans43coααα==-ⅠⅠⅠA.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题Ⅰ4．C【解析】【分析】题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除得解．【详解】A ，向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A 不对；B ，B 选项对三个非零向量是正确的，若b 是零向量，,a c 是非零向量时，显然a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线不一定成立．故选项B 错误；C ，由题得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，故C 选项是正确的．D ，若a 与b 都是单位向量，则·1a b =不一定成立，当两者垂直时，数量积为零．所以选项D 错误. 故选：C ． 【点睛】本题考点是向量的共线与相等，考查向量的数量积，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答． 5．B 【解析】 【分析】由3514a a +=可知47a =，结合11a =可求出2d = 【详解】3514a a +=，4214a ∴= 即47a =4123a a d -∴== 故选：B 【点睛】本题考查等差中项、等差数列通项解决等差数列基本量计算问题利用方程的思想.等差数列中有五个量1n n a n a S ，，d ，，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量1a 和d ；,,a A b 成等差数列2A a b ⇔=+. 6．B 【解析】试题分析：两个对称中心间的距离是半周期，为12T =12⋅2π4=π4.考点：三角函数图象与性质. 7．A 【解析】 【分析】先由向量数量积的运算可得cos 601a b a b ⋅==，再结合向量模的运算即可得解.【详解】解：因为向量,a b 满足||1,a =||2b =，且a 与b 的夹角为60︒，所以1cos 601212a b a b ⋅==⨯⨯=，所以22||=24a b a a b b ++⋅+=+=，故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量模的运算，属基础题. 8．A【解析】试题分析：因为1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭可化为12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．所以将向左平移．可得到12sin23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ．本小题关键是考查1ω≠的三角函数的平移，将0x ωϕ+=时的x 的值，与0x =是对比．即可知道是向左还是向右，同时也可以知道移了多少单位．考点：1．三角函数的平移．2．类比的思想． 9．C 【解析】 【分析】利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性质，求得函数在区间(]1,4上的值域. 【详解】由于()221y x =--，函数的对称轴为2x =，开口向上，所以当2x =时函数有最小值为1-，当4x =时，函数有最大值为3，所以函数在区间(]1,4 上的值域为[]1,3-.故选：C 【点睛】本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，可求得k ，进一步可得3a b +，最后利用向量模的坐标表示，可得结果. 【详解】∵a 与b 共线∴12(2)04k k ⨯-⨯-=⇒=-，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=， 故应选：C 【点睛】本题主要考查向量共线以及向量模的坐标表示，属基础题. 11．A 【解析】 【分析】 由题得3,4k k Z πϕπ⋅-=∈,给k 取值即得解.【详解】 由题得3,4k k Z πϕπ⋅-=∈,k=1时，=4.故选：A 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．C 【解析】 【分析】由条件求出1a 和q 即可. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，236+=a a ，123a a +=， 所以()2312a a q a a +=+，即63q =，所以2q所以12133a a a +==，所以11a =所以6671264a a q === 故选：C 【点睛】本题考查的是等比数列的基本运算，较简单. 13．2 【解析】 【分析】将sin cos 3sin cos αααα+=-等式左边分子、分母同时除以cos α即可得解.【详解】解：由sin cos 3sin cos αααα+=-，等式左边分子、分母同时除以cos α得：tan 13tan 1αα+=-，解得：tan 2α=，故答案为：2. 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题. 14．18 【解析】试题分析：由题意得2()32f x x ax b '=++，且()()10,110f f '==，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得4,11a b ==-或3,3a b =-=，当3,3a b =-=时，此时22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，函数无极值；当4,11a b ==-时，32()41116f x x x x =+-+，则(2)8f =. 考点：导数与函数极值的关系.【方法点晴】本题主要考查了导数与函数极值的关系，其中解答中涉及到导数的运算，函数的极值点与导数的关系，利用导数研究函数的极值点与极值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较基础，属于基础题题，本题的解答中根据题设条件，列出方程求的,a b 的值是解答的关键. 15．：11 【解析】：设公比为q ，由a n+2+a n+1−2a n =0得a n q 2+a n q −2a n =0所以q =−2 则S 5=1[1−(−2)5]1−(−2)=11【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式，以及求和，做题时要细心．16．②④⑤ 【解析】 【分析】由指数函数的单调性，可判断①；由指数函数的单调性可判断②；由函数的定义可判断③；由指数函数的单调性及奇偶性可判断④；由指数函数和对数函数互为反函数，可判断⑤． 【详解】解：对于①，xy e -=在R 上为减函数，故①错；对于②，任取0x >，均有32x x >，故②正确；对于③，函数()y f x =的图象与直线x a =最多有一个交点，故③错；对于④，||2x y =，由||0x ，可得1y ，可得y 的最小值为1，此时0x =，故④正确；对于⑤，与3xy =的图象关于直线y x =对称的函数为3log y x =，故⑤正确．故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查函数的单调性和最值，以及对称性，奇偶性，考查运算能力，属于基础题．17．(Ⅰ)最小正周期T π=，单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；(Ⅱ)3.【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简()2216f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式计算得()f x 的最小正周期，由222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈可解得函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)由x 的范围求出26x π-的范围，进一步求出sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，从而可得结果． 【详解】(Ⅰ()2)2sin 1cos2f x x x x x +=+-12cos212sin 2126x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期22T ππ==， 令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，得63k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，()f x ∴的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；(Ⅱ)0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的最大值为2， ()2216f x sin x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3．【点睛】本题考查正弦函数的周期性及单调性，考查了正弦函数的值域，属于基础题．函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间； 18．（1）11a =，23a =；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）直接在数列递推式中取1,2n =即可求1a 、2a（2）在数列递推式中将n 换成1n -，得另一递推式后作差，整理即可证明数列{}n a 是等差数列 【详解】（1）由已知条件得：()211114a a =+.∴11a =. 又有()2122114a a a +=+，即222230a a --=. 解得21a =-（舍）或23a =.（2）由()2114n n S a =+得 2n ≥时：()211114n n S a --=+， ∴()()22111114n n n n S S a a --⎡⎤-=+-+⎣⎦ ()2211124n n n n a a a a --⎡⎤=-+-⎣⎦， 即2211422n n n n n a a a a a --=-+-，∴2211220n n n n a a a a ---+-=，∴()()1120n n n n a a a a ----+=，∴120n n a a ---=即()122n n a a n --=≥， 经过验证1n =也成立，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列. 【点睛】本题考查的是用定义证明等差数列及n a 与n S 的关系，属于基础题.19．（1）3π； （2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin （A +3π），结合范围A Ⅰ（0，π），即可计算求解A 的值Ⅰ（2）利用等差数列的性质可得b ，利用三角形面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值． 【详解】Ⅰ1ⅠⅠasinB=bsinⅠA+3πⅠⅠ Ⅰ由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin （A +3πⅠⅠ ⅠsinB≠0Ⅰ ⅠsinA=sinⅠA+3πⅠⅠ ⅠAⅠ（0，π），可得：A +A+3π=πⅠ ⅠA=3πⅠ，c 成等差数列，ⅠⅠⅠABC 的面积为S △ABC =12Ⅰ123bc sin π⨯⨯bc=8，Ⅰ由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2Ⅰ2bccosA=Ⅰb+cⅠ2Ⅰ2bcⅠ2bccos3π=Ⅰb+cⅠ22Ⅰ24ⅠⅠ解得： 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．解：（1）2()321f x x ax +'=+2412a ∆=-…………………………………………………………………1分当0∆≤时，即a ≤≤()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞上递增；…………………………………………………3分当0∆>时，即a <a >()0f x '>，由()0f x '=求得两根为x =分即()f x 在(-∞和)+∞上递增；在(33a a --+，上递减，………………………………6分∴()f x 的单调递增区间是：当a ≤≤(,)-∞+∞当a ≤a ≥(-∞和)+∞()f x 的单调递减区间是：当a ≤a ≥()33a a --+，………………7分（2）（法一）由（1）知()f x在区间()33a a --+，上递减，Ⅰ只要21()33--⊆，Ⅰ232{33133a a a ≥-≤--+≥-解得：2a ≥． 22213210(,33()321,242()3210393{111()3210393x ax g x x ax g a g a ++≤=++≤⨯⨯+≤=⨯⨯+≤（法二）只需在区间－－）上恒成立令只需：－－－－………9分 7 {? 42a a ≥∴≥……………………………………………………………12分 2a ∴≥[2,)a ∴+∞的取值范围为……………………………………………………14分【解析】（1）32()1f x x ax x =+++；（2）74a ≥（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax +'=+当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为x =即()f x在3a ⎛--∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭递增（2）23{133a ≤--+≥-，且23a >解得：74a ≥21．(1)见解析；（2）21n nS n =+. 【解析】 【分析】（1）由()1(1)12n n n n na n a ++-+=变形可得1112n n a a n n +-=+，由此可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（2）由（1）得到()12n n n a +=，进而得到()2112()11n b n n n n ==-++，然后利用列项相消法求和即可．【详解】（1）∵()()1111232n n n n na n a n ++-+=+++⋅⋅⋅+=，∴()()()11111112n n n n n a na a a n n n n n n +++-=-=+++， 又11a =，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，公差为12的等差数列． （2）由（1）知()111122n a n n n +=+-=， ∴()12n n n a +=． ∴()1211211n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴1211111122121223111n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 22．（1）证明见解析；（2）0b >时，极大值()ln ln 5f b b b b =-++，无极小值；0b ≤时，无极值.【解析】【分析】（1）求导数，根据导数符号证明结果；（2）求导数，根据导函数是否变号、导函数符号变化规律讨论与判断极值.【详解】（1）当1a =，0b =时，()()sin 5cos x xf x e x f x e x '=-++∴=-+()()cos 0,01x x f e e x x x ∈+∞∴-<-∴'=-+<，即()f x 在()0,∞+上单调递减；（2）当0a =时，()()5x xf x e bx f x e b '=-++∴=-+ 当0b ≤时()0xf x e b '=-+<，此时()f x 无极值； 当0b >时，()0ln x f x e b x b '=-+=⇒=，当ln x b <时，()0f x '>，当ln x b >时，()0f x '<，因此()f x 有极大值()ln ln 5f b b b b =-++，无极小值；综上：0b >时，()f x 有极大值()ln ln 5f b b b b =-++，无极小值；0b ≤时，()f x 无极值.【点睛】本题考查利用导数证单调性、利用导数研究函数极值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.。
长春市高三上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
长春市高三上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高二上·上海期中) 定义集合运算：A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．2. （1分） (2017高一下·磁县期末) 设函数，则不等式f（x）＜2的解集为________．3. （1分）已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________.4. （1分）(2017·房山模拟) 已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为________．5. （1分）已知＜1，则a的取值范围是________．6. （1分） (2017高一上·南山期末) 下列命题中①若loga3＞logb3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有________7. （1分）若函数y=cos（ωx﹣）（ω＞0）最小正周期为，则ω=________．8. （1分） (2017高一下·淮安期末) 已知△ABC中，AB= ，BC=1，A=30°，则AC=________．9. （1分） (2016高一下·揭西开学考) 曲线y=ex+3x在x=0处的切线方程为________．10. （1分）圆（x﹣3）2+（y+1）2=1关于直线x+y﹣3=0对称的圆的标准方程是________．11. （1分）函数f（x）= ，x∈[1，4]的最小值是________．12. （1分） (2016高一下·齐河期中) 关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜﹣2或x＞﹣ }，则关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为________．13. （1分） (2018高二下·泰州月考) 函数的单调递增区间为________.14. （1分） (2016高一上·清河期中) 方程lgx=4﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=________二、解答题 (共11题；共90分)15. （10分） (2016高一下·桐乡期中) 已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos（x+ ）cos（x﹣）．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）设α∈（0，π），f（）= ，求sinα的值．16. （10分） (2016高二上·长沙开学考) 在△ABC中，．（1）求的值；（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．17. （10分）(2017·陆川模拟) 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且三个内角A，B，C满足A+C=2B．（1）若b=2，求△ABC的面积的最大值，并判断取最大值时三角形的形状；（2）若，求的值．18. （5分）已知抛物线C：y2=4x（1）抛物线C上有一动点P，当P到C的准线与到点Q（7，8）的距离之和最小时，求点P的坐标；（2）是否存在直线l：y=kx+b与C交于A、B两个不同的点，使OA与OB（O为坐标原点）所在直线的倾斜角互补，如果存在，试确定k与b的关系，如果不存在，请说明理由．19. （5分）已知A，B两地相距100km．按交通法规规定：A，B两地之间的公路上车速要求不低于60km/h 且不高于100km/h．假设汽车以xkm/h速度行驶时，每小时耗油量为（）升，汽油的价格是6元/升，司机每小时的工资是24元．（1）若汽车从A地以64km/h的速度匀速行驶到B地，需耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从A地到B地的总费用最低？20. （10分）若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值﹣．（1）求函数的解析式；（2）若方程f（x）=k有3个不同的根，求实数k的取值范围．21. （5分）(2017·东台模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A= 对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1 ．22. （10分）(2017·达州模拟) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．23. （5分）（Ⅰ）设函数f（x）=|x﹣|+|x+a|（a＞0）．证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，求证：|x+2y+z|≤3．24. （10分） (2015高二上·集宁期末) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ．（1）求证：AB⊥PC；（2）求二面角B一PC﹣D的余弦值．25. （10分） (2017高二下·红桥期末) 已知（3x+ ）n的展开式中各二项式系数之和为16．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中x项的系数．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共11题；共90分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、第11 页共11 页。
长春市高三上学期期中数学试卷(理科)B卷精编
长春市高三上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·尼勒克期中) 集合A={x∈N|0＜x＜4}的子集个数为（）A . 3B . 4C . 7D . 82. （2分）已知，则是成立的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）设是等比数列的前n项和，，则等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·枣阳开学考) cos4 ﹣sin4 =（）A . 0B .C . 1D . ﹣5. （2分）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6 ， S6＝S7＞S8 ，则下列结论错误的是（）A . d＜0B . a7＝0C . S9＞S5D . S6与S7均为Sn的最大值6. （2分）已知平面向量，且满足。
若，则（）A . z有最大值-2B . z有最小值-2C . z有最大值-3D . z有最小值-37. （2分） (2016高一上·涞水期中) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）A .B .C .D .8. （2分）两个数4和9的等比中项是（）A . 6B . ±6C .D . ±9. （2分） (2015高三上·秦安期末) 变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A .B .C .D . 510. （2分）下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A . y=tanxB . y=|sinx|C . y=cosxD . y=|cosx|11. （2分） (2019高一下·湖州月考) 在中, ,则角的大小为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·双流期中) 已知命题：p：函数y=x2-x-1有两个不同的零点：命题q：函数y=cosx 的图象关于直线x= 对称．在下列四个命题中，真命题是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·启东期末) 设向量 =（k，2）， =（1，﹣1），且∥ ，则实数k的值为________．14. （1分） (2019高二上·上杭期中) 已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，若恒成立，则实数m的取值范围为________．15. （1分） (2018高二下·济宁期中) 若方程恰有一个实数解，则实数的取值集合为________．16. （1分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 若数列{an}的前n项和为Sn= an+ ，则数列{an}的通项公式是an=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2016高三上·南通期中) 已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．18. （5分） (2017高三上·泰安期中) 已知数列{an}的首项为a1=2，且满足a1+a2+…+an﹣an+1=﹣2．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足，求数列{anbn}的前n项和Tn ．19. （10分）(2017高三下·深圳模拟) 的内角的对边分别为，已知．（1）求∠；（2）若，求的面积的最大值．20. （10分）已知函数（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）求f（x）在区间上的最小值．21. （10分） (2018高三上·云南月考) 已知点P是抛物线C:上任意一点，过点P作直线PH⊥x轴，点H为垂足.点M是直线PH上一点，且在抛物线的内部，直线l过点M交抛物线C于A、B两点，且点M是线段AB 的中点.（1）证明：直线l平行于抛物线C在点P处切线；（2）若|PM|= ,当点P在抛物线C上运动时，△PAB的面积如何变化？22. （10分） (2017高二下·肇庆期末) 在直角坐标系xOy 中，已知圆C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线l的极坐方程是，射线OM：θ= 与圆的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23. （5分）若函数f（x）=|x﹣1|+2|x﹣a|．（I）当a=1时，解不等式f（x）＜5；（II）f（x）的最小值为5，求实数a的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
吉林省长春市第五中学2021届上学期高三年级期中考试数学试卷(文科)
吉林省长春市第五中学2021届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）考试时间： 120分钟 满分150分一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．若集合{}12A x x =∈-<<Z ，{}220B x x x =-=，则A B = （ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．1,0,1,22．设x ∈R ，“命题1:2p x >”是“命题:(12)(1)0q x x -+<”的（ ） A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若3sin 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且α为第二象限角，则tan =α（ ）A ．43-B ．34-C ．43 D ．344．下列命题正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若||||a b a b +=-，则a 与b 垂直D ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=5．等差数列{}n a 中，135114a a a =+=，，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．函数y =cos(4x +π3)的图象的相邻两个对称中心间的距离为（ ） A ．π8 B ．π4 C ．π2D ．π7．已知向量,a b 满足||1,a =||2b =，且a 与b 的夹角为60︒，则||=a b +A B C ．8．函数的图像可由函数的图像（ ）A ．向左平移个单位得到B ．向右平移个单位得到C ．向左平移个单位得到D ．向左平移个单位得到9．二次函数243y x x =-+ 在区间(]1,4 上的值域是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(]0,3C ．[]1,3-D ．(]1,3- 10．已知平面向量(1,2)a =，(2,)b k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（ ）A ．3B ．4C ．5 11．函数()cos(3)f x x ϕ=-的图像关于直线4x π=对称，则ϕ的可能值为A ．4π-B ．3π-C ．4π D ．3π12．已知等比数列{}n a 满足123a a +=，236+=a a ，则7a =（ ） A ．16B ．32C ．64D ．128二、填空题:（本大题共4个小题，每个小题5分） 13．已知sin cos 3sin cos αααα+=-，则tan α的值为_____14．已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10，则)2(f 的值等于 ．15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1，若a 1=1，且对任意的n ∈N +，都有a n+2+a n+1−2a n =0，则S 5=16．下列说法中，正确的是______（填上所有符合条件的序号） ①y=e -在R 上为增函数 ②任取＞0，均有3＞2③函数y=f （）的图象与直线=a 可能有两个交点 ④y=2||的最小值为1；⑤与y=3的图象关于直线y=对称的函数为y=log 3． 三、解答题:（17题10分，其余都是12分，共70分）17．已知函数()22sin .f x x x =+(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间； (Ⅱ)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()2*114n n S a n N =+∈ （1）求1a 、2a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列19．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求A ；（2）若,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为a ．20．已知函数32()1f x x ax x =+++，（a ∈R ） （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间21()33--，内是减函数，求a 的取值范围． 21．已知数列{}n a 满足11a =，()11123n n na n a n +-+=+++⋅⋅⋅+． （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）若1n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 22．己知函数()sin 5xf x e a x bx =-+++，a ，b R ∈ （1）当1a =，0b =时，证明：()f x 在()0,∞+上单调递减； （2）当0a =时，讨论()f x 的极值参考答案一、选择题 1．C【解析】化简集合，再求并集即可 【详解】{0,1},{0,2}A B =={0,1,2}A B ∴=故选：C【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题 2．A【解析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果 【详解】由(12)(1)0x x -+<，则1x <-或12x > 所以“12x >”可推出“1x <-或12x >” 但“1x <-或12x >”不能推出“12x >” 故命题p 是命题q 充分且不必要条件 故选：A【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题 3．A【解析】由已知利用诱导公式，求得cos α，进一步求得sin α，再利用三角函数的基本关系式，即可求解． 【详解】 由题意3sin()25πα+=-，得3cos 5α=-， 又由α为第二象限角，所以24sin 1cos 5αα， 所以sin tan s 43co ααα==-．故选A 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．C【解析】题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除得解． 【详解】A ，向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A 不对；B ，B 选项对三个非零向量是正确的，若b 是零向量，,a c 是非零向量时，显然a 与b 共线， b 与c 共线，则a与c 共线不一定成立．故选项B 错误；C ，由题得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，故C 选项是正确的．D ，若a 与b 都是单位向量，则·1a b =不一定成立，当两者垂直时，数量积为零．所以选项D 错误 故选：C ．【点睛】本题考点是向量的共线与相等，考查向量的数量积，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答． 5．B【解析】由3514a a +=可知47a =，结合11a =可求出2d = 【详解】3514a a +=，4214a ∴= 即47a =4123a a d -∴== 故选：B【点睛】本题考查等差中项、等差数列通项解决等差数列基本量计算问题利用方程的思想等差数列中有五个量1n n a n a S ，，d ，，一般可以“知三求二”，通过列方程组求关键量1a 和d ；,,a A b 成等差数列2A a b ⇔=+ 6．B【解析】试题分析：两个对称中心间的距离是半周期，为12T =12⋅2π4=π4考点：三角函数图象与性质 7．A【解析】先由向量数量积的运算可得cos 601a b a b ⋅==，再结合向量模的运算即可得解 【详解】解：因为向量,a b 满足||1,a =||2b =，且a 与b 的夹角为60︒， 所以1cos 601212a b a b ⋅==⨯⨯=， 所以22||=24a b a a b b ++⋅+=+=，故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量模的运算，属基础题 8．A【解析】试题分析：因为1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可化为12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．所以将向左平移．可得到12sin23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ．本小题关键是考查1ω≠的三角函数的平移，将0x ωϕ+=时的x 的值，与0x =是对比．即可知道是向左还是向右，同时也可以知道移了多少单位．考点：1．三角函数的平移．2．类比的思想． 9．C【解析】利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性质，求得函数在区间(]1,4上的值域 【详解】由于()221y x =--，函数的对称轴为2x =，开口向上，所以当2x =时函数有最小值为1-，当4x =时，函数有最大值为3，所以函数在区间(]1,4 上的值域为[]1,3- 故选：C【点睛】本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法，属于基础题 10．C【解析】根据向量共线的坐标表示，可求得k ，进一步可得3a b +，最后利用向量模的坐标表示，可得结果 【详解】 ∵a 与b 共线∴12(2)04k k ⨯-⨯-=⇒=-， ∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=， 故应选：C【点睛】本题主要考查向量共线以及向量模的坐标表示，属基础题 11．A 【解析】 由题得3,4k k Z πϕπ⋅-=∈,给取值即得解【详解】 由题得3,4k k Z πϕπ⋅-=∈,=1时，=4故选：A【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 12．C【解析】由条件求出1a 和q 即可 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，236+=a a ，123a a +=， 所以()2312a a q a a +=+，即63q =，所以2q所以12133a a a +==，所以11a = 所以6671264a a q ===故选：C【点睛】本题考查的是等比数列的基本运算，较简单 二、填空题 13．2 【解析】 将sin cos 3sin cos αααα+=-等式左边分子、分母同时除以cos α即可得解【详解】 解：由sin cos 3sin cos αααα+=-，等式左边分子、分母同时除以cos α得：tan 13tan 1αα+=-，解得：tan 2α=，故答案为：2【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题 14．18 【解析】试题分析：由题意得2()32f x x ax b '=++，且()()10,110f f '==，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得4,11a b ==-或3,3a b =-=，当3,3a b =-=时，此时22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，函数无极值；当4,11a b ==-时，32()41116f x x x x =+-+，则(2)8f = 考点：导数与函数极值的关系【方法点晴】本题主要考查了导数与函数极值的关系，其中解答中涉及到导数的运算，函数的极值点与导数的关系，利用导数研究函数的极值点与极值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较基础，属于基础题题，本题的解答中根据题设条件，列出方程求的,a b 的值是解答的关键 15．11 【解析】：设公比为q ，由a n+2+a n+1−2a n =0得a n q 2+a n q −2a n =0所以q =−2 则S 5=1[1−(−2)5]1−(−2)=11【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式，以及求和，做题时要细心． 16．②④⑤ 【解析】由指数函数的单调性，可判断①；由指数函数的单调性可判断②；由函数的定义可判断③；由指数函数的单调性及奇偶性可判断④；由指数函数和对数函数互为反函数，可判断⑤． 【详解】解：对于①，xy e -=在R 上为减函数，故①错；对于②，任取0x >，均有32x x >，故②正确；对于③，函数()y f x =的图象与直线x a =最多有一个交点，故③错；对于④，||2x y =，由||0x ，可得1y ，可得y 的最小值为1，此时0x =，故④正确； 对于⑤，与3x y =的图象关于直线y x =对称的函数为3log y x =，故⑤正确． 故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查函数的单调性和最值，以及对称性，奇偶性，考查运算能力，属于基础题． 三、解答题17．(Ⅰ)最小正周期T π=，单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；(Ⅱ)3【解析】(Ⅰ)利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简()2216f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式计算得()f x 的最小正周期，由222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈可解得函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)由x 的范围求出26x π-的范围，进一步求出sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得结果． 【详解】(Ⅰ()2)2sin 1cos2f x x x x x =+=+-12cos212sin 21226x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期22T ππ==， 令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，得63k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，()f x ∴的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；(Ⅱ)0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为2，()2216f x sin x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3．【点睛】本题考查正弦函数的周期性及单调性，考查了正弦函数的值域，属于基础题．函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；18．（1）11a =，23a =；（2）见解析 【解析】（1）直接在数列递推式中取1,2n =即可求1a 、2a（2）在数列递推式中将n 换成1n -，得另一递推式后作差，整理即可证明数列{}n a 是等差数列 【详解】（1）由已知条件得：()211114a a =+∴11a = 又有()2122114a a a +=+，即222230a a --= 解得21a =-（舍）或23a = （2）由()2114n n S a =+得 2n ≥时：()211114n n S a --=+， ∴()()22111114n n n n S S a a --⎡⎤-=+-+⎣⎦ ()2211124n n n n a a a a --⎡⎤=-+-⎣⎦， 即2211422n n n n n a a a a a --=-+-， ∴2211220n n n n a a a a ---+-=，∴()()1120n n n n a a a a ----+=，∴120n n a a ---=即()122n n a a n --=≥， 经过验证1n =也成立，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列【点睛】本题考查的是用定义证明等差数列及n a 与n S 的关系，属于基础题19．（1）3π； （2）【解析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin （A3π），结合范围A ∈（0，π），即可计算求解A 的值；（2）利用等差数列的性质可得，利用三角形面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值． 【详解】（1）∵asinB=bsin （A3π）． ∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin （A 3π）． ∵sinB≠0， ∴sinA=sin （A3π）． ∵A ∈（0，π），可得：AA3π=π， ∴A=3π．（2）∵b a ，c 成等差数列，∴，∵△ABC 的面积为S △ABC =12，∴123bc sin π⨯⨯bc=8， ∴由余弦定理可得：a 2=b 2c 2﹣2bccosA=（bc ）2﹣2bc ﹣2bccos 3π=（bc ）2﹣3bc=）2﹣24，∴解得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．解：（1）2()321f x x ax +'=+2412a ∆=-………………………………………1分当0∆≤时，即a ≤≤()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞上递增；…………………………………3分当0∆>时，即a <a >()0f x '>，由()0f x '=求得两根为x =分即()f x 在(3a --∞，和()3a -++∞上递增；在上递减，………………………6分 ∴()f x的单调递增区间是：当a ≤≤(,)-∞+∞当a ≤a ≥(-∞和)+∞ ()f x 的单调递减区间是：当a ≤a ≥………7分 （2）（法一）由（1）知()f x在区间上递减， ∴只要21()33--⊆，(33a a --+，∴232{33133a a a ≥-≤--≥-解得：2a ≥．22213210(,33()321,242()3210393{111()3210393x ax g x x ax g a g a ++≤=++≤⨯⨯+≤=⨯⨯+≤（法二）只需在区间－－）上恒成立令只需：－－－－………9分 7 {? 42a a ≥∴≥…………………………………12分2a ∴≥[2,)a ∴+∞的取值范围为………………………………14分【解析】（1）32()1f x x ax x =+++；（2）74a ≥（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax +'=+当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -±=即()f x在3a ⎛--∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭递增 （2）23{133a ≤--+≥-，且23a >解得：74a ≥ 21．1见解析；（2）21n n S n =+ 【解析】 （1）由()1(1)12n n n n na n a ++-+=变形可得1112n n a a n n +-=+，由此可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（2）由（1）得到()12n n n a +=，进而得到()2112()11n b n n n n ==-++，然后利用列项相消法求和即可． 【详解】（1）∵()()1111232n n n n na n a n ++-+=+++⋅⋅⋅+=，∴()()()11111112n n n n n a na a a n n n n n n +++-=-=+++， 又11a =， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，公差为12的等差数列． （2）由（1）知()111122n a n n n +=+-=， ∴()12n n n a +=． ∴()1211211n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴1211111122121223111n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】用裂项法求和的裂项原则及规律1裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．22．（1）证明见解析；（2）0b >时，极大值()ln ln 5f b b b b =-++，无极小值；0b ≤时，无极值【解析】（1）求导数，根据导数符号证明结果；（2）求导数，根据导函数是否变号、导函数符号变化规律讨论与判断极值【详解】（1）当1a =，0b =时，()()sin 5cos x xf x e x f x e x '=-++∴=-+ ()()cos 0,01x x f e e x x x ∈+∞∴-<-∴'=-+<，即()f x 在()0,∞+上单调递减；（2）当0a =时，()()5x xf x e bx f x e b '=-++∴=-+ 当0b ≤时()0x f x e b '=-+<，此时()f x 无极值；当0b >时，()0ln x f x e b x b '=-+=⇒=，当ln x b <时，()0f x '>，当ln x b >时，()0f x '<，因此()f x 有极大值()ln ln 5f b b b b =-++，无极小值；综上：0b >时，()f x 有极大值()ln ln 5f b b b b =-++，无极小值；0b ≤时，()f x 无极值【点睛】本题考查利用导数证单调性、利用导数研究函数极值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题。
吉林长春第五中学高三上学期期中考试数学(文)试题含答案
长 春 市 第 五 中 学 长春市田家炳实验中学数 学 试 卷（文）命题人： 徐徽 考试时间： 120分钟 满分150分一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．若集合{}12A x x =∈-<<Z ，{}220B x x x =-=，则AB = （ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．1,0,1,22．设x ∈R ，“命题1:2p x >”是“命题:(12)(1)0q x x -+<”的（ ） A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若3sin 25πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，且α为第二象限角，则tan =α（ ）A ．43-B ．34- C ．43 D ．344．下列命题正确的是（ ）A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若||||a b a b +=-，则a 与b 垂直2020—2021学年度高三年级第一次调研测试D ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=5．等差数列{}n a 中，135114a a a =+=，，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．函数y =cos(4x +π3)的图象的相邻两个对称中心间的距离为（ ）A ．π8 B ．π4 C ．π2D ．π7．已知向量,a b 满足||1,a =||2b =，且a 与b 的夹角为60︒，则||=a b +( )A B C D ．8．函数的图像可由函数的图像（ ）A ．向左平移个单位得到B ．向右平移个单位得到C ．向左平移个单位得到D ．向左平移个单位得到9．二次函数243y x x =-+ 在区间(]1,4 上的值域是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(]0,3C ．[]1,3-D ．(]1,3-10．已知平面向量(1,2)a =，(2,)b k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（ ）A ．3B ．4CD ．511．函数()cos(3)f x x ϕ=-的图像关于直线4x π=对称，则ϕ的可能值为( )A ．4π-B ．3π-C ．4π D ．3π12．已知等比数列{}n a 满足123a a +=，236+=a a ，则7a =（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128二、填空题:（本大题共4个小题，每个小题5分） 13．已知sin cos 3sin cos αααα+=-，则tan α的值为_____.14．已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10，则)2(f 的值等于 ．15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1，若a 1=1，且对任意的n ∈N +，都有a n+2+a n+1−2a n =0，则S 5=16．下列说法中，正确的是______（填上所有符合条件的序号）①y=e -x在R 上为增函数 ②任取x ＞0，均有3x ＞2x③函数y=f （x ）的图象与直线x=a 可能有两个交点 ④y=2|x|的最小值为1；⑤与y=3x的图象关于直线y=x 对称的函数为y=log 3x ．三、解答题:（17题10分，其余都是12分，共70分）17．已知函数()22sin .f x x x +(Ⅰ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间； (Ⅱ)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()2*114n n S a n N =+∈. （1）求1a 、2a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列.19．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求A ；（2）若,b c 成等差数列，ABC ∆的面积为a ． 20．已知函数32()1f x x ax x =+++，（a ∈R ） （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）设函数()f x 在区间21()33--，内是减函数，求a 的取值范围． 21．已知数列{}n a 满足11a =，()11123n n na n a n +-+=+++⋅⋅⋅+． （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若1n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 22．己知函数()sin 5xf x e a x bx =-+++，a ，b R ∈.（1）当1a =，0b =时，证明：()f x 在()0,∞+上单调递减； （2）当0a =时，讨论()f x 的极值.参考答案1．C 【解析】 【分析】化简集合，再求并集即可. 【详解】{0,1},{0,2}A B =={0,1,2}A B ∴=故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果. 【详解】由(12)(1)0x x -+<，则1x <-或12x >所以“12x >”可推出“1x <-或12x >” 但“1x <-或12x >”不能推出“12x >”故命题p是命题q充分且不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题.3．A【解析】【分析】由已知利用诱导公式，求得cosα，进一步求得sinα，再利用三角函数的基本关系式，即可求解．【详解】由题意3sin()25πα+=-，得3cos5α=-Ⅰ又由α为第二象限角，所以24sin1cos5ααⅠ所以sintans43coααα==-ⅠⅠⅠA.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题Ⅰ4．C【解析】【分析】题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除得解．【详解】A ，向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A 不对；B ，B 选项对三个非零向量是正确的，若b 是零向量，,a c 是非零向量时，显然a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线不一定成立．故选项B 错误；C ，由题得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，故C 选项是正确的．D ，若a 与b 都是单位向量，则·1a b =不一定成立，当两者垂直时，数量积为零．所以选项D 错误. 故选：C ． 【点睛】本题考点是向量的共线与相等，考查向量的数量积，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答． 5．B 【解析】 【分析】由3514a a +=可知47a =，结合11a =可求出2d = 【详解】3514a a +=，4214a ∴= 即47a =4123a a d -∴== 故选：B 【点睛】本题考查等差中项、等差数列通项解决等差数列基本量计算问题利用方程的思想.等差数列中有五个量1n n a n a S ，，d ，，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量1a 和d ；,,a A b 成等差数列2A a b ⇔=+. 6．B 【解析】试题分析：两个对称中心间的距离是半周期，为12T =12⋅2π4=π4.考点：三角函数图象与性质. 7．A 【解析】 【分析】先由向量数量积的运算可得cos 601a b a b ⋅==，再结合向量模的运算即可得解.【详解】解：因为向量,a b 满足||1,a =||2b =，且a 与b 的夹角为60︒，所以1cos 601212a b a b ⋅==⨯⨯=，所以22||=24a b a a b b ++⋅+=+=，故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量模的运算，属基础题. 8．A【解析】试题分析：因为1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭可化为12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．所以将向左平移．可得到12sin23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ．本小题关键是考查1ω≠的三角函数的平移，将0x ωϕ+=时的x 的值，与0x =是对比．即可知道是向左还是向右，同时也可以知道移了多少单位．考点：1．三角函数的平移．2．类比的思想． 9．C 【解析】 【分析】利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性质，求得函数在区间(]1,4上的值域. 【详解】由于()221y x =--，函数的对称轴为2x =，开口向上，所以当2x =时函数有最小值为1-，当4x =时，函数有最大值为3，所以函数在区间(]1,4 上的值域为[]1,3-.故选：C 【点睛】本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，可求得k ，进一步可得3a b +，最后利用向量模的坐标表示，可得结果. 【详解】∵a 与b 共线∴12(2)04k k ⨯-⨯-=⇒=-，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=， 故应选：C 【点睛】本题主要考查向量共线以及向量模的坐标表示，属基础题. 11．A 【解析】 【分析】 由题得3,4k k Z πϕπ⋅-=∈,给k 取值即得解.【详解】 由题得3,4k k Z πϕπ⋅-=∈,k=1时，=4.故选：A 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．C 【解析】 【分析】由条件求出1a 和q 即可. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，236+=a a ，123a a +=， 所以()2312a a q a a +=+，即63q =，所以2q所以12133a a a +==，所以11a =所以6671264a a q === 故选：C 【点睛】本题考查的是等比数列的基本运算，较简单. 13．2 【解析】 【分析】将sin cos 3sin cos αααα+=-等式左边分子、分母同时除以cos α即可得解.【详解】解：由sin cos 3sin cos αααα+=-，等式左边分子、分母同时除以cos α得：tan 13tan 1αα+=-，解得：tan 2α=，故答案为：2. 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题. 14．18 【解析】试题分析：由题意得2()32f x x ax b '=++，且()()10,110f f '==，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得4,11a b ==-或3,3a b =-=，当3,3a b =-=时，此时22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，函数无极值；当4,11a b ==-时，32()41116f x x x x =+-+，则(2)8f =. 考点：导数与函数极值的关系.【方法点晴】本题主要考查了导数与函数极值的关系，其中解答中涉及到导数的运算，函数的极值点与导数的关系，利用导数研究函数的极值点与极值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较基础，属于基础题题，本题的解答中根据题设条件，列出方程求的,a b 的值是解答的关键. 15．：11 【解析】：设公比为q ，由a n+2+a n+1−2a n =0得a n q 2+a n q −2a n =0所以q =−2 则S 5=1[1−(−2)5]1−(−2)=11【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式，以及求和，做题时要细心．16．②④⑤ 【解析】 【分析】由指数函数的单调性，可判断①；由指数函数的单调性可判断②；由函数的定义可判断③；由指数函数的单调性及奇偶性可判断④；由指数函数和对数函数互为反函数，可判断⑤． 【详解】解：对于①，xy e -=在R 上为减函数，故①错；对于②，任取0x >，均有32x x >，故②正确；对于③，函数()y f x =的图象与直线x a =最多有一个交点，故③错；对于④，||2x y =，由||0x ，可得1y ，可得y 的最小值为1，此时0x =，故④正确；对于⑤，与3xy =的图象关于直线y x =对称的函数为3log y x =，故⑤正确．故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查函数的单调性和最值，以及对称性，奇偶性，考查运算能力，属于基础题．17．(Ⅰ)最小正周期T π=，单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；(Ⅱ)3.【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简()2216f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式计算得()f x 的最小正周期，由222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈可解得函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)由x 的范围求出26x π-的范围，进一步求出sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，从而可得结果． 【详解】(Ⅰ()2)2sin 1cos2f x x x x x +=+-12cos212sin 2126x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期22T ππ==， 令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，得63k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，()f x ∴的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；(Ⅱ)0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的最大值为2， ()2216f x sin x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3．【点睛】本题考查正弦函数的周期性及单调性，考查了正弦函数的值域，属于基础题．函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间； 18．（1）11a =，23a =；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）直接在数列递推式中取1,2n =即可求1a 、2a（2）在数列递推式中将n 换成1n -，得另一递推式后作差，整理即可证明数列{}n a 是等差数列 【详解】（1）由已知条件得：()211114a a =+.∴11a =. 又有()2122114a a a +=+，即222230a a --=. 解得21a =-（舍）或23a =.（2）由()2114n n S a =+得 2n ≥时：()211114n n S a --=+， ∴()()22111114n n n n S S a a --⎡⎤-=+-+⎣⎦ ()2211124n n n n a a a a --⎡⎤=-+-⎣⎦， 即2211422n n n n n a a a a a --=-+-，∴2211220n n n n a a a a ---+-=，∴()()1120n n n n a a a a ----+=，∴120n n a a ---=即()122n n a a n --=≥， 经过验证1n =也成立，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列. 【点睛】本题考查的是用定义证明等差数列及n a 与n S 的关系，属于基础题.19．（1）3π； （2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin （A +3π），结合范围A Ⅰ（0，π），即可计算求解A 的值Ⅰ（2）利用等差数列的性质可得b ，利用三角形面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值． 【详解】Ⅰ1ⅠⅠasinB=bsinⅠA+3πⅠⅠ Ⅰ由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin （A +3πⅠⅠ ⅠsinB≠0Ⅰ ⅠsinA=sinⅠA+3πⅠⅠ ⅠAⅠ（0，π），可得：A +A+3π=πⅠ ⅠA=3πⅠ，c 成等差数列，ⅠⅠⅠABC 的面积为S △ABC =12Ⅰ123bc sin π⨯⨯bc=8，Ⅰ由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2Ⅰ2bccosA=Ⅰb+cⅠ2Ⅰ2bcⅠ2bccos3π=Ⅰb+cⅠ22Ⅰ24ⅠⅠ解得： 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．解：（1）2()321f x x ax +'=+2412a ∆=-…………………………………………………………………1分当0∆≤时，即a ≤≤()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞上递增；…………………………………………………3分当0∆>时，即a <a >()0f x '>，由()0f x '=求得两根为x =分即()f x 在(-∞和)+∞上递增；在(33a a --+，上递减，………………………………6分∴()f x 的单调递增区间是：当a ≤≤(,)-∞+∞当a ≤a ≥(-∞和)+∞()f x 的单调递减区间是：当a ≤a ≥()33a a --+，………………7分（2）（法一）由（1）知()f x在区间()33a a --+，上递减，Ⅰ只要21()33--⊆，Ⅰ232{33133a a a ≥-≤--+≥-解得：2a ≥． 22213210(,33()321,242()3210393{111()3210393x ax g x x ax g a g a ++≤=++≤⨯⨯+≤=⨯⨯+≤（法二）只需在区间－－）上恒成立令只需：－－－－………9分 7 {? 42a a ≥∴≥……………………………………………………………12分 2a ∴≥[2,)a ∴+∞的取值范围为……………………………………………………14分【解析】（1）32()1f x x ax x =+++；（2）74a ≥（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax +'=+当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为x =即()f x在3a ⎛--∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭递增（2）23{133a ≤--+≥-，且23a >解得：74a ≥21．(1)见解析；（2）21n nS n =+. 【解析】 【分析】（1）由()1(1)12n n n n na n a ++-+=变形可得1112n n a a n n +-=+，由此可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（2）由（1）得到()12n n n a +=，进而得到()2112()11n b n n n n ==-++，然后利用列项相消法求和即可．【详解】（1）∵()()1111232n n n n na n a n ++-+=+++⋅⋅⋅+=，∴()()()11111112n n n n n a na a a n n n n n n +++-=-=+++， 又11a =，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，公差为12的等差数列． （2）由（1）知()111122n a n n n +=+-=， ∴()12n n n a +=． ∴()1211211n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴1211111122121223111n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 22．（1）证明见解析；（2）0b >时，极大值()ln ln 5f b b b b =-++，无极小值；0b ≤时，无极值.【解析】【分析】（1）求导数，根据导数符号证明结果；（2）求导数，根据导函数是否变号、导函数符号变化规律讨论与判断极值.【详解】（1）当1a =，0b =时，()()sin 5cos x xf x e x f x e x '=-++∴=-+()()cos 0,01x x f e e x x x ∈+∞∴-<-∴'=-+<，即()f x 在()0,∞+上单调递减；（2）当0a =时，()()5x xf x e bx f x e b '=-++∴=-+ 当0b ≤时()0xf x e b '=-+<，此时()f x 无极值； 当0b >时，()0ln x f x e b x b '=-+=⇒=，当ln x b <时，()0f x '>，当ln x b >时，()0f x '<，因此()f x 有极大值()ln ln 5f b b b b =-++，无极小值；综上：0b >时，()f x 有极大值()ln ln 5f b b b b =-++，无极小值；0b ≤时，()f x 无极值.【点睛】本题考查利用导数证单调性、利用导数研究函数极值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.。
2010长春市十一高中高三上学期期中考试(数学文)
长春市十一高中2010届高三上学期期中考试数 学 试 题（文科）（本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．答题时间120分钟， 满分150分．）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．0sin 330的值是 （ ）A ．B ．12-C ．12D 2．复数32(1)i i +等于 （ ）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -3．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,3,3,4,5A B ==，则集合()U C A B 等于（ ）A ．{}3B ．{}4,5C ．{}3,4,5D ．{}1,2,4,54．函数()sin cos f x x x =-的最大值为 （ ）A ．1BCD ．25．数列{}n a 是等差数列，47a =，则7S 等于 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．526．已知平面向量(1,3),(4,2)a b =-=- ，a b λ+ 与a 垂直，则λ等于 （ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．27．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x 等于 （ ）A 2eB eC l n 22D l n 2 8． 0203sin 702cos 10-- 等于 （ ）A 12B 2C 2D 29．若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域为 （ ） A ．[]0,1 B ． [)0,1 C ．[)(]0,11,4 D ． ()0,110．已知101,log log log 5,log log 2a a a a a a x y z <<===，则 （ ）A ．x y z >>B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>11．函数()321f x ax a =-+在[]1,1-上存在一个零点，则a 的取值范围为 （ ）A ．15a ≥B ．1a ≤-C ．115a -≤≤D ．15a ≥或1a ≤- 12．函数2()lg()1f x a x =+-是奇函数，且在0x =处有意义，则使()0f x <的x 的取值范围为 （ ）A (1,0)-B (0,1)C (,0)-∞D ()(,0)1,-∞+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知tan 2α=，则2211sin cos 23αα+= ． 14．已知曲线3y x bx c =++上一点(1,2)A 的切线为1,y x =+则22b c += ．15．下列命题：①,,R αβ∃∈cos()cos sin αβαβ+=+；②630,ln ln 10x x x ∀>++>；③,R ϕ∀∈函数sin(2)y x ϕ=+都不是偶函数；④,m R ∃∈使243()(1)m m f x m x -+=-是幂函数，且在(0,)+∞上递减．其中真命题有 （把你认为正确的序号都填上）16．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数()2cos (sin cos )1,f x x x x x R =-+∈（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的值域．18．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b a b ααββ==-= （1）求cos()αβ-的值；（2）若50,sin 2213ππβαβ-<<<<=-，求sin α的值．19．（本小题满分12分）设()f x 是定义在()0,+∞上的单调增函数，满足()()(),(3)1f xy f x f y f =+=．（1）求(1)f 的值；（2）若()(8)2f x f x +-≤，求x 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==，且点1(,)n n S S +在直线1y kx =+上．（1）求k 的值；（2）求证：数列{}n a 是等比数列；21．（本小题满分12分）已知函数32()31()f x ax x x a R =+-+∈．（1）当3a =-时，求证：()f x 在R 上是减函数；（2）如果对任意x R ∈，不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且,2,n n a S 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log ,,n n n n nb b ac a ==求数列{}n c 的前n 项和为n T ．（本页不交，答案写到答题纸上）数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）1．B 2．A 3．D 4．B 5．A 6．A7．B 8．C 9．B 10．C 11．D 12．A二、填空题（每小题4分，共16 分）13．715 14．13 15．①②④ 16．13三、解答题（共6小题，共70分）17．解：2()2cos sin 2cos 1f x x x x =-+sin 2cos 2))4x x x π=-=- …………………………2分 （1）()f x 的最小正周期T π= ………………………………………………6分（2）()f x的值域为⎡⎣ …………………………………………10分18．解：∵a b -= ，∴22425a a b b -+= 又(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ== ∴42351,cos()25a b a b αβ-===-== ………………………………6分 （2）∵50,sin 2213ππβαβ-<<<<=- ∴0αβπ<-<，由（1）得()3cos ,5αβ-=从而()4sin 5αβ-= 又5sin 13β=-，得12cos 13β=代入，可得 []33sin sin ()65ααββ=-+= …………………………………………12分19．解：（1）令1x y ==，得(1)0f = ………………………………………………4分（2）由(3)(3)2,(9)2f f f +=∴=又由()(8)2f x f x +-≤，得()()89f x x f -≤⎡⎤⎣⎦∵()f x 是定义在()0,+∞上的单调增函数∴080(8)9x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩解得 89x <≤ ……………12分20．解：（1）∵121,2a a ==，∴121,3S S ==，又点12(,)S S 在直线1y kx =+上∴2k = ……………………………………………………………4分（2）由点1(,)n n S S +在直线1y kx =+上，得1121,21n n n n S S S S +-=+=+， 相减可得11,22,n n n n a a a a ++==又212a a =， 所以数列{}n a 是首项为1公比为2的等比数列 …………………………12分21．解：（1）2213,()9619()03a f x x x x '=-∴=-+-=--≤恒成立∴()f x 在R 上是减函数 ………………………………………………6分（2）2()361f x ax x '=+-，由()4f x x '≤恒成立∴23210ax x +-≤，① 当0a =时，不成立 ② 由0a ≠时， 得 04120a a <⎧⎨∆=+≤⎩ ∴13a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦…………12分 22．解：（1）由题意22,0n n n a S a =+>当2n ≥时 ，22,n n S a =-1122n n S a --=-，相减得12n n a a -=当1n =时，11122,2a S a =+=∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，它的通项公式2n n a = ………6分（2）,2n n n n b n c ==，212222n nn T =+++ 2311122222n n n T +=+++相减，得21111122222n n n n T +=+++- ∴222n n n T +=- ………………………………………………………………12分。
长春市数学高三上学期文数期中考试试卷(I)卷
15. （1分） (2018高三上·晋江期中) 三棱锥 中， 平面ABC， ， ， ，则该三棱锥外接球的表面积为________．
16. （1分） (2020·海安模拟) 已知函数f（x） ，若f（t）≥f（ ） ，则实数t的取值范围是________．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角E﹣BD﹣P大于60°，求四棱锥P﹣ABCD体积的取值范围．
21. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC= AA1=2，D是AC的中点．
（1） 求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅰ）求实数ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的对称轴和单减区间：
（ III）求f（x）在区间 上的最值及相应的x值．
19. （2分） △ABC中，∠A= ，BC=2 ，设∠B为x，周长为y，求：
（1） 函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2） 周长的最大值．
20. （2分） (2017·安徽模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中点，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．
B . 3
C .
D . 4
10. （1分） (2016高一下·海南期中) 等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a2+a4+a6=12，则S7的值是（ ）
A . 21
B . 24
C . 28
D . 7
11. （1分） (2019高一下·吉林月考) 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，如果 ，则 的形状是（ ）
吉林省长春市十一中2015届高三上学期第二次阶段性测试 数学文试题
吉林省长春市十一中2015届高三上学期第二次阶段性测试 数学文试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．若复数i a a z )1(12-+-= i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ） A.1± B. 1- C. 0 D. 1 2.设)2,1(=，),2(k =，若⊥+)2(，则实数k 的值为（ ）A. 2-B. 4-C. 6-D. 8-3.在等差数列{}n a 中， 1a ，2015a 为方程016102=+-x x 的两根，则=++201410082a a a （ ） A ．10B ．15C ．20D ．404．如图，正三棱111C B A ABC -的正视图是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为（ ）A ．16B ．32C ．34D ．385.在锐角ABC ∆中，“B A >”是“B A tan tan >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 在等比数列{}n a 中，若21=a ，052=+a a ，{}n a 的n 项和为n S ，则=+20162015S S （ ）A ．4032B ．2C ．2-D ．4030-7.在边长为1的等边ABC ∆中，E D ,分别在边BC 与AC 上，且DC BD =，EC AE =2，则=⋅BE AD （ ） A. 21-B. 31-C. 41-D. 61- 8.已知曲线1ln 342+-=x x y 的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（ ） A. 3B. 2C. 1D.219.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=46sin πx y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ ）ABC 1A1B 1C主视图A.⎪⎭⎫⎝⎛0,16π B. ⎪⎭⎫⎝⎛0,9π C. ⎪⎭⎫⎝⎛0,4π D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为c 35（c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ） A ．25 B ．23C ． 253D ．5311．函数)R (22∈-=x x y x的图象大致为（ ）12.已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,1)(2x x x x x f ，若方程a x f =)(有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且4321x x x x <<<，则432111)(x x x x +++的取值范围是（ ） A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0 B. ⎥⎦⎤⎝⎛21,0 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 D. [)1,0二、填空题（每小题5分，共20分.）13.已知向量)2,1(-=，)3,2(=，若+=λ与-=共线，则实数λ 的值是 . 14．已知52131)(23++=x kx x f ，且4)1()2(4//≤-≤-f f ，则正整数k 为 .15．下列命题中，正确的是 （1）曲线x y ln =在点)0,1(处的切线方程是1-=x y ； （2）函数216x y -=的值域是[]4,0；（3）已知)cos 1,1(),cos 1,(sin θθθ-=+=b a ，其中)23,(ππθ∈，则b a ⊥； （4）O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：)(AC AB OA OP ++=λ，()+∞∈,0λ，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的重心；16.数列{}n a 中，已知11=a ，32=a ，且2+n a 是1+n n a a 的个位数字，n S 是{}n a 的前n 项和，则=--2124a a S .三、解答题 （解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分） 在ABC∆中，内角CB A ,,所对的边分别为cb a ,,，若C A C A B t a nt a n )t a n (t a n s i n =+. （1）求证：c b a ,,成等比数列；（2）若2,1==c a ，求ABC ∆的面积S .18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点)cos ,21(2θP 在角α的终边上，点)1,(sin 2-θQ 在角β的终边上，且21-=⋅OQ OP ． （1）求θ2cos 的值；（2）求)sin(βα+的值．19.（本题满分12分）已知函数xa x f =)(的图象过点)21,1(，且点),1(2na n n -)(*N n ∈在函数xa x f =)(的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n n a ab 211-=+，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：5<n S . 20．（本题满分12分） 在长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形，O 是BD 中点，点E 是棱1AA 上任意一点.（1）证明：1EC BD ⊥； （2）若,,2,21EC OE AE AB ⊥==求1AA 的长21. （本题满分12分）A 1A BCD 1D 1C 1B EO(20题图)已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点到两焦点21,F F 距离之和为32，离心率为33，动点P 在直线3=x 上，过2F 作直线2PF 的垂线l ，设l 交椭圆于Q 点． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值； 22. （本题满分12分）设函数x x x f ln )2()(2+=，R a ax x x g ∈+=,2)(2 （1）证明：)(x f 在),1(+∞上是增函数；（2）设)()()(x g x f x F -=，当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x F 恒成立，求a 的取值范围.长春市十一高中2014-2015学年度高三上学期阶段性考试数 学 试 题 （文） 答 案组题人：赵永先 审题人： 李旭一选择题二填空题13、1-=λ 14、1 15、（1）（2）（3）（4） 16、100 三解答题17. 【答案】解：（1）由已知C A C A B tan tan )tan (tan sin =+.得：CA CA C C A AB cos cos sin sin )cos sin cos sin (sin =+，----2分即：C A C A B sin sin )sin(sin =+，即：C A B sin sin sin 2=---------4分 由正弦定理：ac b =2，所以：c b a ,,成等比数列.------------5分 （2）由（1）知：ac b =2，2,1==c a ，所以：2=b ，------------6分由余弦定理：432122412cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，所以：47sin =B -------------8分体验 探究 合作 展示所以：47472121sin 21=⨯⨯⨯==B ac S --------10分18.【答案】解：（1）因为21-=⋅OQ OP ，所以21cos sin 2122-=-θθ，------------2分 即：21cos )cos 1(2122-=--θθ，所以32cos 2=θ，------------4分所以311cos 22cos 2=-=θθ．------------6分（2）因为32cos 2=θ，所以31sin 2=θ，所以)32,21(P ，)1,31(-Q ，又点)32,21(P 在角α的终边上，所以53cos ,54sin ==αα ---------8分同理 1010cos ,10103sin =-=ββ ---------10分 所以：1010)10103(53101054sin cos cos sin )sin(-=-⨯+⨯=+=+βαβαβα--------12分19. 【答案】解： （1）由条件知：21=a ，所以：x x f 21)(=，-----------2分 )(x f 过点),1(2n a n n -，所以：1221-=n n n a --------------4分 所以：122-=n n n a -------------5分（2）nn n n n n n b 21222)1(22+=-+=-----------7分 =n S n n n n 21)12(21)12(217215213132++-++⨯+⨯+⨯-=n S 21+⨯+⨯322152131121)12(21)12(21)32(+-++-+-+n n n n n n -------------10分2nn20（1）证明：连结AC ,11C A ,由底面是正方形知BD ⊥AC …………1分 ∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴1AA ⊥BD 由于1AA ∩AC =A ，所以BD ⊥平面C C AA 11…………4分 再由C C AA EC 111平面⊂知BD ⊥1EC …………6分 （2）设1AA 的长为x ，连结1OC , 在AOE Rt ∆中，2=AE ,2=AO ,∴2=OE11C EA Rt ∆中,21-=x E A ，2211=C A∴()()2221222+-=x EC1OCC Rt ∆中, 2=OC ,x CC =1，()22212+=x OC又∵OE ⊥EC ∴21212OC EC OE =+ ∴4+()22-x +()222=22+x ，∴23=x故1AA 的长为23 21. 【答案】解：（1）由条件得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====22233322cb a ac e a ，解得：2,1,3===b c a ，所以椭圆E ：12322=+y x ---------------5分 （2）设),(),,3(110y x Q y PQ F PF 22⊥ ，所以：022=⋅Q F PF ，即：0)1(2101=+-y y x ------------7分又因为：12101211011133x x y y y x y y x y K K OQPQ --=--⋅=，且)31(22121x y -=，--------10分3OQ PQ22、解：（1）()xx x x x f 2ln 2++=' ∵1>x ，∴0ln >x ，∴02ln 2>++xx x x ∴()x f 在()+∞,1……4分（2）由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，------------8分设x x x x x G 222ln )2()(-+=则22)1)(ln 2()(xx x x G --='， 所以)(x g 在)2,1(递增，),2(e 递减，),(+∞e 递增------------9分 所以)(x G 的最小值为)(),1(e G G 中较小的，022)1()(>+-=-e eG e G ， 所以：)1()(G e G >，即：)(x G 在[)+∞∈,1x 的最小值为2)1(-=G ，--------11分 只需2-≤a -------12分。
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长春市十一高中2012-2013学年度高三上学期期中考试数学（文科）试题本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={}062<--x x x ，B={}3,2,1,1,2,3---，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2．若α是第四象限角，且53cos =α，则αsin 等于（ ） A ．54 B ．54- C ．53 D ．53-3．命题“R x ∈∃，03>x ”的否定是（ ）A ．R x ∈∀，03≤x B ．R x ∈∀，03>x C ．R x ∈∃，03≤x D ．R x ∈∃，03<x4．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,04x y x y x 则y x z +=2的最小值是（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且1038=-S S ，则11S 的值是（ ） A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 6．下列函数中，值域为R 的函数是（ ） A ．12-=x y B ．12-=x yC ．)1lg(-=x yD ．11-+=x x y 7．式子50cos 40cos 120sin +的值为（ ） A ．21 Ｂ．22 Ｃ．2 Ｄ．2体验 探究 合作 展示8．已知数列{}n a 的前n 项和13-=n n S ，则其通项公式n a =（ ） A ．132-⋅n B ．123-⋅n C ．n 2 D ．n39．若向量)2,1(-=x OA ，),4(y OB =，且OB OA ⊥，则yx39+的最小值为（ ） A ．12 B ．23 C ．23 D ．6 10．下列叙述中：①在ABC ∆中，若B A cos cos <，则B A >；②若函数()f x 的导数为'()f x ，0()f x 为()f x 的极值的充要条件是0()0f x '=； ③函数sin(2)6y x π=+的图象可由函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到； ④在同一直角坐标系中，函数x x f sin )(=的图象与函数x x f =)(的图象仅有三个公共点． 其中正确叙述的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知函数x x x f 2)(2-=，)0(2)(>+=a ax x g ，对任意的∈1x []2,1-，都存在∈0x []2,1-，使得)()(01x f x g =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 B ．[21，3] C ．[)+∞,3 D ．(]3,012．已知函数x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21lg )(,xx x g ⎪⎭⎫⎝⎛+=21lg )(的零点分别为1x ，2x ，则有（ ）A ．021<x xB ．121=x xC ．121>x xD ．1021<<x x第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线22x y =在点（1，2）处的切线斜率为 ．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1=+n n S a )(*∈N n ，则通项n a = ．15．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知272cos 2sin42=-+C B A ，且5=+b a ，7=c ，则ABC ∆的面积为 ．16．已知定义在R 上的偶函数满足：)2()()4(f x f x f +=+，且当∈x [0，2]时，)(x f y =单调递减，给出以下四个命题： ①0)2(=f ；②4-=x 为函数)(x f y =图象的一条对称轴； ③函数)(x f y =在[8，10]上单调递增；④若方程m x f =)(在[]2,6--上的两根为1x ，2x ，则821-=+x x ． 上述命题中所有正确命题的序号为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设函数12)(-=x x f ，4)(-=x x g ． （Ⅰ）解不等式3)(<x f ； （Ⅱ）解不等式4)()(>+x g x f ． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53=a ，22515=S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n b na n 23+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）已知函数)(2cos cos sin 2)(R x x x x x f ∈+=． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若θ为锐角，且32)8(=+πθf ，求θtan 的值． 20．（本小题满分12分）已知函数xe x ax xf )()(2+=，其中e 是自然对数的底数，R a ∈． （Ⅰ）当0<a 时，求不等式0)(>x f 的解集；（Ⅱ）当0=a 时，求使方程2)(+=x x f 在[k ，1+k ]上有解的整数k 的所有取值．21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为62，椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 2:-=kx y 与椭圆C 交于B A ,两点，点P （0，1），且PA =PB ，求直线l 的方程． 22．（本小题满分12分） 已知函数1)1(ln )(+--=x x a x x f ． （Ⅰ）若函数)(x f 在（0，∞+）上为单调增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）设m ，∈n （0，∞+），且n m ≠，求证：2ln ln nm n m n m +<--．长春市十一高中2012-2013学年度高三上学期期中考试数学（文科）试题参考答案一、BBABC CBADB AD 二、13．4， 14．n 21 15 ．233 16． ①②④ 三、解答题17．解：（Ⅰ）312<-x ，3123<-<-x ，解集为{}21<<-x x ……4分（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤+<+-=)4(,53),421(,3),21(,53)(x x x x x x x f 由⎪⎩⎪⎨⎧<>+-21,453x x 解得31<x ；体验 探究 合作 展示由⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>+421,43x x 解得41≤<x ； 由⎩⎨⎧>>-4,453x x 解得4>x综上可知不等式4)(>x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><1x 31或x x ．……10分 18．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+2252141515,5211d a d a 解得⎩⎨⎧==211d a ∴12-=n a n 。
……6分 （Ⅱ）∵n n n b nn a n n2931232312+⋅=+=+=- ∴n T )321(2)9999(313221n b b b n n +++++++++=+++= =)1(91)91(931++--⋅n n n =n 983⋅)1(++n n 83- ……12分 19．（Ⅰ）解：x x x x x x f 2cos 2sin 2cos cos sin 2)(+=+= =)42sin(2π+x则)(x f 的最小正周期为π，Z k k x k ∈+≤+≤-,224222πππππ即单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,8,83ππππ． ……6分 （Ⅱ）∵32)8(=+πθf ∴32)22sin(2=+πθ， ∴312cos =θ。
∴311cos 22=-θ。
∵θ为锐角，即20πθ<<，∴36cos =θ ∴33cos1sin 2=-=θθ。
∴22cos sin tan ==θθθ ……12分 20．解：（Ⅰ）因为0>xe ，所以0)(>xf ，即02>+x ax 。
又因为0<a ，所以不等式可化为0)1(<+ax x 所以不等式0)(>x f 的解集为（0，a1-）。
……4分 （Ⅱ）当0=a 时，方程2)(+=x x f ，即2+=x xe x ，由于0>xe ， 所以0=x 不是方程的解，所以原方程等价于012=--xe x令12)(--=x e x h x，因为02)(2/>+=xe x h x 对于∈x （∞-，0）∪（0，∞+）恒成立，所以函数)(x h 在（∞-，0）和（0，∞+）内是单调递增函数， 又03)1(<-=e h ，02)2(2>-=e h ，031)3(3<-=--eh ，0)2(2>=--e h ， 所以函数)(x h 在区间[1，2]和[-3，-2]上分别有一个零点，即方程2)(+=x x f 有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，故1=k 或3-=k 。
……12分21．解：（Ⅰ）由已知62=a ，622=c ， 解得 3=a ，6=c ，所以3222=-=c a b ，所以椭圆C 的方程为13922=+y x 。
……4分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,2,13922kx y y x 得0312)31(22=+-+kx x k ， 直线与椭圆有两个不同的交点，所以0)31(1214422>+-=∆k k 解得912>k 。
设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）则2213112k k x x +=+，221313k x x +=， 计算222121314431124)(k k k k x x k y y +-=-+⋅=-+=+，所以，A ，B 中点坐标E （2316k k +，2312k+-） 因为PA =PB ，所以PE ⊥AB ，1-=⋅AB PE k k所以1316131222-=⋅+-+-k k k k 解得1±=k经检验，符合题意，所以直线l 的方程为02=--y x 或02=++y x 。
……12分22．解：（Ⅰ）22222/)1(1)22()1(2)1()1()1()1(1)(++-+=+-+=+--+-=x x x a x x x ax x x x a x a x x f 。
因为)(x f 在（0，∞+）上为单调增函数，所以0)(/≥x f 在（0，∞+）上恒成立，即01)22(2≥+-+x a x 在（0，∞+）上恒成立，当∈x （0，∞+）时，由01)22(2≥+-+x a x 得xx a 122+≤-。