2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.文)含详解

绝密★启用前 试卷类型A2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将 条形码横贴在答题卡右上角“长形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答。

答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答案的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式V =1,3Sh 其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ).一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行．若集合A ={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B ={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C ={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是 A ．A B ⊆ B ．B C ⊆ C ．A B C = D ．B C A =2．已知0＜a ＜2，复数i a z +=(i 是虚数单位)，则||z 的取值范围是A ．(1,3)B ． (1,5)C ．(1,3)D ．(1,5)3．已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =-, 且//a b , 则23a b +=A ．()2,4--B ．()3,6--C ．()4,8--D ．()5,10--4．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4, S 4=20, 则该数列的公差d =A ．7B ．6C ．3D ．25．已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+，x ∈R,则()f x 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 6．经过圆0222=++y x x 的圆心G ，且与直线0=+y x 垂直的直线方程是A ．10x y -+=B ．10x y ---C ．10x y +-=D ．10x y ++=7．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△CHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为8．命题“若函数()log a f x x =(a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log 2a ＜0”的逆否命题是A ．若log 2a ＜0，则函数()log a f x x =（a ＞0,a ≠1）在其定义域内不是减函数B ．若log 2a ≥0，则函数()log a f x x =（a ＞0,a ≠1）在其定义域内不是减函数C ．若log 2a ＜0，则函数()log a f x x =（a ＞0,a ≠1）在其定义域内是减函数D ．若log 2a ≥0，则函数()log a f x x =（a ＞0,a ≠1）在其定义域内是减函数9．设a ∈R ，若函数y =e x +ax , x ∈R 有大于零的极值点，则 A ．a ＜1-B ．a ＞1-C ．a ＞1e-D ．a ＜1e-10．设a , b ∈R ，若a b -＞0，则下列不等式中正确的是A ．b a -＞0B ．a 3+b 3＜0C ．b +a ＞0D ．22a b -＜0二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11-13题）11．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)55,65,65,75, [)[)75,85,85,95，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 . EF DI A H GB C EF DA B C侧视 图1图2B EA ．B EB ．B EC ．B ED ．图30.040 0.035 0.0300.0250.020 0.0150.0100.0050 45 55 65 75 85 95产品数量 频率／组距12．若变量x ，y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =+的最大值是______13．阅读图4的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出 a = ，i = ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1与C 2的极坐标方向 分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=（ρ≥0，0≤θ<2π），则曲线C 1与C 2交点的极坐标为__15.（几何证明选讲选做题）已知P A 是圆O 的切点，切点为A ，P A ＝2.AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R =________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分13分）已知函数f(x)=A sin(x +ϕ)(A >0,0<ϕ<π),x ∈R 的最大值是1，其图像经过点M 132π⎛⎫ ⎪⎝⎭，. (1) 求f (x )的解析式；(2) 已知,αβ∈02π⎛⎫⎪⎝⎭，，且f (α)=35，f (β)=1213，求f (αβ-)的值.17.（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）18.（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD =60°,∠BDC =45°,△ADP ～△BAD .(1)求线段PD 的长；(2)若PC =11R ，求三棱锥P-ABC 的体积. P A BD开始 1i =n 整除a ?是 输入m n ，结束 a m i =⨯输出a i ， 图4否1i i =+19.（本小题满分13分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级 初二年级 初三年级女生373 x y 男生377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知y ≥245, z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.20.（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为22222x y b b+=1，抛物线方程为)(82b y x -=．如图6所示，过点F （0,b+2）作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在G 点的切线经过椭圆的右焦点1F ，（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设,A B 分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ,使ABP ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由 （不必具体求出这些点的坐标）．21．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足121,2a a ==，()12123n n n a a a --=+ (3,4)n = ，数列{}n b 满足b 1=1，b n (n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有111m m m k b b b ++-≤+++≤（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n n c na b =(1,2,)n = ，求数列{}n c 的前n 项和S n .Ay xO BGFF 1图62008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(文科)全解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A ={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B ={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

集合C ={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A.A ⊆BB.B ⊆CC.A ∩B =CD.B ∪C =A 【解析】送分题呀!答案为D.2.已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是A.(1,3)B. (1,5)C.(1,3)D.(1,5)【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z ,选B.3.已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b + ＝（ ） A 、(5,10)-- B 、(4,8)-- C 、(3,6)-- D 、(2,4)-- 【解析】排除法:横坐标为2(6)4+-=-,选B.4.记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）A 、2B 、3C 、6D 、7 【解析】4224123S S S d d --==⇒=,选B.5.已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224x f x x x x x x -=+===,选D.6.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A 、10x y ++= B 、10x y +-= C 、10x y -+= D 、10x y --=【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)7.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分 别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则 该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.8. 命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是（ ）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数 【解析】考查逆否命题,易得答案A.9、设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ）A 、1a <-B 、1a >-C 、1a e<- D 、1a e>- 【解析】题意即0xe a +=有大于0的实根,数形结合令12,x y e y a ==-,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得11a a ->⇒<-,选A.10、设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A 、0b a ->B 、330a b +<C 、220a b -< D 、0b a +> 【解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11-13题）11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 .【解析】20(0.06510)13⨯⨯=,故答案为13.12.若变量x ，y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =3x +2y 的最大 值是________。