随机变量的分布列与数学期望

随机变量的分布列与数学期望
1.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.
2.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C 进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘。

已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ。

3.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述
样本数据估计乙厂生产的优等品的数
量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品
数 的分布列及其均值（即数学期望）.
4.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有人独立来该租车点则车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小
；两小时以上且不超时还车的概率分别为11,
42
；两人租车时过三小时还车的概率分别为11,
24
间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ；
5.如图4， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则
（1）=______P A （）；（2）=______P A （B|）
5解析：（1）由几何概型概率计算公式可得2==S P A S π正圆（）；
（2）由条件概率的计算公式可得
2114===24
P AB P A P A ππ⨯（）（B|）（）
1【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望，考查考生分析问题、解决问题的能力.
【解析】记A表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种；
D表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.
(I)()0.5
P B=,
P A=, ()0.3
=+……………………………3分
C A B
=+=+=…………
P C P A B P A P B
()()()()0.8…………………6分
(Ⅱ)D C=,()1()10.80.2
=-=-=
P D P C
:,即X服从二项分
(100,0.2)
X B
布, ……………………………10分
所以期望1000.2
EX=⨯=. ……………………………12分
【点评】概率与统计是每年的必考题，一般
安排在解答题的前3题.本题属于已知概率求概率类型. 考查保险背景下的概率问题，要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望.
2.解析：（Ⅰ）记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件,,
D E F,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事
件,,
D E F，根据各盘比赛结果相互独立可得
故红队至少两名队员获胜的概率为=+++
P P DEF P DEF P DEF P DEF
()()()()
=+++
P D P E P F P D P E P F P D P E P F P D P E P F
()()()()()()()()()()()()
=. =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯0.55
0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.5
（Ⅱ）依题意可知0,1,2,3
ξ=，
ξ====-⨯-⨯-=；
P P DEF P D P E P F
(0)()()()()(10.6)(10.5)(10.5)0.1
ξ==++
P P DEF P DEF P DEF
(1)()()()
=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=;
0.6(10.5)(10.5)(10.6)0.5(10.5)(10.6)(10.5)0.50.35
ξ==++
P P DEF P DEF P DEF
(2)()()()
=⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯=;
0.60.5(10.5)(10.6)0.50.50.6(10.5)0.50.4
ξ===⨯⨯=.故ξ的分布列为
P P DEF
(3)()0.60.50.50.15
ξ0 1 2 3
P 0.1 0.35 0.4
0.15
故00.110.3520.430.15 1.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 3
:,10
1)2P(,106)1P(,103)0P(, 0,1,2:)3(;14355
2:,2,5,5)2(;35514
98:)1(:25222513122523其分布列为故可以取值优等品的数量为故可估计出乙厂生产的的产品是优等品编号为件产品中从乙厂抽取的乙厂的产品数量为解ξξξξξ==========⨯=⨯C C C C C C C
.5
41012101100)E(=⨯+⨯+⨯=∴ξξ的数学期望为 4.解析：
（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅= 则所付费用相同的概率为123
516P P P P =++= (2)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8
1(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξ
ξ
ξ
ξ==
==⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅=
分布列
ξ
0 2 4 6 8 P
18 516 516 316 116 5591784822
E ξ=+++= 17. （本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50]，[50,60]，
[60,70]，[70,80]，[80,90]，[90,100]。

（1）求图中x 的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分
以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ得数学期望。

【答案】（1）0.024
x=；（2）25
Eξ=。