人教版九年级数学第一学期期末质量检测试题含答案

人教版九年级数学第一学期期末质量检测试题第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.反比例函数y=−3在平面直角坐标系中的图象可能是( )xA. B.C. D.2.如果两个相似三角形的面积之比为9：4，那么这两个三角形对应边上的高之比为( )A. 9：4B. 3：2C. 2：3D. 81：163.某中学为了解九年级学生数学学习情况，在一次考试中，从全校500名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩进行统计分析，统计结果这100名学生的数学平均分为91分，由此推测全校九年级学生的数学平均分( )A. 等于91分B. 大于91分C. 小于91分D. 约为91分4.用配方法解方程x2−2x−3=0时，可变形为( )A. (x−1)2=2B. (x−1)2=4C. (x−2)2=2D. (x−2)2=45.某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是( )A. 60(1+x)2=48.6B. 48.6(1+x)2=60C. 60(1−x)2=48.6D. 48.6(1−x)2=606.若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个实数根，则k的取值范围是( )A. k≠0B. k≥−1C. k≥−1且k≠0D. k>−1且k≠07.已知点A(m,1)和B(n,3)在反比例函数y=k(k>0)的图象上，则( )xA. m<nB. m>nC. m=nD. m与n大小关系无法确8.在△ABC中，若|tanA−1|+(2cosB−√2)2=0，则△ABC是( )A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 一般锐角三角形9.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与如图的三角形相似的是( )第2页，共21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. B. C. D.10. 如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数y 2=k2x的图象交于A(−1,2)、B(1,−2)两点，若y 1<y 2，则x 的取值范围是( )A. x <−1或x >1B. x <−1或0<x <1C. −1<x <0或0<x <1D. −1<x <0或x >111. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC =2BF ，连接AE ，EF ，则cos ∠AEF 的值是( )A. 12B. 1C. √22D. √3212. 如图，在正方形ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交CD 于点E 、F ，连接AC 、CP ，AC 与BF 相交于点H.有下列结论： ①AE =2DE ； ②tan∠CPE =1； ③△CFP ∽△APH ； ④CP 2=PH ⋅PB ． 其中正确的有( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 某人沿着坡度i =1：√3的山坡走了50米，则他离地面的高度上升了______米．14. 甲、乙两台机床在相同的条件下，同时生产一种直径为10mm 的滚珠．现在从中各抽测100个进行检测，结果这两台机床生产的滚珠平均直径均为10mm ，但S 甲2=0.288，S 乙2=0.024，则______机床生产这种滚珠的质量更稳定．15. 如图，在△ABC 中点D 、E 分别在边AB 、AC 上，请添加一个条件：______ ，使△ABC∽△AED ．16. 若m ，n 是一元二次方程x 2−4x −7=0的两个实数根，则1m +1n =______．17. 如图，在△ABC 中，sinB =13，tanC =√22，AB =3，则AC 的长为______．18. 如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y =3x (x >0)的图象上，函数y =kx(k >3,x >0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB =2，∠BAD =30°，则k =______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. (本小题5.0分)解方程：x 2+4x −7=0． 20. (本小题7.0分)如图，△ABC 的坐标为A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)．(1)以点O 为位似中心，画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使其位似比为2：1，并写出点C 1的坐标； (2)连接BB 1，CC 1，计算四边形BB 1C 1C 的面积．第4页，共21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………21. (本小题8.0分)为了了解学校图书馆上个月借阅情况，管理员对学生借阅艺术、经济、科普及生活四类图书的情况进行了统计，并绘制了如下的不完整统计图，请根据图中信息解答下列问题：(1)求上个月借阅图书的学生人次和扇形统计图中“经济”部分的圆心角度数； (2)将条形统计图补充完整；(3)从借阅情况分析，如果要添置这四类图书共2000册，请你估算“科普”类图书应添置多少册合适？ 22. (本小题8.0分)关于x 的一元二次方程x 2−3x +k =0有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m −1)x 2+x +m −3=0与方程x 2−3x +k =0有一个相同的根，求此时m 的值． 23. (本小题8.0分)如图，山顶有一塔AB ，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF.从与E 点相距80m 的C 处测得A 、B 的仰角分别为27°、22°，从与F 点相距50m 的D 处测得A 的仰角为45°.求隧道EF 的长度．(参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51)24.(本小题10.0分)某服装店某款服装的进价为380元/件，原标价500元/件，经过两次降价后售价为405元/件，并且每次降价百分率相同．(1)求该款服装每次降价的百分率；(2)若两次降价共售出该款服装100件，且两次降价销售该款服装的总利润不低于4000元，则第一次降价后至少要售出该款服装多少件？25.(本小题10.0分)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=m 2−3mx(m≠0且m≠3)的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D.已知A(4,1)，CE=4CD．(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．26.(本小题10.0分)如图1，在△ABC中，AB=AC=20，tanB=34，点D为BC边上的动点(点D不与点B、C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)当DE//AB时(如图2)，求AE的长；(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，第6页，共21页…线…………○……请说明理由．答案和解析1.【答案】A中，k=−3<0，【解析】解：∵反比例函数y=−3x∴图象位于第二、四象限，故选：A．根据反比例函数的性质即可判断．此题主要考查了反比例函数的图象，关键是掌握反比例函数图象的性质．2.【答案】B【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为9：4，∴相似比是3：2，又∵相似三角形对应高的比等于相似比，∴对应边上高的比为3：2．故选：B．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答．本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．3.【答案】D【解析】解：∵这100名学生的数学平均分为91分，∴全校九年级500名学生的数学平均分约为91分，故选D．根据样本估计总体的方法进行选择即可．本题考查了加权平均数以及用样本估计总体，掌握方法是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：x2−2x−3=0，x2−2x=3，x2−2x+1=3+1，(x−1)2=4，故选：B．先移项，再配方，即可得出选项．第8页，共21页本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．5.【答案】C【解析】解：设平均每次降价的百分率为x ， 由题意得，60(1−x)2=48.6． 故选：C ．设平均每次降价的百分率为x ，则等量关系为：原价×(1−x)2=现价，据此列方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．6.【答案】C【解析】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2−2x −1=0有两个实数根， ∴{△≥0k ≠0，即{4+4k ≥0k ≠0， 解得：k ≥−1且k ≠0． 故选C ．由原方程有两个实数根可得出△≥0且二次项系数非0，由此即可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是依照题意得出关于k 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程(不等式或不等式组)是关键．7.【答案】B【解析】解：∵点A(m,1)和B(n,3)在反比例函数y =kx (k >0)的图象上，1<3， ∴m >n ． 故选：B ．因为反比例函数的比例系数为正，所以图象过第一，三象限，根据反比例函数的增减性可得m 和n 的大小关系． 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数的比例系数得到函数图象所在的象限，用到的知识点为：k >0，图象的两个分支分布在第一，三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．8.【答案】B【解析】解：∵|tanA −1|+(2cosB −√2)2=0， 又∵|tanA −1|≥0，(2cosB −√2)2≥0，∴tanA=1，cosB=√22，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：B．利用非负数的性质求出∠A，∠B可得结论．本题考查等腰直角三角形的判定，非负数的性质，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是掌握非负数的性质，属于中考常考题型．9.【答案】B【解析】解：如图，由勾股定理得AC=√2，BC=2√2，AB=√10，∵AC2+BC2=10，AB2=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴夹直角的两边之比为√22√2=12，由图中各选项可知，B选项中的三角形符合题意．故选：B．可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：由图象可得，−1<x<0或x>1时，y1<y2．故选：D．根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．第10页，共21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11.【答案】C【解析】解：连接AF ，如图所示： ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =90°，CD =AB =2，BC =AD =3， ∵FC =2BF ， ∴BF =1，FC =2， ∴AB =FC ， ∵E 是CD 的中点， ∴CE =12CD =1， ∴BF =CE ， 在△ABF 和△FCE 中， {AB =FC ∠B =∠C BF =CE， ∴△ABF≌△FCE(SAS)， ∴∠BAF =∠CFE ，AF =FE ， ∵∠BAF +∠AFB =90°， ∴∠CFE +∠AFB =90°， ∴∠AFE =180°−90°=90°， ∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴∠AEF =45°， ∴cos ∠AEF =√22； 故选：C ．连接AF ，由矩形的性质得出∠B =∠C =90°，CD =AB =2，BC =AD =3，证出AB =FC ，BF =CE ，由SAS 证明△ABF≌△FCE ，得出∠BAF =∠CFE ，AF =FE ，证△AEF 是等腰直角三角形，得出∠AEF =45°，即可得出答案． 本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形全等的性质是解决问题的关键．12.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D =∠DAB =90°， ∵△APB 是等边三角形，∴∠PAB =∠PBA =∠APB =60°， ∴∠DAE =30°，∴AE=2DE，故①正确，∵AB//CD，∴∠PFE=∠ABP=∠APH=60°，∵∠AHP=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，又∵BC=BP，∠PBC=30°，∴∠BPC=∠BCP=75°，∴∠CPE=45°，∴tan∠CPE=1，故②正确．∵∠BPC=∠BCP=75°，∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF，∴△CFP∽△APH，故③正确，∵∠CPA=60°+75°=135°≠∠CPF，∴△CFP与△APC不相似，故C错误，∵∠PCH=∠PCB−∠BCH=75°−45°=30°，∴∠PCH=∠PBC，∵∠CPH=∠BPC，∴△PCH∽△PBC，∴PC PB =PHPC，∴CP2=PH⋅PB，故④正确．故选：D．由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．13.【答案】25【解析】解：设某人沿着坡度i=1：√3的山坡走了50米时的竖直高度为x米，则此时走的水平距离为√3x米，由勾股定理可得，x2+(√3x)2=502，解得，x1=−25(舍去)，x2=25，故答案为：25．根据题意可以设出某人沿着坡度i=1：√3的山坡走了50米时的竖直高度，然后根据勾股定理即可解答本题．第12页，共21页本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题、勾股定理，明确坡度的含义是解答此类题目的关键．14.【答案】乙【解析】解：∵这两台机床生产的滚珠平均直径均为10mm ，S 甲2>S 乙2，∴乙机床生产这种滚珠的质量更稳定． 故答案为：乙．根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产这种滚珠的质量更稳定．本题主要考查方差，方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．本题考查方差的定义与意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15.【答案】∠AED =∠B(答案不唯一)【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，本题中添加条件∠AED =∠B 并求证△AED∽△ABC 是解题的关键． 根据∠AED =∠B 和∠A =∠A 可以求证△AED∽△ABC ，故添加条件∠AED =∠B 即可以求证△AED∽△ABC ． 【解答】解：∵∠AED =∠B ，∠A =∠A ， ∴△AED∽△ABC ，故添加条件∠AED =∠B 即可以使得△AED∽△ABC ， 故答案为：∠AED =∠B(答案不唯一)．16.【答案】−47【解析】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2−4x −7=0的两个实数根， ∴m +n =4，mn =−7， ∴1m +1n=m+n mn=4−7=−47．故答案为：−47．利用根与系数的关系，可得出m +n =4，mn =−7，再将其代入1m +1n =m+nmn 中，即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba ，两根之积等于c a ”是解题的关键．17.【答案】√3【解析】【分析】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sinB=13，AB=3，∴AD=AB⋅sinB=1，在Rt△ACD中，tanC=√22，∴AD CD =√22，即CD=√2，根据勾股定理得：AC=√AD2+CD2=√1+2=√3，故答案为√3．18.【答案】6+2√3【解析】【分析】本题考查了反比例图象上点的坐标特征，菱形的性质，含30度角的直角三角形，关键是确定A点在第一象限的角平分线上．连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果．【解答】解：连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，∵函数y=kx(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称，∴O、A、C三点在同一直线上，且∠COE=45°，∴OE=AE，第14页，共21页不妨设OE =AE =a ，则A(a,a)，∵点A 在反比例函数y =3x (x >0)的图象上，∴a 2=3，∴a =√3， ∴AE =OE =√3， ∵∠BAD =30°，∴∠OAF =∠CAD =12∠BAD =15°， ∵∠OAE =∠AOE =45°， ∴∠EAF =30°， 又AE =√3，AF =2EF ，∴Rt △AEF 中，AF =2，EF =1， ∵AB =AD =2，AE//DG ， ∴EF =EG =1，DG =2AE =2√3， ∴OG =OE +EG =√3+1， ∴D(√3+1,2√3)，则k =2√3(√3+1)=6+2√3． 故答案为：6+2√3．19.【答案】解：x 2+4x −7=0，移项得，x 2+4x =7， 配方得，x 2+4x +4=7+4， (x +2)2=11， 解得x +2=±√11，即x 1=−2+√11，x 2=−2−√11【解析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，C1(4,6)(2)四边形BB1C1C的面积S=12×5×2+12×5×4=15．【解析】(1)利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；(2)把四边形的面积看成两个三角形的面积和即可．本题考查作图−位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)上个月借阅图书的学生总人次为6024%=250(人次)：扇形统计图中“经济”部分的圆心角度数=40250×360°=57.6°；(2)借阅“科普”的学生数=250−60−40−100=50(人次)，补充完整条形统计图如下图(3)2000×50250=400(册)，答：估计“科普”类图书应添置400册合适．【解析】(1)用借“生活”类的书的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；然后用360°乘以“经济”的人数所占的百分比得到“经济”部分的圆心角度；(2)先计算出借阅“科普“的学生数，然后补全条形统计图；(3)利用样本估计总体，用样本中“科普”类所占的百分比乘以2000即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．第16页，共21页…○…………外…………○…………装…………○………22.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(−3)2−4k ≥0，解得k ≤94；(2)满足条件的k 的最大整数为2，此时方程x 2−3x +k =0变形为方程x 2−3x +2=0，解得x 1=1，x 2=2， 当相同的解为x =1时，把x =1代入方程(m −1)x 2+x +m −3=0得m −1+1+m −3=0，解得m =32； 当相同的解为x =2时，把x =2代入方程(m −1)x 2+x +m −3=0得4(m −1)+2+m −3=0，解得m =1，而m −1≠0，不符合题意，舍去， 所以m 的值为32．【解析】(1)利用判别式的意义得到Δ=(−3)2−4k ≥0，然后解不等式即可；(2)先确定k =2，再解方程x 2−3x +2=0，解得x 1=1，x 2=2，然后分别把x =1和x =2代入一元二次方程(m −1)x 2+x +m −3=0可得到满足条件的m 的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与Δ=b 2−4ac 有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．23.【答案】解：延长AB 交CD 于H ，则AH ⊥CD ，在Rt △AHD 中，∠D =45°， ∴AH =DH ，在Rt △AHC 中，tan ∠ACH =AHCH ，∴AH =CH ⋅tan ∠ACH ≈0.51 CH ， 在Rt △BHC 中，tan ∠BCH =BH CH ， ∴BH =CH ⋅tan ∠BCH ≈0.4 CH ， 由题意得，0.51CH −0.4CH =33， 解得，CH =300，∴EH =CH −CE =220，BH =120， ∴AH =AB +BH =153， ∴DH =AH =153， ∴HF =DH −DF =103，∴EF=EH+FH=323，答：隧道EF的长度为323m．【解析】延长AB交CD于H，利用正切的定义用CH表示出AH、BH，根据题意列式求出CH，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24.【答案】解：(1)设该款服装每次降价的百分率为x，根据题意得：500(1−x)2=405，解得：x=0.1或x=1.9(不合题意，舍去)，答：该款服装每次降价的百分率为10%．(2)设第一次降价后至少要售出该款服装y件，根据题意得：[500×(1−10%)−380]y+(405−380)(100−y)≥4000，．解得：y≥3313答：第一次降价后至少要售出该款服装34件．解：(1)设该款服装每次降价的百分率为x，根据题意得：500(1−x)2=405，解得：x=0.1或x=1.9(不合题意，舍去)，答：该款服装每次降价的百分率为10%．(2)设第一次降价后至少要售出该款服装y件，根据题意得：[500×(1−10%)−380]y+(405−380)(100−y)≥4000，．解得：y≥3313答：第一次降价后至少要售出该款服装34件．【解析】(1)设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设第一次降价后售出该商品y件，则第二次降价后售出该商品(100−y)件，根据总利润=每件商品的利润×销售数量结合两次降价销售的总利润不低于3850元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25.【答案】解：(1)将点A(4,1)代入y=m2−3m，x得，m2−3m=4，解得，m1=4，m2=−1，第18页，共21页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……∴m 的值为4或−1；反比例函数解析式为：y =4x； (2)∵BD ⊥y 轴，AE ⊥y 轴， ∴∠CDB =∠CEA =90°， ∴△CDB∽△CEA ， ∴CDCE =BDAE ， ∵CE =4CD ， ∴AE =4BD ， ∵A(4,1)， ∴AE =4， ∴BD =1， ∴x B =1， ∴y B =4x =4， ∴B(1,4)，将A(4,1)，B(1,4)代入y =kx +b ， 得，{4k +b =1k +b =4，解得，k =−1，b =5， ∴y AB =−x +5， 设直线AB 与x 轴交点为F ，当x =0时，y =5；当y =0时x =5， ∴C(0,5)，F(5,0)， 则OC =OF =5，∴△OCF 为等腰直角三角形， ∴CF =√2OC =5√2，则当OM 垂直CF 于M 时，由垂线段最短可知，OM 有最小值， 即OM =12CF =5√22．【解析】(1)将点A(4,1)代入y=m 2−3mx，即可求出m的值，进一步可求出反比例函数解析式；(2)先证△CDB∽△CEA，由CE=4CD可求出BD的长度，可进一步求出点B的坐标，以及直线AC的解析式，直线AC 与坐标轴交点的坐标，可证直线AC与坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，利用垂线段最短可求出OM长度的最小值．本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质，垂线段最短等定理，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质．26.【答案】解：(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE；(2)如图2，过点A作AM⊥BC交BC于点M，在Rt△ABM中，设BM=4k，则AM=BM⋅tanB=4k×34=3k，由勾股定理，得到AB2=AM2+BM2，∴202=(3k)2+(4k)2，∴k=4或−4(舍弃)，∵AB=AC，AM⊥BC，∴BC=2BM=2⋅4k=32，∵DE//AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB，∴∠BAD=∠BCA，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴AB CB =DBAB，∴DB=AB 2CB =20232=252，第20页，共21页……外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……∵DE//AB ， ∴AEAC =BDBC ， ∴AE =AC⋅BD BC=20×25232=12516； (3)点D 在BC 边上运动的过程中，存在BD =18时，使得DF =CF ．理由：过点F 作FH ⊥BC 交BC 于点H ，过点A 作AM ⊥BC 交BC 于点M 、作AN ⊥FH 交FH 于点N ， 则∠NHM =∠AMH =∠ANH =90°，∴四边形AMHN 为矩形， ∴∠MAN =90°，MH =AN ，由(2)知，BM =CM =16，BC =32，AM =√AB 2−BM 2=√202−162=12， ∵AN ⊥FH ，AM ⊥BC ， ∴∠ANF =90°=∠AMD ， ∵∠DAF =90°=∠MAN ， ∴∠NAF =∠MAD ， ∴△AFN∽△ADM ，∴ANAM =AFAD =tan∠ADF =tanB =34， ∴AN =34AM =34×12=9，∴CH =CM −MH =CM −AN =16−9=7，当DF =CF 时，由点D 不与点C 重合，可知△DFC 为等腰三角形， ∵FH ⊥DC ， ∴CD =2CH =14，∴BD =BC −CD =32−14=18．∴点D 在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF =CF ，此时BD =18．【解析】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；(2)解直角三角形求出BC ，由△ABD∽△CBA ，推出AB CB =DB AB ，可得DB =AB 2CB =20232=252，由DE//AB ，推出AE AC =BD BC ，求出AE 即可； (3)点D 在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF =CF.过点F 作FH ⊥BC 交BC 于点H ，过点A 作AM ⊥BC 交BC 于点M 、作AN ⊥FH 交FH 于点N ，则∠NHM =∠AMH =∠ANH =90°，由△AFN∽△ADM ，可得AN AM =AF AD =tan∠ADF =tanB =34，推出AN =34AM =34×12=9，推出CH =CM −MH =CM −AN =16−9=7，再利用等腰三角形的性质，求出CD 即可解决问题．。