关于线性变换的不变子空间研究
不变子空间的充要条件
不变子空间的充要条件不变子空间是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵和线性变换的研究中起着关键的作用。
在深入探讨不变子空间的性质之前，我们首先需要了解什么是子空间和线性变换。
子空间是指向量空间中的一个非空子集，它满足以下三个条件：首先，子空间中的任意两个向量的和仍然在子空间内；其次，子空间中的任意向量与任意标量的乘积仍然在子空间内；最后，子空间中包含零向量。
线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，且保持加法和标量乘法运算。
简而言之，线性变换是一种保持线性性质的变换。
在研究线性变换时，我们经常关注的是它的不变子空间。
不变子空间是指在线性变换之后，向量空间中的某个子空间仍然保持不变。
具体来说，如果一个向量空间V经过线性变换T之后的子空间W 满足T(W) = W，那么W就是线性变换T的一个不变子空间。
接下来，我们将讨论不变子空间的充要条件。
设V是一个向量空间，T是V上的一个线性变换，W是V的一个子空间。
那么W是线性变换T的一个不变子空间的充要条件有两个方面：充分条件：如果W是线性变换T的一个不变子空间，那么对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W。
换句话说，线性变换T作用在W中的任意一个向量上得到的结果仍然在W中。
必要条件：如果对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W，那么W是线性变换T的一个不变子空间。
换句话说，线性变换T作用在W中的任意一个向量上得到的结果仍然在W中，则W是线性变换T的一个不变子空间。
通过充分条件和必要条件的双向推导，我们可以得出不变子空间的充要条件。
简而言之，不变子空间的充要条件是：对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W，同时对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W。
接下来，我们具体讨论一下不变子空间的性质。
首先，我们可以证明一个线性变换T的不变子空间必然包含零向量。
因为线性变换T 对于向量空间V中的零向量的作用结果仍然是零向量，所以零向量一定属于不变子空间。
不变子空间的交还是不变子空间证明
不变子空间的交还是不变子空间证明摘要：一、不变子空间的概念与性质二、不变子空间的交与和三、证明不变子空间的交还是不变子空间四、不变子空间问题的应用与研究现状正文：不变子空间是线性代数中的一个重要概念，它是指在线性变换下保持不变的子空间。
不变子空间的研究不仅具有理论意义，而且在实际应用中也具有重要意义。
本文将从不变子空间的概念与性质、不变子空间的交与和、证明不变子空间的交还是不变子空间以及不变子空间问题的应用与研究现状四个方面进行阐述。
一、不变子空间的概念与性质不变子空间是指在线性变换下保持不变的子空间。
给定一个线性变换T和其不变子空间W，我们可以证明T(W)仍然是W的一个不变子空间。
这个性质可以通过以下方式证明：对于任意的a、b属于W，有a、b属于W，a、b属于U，其中U是V的线性变换T的不变子空间。
因此，T(a)和T(b)属于W，所以T(W)仍然是W的一个不变子空间。
二、不变子空间的交与和我们知道，两个不变子空间的交集仍然是它们的不变子空间。
这个性质可以通过以下方式证明：对于任意的a、b属于W1和W2，有a、b属于W1，a、b属于W2，且W1、W2是V的线性变换T的不变子空间。
因此，T(a)和T(b)属于W1∩W2，所以T(W1∩W2)仍然是W1和W2的交集的一个不变子空间。
同样地，两个不变子空间的和也是它们的不变子空间。
这个性质可以通过以下方式证明：对于任意的a、b属于W1和W2，有a、b属于W1，a、b 属于W2，且W1、W2是V的线性变换T的不变子空间。
因此，T(a+b) = T(a) + T(b) 属于W1+W2，所以T(W1+W2)仍然是W1和W2的和的一个不变子空间。
三、证明不变子空间的交还是不变子空间接下来，我们需要证明不变子空间的交仍然是不变子空间。
假设W1和W2是V的线性变换T的不变子空间，我们需要证明T(W1∩W2)仍然是W1和W2的交集的一个不变子空间。
对于任意的a、b属于W1∩W2，有a、b属于W1，a、b属于W2。
高等代数
一个线性变换的所有不变子空间探讨摘 要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的所有不变子空间，在高等代数教材中也只是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论.本文首先给出了线性变换与不变子空间的定义，然后介绍线性变换以及不变子空间的性质，讨论了复数域及一般数域P 上的线性空间的线性变换的不变子空间.同时本文总结了求解一个线性变换所有不变子空间的方法，并且结合一些实例加以应用.关键词：线性变换，子空间，不变子空间引言线性变换与不变子空间是高等代数中的重要的概念，但是对于一个线性变换的所有不变子空间的探讨，在高等代数教材中也只是粗略的讲解一下.为了增加这方面的知识，本文首先给出了线性变换，子空间的定义和不变子空间的性质,由线性变换与不变子空间的相关定理,得出复数域上和一般数域P 上的线性变换的所有不变子空间. 这样对每一个具体的线性变换,我们能表示出它的不变子空间,所以本文尝试探究一个线性变换的所有不变子空间的求法，又给出了一些具体应用事例.本文如不特别指明,所考虑的线性空间V 都是某一数域P 上的线性空间V，线性空间V 上的线性变换的集合为L(V).一、预备知识（一）、线性变换和不变子空间定义定义1[1] 线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对于V 中任意的元素,αβ和数域P 中任意数k ，都有()()()σαβσασβ+=+()()k k σασα=定义2[1] 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间.如果W中的向量在σ下的像仍然在W 中,换句话说,对于W 中任意一个向量ξ,有(),W σξ∈我们W是σ的不变子空间,简称σ-子空间.（二）、不变子空间的性质性质1[2] 设()L V σ∈，1V ，2V 都是σ的不变子空间，则1212,V V V V + 都是σ的不变子空间. 性质2[2] 设()L V σ∈，若1V 为σ的不变子空间，则1V 也是()f σ的不变子空间，其中()f x 是数域P 上x 的多项式. 性质3[3] 设()L V σ∈，若σ可逆且1V 为σ的不变子空间，则1V 也为1σ-的不变子空间.性质4[3] 设W 是线性变换σ，τ的不变子空间，则W 在στ+，στ下也不变.二、复数域上线性变换的所有不变子空间我们来研究Jordan 块mmJ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ11定理4[2] 设V 是复数域上n 维线性空间，σ是V 的线性变换，在基1α，2α， ，n α 下的矩阵是一若当标准形11A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：σ有且仅有{}0和以下非零不变子空间1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in =证明 由不变子空间性质可知，{}0是σ的不变子空间.又由于A 中一阶主子式所在列的其他元素全部是零的只有第n 列，因此一维不变子空间仅有()n L α；A 中二阶主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第1n -，n 列的主子式，故二维不变子空间只有1(,)n n L αα-，以此类推可得，A中所在列的其他元素均为零的1n -阶主子式为第2,,n 列的主子式为111n λλλ-.因此σ的1n -维不变子空间仅有2(,,)n L αα ，而n 维不变子空间只有12(,,,)n V L ααα=综上，于是得到σ的非零不变子空间有且仅有n 个1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in = .注：由此证明了以下推论：推论1 V 中包含1α的σ的不变子空间只有V 自身； 推论2 V 中σ的任一非零不变子空间都包含n α； 推论3 V 不能分解成σ的两个非平凡不变子空间的直和；1111(,,,)ii i i in n jn j n n W L ααα---++++= ，(1,2,,)i jn =，(1,2,,)is = .定理4[1] 在复数域上 （1）如果线性变换σ是一个对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（2）如果线性变换σ是一个反对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（3）如果线性变换σ是一个酉变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.三、一般数域P 上的线性变换的不变子空间例1 对任意的()L V σ∈,V本身及零子空间都是σ的不变子空间,称为平凡不变子空间.例2 对任意的()L V σ∈,分别称 (){V V σα=∈︱,}V βασβ∃∈=1(0){Vσα-=∈︱0}σα=为σ的像与核.容易证得()v σ与1(0)σ-都是σ的不变子空间.例3[6] 设()L V σ∈，λ是σ的一个特征值，()L V ε∈为V的恒等变换，则称{VVα*=∈︱存在正整数k ，()0}kλεσα-=为σ的对应于λ的根子空间，Vα*∈称为σ的属于λ的高为k 的根向量，V λ*为σ的不变子空间. 证明 若∀,V λαβ*∈，其高分别为12,k k ，令12m a x {,}kk k =，则,a bP∈，()()[()()][()Kkka b a b λεσαβλεσαλεσβ-+=-+- 1122[()()()][()()()]k k kk k k a b λεσλεσαλεσλεσβ--=--+--12[()(0)][()(0)]k k k k a b λεσλεσ--=-+-= 0故V λ*为V 的子空间.又设Vα*∈且高为k ，则()()[()]kkλεσσαλεσσα-=- = [()]kσλεσα-=(0)σ= 0 故V λ*为σ的不变子空间.四、应用举例例4[8]设σ是2R 的线性变换，σ在基12,εε下矩阵2512A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求σ的所有不变子空间解 在V 中至少有以下四个σ的不变子空间：2R ，{0}，2()R σ，1(0)σ-，又A ≠，知σ为可逆的线性变换. 故，2()R σ=2R ，1(0)σ-={0}，此外若还有其它不变子空间必是一维的，因而应为特征向量所生成，但是由于σ的特征多项式2()1f λλ=+无实根，故σ在R 中无特征值，从而没有实特征向量，这表明σ仅有两个平凡的不变子空间.结论 （1）在求σ的所有不变子空间时，既不能漏掉也不能重复. （2）给定σ后，线性空间V 中至少有V ，{0}，()V σ，1(0)σ-四个不变子空间， 然后再设法去找其他的不变子空间.结束语本文在一个线性变换的所有不变子空间等知识具备的条件下，借助一定的数学思想方法，探讨与研究了一个线性变换的所有不变子空间，通过一些具体事例的求解,归纳、总结了求解线性变换的所有不变子空间的方法. 由于学习知识的有限,对求解线性变换的所有不变子空间的方法可能不够系统与全面，在以后的学习中我会继续加强对相关知识的学习与总结, 进而进一步加深对相关理论知识的理解.。
线性代数中的特征空间与不变子空间
线性代数中的特征空间与不变子空间线性代数是数学中非常重要的一个分支，其中特征空间与不变子空间是其中的两个关键概念。
本文将详细介绍特征空间与不变子空间的定义、性质以及它们在线性代数中的应用。
一、特征空间特征空间是矩阵理论中的概念，它是由特征向量生成的线性子空间。
特征向量是指在线性变换下只发生伸缩而不改变方向的向量。
在给定一个n阶方阵A时，我们可以通过求解方程Av=λv来得到A 的特征向量v和对应的特征值λ。
值得注意的是，特征值λ可以是复数，而特征向量v是非零向量。
特征空间由与特征值λ对应的所有特征向量v线性组合而成。
对于不同的特征值，它们对应的特征向量所生成的子空间是不同的，但特征空间的维数是相同的，即特征空间的维数等于特征值的重数。
特征空间在线性代数中有广泛的应用，例如它可以用来求解线性常微分方程组，研究矩阵的相似性等。
二、不变子空间不变子空间是线性变换的一个重要性质，它指的是在变换过程中保持不变的向量子空间。
具体来说，对于一个线性变换T：V→V，如果存在子空间W⊆V，使得对于任意属于W的向量v，都有T(v)∈W，那么W被称为线性变换T的不变子空间。
不变子空间的概念可以简单理解为线性变换T在子空间W上的限制。
由于T对W中的向量执行的操作还是在W中，所以W是由T的特征向量组成的特征空间。
不变子空间的研究对于理解和分析线性变换的性质非常有帮助。
通过研究不变子空间，我们可以得到线性变换在该空间上的限制性质，从而更好地理解矩阵或线性变换的结构与性质。
三、特征空间与不变子空间的关系特征空间和不变子空间在某种程度上是相互关联的。
特征空间是由特征向量生成的线性子空间，而不变子空间则是线性变换的限制性质。
在某些情况下，特征空间可以同时作为不变子空间存在。
具体来说，如果对于一个线性变换T，其特征空间与某些不变子空间重合，即存在一些特征向量可以同时满足特征空间和不变子空间的定义，则这些特征向量所生成的特征空间就是不变子空间的一部分。
求不变子空间的方法
求不变子空间的方法
那啥是不变子空间呢？简单说啊，就是对于一个线性变换，有个空间在这个变换下，就像被保护起来似的，这个空间里的向量经过变换后还在这个空间里，这就是不变子空间啦。
一种常见的方法呢，就是从特征向量入手。
你想啊，如果一个向量是某个线性变换的特征向量，那由这个特征向量生成的一维子空间就是不变子空间哦。
比如说，对于线性变换T，向量v是它的特征向量，也就是T(v)=λv（这里λ是特征值），那{v}这个一维空间就是不变子空间啦。
还有啊，如果有一组线性无关的特征向量，那由它们张成的子空间也是不变子空间呢。
这就像是一群小伙伴，每个小伙伴自己就是个小不变子空间，合起来也是个大一点的不变子空间啦。
再就是从矩阵的角度看。
如果能把矩阵A化成块对角矩阵，那每一个对角块对应的列向量张成的子空间就是不变子空间。
这就好比把一个大的空间划分成了几个小空间，每个小空间都有自己的小规则，在变换下各自安好，不互相干扰。
另外呢，对于一些特殊的线性变换，比如投影变换。
投影到某个子空间的投影变换，那个被投影的子空间本身就是不变子空间呀。
就像光投影到墙上，墙这个空间就是光投影变换下的不变子空间呢。
宝子，求不变子空间其实也没那么难啦，只要抓住这些小窍门，多做几道题，就会慢慢有感觉的。
就像交朋友一样，刚开始觉得陌生，混熟了就好啦。
加油哦，宝子，我相信你肯定能掌握这个小知识点的！。
7.7 不变子空间
则在这组
A 1
A2
⋱ As
(4)
其中 Ai ( i = 1 , 2 , … , s ) 就是 A |W 在基 (3) 下的 矩阵. 矩阵. 反之，如果线性变换 A 在基 I 下的矩阵是准 反之， 对角形 (4) ，则由 (3) 生成的子空间 Wi 是A - 子空间. 子空间. 由此可知， 由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为 不变子空间的直和是相当的. 不变子空间的直和是相当的.
变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在A 的子空间. 变换， 下 换句话说， 的像仍在 W 中，换句话说，对于 W 中任一向量 ξ 有 A ξ ∈ W，我们就称 W 是 A 的 不变子空间， 不变子空间， 简称 A - 子空间. 子空间.
二、举例
例 1 整个空间 V 和零子空间 { 0 }，对于每个 ，
那么， 那么， A 在这组基下的矩阵就具有下列形状
(1)
a11 ⋮ a k1 0 ⋮ 0
⋯ a1k ⋮ ⋯ akk ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0
a1,k+1 ⋮ ak,k+1 ak+1,k+1 ⋮ an,k+1
a1n ⋮ ⋯ akn A A2 = 1 O A . (2) ⋯ ak+1,n 3 ⋮ ⋯ ann ⋯
性质2 性质2
A 的属于特征值 λ0 的特征子空间 Vλ0
的不变子空间. 也是 A 的不变子空间
性质3 性质3 A - 子空间的和与交还是 A - 子空间 子空间.
四、子空间为 A - 子空间的条件
的子空间， 定理1 定理1 设 W 是线性空间 V 的子空间，且 W = L(α1 , α2 , … , αs ) . 则 W 是 A - 子空间的充分必要条件是
线性变换不变子空间直和分解定理注
线性变换不变子空间直和分解定理注线性变换不变子空间直和分解定理是线性代数中一个重要的定理，它可以成功地把一个线性变换分解为合理的子空间和线性一致的变换。
它的实际应用非常广泛，从工程设计到算法设计，从数学建模到社会研究，都用到了这个定理。
该定理要求一个n维向量空间V中有一些不变子空间U1, U2, U3, ... Un，且Ui 之间彼此线性独立，满足UiV。
此外，定理要求存在一个n维到n维的线性变换A；映射A：V→V。
下面对该定理具体进行描述。
首先，该定理要求存在n个不变子空间U1, U2, U3, ... Un，且Ui 之间彼此线性独立，满足UiV。
其中，Ui表示一个不变的子空间，V表示一个n维的向量空间，即Ui+Uj = V。
其次，定理还要求存在一个n维到n维的线性变换A；映射A：V →V，即A(v) = Av，其中v∈V，A∈Rn×n。
最后，定理要求存在一组线性变换B1, B2, B3, ... Bn，其中Bi：Vi→Vi，使得对于任意的v∈V，都有A(v) = B1(v) + B2(v) + B3(v)+ ... + Bn(v) +v。
此外，定理还要求不变子空间U1, U2, U3, ... Un 之间要线性独立，即任意线性组合c1U1+c2U2 + c3U3 + ... cnUn = 0，则有ci= 0，i=1,2,3,...n。
最后，定理要求满足二者之后，线性变换A才能成功分解为线性一致的变换B1, B2, B3, ... Bn，即A(v) = B1(v) + B2(v) + B3(v)+ ...+Bn(v) +v，其中v∈V。
综上所述，线性变换不变子空间直和分解定理是一个十分重要且实用的定理，它可以将一个线性变换A：V→V成功分解为以n个不变子空间U1, U2, U3, ...Un线性一致的变换B1, B2, B3, ... Bn来描述，这种把线性变换分解为简单子问题的方法，可以将复杂的问题转换为易于解决的子问题，并大大加快了处理速度并减少了误差，因此，这个定理在工程设计、算法设计、数学建模、社会研究等领域的实际应用就变得十分重要。
线性代数中的特征空间与不变子空间
线性代数中的特征空间与不变子空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换。
特征向量与特征值是线性代数中的重要概念，它们可以帮助我们更好地理解线性变换的性质。
特征空间与不变子空间是与特征值和特征向量相关的概念，本文将对这两个概念进行详细介绍和解释。
特征空间是指特征向量所张成的子空间。
在矩阵的运算中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ为标量，那么我们称向量v是矩阵A的一个特征向量，λ为特征值。
特征向量构成的集合称为特征空间。
特征空间的维数等于特征向量的个数，通常情况下，一个特征值对应一个特征向量，但也有可能存在多个线性无关的特征向量对应同一个特征值。
不变子空间是指矩阵在特定条件下不变的向量组成的子空间。
在线性代数中，如果一个向量空间V在一个线性变换T下被映射到它自身，即Tv∈V，那么这个向量空间V就是T的一个不变子空间。
换句话说，不变子空间是指在变换下保持不变的向量的集合。
不变子空间的一个简单例子是零空间，即对于任意矩阵A，零向量总是矩阵A的一个不变子空间。
特征空间与不变子空间是线性代数中的两个重要概念，它们都与矩阵的性质和变换有着密切的关系。
特征空间帮助我们理解矩阵的特征向量与特征值，从而更好地分析线性变换的效果和特点；而不变子空间则可以帮助我们找到线性变换下保持不变的向量空间，这对于求解矩阵方程和矩阵特征有着重要的应用。
总之，特征空间与不变子空间是线性代数中的重要概念，它们有助于我们更深入地理解向量空间和线性变换的性质。
通过对这两个概念的学习与理解，我们可以更好地应用线性代数知识于实际问题的求解与分析中，提高数学建模和问题求解的能力。
以上就是关于线性代数中的特征空间与不变子空间的详细介绍，希望对您有所帮助。
感谢阅读！。
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目录1.线性变换的不变子空间1.1代数学的发展历程简介1.2线性变换的不变子空间的概念及性质1.3线性变换的不变子空间性质的多种证明2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性 2.1研究该问题的必要性2.2研究该问题的可行性3. 线性变换的不变子空间的国内外研究现状3.1国内研究现状3.2国外研究现状4.线性变换的不变子空间的应用4.1理论上的应用4.2生活中的应用5.心得体会摘要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一，但是对于一个线性变换的不变子空间，在高等代数教材中也是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论。
空间中的任何元素经过映射后，新的元素仍然在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间，不变子空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭，其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化，本文的研究内容也是建立在这个基础之上的。
关键词：线性变换不变子空间的性质地位应用1.线性变换的不变子空间1.1代数学的发展历程简介数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。
花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》． 1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。
后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。
古希腊数学家丢番图（Diophantus）用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》（Arithmetica）。
其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。
故有“代数学之父”（Father of algebra）的称号。
代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。
1.2有关线性变换的不变子空间的概念(1)线性变换的定义如果对于线性空间V中的任意两个元素α、β和数域P中任意数k，在线性变换А下都满足加法和数乘法则，那么变换А称为线性空间V下的线性变换。
对于线性变换满足的加法和数乘法则，也可以说成线性变换保持向量的加法与数量乘法。
（2）不变子空间的概念理解空间中的任何元素经过映射后，新的元素仍在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间，不变子空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭。
其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化。
1.3线性变换的不变子空间的性质及性质的证明（1）V空间本身和零子空间，对于每个线性变换Ａ来说都是А-子空间（2）某线性空间下的任意两个不变子空间的交与和仍然是该线性空间下的不变子空间。
①对任意a,b属于 W∩U 有a,b属于 W, a,b属于 U 而W,U是V于 W, 也属于 U 所以 T(k1a+k2b)属于 W∩U 所以 W∩U 也是T的不变子空间.② W+U 中的元素都可表示为 a+b 形式, 其中a属于W, b属于U. 对W+U中任意两个元素 a1+b1, a2+b2 有 T(k1(a1+b1)+k2(a2+b1)) = k1T(a1+b1)+k2T(a2+b1) = k1(T(a1)+T(b1))+k2(T(a2)+T(b1)) = k1T(a1)+k2T(a2) + k1T(b1)+k2T(b2) 属于 W+U 所以 W+U也是T的不变子空间.（3）设矩阵A，B属于复数域上的n维矩阵，A，B可交换，即AB=B A证明A的特征子空间一定是B的不变子空间所以 A(Bx) = BAx = λBx 所以 Bx 属于 Vλ所以 A的特征子空间Vλ是B的不变子空间.（4）如果A是正交变换，那么A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间若A正交，则A可逆。
并且由哈密尔顿-凯莱定理，A的逆为其多项式。
(Ax,y)=（x，A-1y）。
若y在A的不变子空间中，则A-1y也在A 的不变子空间中。
若再x属于正交补，显然就有(Ax,y)=（x，A-1y）=0。
得证。
2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性2.1研究该问题的必要性（1）线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；（2）在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。
（3）该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；（4）随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
2.2研究该问题的可行性线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）这为我们现在学习和研究线性变换上的不变子空间的一系列问题提供了坚实的理论基础。
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。
主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。
3. 线性变换的不变子空间的国内外研究状况3.1国内研究状况“代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。
3.2国外研究状况(1)1843年，哈密顿发现了四元数；(2)1844年，格拉斯曼发表了它的著作《Dielineare Ausdehnungslehre》;(3)1857年，阿瑟.凯莱介入了矩阵，这是最基础的线性代数思想之一；（4）由于费马和笛卡尔的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡。
（5）1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。
线性代数的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念。
4.线性变换的不变子空间的应用4.1理论上的应用(1)在数学的学习中会求某些线性变换下的不变子空间例如：已知线性变换T在一基底Xn下的矩阵为A，要求T的不变子空间意选出k个向量(k依次取n，n-1，n-2......1)生成相应的子空间。
(则有n!/(k!*(n-k)!)种情况)不妨设这个子空间为L{X1，X2......Xk}={q | q=p1*X1+......+pk*Xk，pi是数字}(不变子空间的定义)。
然后在这个子空间中任取一个向量q，得到q在基X1、X2......Xn下的坐标X=(p1，p2......pk，0，0......0),然后求出q经过线性变换T(q)后在基X1、X2......Xn下的坐标Y=AX。
最后判断Y是不是属于L{X1，X2......Xk}={q | q=p1*X1+......+pk*Xk，pi是数字}，即判断一下Y中第k个元素以后是不是全是零，若全是零，则这个子空间是不变子空间，否则不是。
依此类推，直到把所有的k，以及k个向量时的每一种情况都考虑。
（2）不变子空间在线性变换的矩阵的化简中的应用设dimV=n,σ∈L(V),（3）不变子空间的方法在偏微分方程中的应用①利用不变子空间方法，我们给出了一般薄膜方程的分类，在这些方程中微分算子F（u）允许不变子空间Wn，Wn是由n阶常系数常微分方程定义的多项式型、三角型、指数型或者混合型线性子空间。
在这些不变子空间中，我们构造了方程对应类型的精确解，并将这些方程约化成有限维动力系统。
②将不变子空间方法进行推广，并用于带有交错扩散项的非线性方程组的分类。
在这些非线性扩散方程组中，向量微分算子允许不变子空间Wn1*Wn2,而Wn1*Wn2是由常微分方程组定义的线性子空间，n1、n2=2、3、4、5。
在不变子空间Wn1*Wn2中，我们构造了这些方程的精确解，并将他们约化为有限维动力系统。
在大多数情况中，这些精确解的两个分量属于不同的“纯量”子空间。
③利用与不变子空间方法相关的不变集方法，我们构造了二维带有能源项的非线性反应扩散方程的精确解。
我们给出了在函数集合E1和E2中不变的反应扩散方程，并得到他们的精确解。
这些解可以看成多孔介质方程的自相似解的推广。
我们还描述了这些精确解及其对应介面的行为。
4.2生活中的应用（1）不变子空间的直和在控性分解中的应用在现代控制理论中，给定多输入定常线性系统x`=Ax+Bu,其中A、B分别为实数域上的n*n与n*m矩阵，设β是矩阵B的列空间，＜A|β＞表示由子空间，β经A循环而生成的A的不变子空间，它是该线性系统在Rⁿ中的可控子空间，如果＜A|B＞=Rⁿ，则对应系统是完全可控的，对＜A|β＞，通常要将其分解为一些循环子空间的直和，成为能控性分解。