5.1.1变化率问题(第1课时)教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版选择性

与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系
2() 4.9 2.811h t t t =-++．
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
任务一：求平均速度
直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快. 能不能用我们已经学过的知识解释刚才的“直觉”？ 问题1：运动的快慢程度用哪个物理量来描述？ 【预设】速度；
因此我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间的平均速度v 近似地描述他的运动状态． 追问1：怎么求平均速度呢？
【预设】平均速度=位移的变化÷通过这段位移所用的时间即位移的平均变化率 即1
212)
()(t t t s t s --=
υ（对比斜率公式的结构）
0>∆t 时，]1,1[t ∆+内
0<∆t 时，]11[，
t ∆+内 2222
(1)(1)
11
4.9(1) 2.8(1)11( 4.91 2.8111)4.9[(1)1] 2.8(11)4.9(11) 2.84.9(11) 2.84.97h t h v t t t t t t t t t t t t t +∆-=
+∆--+∆++∆+--⨯+⨯+=∆-+∆-++∆-=∆-∆⨯+∆++∆=∆=-⨯+∆++=-∆-
2
222(1)(1)1(1)4.91 2.8111[ 4.9(1) 2.8(14.9[1(1)] 2.8[1(1)]4.9()(11) 2.8()4.9(11) 2.84.97
h h t v t t t
t t t
t t t t
t t -+∆=
-+∆-⨯⨯+--+∆+=
-∆--+∆+-+∆=
-∆--∆⨯+∆++-∆=
-∆=-⨯+∆++=-∆-
为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔t ∆，用平均速度v 近似表示运
动员在t ＝1时的瞬时速度．
追问1：给出更多的t ∆的值，当t ∆无限趋近于0时，平均速度υ有什么样的变化趋势？
当t ∆无限趋近于0时，即无论t 从大于1的一边，还是从小于1的一边无限趋近于1，平均速度υ都无限趋势于7-.
数据直观：利用表格区演示数值逼近（课上现场做表，左右趋近都是确定的值，且相等） 几何直观：利用绘图区演示割线逼近切线
追问2：你认为通过上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗？
通过前面计算平均速度的值，尽管我们发现“随着时间间隔的不断缩小，平均速度越来越接近于常数7-”，但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征.所以需要从更加理性的角度加以说明.我们可以把刚才的过程进一步梳理：
借助解析式体会逼近符号的解释强调
（瞬时速度就是位移的瞬时变化率）
这样我们就把求某一具体时刻瞬时速度的方法推广到了一般情形.我们通过不断缩小时间间隔，用平均速度逼近瞬时速度，也就是说，瞬时速度是平均速度的极限.无限逼近的极限思想，正是微积分学的基础. 【设计意图】将求某一具体时刻瞬时速度的方法推广到一般情形，一方面使学生体会从特殊到一般的数学思想方法，从算法角度体会求瞬时速度的过程，提升数学运算素养；另一方面为概括瞬时变化率的概念作铺垫.
任务四：观察在情景中的函数118.29.4)(2
++-=t t t h 图像，平均速度
1
)1()
1()1(-∆+-∆+=
t h t h υ的几何意义是什么？瞬时速度)1(υ呢？
平均速度υ的几何意义是割线的斜率，瞬时速度)1(υ的几何意义是函数)(t h 在点
))1(,1(h 处切线的斜率
任务五：回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
1.从知识角度，我们主要研究了高台跳水运动员起跳后的运动状态的问题. 我们先研究了
运动员起跳后某一时间段内的平均速度，再不断的将时间间隔缩小，随着时间间隔不断趋近于0，我们分别用计算和极限的方法，求得了瞬时速度，并由此得到任意时刻t 0瞬时速度的表达式. 通过这个过程，我们认识到瞬时速度是时间间隔趋近于零时，平均速度的极限.
2.从研究方法上看，我们用无限逼近的方法，通过平均速度求得了瞬时速度，这其中蕴含着极限思想.无限逼近的极限思想，正是导数研究中的重要思想方法和基础. 此外，我们通过一些具体时刻的瞬时速度，推广得到了任意时刻t 0的瞬时速度表达式，这种从特殊到一般的研究方式，是数学研究中的常用方法.
对变化率的理解
某一时刻0t 对应的瞬时速度的求法
设0t 的变化量为t
∆ 计算00()()
h t t h t +∆-
00()()
h t t h t t
+∆-∆
0t ∆→
0000()()
lim lim t t h t t h t v t
∆→∆→+∆-=∆的值即为所求的瞬时速度.
【设计意图】总结本节课的学习内容和思想方法，为抽象概括导数的概念奠定
下节课学习
给出下列四个结论：
① 在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
① 在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
① 在23[,]t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
① 在12[,]t t ,23[,]t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是 .
注：对符号化的解释；图形的直观认识；某一刻的位移变化快慢（能表示吗，怎么表示）；。