不变子空间的概念
不变子空间的交还是不变子空间证明
不变子空间的交还是不变子空间证明【原创实用版】目录1.引言2.不变子空间的概念3.不变子空间的交4.不变子空间的证明5.结论正文1.引言在数学领域，不变子空间是一个重要的概念，它在线性代数、微积分等学科中都有着广泛的应用。
不变子空间交和证明是理解不变子空间的关键，本文将从这两个方面进行阐述。
2.不变子空间的概念不变子空间指的是一个向量空间在经过某一线性变换后，仍然保持原有结构和性质的子空间。
设 V 是一个向量空间，T 是 V 上的一个线性变换，如果存在一个子空间 W 使得 T(W)W，那么 W 就是不变子空间。
3.不变子空间的交不变子空间的交指的是多个不变子空间相交后得到的子空间。
假设 V 有两个不变子空间 W1 和 W2，它们的交为 W1∩W2。
根据不变子空间的性质，T(W1∩W2)W1∩W2，所以 W1∩W2 也是 V 的一个不变子空间。
4.不变子空间的证明为了证明不变子空间的存在性和唯一性，我们需要引入一些相关的概念和定理。
设 V 是一个向量空间，T 是 V 上的一个线性变换，W 是 V 的一个子空间。
如果 T(W)W，那么我们可以证明 W 是 V 的一个不变子空间。
证明：假设 U 是 V 的另一个子空间，且 T(U)U。
我们需要证明 W ∩U 也是 V 的一个不变子空间。
根据向量空间的性质，有 T(W∩U)T(W)∩T(U)。
因为 T(W)W 和 T(U)U，所以 T(W)∩T(U)W∩U。
所以 W∩U 也是 V 的一个不变子空间。
5.结论不变子空间在数学领域具有广泛的应用，理解不变子空间的交和证明对于深入研究不变子空间具有重要意义。
§7 不变子空间
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注 A与A|W是两个不同的线性变换.
A是V上的线性变换，A|W是W上的线性变换. 对 ∀α ∈ W , 有 ( A | W )α = Aα . 而对 ∀α ∈ V − W , ( A | W )α 是没有任何意义的.
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定理12 定理12
设线性变换A的特征子空间为 f (λ ), 它可分解为 一次因式的乘积
f (λ ) = (λ − λ1 ) r1 (λ − λ2 ) r2 L (λ − λs ) rs . 则V 可分解为 V V = V1 ⊕ V2 ⊕ L ⊕ Vs , 其中 Vi = {ξ ∈ V | ( A − λiE ) ri ξ = 0}. = Ker( A − λiE ) ri .
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我们也可以通过将线性空间V分解为若干个A 的 不变子空间，即先将A的矩阵具有准对角形，然后对 每个子空间上考虑A的矩阵，即考虑准对角形的每个 块，每个块最简单了，整个矩阵就最简单了. 先看前面讨论过的特殊情形，即能够找到一组基 使得在这组基下的矩阵为对角形. 我们知道线性变换A的矩阵能成对角形的一个充 分必要条件是V 能分解为所有特征子空间的直和： V = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ L ⊕ Vλs . A在属于特征值 λi (i = 1,L, s ) 的特征子空间 Vλ 上的限
故 A β ∈ B −1 (0). 即B −1 (0) 为A－子空间. 要证 A β ∈ BV，即∃ξ , s.t. Bξ = Aβ （2）任取 β ∈BV , 则存在α ∈ V , 使得 Bα = β . 故
§74 不变子空间
§7.4 不变子空间教学目的 本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。
教学难点 不变子空间的证明教学重点不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的证明 教 学 过 程备 注教学内容一、不变子空间的定义为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.在3V 中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k ，使得对任意αασαk )(,3=∈V ，设W 是3V 中过原点的一个平面，W 是3V 的一个子空间，对W 中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像)(ξσ仍是W 中的向量，这样的子空间W 就是σ的不变子空间.定义1 设σ是F 上向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，若W 中向量在σ下的像仍在W 中，即对于W 中任一向量ξ，都有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的一个不变子空间，或称W 在σ之下不变.例1 向量空间V 本身和零子空间是V 的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V 的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.例2 向量空间V 的任一子空间都是数量变换的不变子空间.例3 在R [x]中，令x)(f (f(x))'=σ，对任意][],[)(x R x R x f n ∈是R [x]的子空间，并且]x [n R 是σ的不变子空间.例4 设σ是3V 中以过原点的一条直线L 为轴,旋转θ角的变换,则L 是σ的一维不变子空间;过原点且与L 垂直的平面H 是σ的一个二维不变子空间.二、不变子空间的判断下面给出一种判断不变子空间的方法定理7.4.1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的子空间，{}r 21,,,ααα 是W 的基.则W 是σ的不变子空间的充要条件是)(,),(),(r 21ασασασ 在W 中.设W 是向量空间V 的关于线性变换σ的不变子空间，那么对于任意的W ∈α，必有W ∈)(ασ，因此σ也可看作是向量空间W 的一个线性变换，用Wσ表示，即对于任意W ∈ξ，)()(ξσξσ=W若W ∉ξ，那么)(ξσW就没有意义. Wσ叫做σ在W 上的限制.三、不变子空间与线性变换的矩阵的关系设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个非平凡不变子空间.在W 中取一个基{}r 21,,,ααα ，把它扩充成V 的一个基},,,,,,{1r 21n r ααααα +，由于),,2,1()(r i W i =∈ασ，故可设r r a a a αααασ12211111)(+++= r r a a a αααασ22221212)(+++=…………r r a a a αααασr 2r 21r 1r )(+++=n r n a a a a ααααασ1,1r 1r 1r r 1r r 11r 11r )(++++++++++++= ，，，，…………n nn r n r r rn n n a a a a ααααασ+++++=++ 1,111)(因此，σ关于这个基的矩阵为,00002311,,11,11,111,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++A A A a a a a a a a a a a a a nn r n n r r r rn r r rr r n r r这里1A 是Wσ关于W 的基{}r 21,,,ααα 的矩阵.如果V 可以分解成两个非平凡不变子空间1W 与2W 的直和,21W W V ⊕=那么选取1W 的一个基{}r 21,,,ααα 和2W 的一个基{}n 1,,αα +r ，凑成V 的一个基{}n r ααααα,,,,,,1r 21 +，当1W 和2W 都在σ下不变时，σ关于这个基的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210A A A 这里1A 是r 阶矩阵，2A 是n-r 阶矩阵，它们分别是1W σ关于基{}r 21,,,ααα 的矩阵和2W σ关于基{}n 1,,αα +r 的矩阵.若V 可分解成s 个非平凡子空间s 21,,,W W W 的直和，并且每一i W 都是σ的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V 的基，σ关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵其中i A 是i W σ关于i W 的基的矩阵，.,2,1s i =如果能将V 分解成n 个在σ下不变的一维子空间的直和，那么σ在适当选取的基下的 矩阵就是对角矩阵. σ的一维不变子空间的问题与线性变换的本征值和本征向量有密切关系，我们将在下一节进行讨论.四、线性变换的值域与核定义2 设是向量空间的一个线性变换，由V 中全体向量的像构成的集合称为的值域，记作或；有零向量在之下的全体原像作成的集合称为的核，记作，即定理7.4.2 设σ是向量空间V 的线性变换，那么σm I 和σKer 是V 的子空间，并且在σ之下不变.证 先证σm I 是σ的不变子空间因为，σσm 0)0(,0I V ∈=∈，所以Φ≠m I .由于对任意σηξIm ,,∈∈F k ，存在V ∈βα,，使得)(),(βσηασξ==，而σβασβσασηξIm )()()(∈+=+=+，σασασξIm )()(∈==k k k因此σm I 是V 的子空间.任取σζIm ∈，当然σξσζIm )(,∈∈V .所以σm I 是σ的不变子空间.再证σKer 是σ的不变子空间.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s 21A A A因为σKer ∈0，所以σKer 非空.对任意σβαKer F k ∈∈,,，有0)(,0)(==βσασ，于是0)()()(=+=+βσασβασ 0)()(==ασασk k即有,,σαβαKer k ∈+，所以σKer 是V 的子空间.由于σKer 中的向量在σ下的像都是零向量，因此σKer 是σ的不变子空间. 我们把σm I 的维数称为线性变换σ的秩，记作秩σ.把的维数称为线性变换的零度.定理7.4.3 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，{}n 21,,,ααα 是V 的一个基，σ关于这个基的矩阵是A ，则(1) ))(,),(),((m 21n L I ασασασσ = (2) σ的秩等于A 的秩证 (1) σξm I ∈∀,存在n n a a a V αααηη+++=∈ 2211,，使得)(ησξ=. 于是))(,),(),(()()()()(212211n n n L a a a ασασασασασασησ ∈+++=故 ))(,),(),((Im 21n L ασασασσ ⊆又 σασασασIm ))(,),(),((21⊆n L ，所以(1)成立.(2) 由(1)知，(,),(),(())(,),(),((dim )dim(Im )(2121nn L ασασασασασασσσ 秩秩===而 A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121αααασασασααασ == 由定理5.2.14知,秩A n 秩=))(,),(),((21ασασασ ,所以A 秩秩=σ.定理7.4.4 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，则n =+的零度秩σσ证 在V 中取定一个基{}n 21ααα，，， .设σ关于这个基的矩阵为A ，由定理7.4.3， σ的秩=秩A若σαααξKer a a a n n ∈+++= 2211，则0)(=ξσ.由于)(ξσ与0向量的坐标相同，即T T n A )0,,0,0(),,,(21 =ααα，因此ξ的坐标T n a a a ),,,(21 是齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021n x x x A(1)的在n F 中的解向量.反之，对齐次线性方程组(1)的每个解向量T n b b b ),,,(21 来说,σαααKer b b b n n ∈+++ 2211.令σKer 的任一向量ξ与它的坐标对应,这就得到了F 上向量空间σKer 与(1)的在F 上的解空间W 的同构映射.因此σσ秩秩-n dim dim =-==A n W Ker故n =+的零度秩σσ例5 设{}4321αααα，，，是四维向量空间V 的一个基,线性变换σ关于这个基的矩阵为A ,并且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2-12-255213121-121A求σ的值域与核.解 先求ker σ, 设ξ∈ker(σ), ξ关于{α1,α2,α3,α4}的坐标为(x 1, x 2, x 3,x 4), σ (ξ)在{α1,α2,α3,α4}下的坐标为(0, 0, 0, 0)，由定理7.4.4，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000解得该齐次线性方程组的基础解系为X 1＝(－2,－23,1,0), X 2＝(－1,－2,0,1).令 β1=－2α123-α2+α3 , β2=－α1－2α2+α4那么ker (σ)＝L (β1, β 2)，σ的零度=2 .再求Im σ. 由定理7.4.3，Im σ＝L (σ (α1), σ (α2), σ (α3), σ (α4)).而由定理7.4.4, σ的秩为2. 因此，{})(,)(,)(,)(4321ασασασασ的极大无关组含有两个向量，又σ (α1), σ (α2)线性无关，所以Im σ =L (σ (α1), σ (α2)).作 业：P332-333,习题七，第19，20，21，22，23，24，25，26题.教学小结本节内容分为下面四个问题讲： 1. 加法运算 2. 数乘运算3. 乘法运算(1). 乘法运算(2). 线性变换σ的方幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件本课作业本课教育评注。
不变子空间的概念
则Vi都是 A 旳不变 子空间；且V具有直和分解： V V1 V2 Vs .
7.7 不变子空间
证：令
fi (
)
f () ( i )ri
( 1 )r1
(
i1 )ri1 (
)ri1 i 1
( s )rs ,
Wi fi ( A)V , 则Wi 是 fi ( A) 旳值域， Wi是 A旳不变子空间.
第七章 线性变换 §7.7 线性变换旳定义
一、不变子空间旳概念 二、线性变换在不变子空间上旳限制 三、不变子空间与线性变换旳矩阵化简 四、线性空间旳直和分解
7.7 不变子空间
一、不变子空间
1、定义
设 A是数域P上线性空间V旳线性变换，W是V旳
旳子空间，若 W ,有 A( ) W 即A(W ) W
则称W是 A 旳不变子空间，简称为 A －子空间.
注：
V旳平凡子空间（V及零子空间）对于V旳任意一
个变换 A来说，都是 A －子空间.
7.7 不变子空间
2、不变子空间旳简朴性质
1）两个 A－子空间旳交与和仍是 A －子空间.
2）设 W L(1,2 , s ), 则W是 A －子空间 A(1), A(2 ), , A(s ) W .
A 在特征子空间 V0上引起旳线性变换是数乘变换，
即有 A V0 o E .
7.7 不变子空间
三、不变子空间与线性变换旳矩阵化简
1、设 A 是 n 维线性空间V旳线性变换，W是V 旳
A－子空间，1, 2 , , k为W旳一组基，把它扩允为 V旳一组基： 1, 2 , , k , k1, n .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
高等代数不变子空间
A -子空间.
任取 α ∈ ImA ，因为 A α ∈ ImA ，所以 ImA 是 A -子空间.
任取
α
∈
Vλi ，因为
A
α
=
λiα
∈
V ，所以 V 是 A -子空间. λi
λ . . . i . . . . . . . . . . . . .
. . . .... .... .... . .
. .. . . ..
证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是 A -子空间.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
不变子空间的定义
定义 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，即对于任意 α ∈ W， 都有 A α ∈ W，则称 W 是 A 的不变子空间，简称 A -子空间.
B(A α) = (BA )α = (A B)α = A (Bα) = A (0) = 0. 因此 A α ∈ ker B，从而 ker B 是 A -子空间.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，整个空间 V 和零子空间 0，对于 V 上的每个线性变换 A 来说，都是 A -子空间. 称 V 和 0 是 A 的平凡的不变子空间.
命题 V 上线性变换 A 的核与值域，A 的特征子空间都是 A -子空间.
证 任取 α ∈ ker A ，因为 A α = 0 ∈ ker A ，所以 ker A 是 A -子空间. 任取 α ∈ ImA ，因为 A α ∈ ImA ，所以 ImA 是 A -子空间.
(完整版)不变子空间、若当、最小多项式(简介)
§7 不变子空间◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间，且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ.简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间：1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ.【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间i W 的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即σξξσξ=⇒∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ⇒∉无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21，在每个不变子空间i W 中取基k i i i εεε,,,21 ，s i ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有准对角形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s A A 1，其中i A ，s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式：S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和：s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi r i i E V V .§8 若当（Jordan ）标准形介绍若当（Jordan ）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλ1000010000010000),(t J （λ是复数；注意对角元相同）2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、λ未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵） 【问题】若当形矩阵的特征值＝？例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序） 二、主要结论定理13： ))((C V L n ∈∀σ，在V 中必定存在一组基，使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. （这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被σ唯一决定的，它称为σ的若当标准形）若用矩阵来描述，即定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论） 三、若当标准形的求法（第八章介绍）【特例】若A 可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00020100030100B ，证明B X =2无解，这里X 为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质，并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.已知Cayley Hamilton -定理：方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义：)(x ϕ是方阵A 的最小多项式0)(=⇔A f 且)(x ϕ次数最低、首项系数为1. 例 数量矩阵kE 的最小多项式是 二、基本性质引理1矩阵A 的最小多项式必唯一. 证法 带余除法引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ⇔是A 的最小多项式)(x ϕ的倍式，即)(|)(x f x ϕ. 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法 带余除法例 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A 的最小多项式. 2)1(-x【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？例 k 阶若当块kk a a a J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11的最小多项式是 （直接计算，k a x )(-） 三、主要结论定理 数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.例 设A 是n 阶幂等矩阵，且秩为r .试求A 的相似标准形，并说明理由；求A E -2. 解法：由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根，所以A 相似于对角矩阵，且特征值只能是1或0.又r A r =)(，故存在可逆矩阵P 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001rE AP P .从而 rn r n rA E E E AP P E P A E P ----=-⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-222002)2(11. 矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP A ，于是1-=P PB A k k . 进一步有：当)(x ϕ是多项式时，1)()(-=P B P A ϕϕ.特例：当A 相似于对角矩阵时，由1-=P PB A k k 容易计算方幂kA .2.求Fibonacci 数列通项：)1,0(1012==+=++a a a a a n n n解法 用矩阵形式表示递推关系式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+011101110111a a a a a a nn n n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111A 的特征值为2512,1±=λ，对应的特征向量为'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1,251，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-211λλAP P 由此可求nA ，即得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？ 解 设最初城市、农村人口分别为00,y x ，第k 年末人口分别为k k y x ,，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00118.01.02.09.0y x y x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8.01.02.09.0A ，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x k k k . 为计算kA ，可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E .1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α；7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==1112),(21ααP ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2111311P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21117.00011112317.00011k kk P P A令∞→k ，有07.0→k ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→12223121110001111231k A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3132)(1222310000y x y x y x k k 可见当∞→k 时，城市与农村人口比例稳定在1:2.定理7：设A 为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（注意：对角元恰好是A 的全体特征值） （常用于证明题）[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有n 个特征向量作成标准正交基（见教材）.也可用数学归纳法，将实对称矩阵A 用两次正交相似变换化为对角阵.证明：设σ在n 维欧氏空间V 的标准正交基下的矩阵是A ，则σ是对称变换. 1=n 时，)(αL V =，取V e ∈=αα/1，则V e ∈)(1σ，有11)(ke e =σ，1e 即为所求. 设1-n 时命题成立（含义？），考虑n 的情形.设法把n V 分解成11-+n V V ，才能使用归纳假设：1）σ对称σ−−→−引理有实数特征值1λ（才能保证特征向量)(1R V ∈α，正交矩阵要求实数矩阵）；2）取111/αα=e ，则是实．特征向量.设1V 是)(1e L 的正交补，则1V 是σ-子空间，维数为1-n ，且1|V σ是1V 的对称变换.于是利用归纳假设，1V 有1-n 个特征向量n e e ,,2 标准正交，联合n e e e ,,,21 即为V 的特征向量、标准正交基.另证：直接从矩阵角度证明，数学归纳法：1=n 显然. 设1-n 时命题成立，A 必有实数特征值1λ（特征向量n R ∈1α），取111/αα=e ，则也是实．特征向量.扩充成n R 的标准正交基n e e e ,,,21 ，以它们为列作n 级矩阵1T ，则1T 正交，且),,,(),,,(),,,(1121111112111211111n n n Ae T Ae T e T Ae Ae Ae T e e e A T AT T -----===' λ注意到),,,(),,,(112111112111111n n e T e T e T e e e T T T E -----=== ，故111e T -是E 的第一列，于是11AT T '形如⎪⎭⎫⎝⎛B C 01λ,而A 对称，11AT T '也对称，得0=C ，且B 是1-n 级对称矩阵. 由归纳假设，存在1-n 级正交矩阵Q ，使得),,(2n diag BQ Q λλ ='，取212,001T T T Q T =⎪⎭⎫ ⎝⎛=可得T 是正交矩阵，并且),,(1111n diag Q B Q AT T λλλ ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=' 又AT T AT T 1-='与A 相似，有相同的特征值，于是n λλ,,1 是A 的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念 1）内积 2）长度 3）夹角 4）正交 5）度量矩阵 6）标准正交基7）正交矩阵 8）正交变换 9）正交补 10）对称变换 11）最小二乘法二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角；证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证！先正交化再单位化，反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（可验证！注意区别第五、七章的方法）7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积？欧氏空间的哪些概念与内积有关？（长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补） 2.内积与标准正交基有何联系？ 3.标准正交基有何作用？ 4.如何构造子空间的正交补？5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点？6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别？ 四、例题选讲 ◎ A 正定1>+⇒E A证1：A 正定⇒特征值E A i +⇒>0λ的特征值11>+i λ 于是1111)1()1)(1(21=⋅>+++=+ n E A λλλ 证2：A 正定⇒0),,,(11>=-i n diag AT T λλλ1111)1()1)(1()1,,1(),,(1211111=⋅>+++=++=+=+--- TT T Tdiag E T Tdiag E A n n n λλλλλλλ《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断 二、复习依据作业（习题集）、例题、课外提高 三、各章主线 1.线性空间线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和 同构……构造、判定、意义 2.线性变换线性变换……验证（定义）、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间 特征值与特征向量……证明、求法（可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵C 值域与核……基、维数、两者维数关系 3.Jordan 标准形不变因子 初等因子 Jordan 标准形4.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）内积……验证(四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证） 正交变换……判定、不变性、正交矩阵（可验证）对称变换……判定、特征值、对角化（求正交矩阵[可验证].区别第5章方法）四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系：……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基）3.可验证的几种计算类型特征值（迹）、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为1）、'）正交矩阵（行[或列]向量组标准正交，或EAA=3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴，以身作则，不得违纪，如有违纪现。
高等代数实践课不变子空间
例5：
令f[x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空 间，σ：f(x)→ f‘(x)是求导数运算。对于每一 自然数n，令Fn[x]表示一切次数不超过n的多 项式连同零多项式所成的子空间。那么Fn[x] 在σ之下不变。
限制
• 设w是线性变换σ的一个不变子空间。只 考虑σ在w上的作用，就得到子空间w本 身的一个线性变换，称σ在w上的限制， 并且记作σ｜w.
即：若线性变换σ有一个非平凡不变子空间,那么只要适当取定V的 基,就可以使与σ对应的矩阵中有一些元素是零.特别,如果V可以 写成两个非平凡子空间W1与W2的直和:V=W1⊕W2,那么选取 W1的一个基α₁,α₂,…,αγ,和W2的一个基αγ+₁,…, αn，凑成V 的一个基α₁,α₂,…, αn.当W1 和W2都在σ之下不变时，容易看 出,σ关于这样取定的基的矩阵是
解析：事实上，对于任意ξ∈ Ker(σ)，都有σ（ξ）=0 ∈ Ker(σ)，所 以Ker(σ)在σ之下不变。
个基α₁,α₂,…,α ,再补充成为V的一个基α₁,α₂…， 那么旋转轴L是σ的一个一维不变子空间，而过原点与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间。
简位单似的 变说换，：如ξ↦果k子ξ 空间在σ之下不变，那γ么w就叫做σ的一个不变子空间
这样，对于任意ξ∈W, σ｜w(ξ)=σ(ξ). 然而，如果ξ∉W，那么σ｜w(ξ)没有意义。
AV1的=现一(个在子空我间) W们说是来在线看性变一换σ之下下不：变（不或稳变定）子，如空果σ间(w)和⊆w.简化线性变换的矩阵的关系
( ),这里Ai是σ|wi关于所取的wi的基的
A= (
),这里A1是r阶矩阵，它是σ|w1关于基
α ,α ₁,…,α .由于W在σ之下不变,所以 这令样f[x，]是对γ数于域任F意上γξ一∈+切W,一σ元｜多w项(ξ式)=所nσ(成ξ)的. 向量空间，σ：f(x)→ f‘(x)是求导数运算。
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, k , k 1 ,
,n
, ( k ) W , 所以可由W 的基
1 , 2 ,
, k 线性表示, 设
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12
( 1 ) a11 1 a21 2 ak 1 k ( 2 ) a12 1 a22 2 ak 2 k ( k ) a1k 1 a2 k 2 akk k ( ) a a ak 1, k 1 k 1 an, k 1 n k 1 1, k 1 1 k , k 1 k ( n ) a1n 1 akn k ak 1,n k 1 ann n
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8
对 W L( ), 有 k , 从而
( ) k ( ) k(0 ) (k0 ) W ,
所以W 是 子空间.
结论二 : 由特征向量生成的一维子空间是 子空间.
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9
三、σ在不变子空间上引起的变换
, k 下的矩阵.
ak 1,n ann
就是 | W2在W2的基 k 1 ,
, n下的矩阵.
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18
因此, 若W1 , W2 是 子空间, 且 V W1 W2 则可适当选取V 的基, 使得 在这个基下的矩阵为 A1 O A O A2 其中Ai 是 | Wi 在Wi的某个基下的矩阵( i 1, 2).
n , 则 1 ,
, k , k 1
, n 构成V的一组基.
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若 在基 W
1,下的2 ,矩L阵,为 k
，则
在基 1 , 2 ,下L的,矩阵n 具有下列形状:
§7.7 不变子空间
A1 0
A2 A3
.
A1 P kk
反之，若
1 , 2 ,L
,n
1 , 2 ,L
,n
A1 0
A2 A3
,
A1 P kk . 则由 1 , 2 ,生L成,的 k子空间必为 的
2）设 W L(1,则2 ,WL是 s－)子, 空间
(1), (2 ),L , (s ) W .
证： " 显然"成立.
" " 任取 设W , k11 k22 L kss ,
则 ( ) k1 (1) k2 (2 ) L ks (s ).
由于 (1), (2 ),L , (s ) W , ( ) W .
设 是线性空间V的线性变换，W是V的一个 的
不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作
在不变子空间W上引起的线性变换，或称作 在
不变子空间W上的限制 . 记作
. W
§7.7 不变子空间
注：
① 当 时，W W ( ) ( ).
当 时W，
无意W义(. )
② W W W .
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零
一、不变子空间
1、定义
设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的
的子空间，若
有 W , ( )W 即 (W ) W
则称W是 的不变子空间，简称为 －子空间.
注：
V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一
个变换 来说，都是 －子空间.
§7.7 不变子空间是 －子空间.
故W为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
3、一些重要不变子空间
1）线性变换 的值域 与核 (V都是) 的 1 0
不变子空间.
证： Q (V ) ( ) V V ,
V , 有 ( ) (V ).
故 (V为 )的不变子空间.
又任取 有1 0 ,
( ) 0 1(0).
下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由
生成 i1, i 2 ,L , ini
W 的子空间 为 的i不变子空间，且V具有直和分解：
V W1 W2 L Ws .
由此即得：
V的线性变换 在某组基下的矩阵为准对角形 V可分解为一些 的不变子空间的直和.
这里 f为( x) 中P任[一x多]项式.
§7.7 不变子空间
3）任何子空间都是数乘变换 的不变子空间.
4）线Q性变换的W特,征子空间
k 是
的W不变子V空间0 .
Q
5）由
的特征向V量生o ,成有的子空间是
的不o变子空V间o..
证：设 1 ,2是,L 的,分s别属于特征值
1, 2 ,L , s 的特征向量.
任取 L(1,2 ,L ,s ),
设 k11 k22 L kss , 则
( ) k111 k222 L ksss L(1,2 ,L ,s )
L(1,2 ,L ,s ) 为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
注：
特别地，由 的一个特征向量生成的子空间是一
个一维 －子空间.
不变子空间.
事实上，因为W是V的不变子空间.
(1), ( 2 ),L , ( k ) W . 即， (1 ), ( 2 ),L均可,被( k )
线性表出.
§7.7 不变子空间
1, 2 ,L , k
(1 ) a111 a21 2 L ak1 k
设
L((Lk2 ))L
a121 a22 2 L ak 2 k
LLLLLLLLLL
a1k1 a2k 2 L akk k
从而，
(1, 2 ,L , n )
a11 a12 L
a11 L
a11 L
L L
(1, 2 ,L
,
n
)
ak1 0
ak 2 0
L L
L 0
LL 0L
a1k a1,k1 L a2k a2,k1 L L LL akk ak ,k1 L 0 ak1,k1 L L LL 0 an,k1 L
反过来，一个一维 －子空间
必可看成是 的一个特征向量生成的子空间.
事实上，若
W L k k P, 0 .
则 为 L的一组基.
因为W为 －子空间，
( ) W , 即必存在 使 P, .
是 的特征向量.
§7.7 不变子空间
二、 在不变子空间W引起的线性变换
定义：
1(0)也为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
2）若 则 , 与 (V都)是 －子空1(间0.)
证： Q (V ) ( ) V.
对 存(V在 ), 使 V , ( ),
于是有，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (V )
(V ) 为 的不变子空间.
若 V W1 W2 ，则L Ws
11,L ,1n1 , 21,L , 2n2 ,L , s1,L , sns 为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2 O
.
（1）
§7.7 不变子空间
As
反之，若 在基
11,L ,1n1 , 21,L , 2n2 ,L , s1,L , sns
变换，即
10 0 ;
V 在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换， 0
即有 V0 o E .
§7.7 不变子空间
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
1、 设 是 维线n性空间V的线性变换，W是V 的
－子空间，
V的一组基：
1 ,为2W,L的一,组k基，把它扩允为 1, 2 ,L , k , k1,L n .
a1n
a2n L
akn akn
L ann
§7.7
(1, 2 ,L
不变子空间
, n )
A1 0
A2 A3
.
2、 设 是 维n线性空间V的线性变换， 都是
Wi
的不变子空间，而
i是1, i的2 ,一L组,基，ini且 Wi
在这组基下的矩阵为 Wi
Ai , Ai P nini , i 1, 2,L , s.
其次，由 1 0 V , 0 ,
对 有1 0 , 0.
§7.7 不变子空间
于是 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0. ( ) 1 0. 故 1 为0 的不变子空间.
注：
Q f ( ) f ( ) 的多项式 的f 值(域)与核都是 的不变子空间.