不变子空间
§7.7%20%20不变子空间
σβ = σ ( kα ) = kσα = ( kλ0 )α ∈ W ,
故 W 是 σ -子空间。
第七章 线性变换
二、不变子空间的性质
性质1 设 σ , τ 都是线性空间V的线性变换，若 στ = τσ , 则 Im(τ ) 和 Ker (τ ) 都是 σ -子空间。同样，Im(σ ) 和 Ker (σ ) 都是 τ -子空间。 证明： ∀α ∈ Im(τ ), 则存在 α1 ∈ V , st . τ (α1 ) = α , 于是
,Wk
第七章 线性变换
定理7.6.2 若线性变换 σ 的特征多项式 f (λ ) 可分解成以
f (λ ) = (λ − λ1 )r1 (λ − λ2 )r2 下一次因式的乘积：
则V可分解成不变子空间的直和：V = V1 ⊕ V2 ⊕
(λ − λs )rs ,
⊕ Vk ,
其中
Vi = {ξ (σ − λi ε )ri ξ = 0, ξ ∈ V } 。
σα = σ (τα1 ) = (στ )(α1 ) = (τσ )α1 = τ (σα1 ) ∈ Im(τ ) 故 Im(τ ) 是 σ -子空间。
又ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∀β ∈ Ker (τ ), τ ( β ) = 0,
τ (σβ ) = (τσ )β = (στ )β = σ (τβ ) = σ (0) = 0
,r
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λ⎠
矩阵为 λ Er , 这里 r = dim(Vλ ) 。 解：因为 r = dim(Vλ ), 设 α1 , α 2 ,
由于
(σ Vλ )α i = σα i = λα i , i = 1, 2,
σ ( α1 , α 2 ,
, α r ) = ( α1 , α 2 ,
不变子空间
例5 令F [x]是数域F上一切一元多项式所成的向量
空间， : f (x) f (x) 是求导数运对于每一自然数n，
令 Fn表[x示] 一切次数不超过n的多项式连同零多项
式所成的子空间. 那么
F在n [ xσ]不变.
设W是线性变换σ的一个不变子空间.只考虑σ
在W上的作用，就得到子空间E本身的一个线性变
换，称为σ在W上的限制，并且记作 | W . 这样，
对于任意 W ,
| W ( ) ( ) 然而如果 W , 那么 | W ( ) 没有意义。
7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简
设V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个 线性变换。假设V有一个在σ之下的非平凡不变子空
7.4 不变子空间
一、内容分布
7.4.1 定义与基本例子 7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简 7.4.3 进一步的例子
二、教学目的
1．掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线 性变换下的不变子空间方法．
2．会求给定线性变换下的一些不变子空间．
三、重点难点
验证一个子空间是否某线性变换下的不变子空间、会求 给定线性变换下的一些不变子空间。
故 L(, (), , k1()) W ， 即 L(, (), , k1())包含W的一个最小子空间.
例11 设 1, 2 , 3 , 4 是V的一给基,σ在 1, 2 , 3 ,下 4
的矩阵为
1 1 1 2
A
0 2 1
1 3 2
(W ) W 2 (W ) (W ) W
k (W ) W (k 1,2, , n) f ( )(W ) W
求不变子空间的方法
求不变子空间的方法
那啥是不变子空间呢？简单说啊，就是对于一个线性变换，有个空间在这个变换下，就像被保护起来似的，这个空间里的向量经过变换后还在这个空间里，这就是不变子空间啦。
一种常见的方法呢，就是从特征向量入手。
你想啊，如果一个向量是某个线性变换的特征向量，那由这个特征向量生成的一维子空间就是不变子空间哦。
比如说，对于线性变换T，向量v是它的特征向量，也就是T(v)=λv（这里λ是特征值），那{v}这个一维空间就是不变子空间啦。
还有啊，如果有一组线性无关的特征向量，那由它们张成的子空间也是不变子空间呢。
这就像是一群小伙伴，每个小伙伴自己就是个小不变子空间，合起来也是个大一点的不变子空间啦。
再就是从矩阵的角度看。
如果能把矩阵A化成块对角矩阵，那每一个对角块对应的列向量张成的子空间就是不变子空间。
这就好比把一个大的空间划分成了几个小空间，每个小空间都有自己的小规则，在变换下各自安好，不互相干扰。
另外呢，对于一些特殊的线性变换，比如投影变换。
投影到某个子空间的投影变换，那个被投影的子空间本身就是不变子空间呀。
就像光投影到墙上，墙这个空间就是光投影变换下的不变子空间呢。
宝子，求不变子空间其实也没那么难啦，只要抓住这些小窍门，多做几道题，就会慢慢有感觉的。
就像交朋友一样，刚开始觉得陌生，混熟了就好啦。
加油哦，宝子，我相信你肯定能掌握这个小知识点的！。
§7_不变子空间
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命题
设 W1 ,W2 都是A－子空间，则 W1 I W2 和 W1 + W2 也都是A－子空间.
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定义
设A是线性空间V的线性变换，W是A 的不变子 空间. 由于W 中的向量在A下的像仍在W中，所以 由A自然诱导了W上的一个线性变换：
% A :W → W % A (α ) = A (α ),α ∈ W .
因为A的多项式 f (A)是和A可交换的，所以 f (A) 的值域和核都是A－子空间. 这种A－子空间是经常 碰到的. 例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.
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பைடு நூலகம்
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例5 考虑线性变换一维A －子空间. ξ 设W是A 的一维不变子空间， 是W的任何一个 非零向量，则它构成W的基，即 W = L(ξ ). 由A－子空间的定义， Aξ ∈ W = L(ξ ). 于是存在数 λ0 , 使得 Aξ = λ0ξ . 由此可知， 是W的特征向量. ξ
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反之，设 ξ 是A的属于特征值 λ0的特征向量. 对 ∀α ∈ L(ξ ), 即α = kξ , 则 Aα = kAξ = (k λ0 )ξ ∈ L(ξ ). 由此可知，由特征向量生成的子空间 L(ξ )就是A的 一维不变子空间. 例6 A的属于特征值 λ0 的特征子空间 Vλ0 也是A 的 不变子空间.
A1 = O
A3 . A2
(2)
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并且左上角的k 级矩阵A1就是A|W在W的基 ε1 , ε 2 ,L, ε k 下的矩阵. 这是因为W是A－子空间，所以 Aε1 , Aε 2 ,L, Aε r ∈ W 它们可以通过W的基 ε1 , ε 2 ,L, ε k 线性表示，即 Aε1 = a11ε1 + a21ε 2 L + ak 1ε k , Aε 2 = a12ε1 + a22ε 2 L + ak 2ε k , LLL Aε k = a1k ε1 + a2 k ε 2 L + akk ε k , 从而A在基(1)下的矩阵具有形状(2)，A|W在W的基 ε1 , ε 2 ,L, ε k 下的矩阵为A1.
不变子空间的概念
则Vi都是 A 旳不变 子空间；且V具有直和分解： V V1 V2 Vs .
7.7 不变子空间
证：令
fi (
)
f () ( i )ri
( 1 )r1
(
i1 )ri1 (
)ri1 i 1
( s )rs ,
Wi fi ( A)V , 则Wi 是 fi ( A) 旳值域， Wi是 A旳不变子空间.
第七章 线性变换 §7.7 线性变换旳定义
一、不变子空间旳概念 二、线性变换在不变子空间上旳限制 三、不变子空间与线性变换旳矩阵化简 四、线性空间旳直和分解
7.7 不变子空间
一、不变子空间
1、定义
设 A是数域P上线性空间V旳线性变换，W是V旳
旳子空间，若 W ,有 A( ) W 即A(W ) W
则称W是 A 旳不变子空间，简称为 A －子空间.
注：
V旳平凡子空间（V及零子空间）对于V旳任意一
个变换 A来说，都是 A －子空间.
7.7 不变子空间
2、不变子空间旳简朴性质
1）两个 A－子空间旳交与和仍是 A －子空间.
2）设 W L(1,2 , s ), 则W是 A －子空间 A(1), A(2 ), , A(s ) W .
A 在特征子空间 V0上引起旳线性变换是数乘变换，
即有 A V0 o E .
7.7 不变子空间
三、不变子空间与线性变换旳矩阵化简
1、设 A 是 n 维线性空间V旳线性变换，W是V 旳
A－子空间，1, 2 , , k为W旳一组基，把它扩允为 V旳一组基： 1, 2 , , k , k1, n .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
§74不变子空间
§74不变⼦空间§7.4 不变⼦空间教学⽬的本节要求掌握不变⼦空间的概念及其不变⼦空间的判断⽅法，掌握值域和核的概念以及它们都是σ的不变⼦空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。
教学难点不变⼦空间的证明教学重点不变⼦空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变⼦空间的证明教学过程备注教学内容⼀、不变⼦空间的定义为了解决不变⼦空间的问题，我们需要不变⼦空间的概念.先看⼀个例⼦.在3V 中，设σ是数量变换，即有⼀个确定的数k ，使得对任意αασαk )(,3=∈V ，设W 是3V 中过原点的⼀个平⾯，W 是3V 的⼀个⼦空间，对W 中每⼀个向量ξ，ξ在σ作⽤之下的像)(ξσ仍是W 中的向量，这样的⼦空间W 就是σ的不变⼦空间.定义1 设σ是F 上向量空间V 的⼀个线性变换，W 是V 的⼀个⼦空间，若W 中向量在σ下的像仍在W 中，即对于W 中任⼀向量ξ，都有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的⼀个不变⼦空间，或称W 在σ之下不变.例1 向量空间V 本⾝和零⼦空间是V 的任⼀个线性变换的不变⼦空间，称它们为V 的平凡不变⼦空间，其它不变⼦空间称为⾮平凡不变⼦空间.例2 向量空间V 的任⼀⼦空间都是数量变换的不变⼦空间.例3 在R [x]中，令x)(f (f(x))'=σ，对任意][],[)(x R x R x f n ∈是R [x]的⼦空间，并且]x [n R 是σ的不变⼦空间.例4 设σ是3V 中以过原点的⼀条直线L 为轴,旋转θ⾓的变换,则L 是σ的⼀维不变⼦空间;过原点且与L 垂直的平⾯H 是σ的⼀个⼆维不变⼦空间.⼆、不变⼦空间的判断下⾯给出⼀种判断不变⼦空间的⽅法定理7.4.1 设σ是n 维向量空间V 的⼀个线性变换，W 是V 的⼦空间，{}r 21,,,ααα是W 的基.则W 是σ的不变⼦空间的充要条件是)(,),(),(r 21ασασασ在W 中.设W 是向量空间V 的关于线性变换σ的不变⼦空间，那么对于任意的W ∈α，必有W ∈)(ασ，因此σ也可看作是向量空间W 的⼀个线性变换，⽤Wσ表⽰，即对于任意W ∈ξ，)()(ξσξσ=W若W ?ξ，那么)(ξσW就没有意义. Wσ叫做σ在W 上的限制.三、不变⼦空间与线性变换的矩阵的关系设σ是n 维向量空间V 的⼀个线性变换，W 是σ的⼀个⾮平凡不变⼦空间.在W 中取⼀个基{}r 21,,,ααα，把它扩充成V 的⼀个基},,,,,,{1r 21n r ααααα +，由于),,2,1()(r i W i =∈ασ，故可设r r a a a αααασ12211111)(+++= r r a a a αααασ22221212)(+++=…………r r a a a αααασr 2r 21r 1r )(+++=n r n a a a a ααααασ1,1r 1r 1r r 1r r 11r 11r )(++++++++++++= ，，，，…………n nn r n r r rn n n a a a a ααααασ+++++=++ 1,111)(因此，σ关于这个基的矩阵为,00002311,,11,11,111,1111=?++++++A A A a a a a a a a a a a a a nn r n n r r r rn r r rr r n r r这⾥1A 是Wσ关于W 的基{}r 21,,,ααα的矩阵.如果V 可以分解成两个⾮平凡不变⼦空间1W 与2W 的直和,21W W V ⊕=那么选取1W 的⼀个基{}r 21,,,ααα和2W 的⼀个基{}n 1,,αα +r ，凑成V 的⼀个基{}n r ααααα,,,,,,1r 21 +，当1W 和2W 都在σ下不变时，σ关于这个基的矩阵是=210A A A 这⾥1A 是r 阶矩阵，2A 是n-r 阶矩阵，它们分别是1W σ关于基{}r 21,,,ααα的矩阵和2W σ关于基{}n 1,,αα +r 的矩阵.若V 可分解成s 个⾮平凡⼦空间s 21,,,W W W 的直和，并且每⼀i W 都是σ的不变⼦空间，那么在每⼀⼦空间中取⼀个基，凑成V 的基，σ关于这个基的矩阵就为分块对⾓形矩阵其中i A 是i W σ关于i W 的基的矩阵，.,2,1s i =如果能将V 分解成n 个在σ下不变的⼀维⼦空间的直和，那么σ在适当选取的基下的矩阵就是对⾓矩阵. σ的⼀维不变⼦空间的问题与线性变换的本征值和本征向量有密切关系，我们将在下⼀节进⾏讨论.四、线性变换的值域与核定义2 设是向量空间的⼀个线性变换，由V 中全体向量的像构成的集合称为的值域，记作或；有零向量在之下的全体原像作成的集合称为的核，记作，即定理7.4.2 设σ是向量空间V 的线性变换，那么σm I 和σKer 是V 的⼦空间，并且在σ之下不变.证先证σm I 是σ的不变⼦空间因为，σσm 0)0(,0I V ∈=∈，所以Φ≠m I .由于对任意σηξIm ,,∈∈F k ，存在V ∈βα,，使得)(),(βσηασξ==，⽽σβασβσασηξIm )()()(∈+=+=+，σασασξIm )()(∈==k k k因此σm I 是V 的⼦空间.任取σζIm ∈，当然σξσζIm )(,∈∈V .所以σm I 是σ的不变⼦空间.再证σKer 是σ的不变⼦空间.s 21A A A因为σKer ∈0，所以σKer ⾮空.对任意σβαKer F k ∈∈,,，有0)(,0)(==βσασ，于是0)()()(=+=+βσασβασ 0)()(==ασασk k即有,,σαβαKer k ∈+，所以σKer 是V 的⼦空间.由于σKer 中的向量在σ下的像都是零向量，因此σKer 是σ的不变⼦空间. 我们把σm I 的维数称为线性变换σ的秩，记作秩σ.把的维数称为线性变换的零度.定理7.4.3 设σ是n 维向量空间V 的⼀个线性变换，{}n 21,,,ααα是V 的⼀个基，σ关于这个基的矩阵是A ，则(1) ))(,),(),((m 21n L I ασασασσ = (2) σ的秩等于A 的秩证 (1) σξm I ∈?,存在n n a a a V αααηη+++=∈ 2211,，使得)(ησξ=. 于是))(,),(),(()()()()(212211n n n L a a a ασασασασασασησ∈+++=故 ))(,),(),((Im 21n L ασασασσ ?⼜σασασασIm ))(,),(),((21?n L ，所以(1)成⽴.(2) 由(1)知，(,),(),(())(,),(),((dim )dim(Im )(2121nn L ασασασασασασσσ秩秩===⽽ A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121αααασασασααασ == 由定理5.2.14知,秩A n 秩=))(,),(),((21ασασασ ,所以A 秩秩=σ.定理7.4.4 设σ是n 维向量空间V 的⼀个线性变换，则n =+的零度秩σσ证在V 中取定⼀个基{}n 21ααα，，， .设σ关于这个基的矩阵为A ，由定理7.4.3，σ的秩=秩A若σαααξKer a a a n n ∈+++= 2211，则0)(=ξσ.由于)(ξσ与0向量的坐标相同，即T T n A )0,,0,0(),,,(21 =ααα，因此ξ的坐标T n a a a ),,,(21 是齐次线性⽅程组= 00021n x x x A(1)的在n F 中的解向量.反之，对齐次线性⽅程组(1)的每个解向量T n b b b ),,,(21 来说,σαααKer b b b n n ∈+++ 2211.令σKer 的任⼀向量ξ与它的坐标对应,这就得到了F 上向量空间σKer 与(1)的在F 上的解空间W 的同构映射.因此σσ秩秩-n dim dim =-==A n W Ker故n =+的零度秩σσ例5 设{}4321αααα，，，是四维向量空间V 的⼀个基,线性变换σ关于这个基的矩阵为A ,并且=2-12-255213121-121A求σ的值域与核.解先求ker σ, 设ξ∈ker(σ), ξ关于{α1,α2,α3,α4}的坐标为(x 1, x 2, x 3,x 4), σ (ξ)在{α1,α2,α3,α4}下的坐标为(0, 0, 0, 0)，由定理7.4.4，有---2122552131211201 ??????? ??4321x x x x ＝??0000解得该齐次线性⽅程组的基础解系为X 1＝(－2,－23,1,0), X 2＝(－1,－2,0,1).令β1=－2α123-α2+α3 , β2=－α1－2α2+α4那么ker (σ)＝L (β1, β 2)，σ的零度=2 .再求Im σ. 由定理7.4.3，Im σ＝L (σ (α1), σ (α2), σ (α3), σ (α4)).⽽由定理7.4.4, σ的秩为2. 因此，{})(,)(,)(,)(4321ασασασασ的极⼤⽆关组含有两个向量，⼜σ (α1), σ (α2)线性⽆关，所以Im σ =L (σ (α1), σ (α2)).作业：P332-333,习题七，第19，20，21，22，23，24，25，26题.教学⼩结本节内容分为下⾯四个问题讲： 1. 加法运算 2. 数乘运算3. 乘法运算(1). 乘法运算(2). 线性变换σ的⽅幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件本课作业本课教育评注。
不变子空间的概念
若 在基 W
1,下的2 ,矩L阵,为 k
，则
在基 1 , 2 ,下L的,矩阵n 具有下列形状:
§7.7 不变子空间
A1 0
A2 A3
.
A1 P kk
反之，若
1 , 2 ,L
,n
1 , 2 ,L
,n
A1 0
A2 A3
,
A1 P kk . 则由 1 , 2 ,生L成,的 k子空间必为 的
2）设 W L(1,则2 ,WL是 s－)子, 空间
(1), (2 ),L , (s ) W .
证： " 显然"成立.
" " 任取 设W , k11 k22 L kss ,
则 ( ) k1 (1) k2 (2 ) L ks (s ).
由于 (1), (2 ),L , (s ) W , ( ) W .
设 是线性空间V的线性变换，W是V的一个 的
不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作
在不变子空间W上引起的线性变换，或称作 在
不变子空间W上的限制 . 记作
. W
§7.7 不变子空间
注：
① 当 时，W W ( ) ( ).
当 时W，
无意W义(. )
② W W W .
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零
一、不变子空间
1、定义
设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的
的子空间，若
有 W , ( )W 即 (W ) W
则称W是 的不变子空间，简称为 －子空间.
注：
V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一
个变换 来说，都是 －子空间.
§7.7 不变子空间是 －子空间.
不变子空间
§7 不变子空间问题：在前面内容中，我们讲到矩阵等价，每一个等价类都有一个矩阵的等价标准型，例如：对于n阶矩阵来讲，有1n+类对于矩阵的合同，我们也有过类似的内容那么对于矩阵的相似，我们同样讨论这种问题：在一切彼此相似的n阶矩阵中, 如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的. 换句话讲，就是对于给定的n维线性空间V, A∈)(VL, 如何才能选到V的一个基, 使A关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系.一、不变子空间1．定义7设A是数域P上线性空间V的线性变换, W是V的一个子空间. 如果Wξ，中的向量在A下的像仍在W中，换句话说, 对于W中任一向量ξ，有A W∈就称W是A 的不变子空间，简称A -子空间.2．例题例1整个空间V和零子空间{}0，对于每个线性变换A 都是A-子空间.例2 A的值域与核都是A-子空间.例3若线性变换A与β是可交换的，则β的核与值都是A-子空间.因为A的多项式f(A)是和A交换的，所以f(A)的值域与核都是A-子空间.例4任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.例 5 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.设W 是一维A -子空间，ξ是W 中任何一个非零向量，它构成W 的一个基. 按A -子空间的定义， A W ∈ξ, 它必是ξ的一个倍数: A ξλξ0=.这说明ξ是A 的特征向量，而W 即是由ξ生成的一维A -子空间.反过来，设ξ是A 属于特征值0λ的一个特征向量，则ξ以及它任一倍数在A 下 的像是原像的0λ倍，仍旧是ξ的一个倍数.这说明ξ的倍数构成一个一维A -子空间.例 6，A 的属于特征值0λ的一个特征子空间0λV 也是A 的一不变子空间. 例 7 A —子空间的和与交还是A -子空间.二、矩阵化简与不变子空间1．A |W设A 是线性空间V 的线性变换, W 是A 的不变子空间. 由于W 中向量在A 下的像 仍在W 中，这就使得有可能不必在整个空间V 中来考虑A ，而只在不变子空间W 中 考虑A ，即把A 看成是W 的一个线性变换，称为A 在不变子空间W 上引起的变换. 为了区别起见，用符号A |W 来表示它；但是在很多情况下，仍然用A 来表示而 不致引起混淆.必须在概念上弄清楚A 与A |W 的异同：A 是V 的线性变换, V 中每个向量在A 下 都有确定的像；A |W 是不变子空间W 上的线性变换，对于W 中任一向量ξ，有(A |W )ξ=A ξ.但是对于V 中不属于W 的向量η来说，（A |W ）η 是没有意义的.例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间0λV 上 引起的变换是数乘变换0λ.2．结论：如果线性空间V 的子空间W 是由向量组s ααα,,,21 生成的，即),,,(21s L W ααα =，则W 是A -子空间的充要条件为A 1α,A 2α,…, A s α全属于W .3．下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系.1）设A 是维线性空间V 的线性变换，W 是V 的A -子空间.在W 中取一组基k εεε,,,21 ,并且把它扩充成V 的一组基n k k εεεεε,,,,,,121 +. (1)那么，A 在这组基下的矩阵就具有下列形状⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2311,,11,11,111,11110000A O A A a a a a a a a a a a a a nnk n n k k k knk k kk k n k k. (2) 并且左上角的k 级矩阵1A 就是A |W 在的基k εεε,,,21 下的矩阵.2) 设V 分解成若干个A -子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21.在每一个A -子空间i W 中取基),,2,1(,,,21s i iin i i =εεε (3)并把它们合并起来成为V 的一组基 I .则在这组基下，A 的矩阵具有准对角形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s A A A 21 (4) 其中),,2,1(s i A i = 就是A |W 在基(3)下的矩阵.反之，如果线性变换A 在基 I 下的矩阵是准对角形（4），则由（3）生成的 子空间 i W 是A -子空间.由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的.三、 按特征值分解线性空间下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V 按特征值分解成不变子空间的直和. 定理12 设线性变换A 的特征多项式为)(λf ，它可分解成一次因式的乘积s r s r r f )()()()(2121λλλλλλλ---=则V 可分解成不变子空间的直和s V V V V ⊕⊕⊕= 21其中 {}V A V i r i i ∈=-=ξξελξ,0)(|. 证明：（1）设 ()()()ii r i f f λλλλ=-， ()i i V f A V =，即是 ()i f A 的值域，利用 12,,,s f f f 互素来证明 12s V V V V =+++(2) 再证明 12s V V V V =+++ 是直和首先设 120s βββ+++=，(*) 这里()0i r i i A λεβ-=另一方面, ()(),j rj i f i j λλλ-≠ , 所以 ()i f A 中含有因式 ()j rj A λε-, 用 ()i f A 作用于 (*), 我们得到 ()0i i f A β=最后因为 ()i f λ 与 ()i r i λλ- 互素, 我们推出 0i β=其次注意到 如果 i i V β∈，即存在 i V α∈, 使 ()i i i f A βα=, 我们得到()()()()0i i r r i i i i i i A A f A f A λεβλεαα-=-==, 显然可以推出 0i β=,从而 12s V V V V =+++ 是直和(3) 证明 {}V A V i r i i ∈=-=ξξελξ,0)(|, 即 i V 是 ()i r i A λε- 的核显然 {}|()0,ir i iV A V ξλεξξ⊆-=∈, 对于 {}|()0,ir iA V αξλεξξ∈-=∈,我们知道 1i s αααα=++++, 从而 1()0i s αααα++-++=,重复 (2) 的证明, 我们得到 i αα=, 命题成立.。