不变子空间

例5 令F [x]是数域F上一切一元多项式所成的向量
空间， : f (x) f (x) 是求导数运对于每一自然数n，
令 Fn表[x示] 一切次数不超过n的多项式连同零多项
式所成的子空间. 那么
F在n [ xσ]不变.
设W是线性变换σ的一个不变子空间.只考虑σ
在W上的作用，就得到子空间E本身的一个线性变
换，称为σ在W上的限制，并且记作 | W . 这样，
对于任意 W ,
| W ( ) ( ) 然而如果 W , 那么 | W ( ) 没有意义。
7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简
设V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个 线性变换。假设V有一个在σ之下的非平凡不变子空
7.4 不变子空间
一、内容分布
7.4.1 定义与基本例子 7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简 7.4.3 进一步的例子
二、教学目的
1．掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线 性变换下的不变子空间方法．
2．会求给定线性变换下的一些不变子空间．
三、重点难点
验证一个子空间是否某线性变换下的不变子空间、会求 给定线性变换下的一些不变子空间。
故 L(, (), , k1()) W ， 即 L(, (), , k1())包含W的一个最小子空间.
例11 设 1, 2 , 3 , 4 是V的一给基,σ在 1, 2 , 3 ,下 4
的矩阵为
1 1 1 2
A


0 2 1
1 3 2
(W ) W 2 (W ) (W ) W
k (W ) W (k 1,2, , n) f ( )(W ) W
例9 判定下列子空间在给定的σ 下是否为不变 子空间
（1） : F 3 F 3, (x1, x2, x3) (x1 x2, x1 x2 x3,0),

1, (1), 2 (1), 3 (1) 的坐标排成的行列式为：
1 1 1 10 00 0 0
0 02 3 9 0 1 4 1
所以 1, (1), 2 (1), 3 (1) 线性相关
因此
12
1 (1 )

1

2
3


比较简单的形状.而且,这些不变子空间的维数越小,相 应矩阵的形状就越简单,甚至是一个对角形.
因此,如果n维向量空间V可以写成n个在σ之下的一
维不变子空间的直和，那么与σ相当的矩阵就是一个
对角形,即
d1


d2


O

dn

例6 令 σ 是例4所给出的 V3的线性变换. 显然 V是3
量，且 , (), , k1() 线性无关，但 , (), , k1(), k ()
线性相关. 那么 L(, (), , k1()) 是包含α的最 小不变子空间.
证
(1) k ()可由, (), , k1() 线性表出,因此
k () L(, (), , k1()) 这样，L(, ( ), , k1( ))

( r ) a1r1 a2r 2 arr r , ( r1) a1,r11 ar,r1 r ar1,r1 r1 an,r1 n ,

( n ) a1n1 arn r ar1,n r1 ann n .
W {( x1, x2,0) | x1, x2 F}
（2） : F 3 F 3, (x1, x2, x3) (0, x1 x2, x2 x3),
W {( x1, x2,0) | x1, x2 F}
（3）D : F[x] F[x], D( f (x)) f (x), W Fn[x]
1 2 ( ) (1) (2 ) W1 W2 ( ) W1 W2
例8 如果 W是 子空间 ，那么对任何
f ( ) an n an n1 a1 a0 I
W是f ( ) 子空间 证：W是 子空间 ，那么
4
3 2 (1 ) 1 3 3 4 4
L 1,2 ,3 是包含 1的最小子空间.
注意到 1,2,3 与 1, 3 , 4是等价向量组，因此
L 1,2 ,3 L(1,3 , 4 )
基的矩阵是
A


A1 o
o A2 ,
这里 A1是一个r阶矩阵,它是 | W1 关于基 1,2, ,r
的矩阵，而
A2 是
n–r阶矩阵，它是
|
关于基
W2
r1, , an 的矩阵。
一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间
W1,W2 , ,WS 的直和，并且每一子空间都在线性变 换σ之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑

A

0

2

0 源自3 1

4

(1 ), ( (1 )), ( 2 (1 ))在F 4 中线性无关
1 10
( 3 (1 ))
( 2 (1 ))

A
0 34



0 9 1
(3) 是. f (x) Fn[x] ( f ) n ( f ) n 1 n f Fn[x]
(4)
否.
f (x) xn Rn[x]
xxndx
0

1 xn1 n 1

Rn [ x],
即J ( f (x)) W
例10 设σ是V上的线性变换，α是V上的非零向
（4） J : R[x] R[x],
解
J ( f (x))
x
f (x)dx,
0
W Fn[x]
(1) 是. (x1, x2 ,0) W, ( ) (x1 x2 , x1 x2 ,0) W
(2) 否. (1,1,0) W, ( ) (0,2,1) W
间，那么适当选取V的基，可以使与σ对应的矩阵
中有一些元素是零。特别，如果V可以写成两个非
平凡子空间的 W1与W2 直和：V W1 W2, 那么选取
W1 的一个基 1,2, ,r 和 W2 的一个基
r1, , an. 凑成V的一个基 1,2, ,n, 当 W1与W2
都在σ之下不变时，容易看出，σ关于这样选取的
例1 V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下 不变. 例2 令σ是V的一个线性变换，那么σ的核Ker(σ)
和像Im(σ)都在σ之下不变.
例3 V的任意子空间在任意位似变换之下不变.
例4 令σ是 V3中以某一过原点的直线L为轴，旋转
一个角θ的旋转，那么旋转轴L是σ的一个一维不变 子空间，而过原点与L垂直的平面H是σ的一个二维 不变子空间.
7.4.1 定义与基本例子
令V是数域F上一个向量空间,σ是V的一个线性变 换. 定义 V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变, 如果 (W ) . W那么W就叫做σ的一个不变子空间.
注意:子空间W在线性变换σ之下不变,指 (W ) W,
即: ( ) W , W
并不能说: ( ) , W
一维子空间L与二维子空间H的直和，而L与H在 σ
之下不变. 取L的一个非零向量 ，1取 H 的两个
彼此正交的单位长度向量 2 ,那3 , 么 1,2 ,是3
的一V3个基，而σ关于这个基的矩阵是
1 0
0
0 cos sin .
0 sin cos
7.4.3 进一步的例子
例7 如果 W1,W2是两个 子空间，那么
W1 W2,W1 W2仍是一个 子空间 .
证：
1. 任取 W1 W2,
Wi (i 1,2) ( ) Wi ( ) W1 W2
2. 任取 W1 W2 , 1 W1 ,2 W2 , 使
0 1 2
0

11
求包含1 的最小子空间.
解 算 1, (1), 2 (1) 的坐标为
1
(1 )


0

,
0

0

1
( (1 ))

A(1 )


0

,
2

1

1 1
( 2 (1 ))

A( (1 ))
间W，那么取W的一个基 1,2 , ,r , 再扩充成
V的一个基 1,2 , ,r ,r1, , an.
由于W在σ之下不变，所以 (1), (2), , (r )
仍在W内，因而可以由W的基 1,2, ,r 线性表
示。我们有：
(1) a111 a21 2 ar1 r ,
因这此里，Aσ1 关 于aa1r11这个基aa的1rrr 矩是阵有 形| W状关于AW 的Ao1基
A3 A2
,
1,2, ,r 的矩阵，
而A中左下方的 0 表示一个(n r) r 零矩阵.
由此可见，如果线性变换σ有一个非平凡不变子空
的生成元在σ下的象 (), 2 (), , k () 全部属
于 L(, (), , k1()) .所以 L(, (), , k1())
是一个σ不变子空间
（2）对任何包含α的不变子空间W， W (), 2 (), , k1() W
成V的一个基，σ关于这个基的矩阵就有形状
A1
0

A2


.


.

0
As