高等代数不变子空间
高等代数7-7不变子空间
设
(
2
)
a12 1
a22
2
ak 2 k
( k ) a1k1 a2k 2 akk k
从而， (1,2, , n )
(1, 2 ,
a11 a12
a11
a11
,
n
)
ak1 0
ak 2 0
0 0
a1k a1,k1 a2k a2,k1
akk ak ,k1 0 ak1,k1
0 an,k1
又 fi ( ),( i )ri 1.
∴ 有多项式 u( ),v( ) ，使
u( ) fi ( ) v( )( i )ri 1
从而 u( ) fi ( ) v( )( i E)ri E
i E(i ) u( ) fi ( ) v( )( i E)ri (i ) u( ) fi ( )(i ) v( ) ( i E)ri (i )
( i E )ri (i ) ( i E )ri ( ) 0
从而有 ( i E )ri (i ) 0, i 1, 2, , s. 即 i Vi , 1 2 s V1 V2 Vs 又 1 2 s 0,
由 2 ，V1 V2 Vs 是直和，它的零向量分解式
唯一. i 0, i 1,2, , s.
11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns
为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2
.
As
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
证：令 1 1 2 , 2 1 3
高等代数 第8章线性变换 8.5 不变子空间 特征值 特征向量
b1 1 b2 2 bn n
是属于的特征向量的充分 必要条件是： b1 0 b2 0 I A b 0 n
推论1：设n维线性空间V上的 线性变换在基底上的表示阵 为A，是的特征根，则 V 是由V中坐标（在基底上的） 满足齐次线性方程组：
（证明略）
定义2：设是线性空间V上的 线性变换，是数域F中的一个 数，如果存在一个非零 向量 使得（） 则称是 的特征根，称 为属于特征根
的特征向量。
定理1：设V是n维线性空间， ， ， ， 是它的基底， V 上 1 2 n 的线性变换在基底上的表示阵 为A，是的特征根，则向量
b11 b1r b21 b2 r 1 ,, r 则： b b n1 nr k 1 1 k 2 2 k r r 即为
的属于 0 的特征向量。
Байду номын сангаас
特征根与特征向量的性质
定理1：若n维线性空间V的线性变换
在某基底 1， ， 2， n 上的表示阵
为A，A的特征多项式为： （） I A，如果 0 是其K重根 V V （）
0
则V
的维数不超过 K，这里：
0
0
定理2： 对应于的不同特征根的特征 向量是不同的 推论：如果n维线性空间的线性变换 有n个不同的特征根那么它有n 个线性无关的特征向量，因此 在这些特征向量上的表示阵是 对角阵。
不变子空间，特征根与特征向量
定义1 设是数域F上线性空间V的线性变换， W是V的子空间，如果
则称W在之下不变，简称W为V的 —子空间。
命题1：设S是V n 子空间， t 是S 1， 2， 的基底，是V n 的线性变换，则 S是的 不变子空间的充分必要 条件是：
不变子空间的充要条件
不变子空间的充要条件不变子空间是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵和线性变换的研究中起着关键的作用。
在深入探讨不变子空间的性质之前，我们首先需要了解什么是子空间和线性变换。
子空间是指向量空间中的一个非空子集，它满足以下三个条件：首先，子空间中的任意两个向量的和仍然在子空间内；其次，子空间中的任意向量与任意标量的乘积仍然在子空间内；最后，子空间中包含零向量。
线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，且保持加法和标量乘法运算。
简而言之，线性变换是一种保持线性性质的变换。
在研究线性变换时，我们经常关注的是它的不变子空间。
不变子空间是指在线性变换之后，向量空间中的某个子空间仍然保持不变。
具体来说，如果一个向量空间V经过线性变换T之后的子空间W 满足T(W) = W，那么W就是线性变换T的一个不变子空间。
接下来，我们将讨论不变子空间的充要条件。
设V是一个向量空间，T是V上的一个线性变换，W是V的一个子空间。
那么W是线性变换T的一个不变子空间的充要条件有两个方面：充分条件：如果W是线性变换T的一个不变子空间，那么对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W。
换句话说，线性变换T作用在W中的任意一个向量上得到的结果仍然在W中。
必要条件：如果对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W，那么W是线性变换T的一个不变子空间。
换句话说，线性变换T作用在W中的任意一个向量上得到的结果仍然在W中，则W是线性变换T的一个不变子空间。
通过充分条件和必要条件的双向推导，我们可以得出不变子空间的充要条件。
简而言之，不变子空间的充要条件是：对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W，同时对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W。
接下来，我们具体讨论一下不变子空间的性质。
首先，我们可以证明一个线性变换T的不变子空间必然包含零向量。
因为线性变换T 对于向量空间V中的零向量的作用结果仍然是零向量，所以零向量一定属于不变子空间。
高等代数章节件
(1, 2, …, n)B=(1, 2, …, n)T1AT. 所以 B=T1AT. 即:
同一线性变换关于两个基的矩阵是相似的. 反之, 两相似矩阵可以看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.
7.4 不变子空间
设V是数域F上的一个向量空间, 是V的一个线性变换. 定义 设W是V的一个子空间, 如果(W)W, 则称W在线性变换 之下不变, 或说W是的一个不变子空间. 例 1 V本身和零子空间{V}是任何变换的不变子空间. 例 2 的象Im()和核Ker()都是的不变子空间. 例 3 任何一个子空间都是位似变换的不变子空间. 例 4 设L是V3中一条过程原点的直线, 是V3的一个以为轴的旋 转变换. 那么L是的一个一维不变子空间, 过程原点与L垂直的平面 H是的一个二维不变子空间. 例 5 设F[x]是F上的一元多项式所成的向量空间, Fn[x]是次数 不超过n的多项式及零多项式所成的子空间. 则Fn[x]是求导变换的不 变子空间.
一个 (nr)r 阶零矩阵
如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2. 可用W1 的基1, 2, …, r 与W2的基r+1, …, n组成V的一个基. 如果W1与W2 是的不变子空间, 则关于这个基的矩阵是
A1 O O A2
|W1关于W1的基1, 2, …, r 的矩阵 |W2关于W2的基r+1, 2, …, n 的矩阵
n阶矩阵A叫线性变换关于基{1, 2, …, n}的矩阵. 对于给定的线 性变换和取定的基, 它是唯一确定的.
将等式(1)写为矩阵的形式就是
((1), (2), …, (n))=(1, 2, …, n)A. 设= x11+x22+…+xnn是V的任一向量. 所以
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。
性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。
高等代数
一个线性变换的所有不变子空间探讨摘 要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的所有不变子空间，在高等代数教材中也只是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论.本文首先给出了线性变换与不变子空间的定义，然后介绍线性变换以及不变子空间的性质，讨论了复数域及一般数域P 上的线性空间的线性变换的不变子空间.同时本文总结了求解一个线性变换所有不变子空间的方法，并且结合一些实例加以应用.关键词：线性变换，子空间，不变子空间引言线性变换与不变子空间是高等代数中的重要的概念，但是对于一个线性变换的所有不变子空间的探讨，在高等代数教材中也只是粗略的讲解一下.为了增加这方面的知识，本文首先给出了线性变换，子空间的定义和不变子空间的性质,由线性变换与不变子空间的相关定理,得出复数域上和一般数域P 上的线性变换的所有不变子空间. 这样对每一个具体的线性变换,我们能表示出它的不变子空间,所以本文尝试探究一个线性变换的所有不变子空间的求法，又给出了一些具体应用事例.本文如不特别指明,所考虑的线性空间V 都是某一数域P 上的线性空间V，线性空间V 上的线性变换的集合为L(V).一、预备知识（一）、线性变换和不变子空间定义定义1[1] 线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对于V 中任意的元素,αβ和数域P 中任意数k ，都有()()()σαβσασβ+=+()()k k σασα=定义2[1] 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间.如果W中的向量在σ下的像仍然在W 中,换句话说,对于W 中任意一个向量ξ,有(),W σξ∈我们W是σ的不变子空间,简称σ-子空间.（二）、不变子空间的性质性质1[2] 设()L V σ∈，1V ，2V 都是σ的不变子空间，则1212,V V V V + 都是σ的不变子空间. 性质2[2] 设()L V σ∈，若1V 为σ的不变子空间，则1V 也是()f σ的不变子空间，其中()f x 是数域P 上x 的多项式. 性质3[3] 设()L V σ∈，若σ可逆且1V 为σ的不变子空间，则1V 也为1σ-的不变子空间.性质4[3] 设W 是线性变换σ，τ的不变子空间，则W 在στ+，στ下也不变.二、复数域上线性变换的所有不变子空间我们来研究Jordan 块mmJ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ11定理4[2] 设V 是复数域上n 维线性空间，σ是V 的线性变换，在基1α，2α， ，n α 下的矩阵是一若当标准形11A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：σ有且仅有{}0和以下非零不变子空间1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in =证明 由不变子空间性质可知，{}0是σ的不变子空间.又由于A 中一阶主子式所在列的其他元素全部是零的只有第n 列，因此一维不变子空间仅有()n L α；A 中二阶主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第1n -，n 列的主子式，故二维不变子空间只有1(,)n n L αα-，以此类推可得，A中所在列的其他元素均为零的1n -阶主子式为第2,,n 列的主子式为111n λλλ-.因此σ的1n -维不变子空间仅有2(,,)n L αα ，而n 维不变子空间只有12(,,,)n V L ααα=综上，于是得到σ的非零不变子空间有且仅有n 个1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in = .注：由此证明了以下推论：推论1 V 中包含1α的σ的不变子空间只有V 自身； 推论2 V 中σ的任一非零不变子空间都包含n α； 推论3 V 不能分解成σ的两个非平凡不变子空间的直和；1111(,,,)ii i i in n jn j n n W L ααα---++++= ，(1,2,,)i jn =，(1,2,,)is = .定理4[1] 在复数域上 （1）如果线性变换σ是一个对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（2）如果线性变换σ是一个反对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（3）如果线性变换σ是一个酉变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.三、一般数域P 上的线性变换的不变子空间例1 对任意的()L V σ∈,V本身及零子空间都是σ的不变子空间,称为平凡不变子空间.例2 对任意的()L V σ∈,分别称 (){V V σα=∈︱,}V βασβ∃∈=1(0){Vσα-=∈︱0}σα=为σ的像与核.容易证得()v σ与1(0)σ-都是σ的不变子空间.例3[6] 设()L V σ∈，λ是σ的一个特征值，()L V ε∈为V的恒等变换，则称{VVα*=∈︱存在正整数k ，()0}kλεσα-=为σ的对应于λ的根子空间，Vα*∈称为σ的属于λ的高为k 的根向量，V λ*为σ的不变子空间. 证明 若∀,V λαβ*∈，其高分别为12,k k ，令12m a x {,}kk k =，则,a bP∈，()()[()()][()Kkka b a b λεσαβλεσαλεσβ-+=-+- 1122[()()()][()()()]k k kk k k a b λεσλεσαλεσλεσβ--=--+--12[()(0)][()(0)]k k k k a b λεσλεσ--=-+-= 0故V λ*为V 的子空间.又设Vα*∈且高为k ，则()()[()]kkλεσσαλεσσα-=- = [()]kσλεσα-=(0)σ= 0 故V λ*为σ的不变子空间.四、应用举例例4[8]设σ是2R 的线性变换，σ在基12,εε下矩阵2512A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求σ的所有不变子空间解 在V 中至少有以下四个σ的不变子空间：2R ，{0}，2()R σ，1(0)σ-，又A ≠，知σ为可逆的线性变换. 故，2()R σ=2R ，1(0)σ-={0}，此外若还有其它不变子空间必是一维的，因而应为特征向量所生成，但是由于σ的特征多项式2()1f λλ=+无实根，故σ在R 中无特征值，从而没有实特征向量，这表明σ仅有两个平凡的不变子空间.结论 （1）在求σ的所有不变子空间时，既不能漏掉也不能重复. （2）给定σ后，线性空间V 中至少有V ，{0}，()V σ，1(0)σ-四个不变子空间， 然后再设法去找其他的不变子空间.结束语本文在一个线性变换的所有不变子空间等知识具备的条件下，借助一定的数学思想方法，探讨与研究了一个线性变换的所有不变子空间，通过一些具体事例的求解,归纳、总结了求解线性变换的所有不变子空间的方法. 由于学习知识的有限,对求解线性变换的所有不变子空间的方法可能不够系统与全面，在以后的学习中我会继续加强对相关知识的学习与总结, 进而进一步加深对相关理论知识的理解.。
求不变子空间的方法
求不变子空间的方法
那啥是不变子空间呢？简单说啊，就是对于一个线性变换，有个空间在这个变换下，就像被保护起来似的，这个空间里的向量经过变换后还在这个空间里，这就是不变子空间啦。
一种常见的方法呢，就是从特征向量入手。
你想啊，如果一个向量是某个线性变换的特征向量，那由这个特征向量生成的一维子空间就是不变子空间哦。
比如说，对于线性变换T，向量v是它的特征向量，也就是T(v)=λv（这里λ是特征值），那{v}这个一维空间就是不变子空间啦。
还有啊，如果有一组线性无关的特征向量，那由它们张成的子空间也是不变子空间呢。
这就像是一群小伙伴，每个小伙伴自己就是个小不变子空间，合起来也是个大一点的不变子空间啦。
再就是从矩阵的角度看。
如果能把矩阵A化成块对角矩阵，那每一个对角块对应的列向量张成的子空间就是不变子空间。
这就好比把一个大的空间划分成了几个小空间，每个小空间都有自己的小规则，在变换下各自安好，不互相干扰。
另外呢，对于一些特殊的线性变换，比如投影变换。
投影到某个子空间的投影变换，那个被投影的子空间本身就是不变子空间呀。
就像光投影到墙上，墙这个空间就是光投影变换下的不变子空间呢。
宝子，求不变子空间其实也没那么难啦，只要抓住这些小窍门，多做几道题，就会慢慢有感觉的。
就像交朋友一样，刚开始觉得陌生，混熟了就好啦。
加油哦，宝子，我相信你肯定能掌握这个小知识点的！。
不变子空间——精选推荐
在 Im中任取一个向量 ()，其中 k1i ，则
i 1
n
( ) ki (i ) km1 (m1 ) kn (n ) ． (6)
i 1
因此，Im= L( (m1),, (n )) ．从而 Im是有限维的．我们来证 (m1),, (n ) 线性无关．设
第 7.6.3 页
辽东学院教案纸
1V () [u1( ) f1( ) u2 ( ) f2 ( )]()
u1( ) f1( )() u2 ( ) f2 ( )() ．
第 7.6.5 页
辽东学院教案纸
课程：高等代数
令 1 u2 ( ) f2 ( )(),2 u1( ) f1( )() ，则
f1( )(1) f1( )[u2 ( ) f2 ( )()] u2 ( )[ f1( ) f2 ( )]() u2 ( )( f ( )()) ．
对于 Ker、Im，我们有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理 7.6.2 设 V 是有限维向量空间，∈Hom(V，W)，则 Ker
与 Im都是有限维的，并且
dim Ker+dim Im=dimV．
(5)
证 因为 V 是有限维的，所以它的子空间 Ker是有限维的．取
Ker的一个基 1，，m ，把它们扩充成 V 的一个基
1，，m ， m1,,n ．
则 是单射的，当 且仅当 是满 射．
证 是单射 Ker=0dimIm=dimV=dimWIm=W是满
射．
推论 7.6.2 有限维向量空间 V 上的线性变换是单射的，当且仅
当它是满射 ．
请注意，对于有限维向量空间 V 上的线性变换，虽然子空间 Ker
与 Im的维数之和等于 dimV，但是 Ker+Im并不一定是空间 V ．例
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A -子空间.
任取 α ∈ ImA ，因为 A α ∈ ImA ，所以 ImA 是 A -子空间.
任取
α
∈
Vλi ，因为
A
α
=
λiα
∈
V ，所以 V 是 A -子空间. λi
λ . . . i . . . . . . . . . . . . .
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证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
B(A α) = (BA )α = (A B)α = A (Bα) = A (0) = 0. 因此 A α ∈ ker B，从而 ker B 是 A -子空间.
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显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间.
命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是 A -子空间. 任取 α ∈ ImA ，因为 A α ∈ ImA ，所以 ImA 是 A -子空间.
不变子空间的常见例子
命题 如果线性变换 A 与 B 可交换（即 A B = BA ），则 ker B， ImB，ຫໍສະໝຸດ 的特征子空间都是 A -子空间.
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不变子空间的常见例子
命题 如果线性变换 A 与 B 可交换（即 A B = BA ），则 ker B， ImB，B 的特征子空间都是 A -子空间. 证 任取 α ∈ ker B，则 Bα = 0. 于是
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间. 命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间. 命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
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不变子空间概念的背景
我们讨论了可对角化的线性变换，不可以对角化的线性变换，其 结构又如何呢？解决这个问题的思路是什么？我们知道，A 是 可对角化的线性变换当且仅当空间 V 能分解成 A 的特征子空间 的直和. 由此受到启发，研究不可以对角化的线性变换的结构， 能不能以研究线性空间 V 分解成与 A 有关的特殊类型的子空间 的直和入手？这节就来讨论这个问题. 注意 A 的特征子空间 Vλi 具有如下性质：若 α ∈ Vλi，则 A α = λiα ∈ Vλi，这启发我们引 入 A 的不变子空间的概念.
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间.
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间.
命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是
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不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.