根与系数的关系题型精选

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数学九年级上册-一元二次方程根与系数的关系八大题型人教版解析版

专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】【人教版】【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】........................................................................................1【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】........................................................................................3【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】........................................................................................4【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】............................................................................................6【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】........................................................................................................9【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】..................................................................................................11【题型7 根与系数关系中的新定义问题】..........................................................................................................14【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】.. (19)【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】【例1】（2022•江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x 2+3x ﹣5＝0的两根，则的值是．αβ+βα【分析】根据根与系数的关系可得α+β，αβ，再根据完全平方公式以及分式的加法法则即可=−32=−52求出代数式的值．【解答】解：∵α+β，αβ，=−32=−52∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，=294∴，αβ+βα=α2+β2αβ=−2910故答案为：．−2910【变式1-1】（2021秋•密山市校级期末）若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣7x +5＝0的两根，则（x 1﹣1）（x 2﹣1）的值为（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【分析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2、x 1x 2的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣7x +5＝0的两根，∴x 1+x 2＝7；x 1x 2＝5．则（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＝5﹣7+1＝﹣1．故选：B ．【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数a 、b 满足|b +3|＝0，若关于x 的一元二次方程a−2+x 2﹣ax +b ＝0的两个实数根分别为x 1、x 2，则的值是（）1x 1+1x 2A ．B ．C ．2D ．−232316【分析】根据非负数的性质得出a ＝2，b ＝3，根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝3，将变形为，整体代入即可求得．1x 1+1x 2x 1+x 2x 1x 2【解答】解：∵实数a 、b 满足|b +3|＝0，a−2+∴a ＝2，b ＝﹣3，∵关于x 的一元二次方程x 2﹣ax +b ＝0的两个实数根分别为x 1、x 2，∴x 1+x 2＝a ＝2，x 1•x 2＝b ＝﹣3，∴，1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−23故选：A ．【变式1-3】（2022春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x 2﹣5x ﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（）A ．﹣9B ．9C ．﹣9或9D ．﹣5或5【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝5，α•β＝﹣14，将其代入（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β中可求出（α﹣β）2的值，开方后即可求出α﹣β的值．【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x 2﹣5x ﹣14＝0的两个根，∴α+β＝5，α•β＝﹣14，∴（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β＝52﹣4×（﹣14）＝81，∴α﹣β＝±9．故选：C ．【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】【例2】（2022•乳山市模拟）若x 1，x 2是方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，则3x 12﹣3x 1+x 22＝（）A ．B ．C ．D ．14549434【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2，x 1x 2，将3x 12﹣3x 1+x 22变形后求值即=32=12可．【解答】解：∵x 1，x 2是方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，∴x 1+x 2，x 1x 2，2x 12﹣3x 1+1＝0，=32=12∴3x 12﹣3x 1+x 22＝2x 12﹣3x 1+x 12+x 22＝﹣1+(x 1+x 2)2−2x 1x 2＝﹣11+94−，=14故选：A ．【变式2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x 2﹣2022x +1＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 121的值为（）−2022x 2+A ．﹣1B ．0C ．﹣2022D ．﹣2021【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x 12+1＝2022x 1，则x 121变形为2022，再−2022x 2+×x 1x 2−1x 2根据根与系数的关系得到x 1x 2＝1，然后利用整体的方法计算即可．【解答】解：∵x ＝x 1为方程x 2﹣2022x +1＝0的根，∴x 12﹣2022x 1+1＝0，∴x 12+1＝2022x 1，∴x 121＝2022x 12022，−2022x 2+−2022x 2=×x 1x 2−1x 2∵方程x 2﹣2022x +1＝0的两个根分别为x 1，x 2，∴x 1x 2＝1，∴x 121＝20220．−2022x 2+×1−1x 2=故选：B ．【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两个实数根，则m 2﹣6m ﹣n +2022的值是（）A ．2016B ．2018C ．2020D ．2022【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m 2﹣5m ﹣1＝0，则m 2﹣5m ＝1，根据根与系数的关系得出m +n ＝5，再将其代入整理后的代数式计算即可．【解答】解：∵m 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1＝0的根，∴m 2﹣5m ﹣1＝0，∴m 2﹣5m ＝1，∵m 、n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝5，∴m 2﹣6m ﹣n +2022＝m 2﹣5m ﹣m ﹣n +2022＝1﹣5+2022＝2018．故选：B ．【变式2-3】（2022春•海门市期末）若m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个实数根，则2m 2+4n 2﹣4n +2022的值为　．【分析】由m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个实数根可得：m 2＝2m +1，n 2＝2n +1，m +n ＝2，代入所求式子即可得到答案．【解答】解：∵m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个实数根，∴m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2﹣2n ﹣1＝0，m +n ＝2，∴m 2＝2m +1，n 2＝2n +1，∴2m 2+4n 2﹣4n +2022＝2（2m +1）+4（2n +1）﹣4n +2022＝4m +2+8n +4﹣4n +2022＝4（m +n ）+2028＝4×2+2028＝2036，故答案为：2036．【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】【例3】（2022•呼和浩特）已知x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 13﹣2022x 1+x 22的值是（）A ．4045B ．4044C ．2022D ．1【分析】把x ＝x 1代入方程表示出x 12﹣2022＝x 1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：把x ＝x 1代入方程得：x 12﹣x 1﹣2022＝0，即x 12﹣2022＝x 1，∵x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣2022＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣2022，则原式＝x 1（x 12﹣2022）+x 22＝x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝1+4044＝4045．故选：A ．【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两根，则代数式﹣a 3+5a 的值是（ −5b ）A ．5B ．﹣5C ．1D ．﹣1【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a 2﹣a ＝5，ab ＝﹣5，变形后可得出a 2﹣5＝a ，a，将其代入﹣a 3+5a a （a 2﹣5）中可得出原式＝﹣a 2+a ，再结合a 2﹣a ＝5，=−5b −5b =−−5b 即可求出原式＝﹣5．【解答】解：∵a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两根，∴a 2﹣a ＝5，ab ＝﹣5，∴a 2﹣5＝a ，a，=−5b ∴﹣a 3+5a a （a 2﹣5）a 2+a ＝﹣（a 2﹣a ）＝﹣5．−5b=−−5b=−故选：B ．【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m ，n 是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则m 3﹣4n 2+17的值为（）A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．4【分析】根据m ，n 是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，可以得到m 2+m ﹣3＝0，n 2+n ﹣3＝0，m +n ＝﹣1，然后变形得到m 3和4n 2，再代入所求式子，计算即可．【解答】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，∴m 2+m ﹣3＝0，n 2+n ﹣3＝0，m +n ＝﹣1，∴m 2＝3﹣m ，n 2＝3﹣n ，∴m 3＝3m ﹣m 2＝3m ﹣3+m ＝4m ﹣3，4n 2＝12﹣4n ，∴m 3﹣4n 2+17＝4m ﹣3﹣12+4n +17＝4（m +n ）+2＝4×（﹣1）+2＝﹣4+2＝﹣2，故选：A ．【变式3-3】（2022春•汉阳区校级月考）已知m ，n 是方程x 2﹣4x +2＝0的两根，则代数式2m 3+5n 24的值是（）−16n +A ．57B ．58C ．59D ．60【分析】将代数式的次数化为一次，然后将m ，n 的值代入求解即可．【解答】解：∵m ，n 是方程x 2﹣4x +2＝0的两根，∴m 2﹣4m +2＝0，n 2﹣4n +2＝0，m +n ＝4∴m 2＝4m ﹣2，n 2＝4n ﹣2，∴n ＝4，即4﹣n ，m 3＝4m 2﹣2m ＝14m ﹣8，−2n 2n =∴原式＝2（14m ﹣8）+5（4n ﹣2）﹣8（4﹣n ）+4＝28（m +n ）﹣54＝58．故选：B ．【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】【例4】（2021秋•毕节市期末）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m 的值为（）1x 1+1x 2=1A ．﹣3或1B ．﹣1或3C ．﹣1D ．3【分析】根据根与系数关系得出：x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2，代入中，求出m 的值，再进行1x 1+1x 2=1检验即可．【解答】解：∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2＝0的两个不相等的实数根，∴x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2，∴1，1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2m +3m 2=解得：m ＝3或m ＝﹣1，把m ＝3代入方程得：x 2﹣9x +9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；把m ＝﹣1代入方程得：x 2﹣x +1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m ＝﹣1舍去．故选：D ．【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．且x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，则a 的值为（）A ．﹣6B ．﹣1C ．1或﹣6D ．6或﹣1【分析】先根据判别式的意义得到a ＜3，再根据根与系数的关系得x 1+x 2＝2（a ﹣1），x 1x 2＝a 2﹣a ﹣2，利用x 12+x 22﹣x 1x 2＝16得到4（a ﹣1）2﹣3（a 2﹣a ﹣2）＝16，解关于a 的方程，然后利用a 的范围确定满足条件的a 的值．【解答】解：根据题意得△＝4（a ﹣1）2﹣4（a 2﹣a ﹣2）＞0，解得a ＜3，根据根与系数的关系得x 1+x 2＝2（a ﹣1），x 1x 2＝a 2﹣a ﹣2，∵x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2＝16，即4（a ﹣1）2﹣3（a 2﹣a ﹣2）＝16，整理得a 2﹣5a ﹣6＝0，解得a 1＝﹣1，a 2＝6，而a ＜3，∴a 的值为﹣1．故选：B ．【变式4-2】（2022春•仓山区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4kx +3k 2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2，满足x 1﹣x 2＝3，求k 的值．【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到Δ＝4k 2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）设方程的两实数解为a 、b ，根据根与系数的关系得a +b ＝4k ，ab ＝3k 2，再利用|a ﹣b |＝3得到（a +b ）2﹣4ab ＝9，则16k 2﹣4×3k 2＝9，然后解方程，从而得到满足条件的k 的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4k ）2﹣4×3k 2＝4k 2≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设方程的两实数解为a 、b ，根据根与系数的关系得x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝3k 2，∵|x 1﹣x 2|＝3，∴（x 1﹣x 2）2＝9，∴（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝9，∴16k 2﹣4×3k 2＝9，即k 2，=94解得k 1，k 2．=32=−32故k 的值为或．32−32【变式4-3】（2022•内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且x 12+2x 2﹣1，则k 的值为．x 2x 1+x 1x 2=【分析】根据x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，可得x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x1+k ﹣1＝0，把x 12+2x 2﹣1变形再整体代入可得x 2x 1+x 1x 2=4﹣k ，解出k 的值，并检验即可得k ＝2．22−2(k−1)k−1=【解答】解：∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，∴x 12＝2x 1﹣k +1，∵x 12+2x 2﹣1，x 2x 1+x 1x 2=∴2（x 1+x 2）﹣k ，(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=∴4﹣k ，22−2(k−1)k−1=解得k ＝2或k ＝5，当k ＝2时，关于x 的方程为x 2﹣2x +1＝0，Δ≥0，符合题意；当k ＝5时，关于x 的方程为x 2﹣2x +4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k ＝2，故答案为：2．【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数a ≠b ，且满足（a +1）2＝3﹣3（a +1），3（b +1）＝3﹣（b +1）2，则的值为（）bb a +a a b A ．23B ．﹣23C ．﹣2D ．﹣13【分析】根据（a +1）2＝3﹣3（a +1），3（b +1）＝3﹣（b +1）2，把a 、b 可看成是关于x 的方程（x +1）2+3（x +1）﹣3＝0的两个根，然后根据根与系数的关系进行求解．【解答】解：∵a 、b 是关于x 的方程（x +1）2+3（x +1）﹣3＝0的两个根，整理此方程，得x 2+5x +1＝0，∵Δ＝25﹣4＞0，∴a +b ＝﹣5，ab ＝1．故a 、b 均为负数．因此．b b a +a a b =−b a ab−a b ab =−a 2+b 2ab ab =−(a +b)2−2abab =−23故选：B ．【变式5-1】（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且的值为（）1β2+αβ−52αA ．B ．C ．D ．254−254−174334【分析】方法1：2β2﹣5β﹣2＝0，可得2（）2+52＝0，那么α、是方程2x 2+5x ﹣2＝0的两实1β×1β−1β根，由根与系数关系得α，α•1，再把变形（α）+α•，然后利用整体+1β=−521β=−1β2+αβ−52α−52+1β1β代入的方法计算；方法2：代数式先提取前两项中的，再提取即可．1β−52【解答】解：方法1：∵2β2﹣5β﹣2＝0，∴β≠0，方程两边同时除以﹣β2，可得2（）2+52＝0，1β×1β−又2α2+5α﹣2＝0，∴α、是方程2x 2+5x ﹣2＝0的两实根，1β∴α，α•1，+1β=−521β=−∴1β2+αβ−52α1+α•α=−52×1β+1β−52（α）+α•1=−52+1β1β+（）+（﹣1）+1=−52×−52．=254方法2：1β2+αβ−52α（α）α=1β1β+−52α=−52×1β−52（α）=−52×1β+（）=−52×−52．=254故选：A ．【变式5-2】（2022•周村区二模）已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且（a +m ）（a +n ）＝2，（b +m ）（b +n ）＝2，则ab ﹣mn 的值为（）A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1【分析】先把已知条件变形得到a 2+（m +n ）a +mn ﹣2＝0，b 2+（m +n ）b +mn ﹣2＝0，则可把a 、b 看作方程x 2+（m +n ）x +mn ﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab ＝mn ﹣2，从而得到ab ﹣mn 的值．【解答】解：∵（a +m ）（a +n ）＝2，（b +m ）（b +n ）＝2，∴a 2+（m +n ）a +mn ﹣2＝0，b 2+（m +n ）b +mn ﹣2＝0，而a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，∴a 、b 看作方程x 2+（m +n ）x +mn ﹣2＝0的两实数根，∴ab ＝mn ﹣2，∴ab ﹣mn ＝﹣2．故选：C ．【变式5-3】（2022春•杭州期中）若xy +x ≠1，且5x 2+300x +9＝0，9y 2+318y +314＝0，则的值是 xy +1．【分析】方程9y 2+318y +314＝0可变形为9（y +1）2+300（y +1）+5＝0，把9（y +1）2+300（y +1）+5＝0两边都除以（y +1）2得5×（）2+3009＝0，结合xy +x ≠1可得出x ，是方程1y +1×1y +1+1y +15x 2+300x +9＝0的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得答案．【解答】解：∵9y 2+318y +314＝0，∴9（y +1）2+300（y +1）+5＝0．把9（y +1）2+300（y +1）+5＝0两边都除以（y +1）2，得5×（）2+3009＝0．1y +1×1y +1+∵xy +x ≠1，∴x ，≠1y +1∴x ，是方程5x 2+300x +9＝0的两个不相等的实数根，1y +1∴．x y +1=95故答案为：．95【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】【例6】（2022•新华区校级一模）已知关于x 的一元二次方程（p +1）x 2+2qx +（p +1）＝0（其中p ，q 为常数）有两个相等的实数根，则下列结论：①1和一1都是方程x2+qx+p＝0的根②0可能是方程x2+qx+p＝0的根③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④【分析】根据根的判别式可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，进一步可得q＝±（p+1），可知x＝1或x＝﹣1可能是但不能同时是方程x2+qx+p＝0的根；当x＝0时，可得p和q的值且符合题意，即可进行判断．【解答】解：根据题意，可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，且p+1≠0，∴q＝±（p+1），当q＝p+1时，q﹣p﹣1＝0，此时x＝﹣1是方程x2+qx+p＝0的根，当q＝﹣（p+1）时，q+p+1＝0，此时x＝1是方程x2+qx+p＝0的根，∵p+1≠0，∴p+1≠﹣（p+1），∴x＝1和x＝﹣1不能同时是方程x2+qx+p＝0的根，故①④不符合题意，③选项符合题意；当x＝0时，p＝0，∴q＝±1，∴当p＝0，q＝±1时，x＝0是方程x2+qx+p＝0的根，故②符合题意，故选：C．【变式6-1】（2022春•余杭区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，且ac≠0，a≠c．下列说法正确的是（）A．若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0没有实数根B．若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同C．若5是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则5也是方程cx2+bx+a＝0的一个根D ．若方程ax 2+bx +c ＝0和方程cx 2+bx +a ＝0有一个相同的根，则这个根必是x ＝1【分析】利用根的判别式与根与系数的关系判断即可．【解答】解：A 、若方程ax 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，则有b 2﹣4ac ＝0，可得方程cx 2+bx +a ＝0也有两个相等的实数根，不符合题意；B 、若方程ax 2+bx +c ＝0的两根符号相同，即0，c a ＞则方程cx 2+bx +a ＝0的两根符号也相同，符合题意；C 、把x ＝5代入方程得：25a +5b +c ＝0，而25c +5b +a 不一定为0，即x ＝5不一定是方程cx 2+bx +a ＝0的一个根，不符合题意；D 、若方程ax 2+bx +c ＝0和方程cx 2+bx +a ＝0有一个相同的根，则有ax 2+bx +c ＝cx 2+bx +a ，即（a ﹣c ）x 2＝a ﹣c ，由a ≠c ，得到x 2＝1，即x ＝±1，不符合题意．故选：B ．【变式6-2】（2022春•仓山区校级期末）已知两个关于x 的一元二次方程M ：ax 2+bx +c ＝0，N ：cx 2+bx +a ＝0，其中ac ≠0，a ≠c ．下列结论错误的是（）A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根C ．若5是方程M 的一个根，则是方程N 的一个根15D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是x ＝1【分析】A 、一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，则Δ＝b 2﹣4ac ＝0，对于方程cx 2+bx +a ＝0，Δ＝b 2﹣4ac ＝0，则方程N 也有两个相等的实数根；B 、利用ac ＜0和根的判别式进行判断即可；C 、把x ＝5代入ax 2+bx +c ＝0得：25a +5b +c ＝0，等式的两边同除以25得到c b +a ＝0，于是得到125+15是方程N 的一个根，无法得到5是方程N 的一个根；15D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根可能是x ＝±1．【解答】解：A 、∵方程M 有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝0，∵方程N 的Δ＝b 2﹣4ac ＝0，∴方程N 也有两个相等的实数根，故不符合题意；B 、∵方程M 的两根符号相同，∴0，且b 2﹣4ac ＞0，c a ＜∴0，且b 2﹣4ac ＞0，a c ＞∴方程N 也有一个正根和一个负根，故不符合题意；C 、∵把x ＝5代入ax 2+bx +c ＝0得：25a +5b +c ＝0，∴c b +a ＝0，125+15∴是方程N 的一个根，故不符合题意；15D 、∵方程M 和方程N 有一个相同的根，∴ax 2+bx +c ＝cx 2+bx +a ，∴（a ﹣c ）x 2＝a ﹣c ，∵a ≠c ，∴x 2＝1，∴x ＝±1，即这个根可能是x ＝±1；故符合题意．故选：D ．【变式6-3】（2022春•瑶海区校级期末）关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A ．p 是正数，q 是负数B ．（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＜8C ．q 是正数，p 是负数D ．（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＞8【分析】设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1、x 2，方程y 2+qy +p ＝0的两根为y 1、y 2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x 1•x 2＝q ＞0，y 1•y 2＝p ＞0，即可判断A 与C ；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p 2﹣4q ≥0，q 2﹣4p ≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＞8，即可判断B 与D ．【解答】解：设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1、x 2，方程y 2+qy +p ＝0的两根为y 1、y 2．∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，∴x 1•x 2＝q ＞0，y 1•y 2＝p ＞0，故选项A 与C 说法均错误，不符合题意；∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，∴p 2﹣4q ≥0，q 2﹣4p ≥0，∴（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＝p 2﹣4q +4+q 2﹣4p +4＞8（p 、q 不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B 说法错误，不符合题意；选项D 说法正确，符合题意；故选：D ．【题型7 根与系数关系中的新定义问题】【例7】（2022秋•武侯区校级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）①方程x 2﹣4x ＝0是关于2的等距方程；②当5m ＝﹣n 时，关于x 的方程（x +1）（mx +n ）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax 2+bx +c ＝0是关于2的等距方程，则必有b ＝﹣4a （a ≠0）；④当两根满足x 1＝3x 2，关于x 的方程px 2﹣x 0是关于2的等距方程．+34=【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；③根据方程ax 2+bx +c ＝0是关于2的等距方程，且b ＝﹣4a （a ≠0）得到x 1＝x 2或x 1+x 2＝4，当x 1＝x 2时，x 1＝x 2，不能判断a 与b 之间的关系，当x 1+x 2＝4时，即4，得到b ＝﹣4a ，据此即可=−b 2a −b a =判断；④根据韦达定理和x 1＝3x 2，得出3x 22（3x 2+x 2）＝3x 2，解得x 2＝1或x 2＝0（舍去），然后利用关=34于2的等距方程的定义进行判断．【解答】解：①∵x 2﹣4x ＝0，∴x （x ﹣4）＝0，∴x 1＝0，x 2＝4，则|x 1﹣2|＝|x 2﹣2|，①正确；②当m ≠0，n ≠0时，（x +1）（mx +n ）＝0，则x 1＝﹣1，x 2，=n −m ∵5m ＝﹣n ，∴x 2＝5，∴|x 1﹣2|＝|x 2﹣2|，满足2的等距方程；当m ＝n ＝0时，原方程x +1＝0不是一元二次方程，故②错误；③对于方程ax 2+b +c ＝0（a ≠0），由韦达定理得：x 1+x 2，=−b a ∵方程是2的等距方程，∴|x 1﹣2|＝|x 2﹣2|，则x 1﹣2＝x 2﹣2或x 1﹣2＝2﹣x 2，∴x 1＝x 2或x 1+x 2＝4，当x 1＝x 2时，x 1＝x 2，不能判断a 与b 之间的关系，=−b 2a 当x 1+x 2＝4时，即4，−b a =∴b ＝﹣4a ，故ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）是2的等距方程时，b 不一定等于﹣4a ，故③错误；④对于方程px 2﹣x 0有两根满足x 1＝3x 2，+34=由韦达定理得：x 1x 2，x 1+x 2，=34p =1p ∴x 1x 2（x 1+x 2），=34×1p =34∴3x 22（3x 2+x 2）＝3x 2，=34∴x 2＝1或x 2＝0（舍去），∴x 1＝3x 2＝3，∴|x 1﹣2|＝|x 2﹣2|，即px 2﹣x 0是关于2的等距方程，故④正确，+34=故正确的有①④，故答案为①④．【变式7-1】（2021秋•金牛区期末）将两个关于x 的一元二次方程整理成a （x +h ）2+k ＝0（a ≠0，a 、h 、k 均为常数）的形式，如果只有系数a 不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）与方程（x +1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，且方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个根为x 1、x 2，则b ﹣2c ＝　4　，ax 1+x 1x 2+ax 2的最大值是．【分析】根据新的定义可知b ＝2a ，c ＝a ﹣2，即可得到b ﹣2c ＝2a ﹣2（a ﹣2）＝4，由根与系数的关系x 1+x 2＝﹣2，x 1x 2，代入变形后的代数式得到ax 1+x 1x 2+ax 2＝a （x 1+x 2）=a−2a +x 1x 2＝﹣2a2（a ）+1，设a t （t ＞0），得a 2﹣t •a +1＝0，根据题意解得t ≥2，即+a−2a =−+1a +1a =a 2，即可得到ax 1+x 1x 2+ax 2＝﹣2（a ）+1≤﹣3．+1a ≥+1a 【解答】解：根据新的定义可知，方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）可变形为a （x +1）2﹣2＝0，∴a （x +1）2﹣2＝ax 2+bx +c ，∴ax 2+2ax +a ﹣2＝ax 2+bx +c ，∴b ＝2a ，c ＝a ﹣2，∴b ﹣2c ＝2a ﹣2（a ﹣2）＝4，∵x 1+x 2＝﹣2，x 1x 2=a−2a∴ax 1+x 1x 2+ax 2＝a （x 1+x 2）+x 1x 2＝﹣2a 2（a ）+1，+a−2a =−+1a ∵方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个根为x 1、x 2，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（2a ）2﹣4a （a ﹣2）＝8a ≥0，且a ≠0，∴a ＞0，设a t （t ＞0），得a 2﹣t •a +1＝0，+1a =∵方程a 2﹣t •a +1＝0有正数解，∴Δ＝t 2﹣4≥0，解得t ≥2，即a2，+1a ≥∴ax 1+x 1x 2+ax 2＝﹣2（a ）+1≤﹣3，+1a ∴ax 1+x 1x 2+ax 2的最大值是﹣3．故答案为：4，﹣3．【变式7-2】（2021秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请说明方程x 2﹣3x +2＝0是倍根方程；（2）若（x ﹣2）（mx +n ）＝0是倍根方程，则m ，n 具有怎样的关系？（3）若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（b 2﹣4ac ≥0）是倍根方程，则a ，b ，c 的等量关系是．（直接写出结果）【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x 1＝2，x 2＝1，然后根据“倍根方程”可判断方程x 2﹣3x +2＝0是倍根方程；（2）利用因式分解法解方程得x 1＝2，x 2，再利用“倍根方程”的定义得到2×2或=−n m −n m =2，从而得到m 、n 的关系式；−n m =12×（3）设方程的两根分别为t ，2t ，根据根与系数的关系得t +2t，t •2t ，然后消去t 得到a 、b 、c =−b a =c a 的关系．【解答】解：（1）（x ﹣2）（x ﹣1）＝0，x ﹣2＝0或x ﹣1＝0，∴x 1＝2，x 2＝1，∴方程x 2﹣3x +2＝0是倍根方程；（2）∵（x ﹣2）（mx +n ）＝0，∴x 1＝2，x 2，=−n m 当2×2时，n ＝﹣4m ，即4m +n ＝0；−n m =当2时，n ＝﹣m ，即m +n ＝0；−n m =12×综上所述，m 、n 的关系式为4m +n ＝0或m +n ＝0．（3）∵一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（b 2﹣4ac ≥0）是倍根方程，∴设方程的两根分别为t ，2t ，根据根与系数的关系得t +2t，t •2t ，=−b a =c a ∴t ，=−b 3a ∴2（）2，−b 3a =c a ∴2b 2＝9ac ．故答案为：2b 2＝9ac ．【变式7-3】（2022春•宜秀区校级月考）x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根，若满足|x 1﹣x 2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x 2﹣4x ﹣5＝0；②2x 2﹣2x +1＝0；3（2）已知关于x 的方程x 2+2ax ＝0是“差根方程”，求a 的值；（3）若关于x 的方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差根方程”，请探索a 与b 之间的数量关系式．【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；（2）根据x 2+2ax ＝0是“差根方程”，且x 1＝0，x 2＝﹣2a 得到2a ＝±1，从而得到a ＝±；12（3）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到1，整理即可得到b 2＝a 2+4a ．(−b a )2−4⋅1a =【解答】解：（1）①设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣5＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝﹣5，∴|x 1﹣x 2|6，=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=42−4×(−5)=∴方程x 2﹣4x ﹣5＝0不是差根方程；②设x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣2x +1＝0的两个实数根，3∴x 1+x 2，x 1•x 2，=3=12∴|x 1﹣x 2|1，=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(3)2−4×12=∴方程2x 2﹣2x +1＝0是差根方程；3（2）x 2+2ax ＝0，因式分解得：x （x +2a ）＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣2a ，∵关于x 的方程x 2+2ax ＝0是“差根方程”，∴2a ＝±1，即a ＝±；12（3）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）的两个实数根，∴x 1+x 2，x 1•x 2，=−b a =1a ∵关于x 的方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差根方程”，∴|x 1﹣x 2|＝1，∴|x 1﹣x 2|1，即1，=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(−ba )2−4⋅1a =∴b 2＝a 2+4a ．【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例8】（2021秋•锦江区校级期中）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +2m ﹣4＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m 的取值范围；【分析】（1）首先计算△，再根据非负数的性质可判断出Δ≥0，进而得到结论；（2）当两根一个大于5一个小于5时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与5的差的积小于零，列出不等式解之即可；【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m ）2﹣4×1×（2m ﹣4）＝（m ﹣4）2≥0，∴不论m 取何实数，该方程总有两个实数根；（2）设两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝m ，x 1x 2＝2m ﹣4，∵方程的一个根大于5，另一个根小于5，∴（x 1﹣5）（x 2﹣5）＝x 1x 2﹣5（x 1+x 2）+25＜0，∴2m ﹣4﹣5m +25＜0，解得：m ＞7，∴方程的一个根大于5，另一个根小于5，m 的取值范围是m ＞7；【变式8-1】（2022春•临平区月考）已知一元二次方程mx 2+nx ﹣（m +n ）＝0．（1）试判断方程根的情况．（2）若m ＜0时方程的两根x 1，x 2满足x 1•x 2＞1，且n ＝1，求m 的取值范围．【分析】（1）通过一元二次方程根的判别式求解．（2）由一元二次方程根与系数的关系求出x 1•x 21，进而求解．=−m +1m ＞【解答】解：（1）∵一元二次方程mx 2+nx −（m +n ）＝0，∴m ≠0，Δ＝n 2−4m ×[−（m +n ）]＝（n +2m ）2≥0，∴该方程有两个实数根．（2）将n ＝1代入方程mx 2+nx −（m +n ）＝0，得mx 2+x −（m +1）＝0，∵方程的两根x 1，x 2满足x 1•x 2＞1，∴x 1•x 21，=−m +1m ＞当m ＜0时，可得m ＜0，−12＜即m 的取值范围是m ＜0．−12＜【变式8-2】（2022秋•新都区校级月考）实数k 取何值时，关于x 的一元二次方程x 2+（3k ﹣1）x +3k ﹣2＝0（1）有两个负根？（2）两根异号，且负根绝对值较大？（3）一根大于5，一根小于5？【分析】（1）根据一元二次方程有两个实根，则判别式△≥0，并且两根的和小于0，且两根的积大于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k 的不等式组，即可求得k 的范围；（2）根据一元二次方程有两个不相等的实根，则判别式Δ＞0，并且负根的绝对值较大，则两根的和小于0，且两根的积小于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k 的不等式组，即可求得k 的范围；（3）设方程的两个根分别是x 1、x 2，根据题意，得（x 1﹣5）（x 2﹣5）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得k 的取值范围，再根据Δ＞0确定k 的范围．【解答】解：（1）设方程的两个负根为x 1、x 2，则：Δ＝（3k ﹣1）2﹣4（3k ﹣2）＝9（k ﹣1）2≥0 ①，x 1+x 2＝1﹣3k ＜0，x 1x 2＝3k ﹣2＞0 ②，解①得：k 为任意实数，解②得：k ，＞23所以k 的取值范围是k ；＞23（2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：Δ＝（3k ﹣1）2﹣4（3k ﹣2）＝9（k ﹣1）2＞0 ①，x 1+x 2＝1﹣3k ＜0，x 1x 2＝3k ﹣2＜0 ②，解①得：k ≠1，解②得：k ，13＜＜23所以k 的取值范围是k ；13＜＜23（3）设方程的两个根为x 1、x 2，则：Δ＝（3k ﹣1）2﹣4（3k ﹣2）＝9（k ﹣1）2＞0 ①，（x 1﹣5）（x 2﹣5）＜0 ②，解①得：k ≠1，由②得：x 1x 2﹣5（x 1+x 2）+25＜0，又x 1+x 2＝1﹣3k ，x 1x 2＝3k ﹣2，代入整理，得18k +18＜0，解得k ＜﹣1．则k ＜﹣1．【变式8-3】（2022春•越秀区校级月考）设关于x 的方程x 2﹣5x ﹣m 2+1＝0的两个实数根分别为α、β．（1）证明：无论实数m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当|α|+|β|≤6时，试确定实数m 的取值范围．【分析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）根据x 的方程x 2﹣5x ﹣m 2+1＝0的实根为α、β，由根与系数的关系列出不等式即可解出m 的取值范围．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣5）2﹣4（﹣m 2+1）＝4m 2+21＞0，∴无论实数m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵α+β＝5，αβ＝1﹣m 2，|α|+|β|≤6，∴α2+β2+2|αβ|≤36，即（α+β）2﹣2αβ+2|αβ|≤36．∴25﹣2（1﹣m 2）+2|1﹣m 2|≤36，当1﹣m 2≥0时，25≤36成立，∴﹣1≤m ≤1①．当1﹣m 2＜0时，得25﹣4（1﹣m 2）≤36，∴−m ②．152≤≤152由①、②得−m ．152≤≤152。

专题01 根与系数的四种考法(解析版)

= a (a 2 - 2022) + 1
= a (a + 2021 - 2022) + 1
= a2 - a + 1
= 2021 + 1
= 2022 ，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二
次方程的根与系数的关系是解题关键．
类型三、构造方程化简求值
【详解】（1）解：Q 关于 x 的一元二次方程 x 2 + 2 x + m = 0 有两个不相等的实数根．
\ D = b 2 - 4ac = 22 - 4 ´1´ m > 0 ，
即 m 1；
（2）解：由根与系数的关系可知： x1 + x2 = -2 ， x1 × x2 = m ，
Q ( x1 x2 - 1)2 + 2( x1 + x2 ) = 0 ，
x23= x22・x2=(1-x2)・ x2=x2- x22=x2-(1-x2)=2x2-1，
∴原式=4(5x1-3)+10(2x2-1)=20(x1+ x2)-22=20 ´ (-1)-22=-42．
故答案为：-42．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，若 x1，x2 是一元二次方程
x2
故答案为-1．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及方程解得定义，整体思想的应用是解决
问题的关键．
【变式训练 1】已知关于 x 的方程 x 2 + 2 x + m = 0 有两个不相等的实数根．
(1)求 m 的取值范围．
(2)若两个实数根分别是 x 1 ， x 2 ，且 ( x1 x2 - 1)2 + 2( x1 + x2 ) = 0 ，求 m 的值．

专题02 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训(解析版)

专题02一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训【题型目录】题型一利用根与系数的关系直接求代数式的值题型二利用根与系数的关系间接求代数式的值题型三利用根与系数的关系降次求代数式的值题型四构造一元二次方程求代数式的值题型五由两根关系求方程字母系数题型六根与系数关系的新定义问题题型七一元二次方程根与系数的关系综合【知识梳理】如果一元二次方程20ax bx c （0a ）的两根为12x x ，，那么，就有212ax bx c a x x x x 比较等式两边对应项的系数，得1212b x x a c x x a①，②①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c 就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c 的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c 的根，而知其根的正、负性．在24b ac ≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a 时，方程的两根必一正一负．若0b a ≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a ，则此方程的正根小于负根的绝对值．当0c a 时，方程的两根同正或同负．若0b a ，则此方程的两根均为正根；若0b a ，则此方程的两根均为负根．⑴韦达定理（根与系数的关系）：如果20(0)ax bx c a 的两根是1x ，2x ，则12b x x a ，12c x x a．(隐含的条件：0 )⑵若1x ，2x 是20(0)ax bx c a 的两根(其中12x x )，且m 为实数，当0 时，一般地：①121()()0x m x m x m ，2x m②12()()0x m x m 且12()()0x m x m 1x m ，2x m③12()()0x m x m 且12()()0x m x m 1x m ，2x m特殊地：当0m 时，上述就转化为20(0)ax bx c a 有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x ．⑷其他：1若有理系数一元二次方程有一根a b a b a ，b 为有理数)．2若0ac ，则方程20(0)ax bx c a 必有实数根．3若0ac ，方程20(0)ax bx c a 不一定有实数根．4若0a b c ，则20(0)ax bx c a 必有一根1x ．5若0a b c ，则20(0)ax bx c a 必有一根1x ．⑸韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面：1已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；3已知方程的两根，求作方程；4结合根的判别式，讨论根的符号特征；5逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【经典例题一利用根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023·天津河北·统考二模）已知一元二次方程2310x x 有两个实数根12x x 、，则1212x x x x 的值为（）A ．6B ．2C ．4D ．3【答案】B【分析】先根据根与系数的关系得121231x x x x ，，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得121231x x x x ，，所以1212312x x x x ．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12x x 、是一元二次方程 200ax bx c a 的两根时，1212b c a x x x x a，．【变式训练】1．（2023·湖北武汉·统考二模）已知a ，b 是一元二次方程2320x x 的两根，则2a b a a b a的值是（）A ．3B ．3C ．2D ．2 【答案】A 【分析】先将2a b a a b a化简，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a b 的值，从而得到答案．【详解】解：根据题意可得：222a b a b a b a a b a a a b a b a a b a a b a，∵a ，b 是一元二次方程2320x x 的两根，331a b ，23a b a a b a，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．2．（2023·江西景德镇·统考二模）已知1x ，2x 是方程222x x 的两个根，则1211 x x 的值为______．【答案】1【分析】先把方程转化为一般式，再根据根与系数的关系得到122x x ，122x x ，再把1211x x 进行通分得到1212x x x x ，再利用整体代入进行计算即可．【详解】解：222x x 转化为一般式为：2220x x ，根据题意可得：122x x ，122x x ，∴121212112===12x x x x x x ，故答案为：1 ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、整体代入求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系得到122x x ，122x x 是解题的关键．3．（2022春·八年级单元测试）已知1x ，2x 是方程2630x x 的两实数根，求：(1)2112x x x x ，(2)2212x x 的值．【答案】(1)10(2)30【分析】（1）由1x ，2x 是方程2630x x 的两实数根，得出12+6x x =，123x x ，由222221212112121212++x x x x x x x x x x x x x x ==，代入相关数据即可得；（2） 222121212++2x x x x x x =代入即可．【详解】（1）解：∵1x ，2x 是方程2630x x 的两实数根，∴126+61b x x a ===，12331c x x a ==，∴ 2222121212++262330x x x x x x ===，∴222221************+30+103x x x x x x x x x x x x x x ====；（2）解：∵1x ，2x 是方程2630x x 的两实数根，∴126+61b x x a ===，12331c x x a ==，∴ 2222121212++262330x x x x x x ===；【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟记12+b x x a，12c x x a 解题关键．【经典例题二利用根与系数的关系间接求代数式的值】【例2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知a ，b 是一元二次方程2210x x 的两根，则2222a b ab a b a b的值是（）A ．12B ．2C ．12D ．2【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到2a b ，1ab ，再化简分式代值求解即可．【详解】解：∵a ，b 是一元二次方程2210x x 的两根，∴2a b ，1ab ，∴2222a b ab a b a b22ab a b a b a b b b b a a a22a b a b a b aba b a b ab a bab a b12，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、分式的化简求值，解答的关键是正确化简分式，熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程20ax bx c 的两个根为1x 、2x ，则12b x x a，12c x x a ．【变式训练】1．（2023·内蒙古包头·二模）已知m ，n 是一元二次方程260x x 的两个实数根，则代数式22m m n 的值等于（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得1m n ，根据一元二次方程根的定义得26m m ，由 222m m n m m m n ，整体代入求解即可．【详解】解：m ∵，n 是一元二次方程260x x 的两个实数根，1m n ，26m m ，222615m m n m m m n ，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．2．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）设a ，b 是方程220220x x 的两个不相等的实数根，则22a a b ab ___________．【答案】1【分析】根据一元二次方程的解的定义，以及根与系数的关系，进行求值即可．【详解】解：∵a ，b 是方程220220x x 的两个不相等的实数根，∴220220,1,2022a a a b ab ，∴22022,a a ∴222a ab ab a a a b ab2a a a b ab 2022120021 ；故答案为：1 ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，利用整体思想求代数式的值，是解题的关键．3．（2023·湖北襄阳·统考一模）已知关于x 的一元二次方程 22210x m x m ．(1)若方程有实数根，求m 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为12,x x ，且满足221214x x ．求212410x x 的值．【答案】(1)12m (2)2124105x x 【分析】（1）根据方程有实数根，得到0 ，进行求解即可；（2）根据根与系数的关系，利用整体思想代入求值即可.【详解】（1）由题意得， 222140m m ．解得：12m ；（2）解：由一元二次方程根与系数关系可得 21212,21x x m x x m ．∵ 222121212214x x x x x x ，∴ 2221214m m ．解得：125,1m m ．∵12m ，∴1m ．∴212114,410x x x x ．∴21141x x ．∴ 21212124104141041144115x x x x x x ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解决问题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的情况的对应以及一元二次方程根与系数关系．【经典例题三利用根与系数的关系降次求代数式的值】【例3】（2022秋·浙江温州·八年级校考阶段练习）已知、是方程210x x 的两根，则435 的值是（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出1 ，1 ，21 ，21 ，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵ 、是方程210x x 的两根，∴1 ，1 ，21 ，21 ，∴4353315115225115272179 ，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程20ax bx c （a 、b 、c 为常数，0a ）的两根为1x ，2x ，则12b x x a，12c x x a ．【变式训练】1．（2022秋·四川达州·九年级校联考期末）设1x ，2x 是一元二次方程230x x 的两根，则3212420x x 等于（）A ．1B ．5C ．11D ．13【答案】A【分析】根据根与系数的关系得到：12121,3x x x x ，以及方程的根的定义得到：22112230,30x x x x ，将3212420x x 进行转化计算即可．【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程230x x 的两根，∴22112230,30x x x x ，12121,3x x x x ，∴2211223,3x x x x ，∴ 322121124204320x x x x x 112341220x x x 2112348x x x1123348x x x 1245x x 451 ；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．熟练掌握方程的根是使方程成立的未知数的值，利用整体思想进行化简，是解题的关键．2．（2023·江苏苏州·校考二模）如果一元二次方程2320x x 的两个根为1x ，2x ，则32111223+2=x x x x x _____．【答案】4【分析】将1x 代入方程可得21132x x ，利用一元二次方程根与系数的关系求得 12x x 和12x x 的值；再将所求代数式提取公因式后代入求值即可；【详解】解：∵1x 是方程2320x x 的根，∴211320x x ，∴21132x x ，由一元二次方程根与系数的关系可得：123x x ，122x x ，∵ 322111221111223232x x x x x x x x x x x ，∴ 32111221122121232222=2×32=4x x x x x x x x x x x x x ，故答案为：4 ．【点睛】本题考查了方程的根的意义，因式分解；掌握一元二次方程 200ax bx c a 的两根1x ，2x 满足12bx x a ，12c x x a是解题关键．3．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）已知a ，b 是方程2320x x 的两个不相等的实根，求下列各式的值：(1)22a b ；(2)22()(1)1a b ；(3)3232a a b【答案】(1)13；(2)18；(3)6 ．【分析】（1）由根与系数的关系得出32a b ab ，，整体代入222()2a b a b ab 计算可得；（2）将原式展开整理成222)1()(a b ab ，再将22a b 、ab 的值整体代入计算可得；（3）由a 是方程的一个根得到232a a ，将原式整理成2(3)2a a a b ，再将232a a 、3a b 的值整体代入计算可得．【详解】（1）解：∵a 、b 是方程2320x x 的两个不相等的实根，∴32a b ab ，，则222()29413a b a b ab ；（2）解：由（1）得2213a b ，2ab ，∴22()(1)1a b 22221a b a b 222)1(()a b ab 21213)( 18 ；（3）解：由（1）得3a b ，∵a 是方程2320x x 的根，∴2320a a ，即232a a ，∴3232a a b2(3)2a a a b22a b2()a b 6 ．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握12x x ，是一元二次方程20(0)ax bx c a 的两根时，12b x x a，12c x x a ．【经典例题四构造一元二次方程求代数式的值】【例4】（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）已知实数a 、b 满足2222,22a a b b ，且a b ¹，则b a a b 的值（）A ．0B ．4C ．4D ．2 【答案】B 【分析】根据题意可知a 、b 是一元二次方程2220x x 的两个不相等实数根，再由根与系数的关系可得22a b ab ，，再将b a a b进行变形，然后代入计算即可．【详解】解：∵2222,22a a b b ，a b ¹，∴22220220a a b b ，，∵a b ¹，∴a 、b 是一元二次方程2220x x 的两个不相等实数根，∴22a b ab ，，∴2222()2(2)2(2)42b a a b a b ab a b ab ab 故选：B【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的解、根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级期中）若关于x 的一元二次方程220ax ax c (0)a 的一个根为m ，则方程21210a x a x c （）（）的两根分别是（）．A ．1m ，1m B ．1m ，1m C ．1m ，2m D ．1m ，1m 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程220ax ax c 的另一个根，设1x t ，根据方程220ax ax c 的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220ax ax c (0)a 的一个根为m ，设方程另一根为n ，∴22a n m a，解得：2n m ，设1x t ，方程21210a x a x c （）（）变形为220at at c ，由一元二次方程220ax ax c (0)a 的根可得，1t m ，22t m ，∴12x m ，1x m ，∴11x m ，21x m ，故答案为：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．2．（2023春·山东枣庄·九年级校联考阶段练习）已知实数a 、b 满足2310a a ，2310b b ，则b aa b_______．【答案】2或11【分析】实数a 、b 满足等式2310a a ，2310b b ，①当a b 时，a ，b 可能是方程2310x x 的同一个根，两数相等；②当a ≠b 时，由根与系数的关系，得3a b ，1ab ，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，即可求得代数式的值．【详解】解：①当a b 时，原式b aa b112 ．②当a b 时，可以把a ，b 看作是方程2310x x 的两个根．由根与系数的关系，得3a b ，1ab ．∴b a a b 2292111a b ab ab ．故本题答案为：2或11 ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较强，特别注意不要漏掉“a b ”的情况．3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：已知实数m ，n 满足210m m ，210n n ，且m n ，则m ，n 是方程210x x 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知1m n ，1mn ．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：已知实数a ，b 满足：2710a a ，2710b b ，且a b ¹，则a b _____，ab ______；(2)间接应用：在（1）条件下，求11a b的值；(3)拓展应用：已知实数m ，n 满足：2117m m ，27n n 且10mn ，则1n m______．【答案】(1)7；1(2)7(3)1【分析】（1）利用韦达定理直接求解；（2）对11a b进行通分，然后利用韦达定理求解；（3）令1t m，则由题得270t t ，270n n ，且n t ，利用韦达定理可求n t 的值，进而求解1n m．【详解】（1）解：∵2710a a ，2710b b ，且a b ¹，a ，b 是方程2710x x 的两个不相等的实数根， 7a b ，1ab ．故答案为：7，1；（2）解：∵7a b ，1ab ，11771a b a b ab ．（3）解：由27n n ，得270n n ．令1t m，则由2117m m ，得270t t ．由10mn ，得1n m，即n t ．∵270n n ，270t t ，且n t ，n ，t 是方程270x x 的两个不相等的实数根， 1n t ，即11n m，11n m．故答案为：1 ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，韦达定理的应用，熟练掌握韦达定理的原理是解题的关键．【经典例题五由两根关系求方程字母系数】【例5】（2022秋·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）等腰三角形的三边长分别为a ，b ，1，且关于x 的一元二次方程2420x x n 的两个根是a 和b ，则n 的值为（）A ．1B ．1或2C ．2D ．1且2【答案】C【分析】分1为底边长或腰长两种情况考虑：当1为底时，由a b 及4a b 即可求出a 、b 的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出222n 即可；当1为腰时，则a 、b 中有一个为1，则另一个为3，由1、1、3不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论．【详解】解：当1为底边长时，则a b ，4a b ，1∵，2，2能围成三角形，222n ，解得：2n ；当1为腰长时，a 、b 中有一个为1，则另一个为3，1∵，1，3不能围成三角形，此种情况不存在．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分1为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键．【变式训练】1．（2023·山东日照·统考二模）关于x 的方程22210x x m 有实数根，方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x ，则m 值是（）A ．52B ．52C ．52D ．32【答案】B【分析】根据韦达定理可知122x x ，1221x x m ，利用完全平方公式可得22212122112122x x x x x x x x x x，整体代入解方程即可．【详解】解：∵关于x 的方程22210x x m 有实数根，方程的两根分别是1x 、2x ，122x x ，1221x x m ，∵ 22421810m m ，1m ，∵211212x x x x x x ， 22212122121121212122x x x x x x x x x x x x x x x x 2422121m m ，整理得：245m ，解得52m，52m，故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系、解一元二次方程，掌握根与系数的关系并利用完全平方公式变形是解题关键．2．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）已知关于x 的方程 24400x k x k k 的两实数根为1x 、2x ，若 121223x x x x ，则k _____．【答案】45/0.8【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到12124,4x x k x x k ，代入121223x x x x 得到 2434k k ，解这个一元一次方程即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的方程 24400x k x k k 的两实数根为1x 、2x ，∴12124,4x x k x x k ，∵121223x x x x ，∴ 2434k k ，解得45k ，故答案为：45．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系1212,b cx x x x a a是解决问题的关键．3．（2023·北京石景山·统考二模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m ．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若1m ，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可；（2）设方程的两个根分别为2s s 、，利用根与系数的关系得到22221s s ms s m，由此建立关于m 的方程求解即可．【详解】（1）证明：由题意得，22Δ2411m m22444m m 40 ，∴关于x 的一元二次方程22210x mx m 总有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的两个根分别为2s s 、，∴22221s s ms s m，∴23s m，∴222213m m，∴22819m m ，解得3m ，又∵1m ，∴3m ．【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键．【经典例题六根与系数关系的新定义问题】【例6】（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）定义新运算“※”：对于实数m 、n 、p 、q ，有[,][,]m p q n mn pq ※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2,3][4,5]253422 ※．若关于x 的方程 21,52,0x x k k ※有两个实数根，则k的取值范围是（）A ．54kB ．54kC ．54k且0k D ．54k且0k 【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x 的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．【详解】解：∵[x 2+1，x ]※[5−2k ，k ]=0，∴ 21520k x k x ．整理得， 2520kx k x k ．∵方程有两个实数根，∴判别式0 且0k ．由0 得， 225240k k ，解得，54k．∴k 的取值范围是54k 且0k ．故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．【变式训练】1．（2023·河北·模拟预测）对于任意实数a ，b ，我们定义新运算“*”：22*2a b a ab b ，例如：223*53235514 ．若m ，n 是方程 2*30x 的两个实数根，则11m n的值为（）A ．107B ．-3C ．17D ．107【答案】D【分析】先根据新定义得到原方程即为21070x x ，再根据根与系数的关系得到107m n mn ，，最后代值计算即可．【详解】解：∵ 2*30x ，∴ 226290x x ，∴21070x x ，∵m ，n 是方程 2*30x 的两个实数根，∴107m n mn ，，∴11107m n m n mn ，故选D ．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，正确根据题意得到107m n mn ，是解题的关键．2．（2022秋·湖南衡阳·九年级校联考期末）已知对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算：@ab a b a b，如615310106@15615217，已知m ，n 是一元二次程22170x x 的两个不相等的实数根，则[()@]@3m n mn _______．【答案】25【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．【详解】由m ，n 是22170x x 的两个不相等的实数根可得：21m n ，7mn 故[()@]@3(21@7)@3m n mn 217@3217 147@328 73@328 3@343343343425325【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．3．（2023春·福建南平·九年级专题练习）阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造闭法：方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m 、n 满足210m m 、210n n ，且m n ，则可将m 、n 看作是方程210x x 的两个不相等的实数根．方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a 、b 满足3a b 、2ab ，则可以将a 、b 看作是方程2320x x 的两实数根．根据上述材料解决下面问题：(1)已知一元二次方程2510x x 的两根1x ，2x ，则12x x ______，12x x ______；(2)已知实数m n 、满足2320m m ，2320n n ，求n mm n的值．(3)已知实数a b c 、、满足5a b c 、165ab c，且5c ，求c 的最大值．【答案】(1)5 ；1(2)136或2(3)1【分析】（1）根据根与系数关系12b x x a、12cx x a ，结合一元二次方程2510x x 直接求解即可得到答案；（2）当m n 时，m 、n 是方程2320x x 的两根，利用根与系数的关系可求得m n 和mn的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当m n 时，易得原式2 ；（3）将a 、b 看作是方程216(5)05x c x c的两实数根；利用判别式的意义得到△216(5)405c c，所以3(5)64c ，解得1c ，从而得到c 的最大值．【详解】（1）解：∵一元二次方程2510x x 的两根1x ，2x ，12551b x x a，12111c x x a ；（2）解：当m n 时，∵实数m 、n 满足2320m m ，2320n n ，m 、n 可看作方程2320x x 的两根，13m n，23mn ，原式222122()()21393263n m m n mn mn mn，当m n ，则原式112 ；综上所述，原式的值为136或2；（3）解：5a b c ∵，165ab c，将a 、b 看作是方程216(5)05x c x c的两实数根，∵△216(5)405c c，5c ，即50c ，3(5)64c ，54c ，即1c ，c 的最大值为1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a 的两根时，12b x x a，12c x x a ，也考查了一元二次方程根的判别式，灵活应用根与系数的关系是解决关键．【经典例题七一元二次方程根与系数关系的综合】【例7】（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是（）A ．﹣27＜a ＜25B ．a ＞25C ．a ＜﹣27D ．﹣211＜a ＜0【答案】D【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．又存在x 1＜1＜x 2，即（x 1-1）（x 2-1）＜0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a 的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a 2+4a+4＞0，解得2275a，又∵x 1＜1＜x 2，∴x 1-1＜0，x 2-1＞0，那么（x 1-1）（x 2-1）＜0，∴x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，122a x x a∵，x 1x 2=9，即2910a a，解得2011a，综上所述，a 的取值范围为：2011a .故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．根与系数的关系为：1212,b c x x x x a a.【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级期末）若方程22320x px p 的两个不相等的实数根12x x 、满足232311224x x x x ，则实数p 的所有值之和为（）A ．0B ．34C ．1D ．54【答案】B【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到2112320x px p ，122x x p ，进而推出113211322x px x px ，则3212211111322x px x px x x ，3222222222322x px x px x x ，即可推出 22121232124p x x p x x ，然后代入122x x p ， 22212124x x x x p 得到 24310p p p ，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【详解】解：∵12x x 、是方程22320x px p 的两个相等的实数根，∴2112320x px p ，1212232x x p x x p ，，∴211232x px p ，∴211131232x px px x ，∴113211322x px x px ，∴3222111111322x x px x px x ，同理得3222222222322x px x px x x ，∵232311224x x x x ＋，∴232311224x x x x ，∴2222111122223223224px x px x px x px x ，∴22121232124p x x p x x ，∴ 23221222324p p p p p，∴2264124644p p p p p ，∴2226446424644p p p p p p p ，∴222224640p p p p p ，∴ 2246410p p p p ，∴224730p p p ，∴ 24310p p p ，解得1233014p p p ，，，∵ 2Δ24320p p ，∴2320p p ，∴ 130p p ，∴1p 不符合题意，∴1334p p∴符合题意，故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．2．14．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程220x x 是“倍根方程”；②若(2)()0x mx n 是“倍根方程”，则22450m mn n ；③若,p q 满足2pq ，则关于x 的方程230px x q 是“倍根方程”；④若方程20ax bx c 是“倍根方程”，则必有229b ac ．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m ，n 之间的关系；③当,p q 满足2pq 时，有23px x q (1)()0px x q ，求出两个根，再根据2pq 代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当122x x 或122x x 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【详解】①解方程220x x ，得1221x x ，，122x x ∵，方程220x x 不是“倍根方程”．故①不正确；②(2)()0x mx n ∵是“倍根方程”，且12x ，因此21x 或24x ．当21x 时，0m n ，当24x 时，40m n ，2245()(4)m mn n m n m n 0 ，故②正确；③2pq ∵，23(1)()0px x q px x q ，121x x q p ，，2122x q x p，因此230px x q 是“倍根方程”，故③正确；④方程20ax bx c 的根为2212b b 4ac b b 4ac x ,x 2a 2a，若122x x ，则224422b b ac b b ac a a 2，即22442022b b ac b b ac a a，23402b b aca ，2340b b ac ，234b ac b ，2294b ac b ，229b ac ，若122x x ，则2422b b ac a242b b ac a ，23402b b aca ，2340b b ac ，234b b ac ，2294b b ac ，229b ac ．故④正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．3．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知12x x ，是关于x 的一元二次方程 200ax bx c a 的两个实数根，若120x x ，且1234x x，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程213300x x 的两根为12103x x ，，因1030 ，10343，所以一元二次方程213300x x 为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程29140x x 是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x 的一元二次方程 222730x k x k 是“限根方程”，且两根12x x 、满足12121x x x x ，求k 的值；(3)若关于x 的一元二次方程 210x m x m 是“限根方程”，求m 的取值范围．【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析(2)k 的值为2(3)m 的取值范围为1134m 或43m 【分析】（1）解该一元二次方程，得出1272x x ，，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出1272x x k ，21223k x x ，代入12121x x x x ，即可求出12k ，21k ．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出121x x m ，或121x m x ，．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出0 ，0m 且1m ，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【详解】（1）解：29140x x ，270x x ，∴20x 或70x ，∴1272x x ，．∵72 ，773422，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程 222730x k x k 的两个根分比为12x x 、，∴1272x x k ，21223k x x ．∵12121x x x x ，∴231722k k ，解得：12k ，21k ．分类讨论：①当2k 时，原方程为22970x x ，∴172x =-，21x ，∴120x x ，124732x x，∴此时方程 222730x k x k 是“限根方程”，∴2k 符合题意；②当1k 时，原方程为22640x x ，∴12x ，21x ，∴120x x ，1232x x ，∴此时方程 222730x k x k 不是“限根方程”，∴1k 不符合题意．综上可知k 的值为2；（3） 210x m x m ，(1)()0x x m ，∴10x 或0x m ，∴121x x m ，或121x m x ，．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴0 ，0m 且1m ，∴ 2140m m ，即 21+0m ，∴0m 且1m ．分类讨论：①当10m 时，∴121x x m ，，∵1234x x，∴134m，解得：1134m ；②当1m 时，∴121x m x ，，∵1234x x ，∴341m，解得：43m ．综上所述，m 的取值范围为1134m 或43m ．【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键．【重难点训练】1．（2023春·八年级课时练习）已知1x ，2x 为一元二次方程230x bx 的两个实数根，且122x x ，则（）A ．11x ，23xB ．11x ，23xC ．11x ，23xD ．11x ，23x 【答案】D【分析】先利用一元二次方程根和系数的关系求得2b ，将b 代入方程得到2230x x ，利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：1x ∵，2x 为一元二次方程230x bx 的两个实数根，12bx x b a，122x x ∵，2b ，一元二次方程2230x x ， 130x x ，11x ，23x ，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握一元二次方程根和系数的关系：12b x x a，12cx x a ．2．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）已知a ，b 是方程230x x 的两个实数根，则22023a b 的值是（）A ．2023B ．2021C ．2026D ．2027【答案】D【分析】将实数根a 代入方程得到23a a ，再利用根和系数关系得到1a b ，最后将代数式变形即可计算答案．【详解】解：∵a ，b 是方程230x x 的两个实数根，23a a ，1a b ，22023320232026120262027a b a b a b ，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的含义、一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题关键．3．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算： *1a b a b ．若a ，b 是方程 200x x m m 的两根，则**b b a a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关【答案】A【分析】由根与系数的关系可找出1a b ，根据新运算找出 **11b b a a b b a a ，将其中的1替换成a b ，即可得出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程 200x x m m 的两根，∴1a b ，∴ **110b b a a b b a a b a b b a a b a ab ab ．故选A ．【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系．理解并掌握新运算的法则，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．4．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）直线y x 与抛物线2(1)y x m x m 的两个公共点的横坐标分别是1x ，2x ，若2126x mx ，则m 的值是（）A ．2B ．3或2C ．3D ．3 或2【答案】A【分析】令2(1)x m x m x ，根据根与系数的关系可知12x x m ，由根的判别式可以得到0m 或4m ，把1x 代入整理得26m m ，解方程即可．【详解】解：令2(1)x m x m x ，整理得20x mx m ，12x x m ，∵抛物线与直线y x 有两个交点，240m m ，0m 或4m ，1x ∵是方程20x mx m 的解，211x mx m ，2126x mx ∵，212126x mx mx mx m ，即26m m ，解得3m （舍)或2m ，故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解答的关键是利用数形结合把交点坐标转化为方程的解．5．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）设，是方程2310x x 的两根，则 2244 的值是（）A ．1B ．5C ．3D ．3【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出3,1 ，根据一元二次方程的解的定义得出223131 ，，代入代数式即可求解．【详解】解：∵ ，是方程2310x x 的两根，∴3,1 ，223131 ，，∴ 2244223311 1 1315 ，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数。

根与系数关系经典习题

一.填空题X2—7X+ 2 = 0的两个根,那么Xi+X2=1.如果%、%是方程2 2 22 .一元二次方程x2-3x-5 = 0的两根分别为x i、X2,那么X i +X2的值是o3 .假设方程X2 -2X+k =0的两根的倒数和是8,那么卜二.3二.选择题1 .以下方程中,两实数根之和等于2的方程是〔〕I / _ ----- .A. x2+2x-3=0B.x2-2x + 3 = 0C. 2x2-2x-3=0D. 3x2-6X+1=02 .如果一元二次方程X2 +3x-2 =0的两个根为Xp x2,那么X1+x2与X1X2的值分别为〔〕A. 3, 2B. -3, -2C. 3, -2D. -3, 23 .如果方程2x2 -6x+3=0的两个实数根分别为X、",那么X1X2的值是〔〕A. 3B. -3C. - 3D. 3—2 24.如果X、X2是方程X2-3X+1 = 0的两个根,那么二十1的值等于〔〕X1 X2A. - 3B. 3C. 1D. - 13 325 .关于x的方程x -〔k+2〕x+6-k-0有两个相等的正实数根,那么k的值是〔〕■■, I ;A. 2B. - 10C. 2 或-10D. 2 V?\ \ '1\ V'"一二一：6 .假设方程x2 -8x+m = 0两实数根的平方差为16,那么m的值等于〔〕I i y「'J I1A. 3B. 5C. 15D. - 157 .如果％、X2是两个不相等的实数,且满足X12 - 2x1 = 1 , x22 -2x2=1,那么X1X2等于〔〕A. 2B. -2C. 1D. - 18 .对于任意实数m,关于x的方程〔m2+1〕x2-2mx + 〔m2+4〕 = 0一定〔〕A.有两个正的实数根B.有两个负的实数根C.有一个正实数根、一个负实数根D.没有实数根三.解做题1 .关于x的方程x2-〔k-1〕x + k+1 =0的两上实数根的平方和等于4,求实数k的值.2 .一元二次方程x2-2x+m-1=0〔1〕当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？(2)设x1、乂2是方程的两个实数根,且满足x12+x1x2 = 1 ,求m的值.2 1 23 .关于x的万程x -(k+1)x+ —k +1=04(1) k取什么值时,方程有两个实数根？(2)如果方程的两个实数根x1、x2满足|x"= x2 ,求k的值.4 .关于x的一元二次方程ax2+ x - a = 0(a 0 0)(1)求证：对于任意非零实数a,该方程包有两个异号的实数根；(2)设x1、乂2是方程的两个实数根,假设|x1| + |x2|=4,求a的值. I / ---------- .一元二次方程根与系数的关系知识考点：掌握一元二次方程根与系数的关系,并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值.精典例题：2【例1】关于x的万程2x +kx — 4 =10的一个根是一2,那么方程的另一根是；k =.分析：设另一根为x1,由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组,解之即得.一5答案：一,—12【例2】x1、x2是方程2x2—3x—5=0的两个根,不解方程,求以下代数式的值：,八 2 , 2 | 2 」-2 -(1)x1 +x2(2) |x1 -x2(3) x1 +3x2-3x2a 1 I ,1 J2 2 . . 2 1略解：(1) x1 +x2 =(x1+x2) —2x1x2=7 一4-i 匚Z~~T2 I c 1(2) x1 -x2= 4(x1 +x2) -4x1x2= 3一2,2 2 2 1 _ _ 1(3)原式=(x〔+x2)+(2x2 -3x2) = 7 — + 5 = 12 —4 4【例3】关于x的方程x2 +2(m +2)x +m2 -5 =0有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m的值.2 2分析：有实数根,那么0,且x1 +x2 = x1x2 +16 ,联立解得m的值.略解：依题意有：.__ __ _ ______ 9由①②③解得：m = —1或m = -15 ,又由④可知m >4m = 一15 舍去,故m = -1探索与创新：【问题一】x1、x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m—1)x+m2 = 0的两个非零实数根,问：*1与*2能否同号？欢送阅读假设能同号请求出相应的 m 的取值范围；假设不能同号,请说明理由.1 ,12略解：由△ = -32m +16)0得 mW —.x 1+x 2= -m +1, x 1 x 2= — m >02 4X 1与x 2可能同号,分两种情况讨论:X1 + X 2 > 0 - 一,解得m < 1且m ,0 x 1x 2 > 0±4,又 k <0:存在整数k 的值为一2、一3、- 5A,有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根2,假设方程kX 2—6X + 1 = 0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是1 1 3 .设X 1、X 2是万程3X 2+ 4X —5=0的两根, X 1 X 2⑵假设 X1 <0, X 2 < 0, X + X 2 < 0 那么1 X 1X 2 0 … - 1,一 ,解得m > 1与m 0 —相矛盾 2 综上所述：当 m < 1且m ,0时,方程的两根同号. 2 2 一 . 【问题一】X 1、X 2是一元二次方程4kX —4kX +k +1 = 0的两个实数根. (1) . ... .. ..................................................... 3 是否存在头数k ,使〔2X 1 -X 2〕〔X 1 —2X 2〕=——成立？假设存在,求出k 的值；假设不存在,请说明理由. 2 (2) 求使 '+至_ 2的值为整数的实数 k 的整数值. X 2 X 1 略解: (1)由 k ,0和0= k <0 d k 1 X 1 +X 2 =1, X 1X 2 = -------------------- 4k 2 人 • • (2x 1 - X 2)(X 1 -2x 2)= 2(X 1 X 2) - 9X 1X 2 ..9 .一 k =—,而 k <0 5 :不存在： ⑵X1 X 2 十红 _2=(X 1 +X 2)2 .4 4 … 4 —,要使— --------- 的值为整数,而k 为整数,k+1只能取土 1、±2、 X 1 X 1X 2 C .只有一个实数根D.没有实数根 (1)假设 X1 >0, X 2 >0, 那么〕次方程X 2 -2x -1 =0的根的情况为〔4 .关于 x 的方程 2x 2 + (n2 —9)x+m+ 1=0,当 m=时,两根互为倒数；当m=时,两根互为相反数. 5 .假设X i =$3-2是二次方程x 2+ ax+1 = 0的一个根,那么a=,该方程的另一个根X 2 =. 6 .设 x i, x 2是方程 2x 2+ 4x —3=0 的两个根,那么(x i+1)(x 2+1)=, x ； + x 22=, 1 1 、2一十 — —? (x 1 — x 2) _.x 1 x 27 .当c= ___________ 时,关于x 的方程2x 2+8x+c = 0有实数根.(填一个符合要求的数即可)I / --------- -- .8 .关于x 的方程x 2—(a + 2)x+a - 2b = 0的判另1J 式等于0,且x=g ■是方程的根,那么a + b 的值为.9 .a, b 是关于x 的方程x 2-(2k+1)x+k(k+1) =0的两个实数根,那么a 2+b 2的最小值是10 .a , P 是关于x 的一元二次方程x 2 +(2m+3)x + m 2 =0的两个不相等的实数根,且满足11 .................. 一 = -1,那么m 的值是() a P D . -3 或 1X, & ,那么 x ；x 2 +x 1x 22 的值是( D . —1 312.(泸州)假设关于x 的一元二次方程x 2.-2x+m=0没有实数根,那么实数 m 的取值范围是(A . m<l跟踪练习：一、填空题：2 — 11 1、设x 1、x 2是方程x — 4x +2=0的两根,那么① + = x 1 x2 一、一一 22、以方程2x 2 -x -4 = 0的两根的倒数为根的一元二次方程是23、万程x -mx +45 =0的两实根差的平万为144,那么m =.4、方程x 2 —3x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 , m 的值是2 26、x 1、x 2是方程x 2 -3x +1 =0的两根,那么4x 1 +12x 2 +11的值为.A . 3 或—1B . 3C . 1 11. 一元二次方程x 2 -3x+1=0的两个根分别是1A. 3 B . -3 C .— 3 [② x 1 -x 2 [③国 +1)(x 2+1)=欢送阅读二、选择题:21、如果万程x十mx =1的两个实根互为相反数,那么m的值为〔〕A、0B、一1C、1D、± 12 「b f -小小…、2、ab,0,方程ax +bx +c = 0的系数满足一i =ac,那么万程的两根之比为〔〕<2；A、0 ： 1B、1 ： 1C、1 ： 2D、2 ： 32 24、菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于x的万程：x +〔2m — 1〕x + m +3 = 0的根, 那么m的值为〔〕A、- 3B、5C、5 或—3D、—5或3三、解做题：、一21、证实：方程x2—1997x+1997 =0无整数根. 2 22、关于x的方程x +3x+a =0的两个实数根的倒数和等于3,关于x的方程〔k —1〕x +3x —2a = 0有实根,且k为k -1正整数,求代数式--------- 的值.k -22 23、关于x的万程x -〔1 -2a〕x +a -3 = 0 ……①有两个不相等的实数根,且关于x的万程2x2——2x+2a —1=0……②没有实数根,问：a取什么整数时,方程①有整数解？. . … 2 一. 八 2 一一4、关于x的万程x — 2〔m+1〕x+m —3=0〔D当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？2 〔2〕设x「x2是万程的两根,且〔x1 +x2〕-〔x1 + x2〕-12 = 0 ,求m的值.i 产J F 1 I , I\ \ xI . F ；、一. 2 ........... 一.. .、一.. .、2 _ ____ __ 5、关于x的方程kx +〔2k —1〕x+k —1 =0只有整数根,且关于y的一元二次方程〔k—1〕y — 3y + m = 0的两个实\ \ . । \ 卜二二一二’ 数根为y1、y2.〔1〕当k为整数时,确定k的值.I I 2 2〔2〕在〔1〕的条件下,假设m = 2,求y1 +y2的值. 2 26、X I、x2是关于x的一元二次方程4x +4〔m-1〕x + m =0的两个非零实根,问：x1、x2能否同号？假设能同号,请求出相应m的取值范围；假设不能同号,请说明理由.7 .设关于x的方程kx2—〔2卜+1伙+卜=0的两实数根为X I、X2,,假设上+也=17,求k的值. x2x1 48 .关于x的一元二次方程x2m -1 〕x+m+2 = 0 .〔1〕假设方程有两个相等的实数根,求m的值；(2)假设方程的两实数根之积等于m2—9m+2,求“希百的值.-J/-。

韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ；（4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（）（A ）0 （B ）正数（C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。

中考复习——一元二次方程的根与系数的关系(解析版)

中考复习——一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是（）．A. 0B. 2C. -2D. 4答案：B解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，∴x1+x2=2．选B.2、若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（）．A. 2B. -2C. 4D. -3答案：D解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1·x2=-3．3、关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）．A. m=-2B. m=3C. m=3或m=-2D. m=3或m=2答案：A解答：设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根，∴Δ=-4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，∴m=3或m=-2；∴m=-2．选A.4、一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）．A. x1=-1，x2=2B. x1=1，x2=-2C. x1+x2=3D. x1x2=2解答：∵方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=-ba=3，x1·x2=ca=-2，∴C选项正确．5、α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且1α+1β=-23，则m等于（）．A. –2B. –3C. 2D. 3答案：B解答：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵1α+1β=αβαβ+=2m=-23，∴m=-3．选B.6、已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）．A. 7B. 11C. 12D. 16答案：D解答：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．选D.7、若一元二次方程ax2=b，（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m-4，则ba=（）．A. -4B. 1C. 2D. 4解答：系数化为1时，由于一元二次方程的两个根互为相反数，所以和为0，即可求得m的值为1，两根分别为2，-2，所以ba=x2=4．8、若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则x23-4x12+17的值为（）．A. -2B. 6C. -4D. 4答案：A解答：∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，∴x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，∴x22=-x2+3，x12=-x1+3，∴x23-4x12+17=x2·（-x2+3）-4（-x1+3）+17=-x22+3x2-4（-x1+3）+17=-（-x2+3）+3x2-4（-x1+3）+17=4x2-3+4x1-12+17=4（x1+x2）+2，根据根与系数的关系可得：x1+x2=-1，∴原式=4（x1+x2）+2=-4+2=-2．选A.9、方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）．A. -2或3B. 3C. -2D. -3或2答案：C解答：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．10、已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2+c=0的两根的差的绝对，则△ABC中最大角的度数是（）．A. 150°B. 120°C. 90°D. 60°答案：B解答：设x1、x2是ax2+c=0的两根，则x1+x2，x1x2=ca=1，∵x1-x2，∴|x1-x2，解以上方程组：（x1+x2）2-4x1x2=2，解得：b，∵b＞a=c，∴等腰三角形以b为底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120°．二、填空题11、若关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=______．答案：4解答：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，∴由韦达定理，得2528b ab a+=+⎧⎨=⎩，解得，14 ab=⎧⎨=⎩．∴ab=1×4=4．12、若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=______．答案：-1解答：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2=k 2，∵x 1与x 2互为倒数， ∴k 2=1，解得k =1或k =-1； ∵方程有两个实数根，Δ＞0，∴当k =1时，Δ＜0，舍去，故k 的值为-1． 13、已知一元二次方程x 2+2x -8=0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx =______．答案：-372解答：∵x 1、x 2是方程x 2+2x -8=0的两根， ∴x 1+x 2=-2，x 1x 2=-8． ∴21x x +2x 1x 2+12x x ={}{}222112x x x x ++2x 1x 2=()21212122x x x x x x +-+2x 1x 2=()()22288--⨯--+2×（-8）=4168+--16 =-52-16 =-372． 14、已知关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2，且11x +21x =3，则k 的值为______．答案：-2解答：∵关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=-6，x 1x 2=k ，∵11x +21x =1212x x x x +=3，∴6k-=3， ∴k =-2．15、若关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为______．答案：54解答：关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，Δ=4m 2-4（m 2+3m -2）≥0，解得m ≤23由韦达定理可知x 1+x 2=-2m ，x 1·x 2=m 2+3m -2． x 1（x 2+x 1）+x 22 =x 1x 2+x 12+x 22 =（x 1+x 2）2-x 1x 2 =（-2m ）2-m 2-3m +2 =3m 2-3m +2=3（m -12）2+54． ∵m ≤23，∴当m =12时，取得最小值为54．16、对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b =a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）-5=0的两根记为m 、n ，则m 2+n 2=______．答案：6解答：∵（x ◆2）-5=x 2+2x +4-5， ∴m 、n 为方程x 2+2x -1=0的两个根， ∴m +n =-2，mn =-1， ∴m 2+n 2=（m +n ）2-2mn =6．故答案为：6．17、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a．根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根，则21x x +12x x 的值为______．答案：10解答：由题意知，x 1+x 2=-6，x 1x 2=3，所以21x x +12x x =222112·x x x x +=()21212122·x x x x x x +-⋅=()26233--⨯=10．三、解答题18、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．（2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．答案：（1）a 的取值范围是a ＜3．（2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =（2）2-4×1×（a -2）=12-4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a 的值是-1，该方程的另一根为-3．19、已知关于x 的方程x 2-4x +k +1=0有两实数根．（1）求k 的取值范围．（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且13x +23x =x 1x 2-4，求实数k 的值．答案：（1）k ≤3．（2）k =-3．解答：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-4x +k +1=0有两个实数根， ∴Δ=（-4）2-4×1×（k +1）≥0，解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=4，x 1x 2=k +1，由13x +23x =x 1x 2-4可得()12123x x x x +=x 1x 2-4，代入x 1+x 2和x 1x 2的值，可得：121k +=k +1-4，解得：k 1=-3，k 2=5（舍去），经检验，k =-3是原方程的根，故k =-3．20、已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m -2=0．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程有两个实数根x 1，x 2，且x 1+x 2+3x 1x 2=1，求m 的值．答案：（1）证明见解答．（2）8．解答：（1）依题意可得Δ=（2m +1）2-4（m -2）， =4m 2+9＞0．故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）由根与系数的关系可得：()1212212x x m x x m ⎧+=-+⎨=-⎩，由x 1+x 2+3x 1x 2=1，得-（2m +1）+3（m -2）=1，解得m =8．21、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．（2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根．答案：（1）a 的取值范围是a ＜3．（2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =22-4×1×（a -2）=12-4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：11121?2x x a +=-⎧⎨=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a的值是-1，该方程的另一根为-3．22、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得等式11x +21x =k -2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由．答案：（1）k ≤-1．（2）存在，k 值为．解答：（1）∵一元二次方程x 2-2x +k +2=0有两个实数根， ∴Δ=（-2）2-4×1×（k +2）≥0，解得：k ≤-1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=k +2， ∵11x +21x =k -2， ∴1212x x x x +=22k +=k -2， ∴k 2-6=0，解得：k 1，k 2，又∵k ≤-1， ∴k，∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x =k -2成立，k 值为． 23、已知关于x 的一元二次方程x 2-4x -m 2=0．（1）求证：该方程有两个不等的实根．（2）若该方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．答案：（1）证明见解答．（2）m=解答：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，∴该方程有两个不等的实根．（2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1·x2=-m2②．∵x1+2x2=9③，∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，∴x1·x2=-5=-m2，解得：m=24、关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1·x2，求k的值．答案：（1）k＞34．（2）k=2．解答：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，解得：k＞34．（2）∵k＞3 4∴x1+x2=-（2k+1）＜0，又∵x1·x2=k2+1＞0∴x1＜0，x2＜0∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1·x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞34，∴k=2．。

根与系数的关系练习题

根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系1、如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x +；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。

4、如果关于x 的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ?= 。

11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。

12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x2－2(m －1)x+m 2=0。

若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x 的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。

根与系数的关系(压轴题专项讲练)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(人教版)

根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1―2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若|x1|+|x2|=k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=―2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=―1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形21xx，abxx-=+21acxx=21为x 2+2mx +m ―2=0，即为(x +m )2=m 2―m +2，再结合整数的意义即可解答．解：（1）∵Δ=22―4k (1―2k )=4―4k +8k 2=8k 2―12k =8k+72>0，∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0都有两个实数根x 1，x 2，∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2kk，分两种情况：①若两根同号，由|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=x 1+x 2=―当x 1+x 2=―2k =k =―当x 1+x 2=――2k =―k =②若两根异号，由|x 1|+|x 2|=(x 1―x 2)2=8，即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=8，∴――4×1―2kk=8，解得：k =1，综上，k 的值为1或 ±（2）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2k k，若x 1，x 2均为整数，则x 1+x 2=―2k 为整数，∴整数k =±1,±2，当k =±2时，x 1x 2=1―2kk不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x 2+2x ―1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =―1时，此时方程为―x 2+2x +3=0，方程的两个根为x 1=―1,x 2=3，都是整数，符合题意；综上，当k 取―1时，x 1，x 2均为整数；（3）显然，当k =―1时，符合题意；当k 为有理数时，由于x 1x 2=1―2kk=1k ―2为整数，∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m(m≠0)，m为整数，则方程kx2+2x+1―2k=0即为x2+2mx+m―2=0，配方得：(x+m)2=m2―m+2，即x=―m±当m=2即k=12时，方程的两根为x1=0,x2=―4，都是整数，符合题意；当m≠2时，m2―m+2=(m―12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立；综上，k=―1或12．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且1<x1<2< x2<4，那么方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为( )A．12<x3<1B．―4<x3<―2C．―12<x3<―14D．―1<x3<―12【思路点拨】由根与系数的关系得出x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca，再设方程cx2―bx+a=0的为m，n，根据根与系数的关系得出m+n=―(1x2+1x1)，mn=x1⋅x2，从而得出方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1，―1x2，然后由1<x1<2<x2<4，求出―1x1，―1x2的取值范围，从而得出结论．【解题过程】解：∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，∴x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca，设方程cx2―bx+a=0的两根为m，n，则m+n=bc ，mn=ac，∵m+n=bc =―ba⋅(―ac)，mn=1x1⋅x2，∴m+n=―(x1+x2)⋅1x1⋅x2=―x1+x2x1⋅x2=―(1x2+1x1)，∴方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1，―1x2，∵1<x1<2，2<x2<4，∴12<1x1<1，14<1x2<12，∴―1<―1x1<―12，―12<―1x2<―14，∵―1x1<―1x2，∴方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为―1<x3<―12．故选：D．2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x2+2px―3p―2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4―(x22+x23)，则实数p的所有值之和为（）A．0B．―34C．―1D．―54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1―3p―2=0，x1+x2=―2p，进而推出x13=3px1+2x1―2px12，则x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12，x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22，即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1―2p)(x12+x22)=4，然后代入x1+x2=―2p，x12+x22=(x1+x2)2―4p 得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x1、x2是方程x2+2px―3p―2=0的两个相等的实数根，∴x12+2px1―3p―2=0，x1+x2=―2p，x1x2=―3p―2，∴x12+2px1=3p+2，∴x13+2px12=3px1+2x1，∴x13=3px1+2x1―2px12，∴x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12，同理得x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22，∵x12＋x13=4―(x22+x23)，∴x12+x13+(x22+x23)=4，∴3px1+2x1―2px12+x12+3px2+2x2―2px22+x22=4，∴(3p+2)(x+x)+(1―2p)(x2+x2)=4，∴(3p+2)(―2p)+(1―2p)(―2p)2―2(―3p―2)=4，∴―6p2―4p+(1―2p)4p2+6p+4=4，∴―6p2―4p+4p2+6p+4―2p4p2+6p+4=4，∴―2p2+2p―2p4p2+6p+4=0，∴―2p4p2+6p+4+p―1=0，∴2p4p2+7p+3=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，，解得p1=0，p2=―1，p3=―34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0，∴p2+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=―1不符合题意，∴p1+p3=―34∴符合题意，故选B．3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2―2x+a2+b2+ab=0的两个根为x1=m，x2=n，且a+b=1．下列说法正确的个数为（）①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程(x+1)2+a2―a=0的两个根为x1=m―2，x2=n―2．A．1B．2C．3D．4【思路点拨】根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a2―a+1=a+34 >0，从而即可对①进行判断；由于x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ=4―4(a2+b2+ab)≥0，即4―4(a2―a+1)≥0，则可对③进行判断；利用a2+b2+ab=a2―a+1把方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0，由于方程(x―1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0，所以x+2=m或x+2=n，于是可对④进行判断．【解题过程】解：根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，∵a+b=1，∴b=1―a，>0，所以①正确；∴mn=a2+(1―a)2+a(1―a)=a2―a+1=a―+34∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，∴m>0，n>0，所以②正确；∵Δ≥0，∴4―4(a2+b2+ab)≥0，即4―4(a2―a+1)≥0，∴a≥a2，所以③错误；∵a2+b2+ab=a2―a+1，∴方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0，即(x―1)2+a2―a=0，∵方程(x+1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0，∴x+2=m或x+2=n，解得x1=m―2，x2=n―2，所以④正确．故选：C．4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2―8cx―9d=0的解，c、d是方程x2―8ax―9b=0的解，则a+b+c+d的值为．【思路点拨】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a2―8ac―9d=0，代入可得a2―72a+9c―8ac=0，同理可得c2―72c+9a―8ac=0，两式相减即可得a+c 的值，进而可得a+b+c+d的值．【解题过程】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8(a+c)．因为a是方程x2―8cx―9d=0的根，所以a2―8ac―9d=0，又d=8a―c，所以a2―72a+9c―8ac=0①同理可得c2―72c+9a―8ac=0②①-②得(a―c)(a+c―81)=0．因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8(a+c)=648．故答案为648．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求|a|+|b|+|c|的最小值【思路点拨】用分类讨论的思想，解决问题即可．【解题过程】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且b+c=2―a，bc=4，a=0的两实根，于是b，c是一元二次方程x2―(2―a)x+4a≥0，即(a2+4)(a―4)≥0，∴Δ=(2―a)2―4×4a所以a≥4．又当a=4，b=c=―1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则|a|+|b|+|c|=a―b―c=a―(2―a)=2a―2，∵a≥4，故2a―2≥6，当a=4，b=c=―1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．故答案为：6．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝，ax1+x1x2+ax2的最大值是．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a―2，即可求出b―2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=―2，x1x2=a―2，进而得出ax1+x1x2+ax2=―2a=t（t>0），得a2―t⋅a+1=0，根据方程a2―t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2a+1，设a+1a―4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)2―2=0，∴a(x+1)2―2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a―2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a―2，∴b―2c=2a―2(a―2)=4；∵x1+x2=―2，x1x2=a―2，a=―2a++1，∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=―2a+a―2a∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2―4ac=(2a)2―4a(a―2)8a≥0，且a≠0，∴a>0，=t（t>0），得a2―t⋅a+1=0，设a+1a∵方程a2―t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2―4≥0，≥2，解得t≥2，即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=―2a+1≤―3．故答案为：4，-3．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设xy=m，x+y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn，则m、n为t2―44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再对x3+y3变形后将m=n=22代入计算即可．【解题过程】解：设xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x2y+xy2=xy(x+y)=mn，∴m、n为t2―44t+484=0的根，∴m=n=22，∴x3+y3=(x+y)x2+y2―xy=(x+y)(x+y)2―3xy=n[n2―3m]=n3―3mn=9196．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x―5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1―1+1x2―1的值；（2）求3x21+6x1+x22的值．【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x1⋅x2=ca，x1+x2=―ba时，需要弄清楚a、b、c的意义．（1）利用根与系数的关系求得求1x1―1+1x2―1的值的值；（2）由一元二次方程的解可得x21+3x1―5=0,再利用根与系数的关系求解即可．【解题过程】（1）∵x1+x2=―3,x1x2=―5，∴1x1―1+1x2―1=x2―1+x1―1 (x1―1)(x2―1)=x1+x2―2x1x2―(x1+x2)+1=―3―2―5―(―3)+1=5；（2）∵x1是一元二次方程x2+3x―5=0的根，∴x21+3x1―5=0,∴x21+3x1=5，又∵x1+x2=―3,x1x2=―5，∴3x21+6x1+x22=2x21+3x1+(x1+x2)2―2x1x2=29．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca．（1）根据方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0，列出不等式即可得答案；（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(―2m)2―4(m2―n)>0，解得：n>0．（2）设方程的两个实数根为x1、x2，且x1>x2，∴x1+x2=2m，x1⋅x2=m2―n，由（1）可知：n>0，∵n为符合条件的最小整数，∴n=1，∵该方程的较大根是较小根的3倍，∴x1=3x2，∴4x2=2m，3x22=m2―1，∴3×m24=m2―1，解得：m1=―2，m2=2．当m=2时，x2=1，则x1=3x2=3，符合题意，当m=―2时，x2=―1，则x1=3x2=―3<x2，与x1>x2不符，舍去，∴m=2．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=―2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=―ba ,x1⋅x2=ca可得：1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=2m2+m，进一步可寻找1α2024+1β2024的规律，即可求解．【解题过程】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0，α和β分别是该方程的两个根，∴αβ=―m2―m∵αβ=―2，∴―2=―m2―m∴m=1或m=―2；（2）解：设方程x2+2x―m2―m=0的两个根为：x1,x2则x1+x2=―ba =―2,x1⋅x2=ca=―m2―m，∴1 x1+1x2=x1+x2x1·x2=2m2+m=2m(m+1)∴1α1+1β1=21×2，1α2+1β2=22×3，1α3+1β3=23×4…．．1α2024+1β2024=22024×2025∴1+1+1+1+⋯+1+1=2×+1+...+=2×1―12+12―13+...+12024=2×1―=4048202511．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m 的取值范围（2）若满足1α+1β=―1，求m 的值．（3）若α>2，求证：β>2；【思路点拨】（1）根据一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，得Δ>0，即可列式作答；（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=―(2m +3)和αβ=m 2，因为1α+1β=―1，所以2m+3m 2=1，解得m 1=3，m 2=―1，结合m >―34，即可作答；（3）因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4，结合α+β=―(2m +3)和αβ=m 2，得m 2+2(2m +3)+4=(m +2)2+6，则(α―2)(β―2)≥6>0，又因为α>2，即可证明β>2．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x 2+(3)x +m 2=0的两个不相等的实数根∴Δ=b 2―4ac =(2m +3)2―4×1×m 2=4m 2+12m +9―4m 2=12m +9>0，即m >―34；（2）解：∵1α+1β=βαβ+ααβ=α+βαβ=―1，且α+β=―b a =―(2m +3)，αβ=ca =m 2∴2m+3m 2=1整理得m 2―2m ―3=0，解得：m 1=3，m 2=―1∵由（1）知m >―34，∴m =3检验：当m =3时，m 2≠0，即m =3；（3）证明：因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4，把α+β=―(2m+3)和αβ=m2代入上式，得m2+2(2m+3)+4=m2+4m+10=(m+2)2+6，∵(m+2)2≥0，∴(m+2)2+6≥6∴(α―2)(β―2)≥6>0∵α>2，∴α―2>0，∴β―2>0，即β>2．12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α―β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y) x2+y2―xy．【思路点拨】（1α+β=―4,αβ=1，再求得(α―β)2的值，进而求得|α―β|的值．++α+β=―4,αβ=1代（2入计算即可；（3+的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x2+4x+1=0的两根是α、β∴α+β=―4,αβ=1∴(α―β)2=(α+β)2―4αβ=12∴|α―β|=（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵+=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2―2αβαβ+2=16，=4（负值舍去）；（3+=(1α+1β)+―=α+βαβ=α+βαβ=―411=―52==1所以新的一元二次方程x2+52x+1=0．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m―1m，若方程的两根之和为整数，即m―1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=―2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0可有x=m为整数，则Δ=m2―10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[―(m―1)]2―4m×2=m2―10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=――(m―1)m =m―1m，若方程的两根之和为整数，即m―1m为整数，∵m―1m =1―1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1―10+1=―8<0，不符合题意；当m=―1时，Δ=1+10+1=12>0，m―1m =―1―1―1=2，为整数，符合题意；∴m的值为―1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=―2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0的根为：x=若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2―10m+1为完全平方数，设m2―10m+1=k2（k为正整数），则：m==5±∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴(k+n)(n―k)=24，∴k+n=12n―k=2或k+n=6n―k=4或k+n=8n―k=3或k+n=24n―k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=11（不合题意，舍去）或k=232n=25（不合题意，舍去）∴m 2―10m +1=12=1或m 2―10m +1=52=25；当m 2―10m +1=1时，解得m =10或m =0（舍去）；当m 2―10m +1=25时，解得m =―2或m =12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m 的值为0或10或―2或12．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m 为整数，关于x 的方程(m 2+m ―2)x 2―(7m +2)x +12=0有两个整数实根．（1）求m 的值．（2）设△ABC 的三边长a,b,c 满足c =2+a 2m ―12a =0,m 2+b 2m ―12b =0．求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）设原方程的两个解分别为x 1,x 2，根据两个整数实根，则x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数，进而分类讨论，即可求解；（2）由（1）得出的m 的值，然后代入将m 2+a 2m ―12a =0，m 2+b 2m ―12b =0进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．【解题过程】（1）解：∵m 2+m ―2≠0，∴m ≠―2或m =1，∵方程有两个实数根，∴Δ=b 2―4ac =[―(7m +2)]2―4×12×(m 2+m ―12)=m 2―20m +580=(m ―10)2+480>0设原方程的两个解分别为x 1,x 2∴x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数，∴m 2+m ―2=1,2,3,4,6,12m 2+m ―2=1，解得：m =m 2+m ―2=2，解得：m =m 2+m ―2=3，解得：m =m 2+m ―2=4，解得：m =―3或m =2m 2+m ―2=6，解得：m =m2+m―2=12，解得：m=当m=―3时，7m+2m2+m―2=―21+24=―194不是整数，舍去当m=2时，7m+2m2+m―2=14+24=4符合题意，综上所述，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2―6a+2=0，b2―6b+2=0，当a=b时，a=b=3当a≠b时，a、b是方程x2―6x+2=0的两根，而Δ>0，根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，①a≠b，c=a2+b2=(a+b)2―2ab=36―4=32=c2，故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，SΔABC=12ab=1；②a=b=3c=2(3―<故不能构成三角形，不合题意，舍去；；③a=b=3c=2(3+>SΔABC=12×=综上，△ABC的面积为1或15．（22-23九年级上·湖南常德·材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=―ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=―1，则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2―3x―1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2= ___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2―3x―1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2―3s―1=0，t2―3t―1=0，且s≠t，求1s ―1t的值．【思路点拨】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m +n =―ba =3，mn =ca =―1，再根据nm +mn=m 2+n 2mn=(m+n )2―2mnmn，最后代入求值即可；（3）由题意可将s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根，即得出s +t =―b a =3，s ⋅t =ca =―1，从而可求出(t ―s )2=(t +s )2―4st =13，即t ―s =t ―s =―【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=―ba =――31=3，x 1⋅x 2=c a =―11=―1．故答案为：3，―1；（2）∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两根分别为m 、n ，∴m +n =―ba =3，mn =ca =―1，∴nm +m n=m 2+n 2mn=(m +n )2―2mn mn =32―2×(―1)―1=―11；（3）∵实数s 、t 满足s 2―3s ―1=0，t 2―3t ―1=0，∴s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根，∴s +t =―ba =3，st =ca =―1，∵(t ―s )2=(t +s )2―4st =32―4×(―1)=13∴t ―s =t ―s =―当t ―s =1s―1t =t―s st==―当t ―s =―1s―1t =t―s st==综上分析可知，1s ―1t 的值为16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx +n =0或px +q =0时，多项式A =(mx +n )(px +q )=mpx 2+(mq +np )x +nq 的值为0，把此时x 的值称为多项式A 的零点．（1）已知多项式(3x +1)(x ―2)，则此多项式的零点为__________；（2）已知多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1，求多项式B 的另一个零点；（3）小聪继续研究(x ―3)(x ―1)，x (x ―4)及x ――x 轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x =2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M =(2ax +b )(cx ―5c )=bx 2―4cx ―2a ―4是“2系多项式”，求a 与c 的值．【思路点拨】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；（2）根据多项式的零点的定义将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0，求得a =2，再解一元二次方程即可求解；（3）令cx ―5c =0，求得M 的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx 2―4cx ―2a ―4=0的两个根为x 1=―1，x 2=5，再利用根与系数的关系即可求解．【解题过程】（1）解：令(3x +1)(x ―2)=0，∴3x +1=0或x ―2=0，∴x =―13或x =2，则此多项式的零点为―13或2；故答案为：―13或2；（2）解：∵多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1，∴将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0，得a ―(a ―1)―a2=0，解得a =2，∴B=2x2―x―1=(x―1)(2x+1)，令2x+1=0，解得x=―12，∴多项式B的另一个零点为―12；（3）解：∵M=(2ax+b)(cx―5c)=bx2―4cx―2a―4是“2系多项式”，令cx―5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，∴设M的另一个零点为y，则y+52=2，解得y=―1，即2ax+b=0时，x=―1，则―2a+b=0①，令M=bx2―4cx―2a―4=0，根据题意，方程bx2―4cx―2a―4=0的两个根为x1=―1，x2=5，∴x1+x2=――4cb =5+(―1)=4，x1⋅x2=―2a―4b=5×(―1)=―5，∴c=b②，5b―2a―4=0③，解①②③得c=b=1，a=12，∴a=12，c=1．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)x2―x―1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，s n=αn+βn．根据根的定义，有α2―α―1=0，β2―β―1=0，将两式相加，得α2+β2―(α+β)―2=0，于是，得s2―s1―2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想s n，s n―1，s n―2之间满足的数量关系，并给出证明．【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=2(k+1)，x1x2=k2+2．由(x1+1)(x2+1)=8，可得x1x2+(x1+x2)+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=―ba =1，αβ=ca=―1，进而可求出s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=3；②由一元二次方程的解的定义可得出α2―α―1=0，两边都乘以αn―2，得：αn―αn―1―αn―2=0①，同理可得：βn―βn―1―βn―2=0②，再由①+②，得：(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0．最后结合题意即可得出s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，即s n=s n―1+s n―2．【解题过程】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，∴x1+x2=―ba =――2(k+1)1=2(k+1)，x1x2=ca=k2+21=k2+2，∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=k2+2+2(k+1)+1=8，整理，得：k2+2k―3=0，解得：k1=―3，k2=1．当k=―3时，Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2(―3+1)]2―4(―32)+2=―28<0，∴此时原方程没有实数根，∴k=―3不符合题意；当k=1时，Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2×(1+1)]2―4(12+2)=4>0，∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴k=1符合题意，∴k的值为1；（2）①∵x2―x―1=0，∴a=1，b=―1，c=―1．∵α，β(α>β)是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根，∴α+β=―ba =1，αβ=ca=―1，∴s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=12―2×(―1)=3；②猜想：s n=s n―1+s n―2．证明：根据一元二次方程根的定义可得出α2―α―1=0，两边都乘以αn―2，得：αn―αn―1―αn―2=0①，同理可得：βn―βn―1―βn―2=0②，由①+②，得：(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，∵s=α+β，s=α+β，s=α+β，∴s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，即s n=s n―1+s n―2．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2―(m+2)x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x1<x2．（1）若m=―1，求x12+x22的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB=m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x2，求该直角三角形的面积．【思路点拨】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“Δ=b2―4ac”，根与系数关系“x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用；（1）将m=―1代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到x1+x2=―ba =1，x1⋅x2=ca=―4，将x12+x22转化即可求解；（2）根据点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数图像上，得出A x1，3x1+1，B x2，3x2+1，再根据根与系数关系得到x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，根据AB=（3）根据直角三角形两直角边x1,x2为整数，得出Δ=b2―4ac=m2―12m+4，令m2―12m+4=k2(k为正整数)，得出(m+k―6)(m―k―6)=32，又m+k―6>m―k―6，然后分三种情况取值即可解答；【解题过程】（1）当m=―1时，方程为x2―x―4=0，Δ=b2―4ac=(―1)2―4×1×(―4)=17>0，∴x1+x2=―ba =1，x1⋅x2=ca=―4，即x21+x22=(x1+x2)2―2x1x2=12―2×(―4)=9；（2）将A(x1,y1),B(x2,y2)代入y=3x+1可得A x1，3x1+1，B x2，3x2+1，又Δ=(m+2)2―4×4m>0，故x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，AB2=(x1―x2)2+(y1―y2)2=10(x1―x2)2，即10(x1―x2)2=10，(x1―x2)2=1，(x1―x2)2=(x1+x2)2―4x1x2=1，(m+2)2―4×4m=1，(m―6)2=33，m1=6+2=6―（3）∵直角三角形两直角边x1,x2为整数，∴Δ=b2―4ac=(m+2)2―4×4m=m2―12m+4为平方数，不妨令m2―12m+4=k2(k为正整数)，(m―6)2―32=k2，(m+k―6)(m―k―6)=32，m+k―6>m―k―6，当①∴m+k―6=32,m―k―6=1，解得m=452（不合题意舍去）；当②m+k―6=16,m―k―6=2，解得m=15，∴方程x2―17x+60=0，x1=12,x2=5，则斜边为13，即S=x1⋅x22=30；当③m+k―6=8,m―k―6=4，解得m=12，∴方程x2―14x+48=0，x1=6,x2=8，则斜边为10，即S=x1⋅x22=24，综上所述：该直角三角形的面积为30或24．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=―p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab +ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x =x 1y =y 1 和x =x 2y =y 2是关于x ，y 的方程组x 2―y +k =0x ―y =1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据a ，b 是方程x 2+15x +5=0的二根，求出a +b ，ab 的值，即可求出ab +ba 的值；（2）根据a +b +c =0，abc =16，得出a +b =―c ，ab =16c，a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，再根据c 2―4×16c≥0，即可求出c 的最小值；（3）运用根与系数的关系求出x 1+x 2=1，x 1x 2=k +1，再解y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2，即可求出k 的值．【解题过程】（1）解：∵a ，b 是方程x 2+15x +5=0的二根，∴a +b =―15，ab =5，∴ab +ba =(a+b )2―2abab=(―15)2―2×55=43，∴ab +b a =43；（2）∵a +b +c =0，abc =16，∴a +b =―c ，ab =16c ，∴a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，∴c 2―4×16c≥0，∴c 2―43c≥0，∵c 是正数，∴c 3―43≥0，∴c 3≥43，∴c ≥4，∴正数c 的最小值是4；（3）存在，当k =―2时，y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2．理由如下：∵x2―y+k=0①x―y=1②，由①得：y=x2+k，由②得：y=x―1，∴x2+k=x―1，即x2―x+k+1=0，由题意思可知，x1，x2是方程x2―x+k+1=0的两个不相等的实数根，∴(―1)2―4(k+1)>0x1+x2=1x1x2=k+1，则k<―34，∵x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2―y+k=0x―y=1的两个不相等的实数解，∴y1y2=(x1―1)(x2―1)，∴y1y2―x1x2―x2x1=(x1―1)(x2―1)―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2，∴x1x2―(x1+x2)+1―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2，∴k+1―1+1―1―2(k+1)k+1=2，整理得：k2+2k=0，解得：k1=―2，k2=0（舍去），∴k的值为―2．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=―10，x2=―3，因―10<―3<0，3<―10―3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =―1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1―m)x―m=0是“限根方程”，求m的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x 1=―7，x 2=―2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x 1+x 2=―k+72，x 1x 2=k 2+32，代入x 1+x 2+x 1x 2=―1，即可求出k 1=2，k 2=―1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x 1=―1，x 2=m 或x 1=m ，x 2=―1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m <0且m ≠―1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x 2+9x +14=0，(x +2)(x +7)=0，∴x +2=0或x +7=0，∴x 1=―7，x 2=―2．∵―7<―2，3<―7―2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0的两个根分比为x 1、x 2，∴x 1+x 2=―k+72，x 1x 2=k 2+32．∵x 1+x 2+x 1x 2=―1，∴―k+72+k 2+32=―1，解得：k 1=2，k 2=―1．分类讨论：①当k =2时，原方程为2x 2+9x +7=0，∴x 1=―72，x 2=―1，∴x 1<x 2<0，3<x 1x 2=72<4，∴此时方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0是“限根方程”，∴k =2符合题意；②当k =―1时，原方程为2x 2+6x +4=0，∴x 1=―2，x 2=―1，∴x 1<x 2<0，x 1x 2=2<3，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，∴k=―1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x2+(1―m)x―m=0，(x+1)(x―m)=0，∴x+1=0或x―m=0，∴x1=―1，x2=m或x1=m，x2=―1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠―1，∴(1―m)2+4m>0，即(1+m)2>0，∴m<0且m≠―1．分类讨论：①当―1<m<0时，∴x1=―1，x2=m，∵3<x1x2<4，∴3<―1m<4，解得：―13<m<―14；②当m<―1时，∴x1=m，x2=―1，∵3<x1x2<4，∴3<m―1<4，解得：―4<m<―3．综上所述，m的取值范围为―13<m<―14或―4<m<―3．。

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根与系数的关系
1.设一元二次方程x 2-6x+４＝０的两个实数根分别为x １x 2，则x 1＋x ２＝＿＿＿＿＿＿＿x １x 2＿＿＿＿＿＿＿.
2、设x 1、x 2是方程3x 2
+4x –5=0的两根，则
=+
2
1
11x x .x 12+x 22
= .
3、关于x 的方程2x 2
+(m 2–9)x +m +1=0，当m = 时，两根互为倒数；当m = 时，两根互为相反数.
4、若x 1 =23-是二次方程x 2
+ax +1=0的一个根，则a = ，
该方程的另一个根x 2 = .
5、方程x 2
+2x +a –1=0有两个负根，则a 的取值范围是 . 6、若p 2
–3p –5=0，q 2
－3q –5=0，且p ≠q ，则
=+
p
q
11 .
7、若方程02=++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为 8、已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是，k 的值是。

9、以2+3和2-3为实根的关于y 的一元二次方程是
10、已知关于x 的方程x ²-6x+m =0的一个根是另一个根的两倍，则m 的值为。

11、已知方程x ²-3x+1=0的两根为x 1、x 2，那么（1+ x 1）（1+ x 2）=
12、已知关于x 的方程x 2-（a 2-2a-15）+a-1=0的两个根是互为相反数，则a 的值为。

13、已知方程22
=+x x ，则下列说中，正确的是（）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2
（C ）方程两根和是－1 （D ）方程两根积是两根和的2倍
14、如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1，那么这个一元二次方程是（）
A. x 2+3x +4=0
B. x 2-4x +3=0
C. x 2+4x -3=0
D. x 2+3x -4=0 15、以3和1-为两根的一元二次方程是（）；
（A ）0322
=-+x x （B ）0322
=++x x （C ）0322
=--x x （D ）0322
=+-x x 16、已知方程x ²+x-1=0，以它的两根的倒数为根的新方程应是（） (A) y ²-y-1=0 (B) y ²+y+1=0 (C) y ²-y+1=0 (D) y ²-2y-1=0
17、已知关于x 的方程x ²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是（）（A ） 5 （B ）-1 （C ）5或-1 （D ）-5或1
18.设方程3x2-5x+q=0的两根为x1和x2，且6x
1+x
2
=0,那么q的值等于( ).
19.若关于x的方程3(x-1)(x-2m)=x(m-12)的两根之积等于两根之积，则此方程的两根为( ).
20.已知关于x的二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p,q都是奇数，那么它的根( ).
(A) 一定都是奇数(B)一定都是偶数(C) 有可能是真分数(D) 有可能是无理数
21已知2+3是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c值。

22、k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0
（1）两根互为相反数
（2）两根互为倒数
（3）有一根为零，另一根不为零。

23、关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围。

已知两数的和等于8，积等于9，求：这两个数.
24.(1)如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.
(2)如果是方程x2+4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.
25.设x
1,x
2
是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
26.求一个元二次方程，使它的两个根分别为
7.已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.。