关于不变子空间的矩阵求法
高等代数
一个线性变换的所有不变子空间探讨摘 要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的所有不变子空间，在高等代数教材中也只是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论.本文首先给出了线性变换与不变子空间的定义，然后介绍线性变换以及不变子空间的性质，讨论了复数域及一般数域P 上的线性空间的线性变换的不变子空间.同时本文总结了求解一个线性变换所有不变子空间的方法，并且结合一些实例加以应用.关键词：线性变换，子空间，不变子空间引言线性变换与不变子空间是高等代数中的重要的概念，但是对于一个线性变换的所有不变子空间的探讨，在高等代数教材中也只是粗略的讲解一下.为了增加这方面的知识，本文首先给出了线性变换，子空间的定义和不变子空间的性质,由线性变换与不变子空间的相关定理,得出复数域上和一般数域P 上的线性变换的所有不变子空间. 这样对每一个具体的线性变换,我们能表示出它的不变子空间,所以本文尝试探究一个线性变换的所有不变子空间的求法，又给出了一些具体应用事例.本文如不特别指明,所考虑的线性空间V 都是某一数域P 上的线性空间V，线性空间V 上的线性变换的集合为L(V).一、预备知识（一）、线性变换和不变子空间定义定义1[1] 线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对于V 中任意的元素,αβ和数域P 中任意数k ，都有()()()σαβσασβ+=+()()k k σασα=定义2[1] 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间.如果W中的向量在σ下的像仍然在W 中,换句话说,对于W 中任意一个向量ξ,有(),W σξ∈我们W是σ的不变子空间,简称σ-子空间.（二）、不变子空间的性质性质1[2] 设()L V σ∈，1V ，2V 都是σ的不变子空间，则1212,V V V V + 都是σ的不变子空间. 性质2[2] 设()L V σ∈，若1V 为σ的不变子空间，则1V 也是()f σ的不变子空间，其中()f x 是数域P 上x 的多项式. 性质3[3] 设()L V σ∈，若σ可逆且1V 为σ的不变子空间，则1V 也为1σ-的不变子空间.性质4[3] 设W 是线性变换σ，τ的不变子空间，则W 在στ+，στ下也不变.二、复数域上线性变换的所有不变子空间我们来研究Jordan 块mmJ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ11定理4[2] 设V 是复数域上n 维线性空间，σ是V 的线性变换，在基1α，2α， ，n α 下的矩阵是一若当标准形11A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：σ有且仅有{}0和以下非零不变子空间1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in =证明 由不变子空间性质可知，{}0是σ的不变子空间.又由于A 中一阶主子式所在列的其他元素全部是零的只有第n 列，因此一维不变子空间仅有()n L α；A 中二阶主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第1n -，n 列的主子式，故二维不变子空间只有1(,)n n L αα-，以此类推可得，A中所在列的其他元素均为零的1n -阶主子式为第2,,n 列的主子式为111n λλλ-.因此σ的1n -维不变子空间仅有2(,,)n L αα ，而n 维不变子空间只有12(,,,)n V L ααα=综上，于是得到σ的非零不变子空间有且仅有n 个1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in = .注：由此证明了以下推论：推论1 V 中包含1α的σ的不变子空间只有V 自身； 推论2 V 中σ的任一非零不变子空间都包含n α； 推论3 V 不能分解成σ的两个非平凡不变子空间的直和；1111(,,,)ii i i in n jn j n n W L ααα---++++= ，(1,2,,)i jn =，(1,2,,)is = .定理4[1] 在复数域上 （1）如果线性变换σ是一个对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（2）如果线性变换σ是一个反对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（3）如果线性变换σ是一个酉变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.三、一般数域P 上的线性变换的不变子空间例1 对任意的()L V σ∈,V本身及零子空间都是σ的不变子空间,称为平凡不变子空间.例2 对任意的()L V σ∈,分别称 (){V V σα=∈︱,}V βασβ∃∈=1(0){Vσα-=∈︱0}σα=为σ的像与核.容易证得()v σ与1(0)σ-都是σ的不变子空间.例3[6] 设()L V σ∈，λ是σ的一个特征值，()L V ε∈为V的恒等变换，则称{VVα*=∈︱存在正整数k ，()0}kλεσα-=为σ的对应于λ的根子空间，Vα*∈称为σ的属于λ的高为k 的根向量，V λ*为σ的不变子空间. 证明 若∀,V λαβ*∈，其高分别为12,k k ，令12m a x {,}kk k =，则,a bP∈，()()[()()][()Kkka b a b λεσαβλεσαλεσβ-+=-+- 1122[()()()][()()()]k k kk k k a b λεσλεσαλεσλεσβ--=--+--12[()(0)][()(0)]k k k k a b λεσλεσ--=-+-= 0故V λ*为V 的子空间.又设Vα*∈且高为k ，则()()[()]kkλεσσαλεσσα-=- = [()]kσλεσα-=(0)σ= 0 故V λ*为σ的不变子空间.四、应用举例例4[8]设σ是2R 的线性变换，σ在基12,εε下矩阵2512A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求σ的所有不变子空间解 在V 中至少有以下四个σ的不变子空间：2R ，{0}，2()R σ，1(0)σ-，又A ≠，知σ为可逆的线性变换. 故，2()R σ=2R ，1(0)σ-={0}，此外若还有其它不变子空间必是一维的，因而应为特征向量所生成，但是由于σ的特征多项式2()1f λλ=+无实根，故σ在R 中无特征值，从而没有实特征向量，这表明σ仅有两个平凡的不变子空间.结论 （1）在求σ的所有不变子空间时，既不能漏掉也不能重复. （2）给定σ后，线性空间V 中至少有V ，{0}，()V σ，1(0)σ-四个不变子空间， 然后再设法去找其他的不变子空间.结束语本文在一个线性变换的所有不变子空间等知识具备的条件下，借助一定的数学思想方法，探讨与研究了一个线性变换的所有不变子空间，通过一些具体事例的求解,归纳、总结了求解线性变换的所有不变子空间的方法. 由于学习知识的有限,对求解线性变换的所有不变子空间的方法可能不够系统与全面，在以后的学习中我会继续加强对相关知识的学习与总结, 进而进一步加深对相关理论知识的理解.。
§74-不变子空间
例5 设 是四维向量空间V的一个基,线性变换 关于这个基的矩阵为A,并且
求 的值域与核.
解 先求ker, 设ker(),关于{1,2,3,4}的坐标为(x1,x2,x3,x4),()在{1,2,3,4}下的坐标为(0, 0, 0, 0)，由定理7.4.4，有
＝
解得该齐次线性方程组的基础解系为
X1＝(－2,－ ,1,0),X2＝(－1,－2,0,1).
二、不变子空间的判断
下面给出一种判断不变子空间的方法
定理7.4.1设 是n维向量空间V的一个线性变换，W是V的子空间， 是W的基.则W是 的不变子空间的充要条件是 在W中.
设W是向量空间V的关于线性变换 的不变子空间，那么对于任意的 ，必有 ，因此 也可看作是向量空间W的一个线性变换，用 表示，即对于任意 ，
那么选取 的一个基 和 的一个基 ，凑成V的一个基 ，当 和 都在 下不变时， 关于这个基的矩阵是
这里 是r阶矩阵， 是n-r阶矩阵，它们分别是 关于基 的矩阵和 关于基 的矩阵.
若V可分解成s个非平凡子空间 的直和，并且每一 都是 的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V的基， 关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵
教学目的
本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是 的不变子空间的事实，了解 的秩和零度的概念及其相关结论。
教学难点
不变子空间的证明
教学重点
不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是 的不变子空间的证明
教 学 过 程
备 注
教学内容
一、不变子空间的定义
为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.
在 中，设 是数量变换，即有一个确定的数k，使得对任意 ，设W是 中过原点的一个平面，W是 的一个子空间，对W中每一个向量 ， 在 作用之下的像 仍是W中的向量，这样的子空间W就是 的不变子空间.
求不变子空间的方法
求不变子空间的方法
那啥是不变子空间呢？简单说啊，就是对于一个线性变换，有个空间在这个变换下，就像被保护起来似的，这个空间里的向量经过变换后还在这个空间里，这就是不变子空间啦。
一种常见的方法呢，就是从特征向量入手。
你想啊，如果一个向量是某个线性变换的特征向量，那由这个特征向量生成的一维子空间就是不变子空间哦。
比如说，对于线性变换T，向量v是它的特征向量，也就是T(v)=λv（这里λ是特征值），那{v}这个一维空间就是不变子空间啦。
还有啊，如果有一组线性无关的特征向量，那由它们张成的子空间也是不变子空间呢。
这就像是一群小伙伴，每个小伙伴自己就是个小不变子空间，合起来也是个大一点的不变子空间啦。
再就是从矩阵的角度看。
如果能把矩阵A化成块对角矩阵，那每一个对角块对应的列向量张成的子空间就是不变子空间。
这就好比把一个大的空间划分成了几个小空间，每个小空间都有自己的小规则，在变换下各自安好，不互相干扰。
另外呢，对于一些特殊的线性变换，比如投影变换。
投影到某个子空间的投影变换，那个被投影的子空间本身就是不变子空间呀。
就像光投影到墙上，墙这个空间就是光投影变换下的不变子空间呢。
宝子，求不变子空间其实也没那么难啦，只要抓住这些小窍门，多做几道题，就会慢慢有感觉的。
就像交朋友一样，刚开始觉得陌生，混熟了就好啦。
加油哦，宝子，我相信你肯定能掌握这个小知识点的！。
求解线性方程组的不变子空间分解法
约越 明显 。在计 算过 程中 ， 求解单位 特征向量 运用 的 ｍ ｔｂ ａａ 内 ｌ
表 ２ 共 轭 梯 度 法 与本 文 的方 法 的对 比
ｅｒ ｏ， ＝ ｒ ：
Ｉ三 ： 一ｌ Ｉ ６Ｉ Ａ
组， 本文方 法几乎 只用共轭梯度法求解 的一半 时间就能达到 比
Ａ： Ｕ ｉ ∑ｃ Ｉ） ￣Ｕ Ｕ
（ ３ ）
收稿 日期 ：２ ０ — ５ ０ ０８０—８
作者简 介 ：米黑龙（ ９７ ， ， １７ ）女 湖南岳 阳人 ， 湖南商学院助教 。
７ ４
维普资讯
２ ０
８０ ４ ｅ ０ ９ ．９ ０ 一 ０
００ ０ ．０ ０
３ ０
４ ０
６６ ０ ｅ０ ５ ．６ ５ 一０
０３０ ０ ．４ ０
下 面将 Ａ ｘ与常 向量 ｂ分别在 Ａ的特征 子空 间上进行 分
解， 由上述 引理有 ：
通过实 例说明 ，对任 意的系数矩 阵为 实对称 的线性方 程
这也说 明 ： 于特殊 的高 阶线性方 程组亦能 对 Ａ － ， 中Ａ为 ｎ ｘｂ其 － 阶的可逆矩阵， 为 ｎ ｂ 维非零常向量。 于阶数 时 间节约越 明显 ， 对
比较高 的 线性方 组 ， 程 一般不适宜用直接法求解 ， 而采用迭代法。
梯度法进行求解 。 ［ ］ 文 １借鉴共轭梯度法 的思想把线性方程组求
并通过实例说 明此方法比经典 的共轭梯度法更为有效．
关键词 ： 实对称正定矩 阵； 特征 向量 ； 变子 空间； 不 直接法 众所周知 ，许多实际 问题最后常常归结为求解线性方程组
运用共轭梯度法求解 的更好 的精度 。并且方 程组 的阶数越 高 ，
用直接法求解。最后 ， 我们讨 论了本文方法与共轭梯度法 的区
一不变子空间的概念
§7.7 不变子空间
3）任何子空间都是数乘变换 的不变子空间.
W , k W
4）线性 变V换o ,A有的特A 征 子空o间 VV0o是. A 的不变子空间.
5）由 A 的特征向量生成的子空间是 A的不变子空间.
证：设 1,2, ,s 是 A 的分别属于特征值
( A i E)ri Wi 0.
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
§7.7 不变子空间
由（2）, 有 ( A i E)ri (i ) 0, i 1,2, , s. 又 ( A i E)ri (i ) ( A i E)ri (i )
1,2 , ,s 的特征向量. 任取 L(1,2 , ,s ),
设 k11 k22 kss , 则
A( ) k111 k222 ksss L(1,2 , ,s )
L(1,2 , ,s ) 为 A 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
注：
特别地，由 A 的一个特征向量生成的子空间是一 个一维 A－子空间. 反过来，一个一维 A－子空间 必可看成是 A 的一个特征向量生成的子空间.
为V的一组基，且在这组基下A 的矩阵为准对角阵
A1 A2
§7.7 不变子空间
.
As
（1）
反之，若 A在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成
的子空间 Wi为 A的不变子空间，且V具有直和分解： V W1 W2 Ws .
A(
k
)
a1k 1
a2k 2
矩阵的不变子空间
矩阵的不变子空间是指对于某个矩阵而言，其子空间中的向量在矩阵的作用下不会改变。
具体来说，对于一个矩阵A，如果存在一个子空间V，使得对于任意的向量x∈V，Ax仍属于V，则称V是A的不变子空间。
在矩阵的不变子空间中，矩阵A的行向量或者列向量形成的子空间是一个不变子空间。
这是因为，对于A的行向量形成的子空间，任意的向量x在该子空间中，Ax的各个分量仍然是A的行向量，因此Ax仍在子空间中。
同理，对于A的列向量形成的子空间，Ax的各个分量仍然是A的列向量，因此Ax仍在子空间中。
此外，如果A是可对角化的矩阵，那么其不变子空间可以是A的特征向量形成的子空间。
这是因为，对于A的每一个特征值λ和对应的特征向量x，有Ax=λx，因此特征向量x在A的作用下不会改变。
在矩阵理论中，矩阵的不变子空间有着重要的应用。
例如，在信号处理中，可以利用矩阵的不变子空间进行信号的滤波和变换。
此外，在控制理论中，矩阵的不变子空间也被用于描述系统的稳定性和行为。
不变子空间——精选推荐
在 Im中任取一个向量 ()，其中 k1i ，则
i 1
n
( ) ki (i ) km1 (m1 ) kn (n ) ． (6)
i 1
因此，Im= L( (m1),, (n )) ．从而 Im是有限维的．我们来证 (m1),, (n ) 线性无关．设
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辽东学院教案纸
1V () [u1( ) f1( ) u2 ( ) f2 ( )]()
u1( ) f1( )() u2 ( ) f2 ( )() ．
第 7.6.5 页
辽东学院教案纸
课程：高等代数
令 1 u2 ( ) f2 ( )(),2 u1( ) f1( )() ，则
f1( )(1) f1( )[u2 ( ) f2 ( )()] u2 ( )[ f1( ) f2 ( )]() u2 ( )( f ( )()) ．
对于 Ker、Im，我们有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理 7.6.2 设 V 是有限维向量空间，∈Hom(V，W)，则 Ker
与 Im都是有限维的，并且
dim Ker+dim Im=dimV．
(5)
证 因为 V 是有限维的，所以它的子空间 Ker是有限维的．取
Ker的一个基 1，，m ，把它们扩充成 V 的一个基
1，，m ， m1,,n ．
则 是单射的，当 且仅当 是满 射．
证 是单射 Ker=0dimIm=dimV=dimWIm=W是满
射．
推论 7.6.2 有限维向量空间 V 上的线性变换是单射的，当且仅
当它是满射 ．
请注意，对于有限维向量空间 V 上的线性变换，虽然子空间 Ker
与 Im的维数之和等于 dimV，但是 Ker+Im并不一定是空间 V ．例
矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析
矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析矩阵在数学和物理学中具有非常重要的作用，它们可以用来描述各种变换和表示数据。
在矩阵代数中，不变量是指在变换下保持不变的属性或特征。
本文将讨论矩阵在各种变换下的不变量及其在数学和物理学中的应用。
我们将重点讨论矩阵在线性变换、相似变换和正交变换下的不变量，并分析它们在几何变换、特征值问题和物理建模中的应用。
对于一个n×n矩阵A，在线性变换下的不变量是指在A作用下向量空间的结构和性质不变的向量或子空间。
如果一个向量在A作用下仍然保持在原来的子空间中，那么这个子空间就是A的不变子空间。
矩阵A的不变子空间可以通过A的特征值和特征向量来求得。
特征向量是指在A作用下保持方向不变的非零向量，而特征值则是A作用在特征向量上得到的标量。
特征值和特征向量是A在线性变换下的不变量，它们可以用来求得A的不变子空间，并且在求解物理问题中也有很多应用，比如在量子力学中描述物质的能级和波函数等问题。
在相似变换下，矩阵A和其相似矩阵B有相同的特征值，这意味着它们在线性变换下的不变子空间是相同的。
相似变换通常用来简化计算，因为通过相似变换可以将复杂的矩阵转化为对角矩阵，而对角矩阵的特征值就是它的对角元素，从而可以简单地求得矩阵的特征值和特征向量。
相似变换的不变量是矩阵的相似性质，它们在数学推导和计算中有广泛的应用，比如在求解微分方程和矩阵分解问题中。
在正交变换下，矩阵A的不变量是指在正交变换下保持不变的矩阵属性和特征。
正交变换不改变向量的长度和内积，因此A的特征值和特征向量在正交变换下也保持不变。
在几何变换中，正交变换可以用来保持几何图形的形状和大小不变，从而简化了几何分析和计算。
在物理建模中，正交矩阵可以用来描述对称性和不变性，比如在描述晶体结构和粒子运动中有很多应用。