高等数学期末复习归纳大全
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《高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61
2arctan lim )21ln(arctan lim
3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)
(6lim
0)(6sin lim
x x f x x xf x x x +=+>->-，求
解：
2
0303'
)(6cos 6lim
)(6sin lim
x xy x f x x x xf x x x ++=+>->-
36
272
2''lim 2'lim )(6lim
0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）
3.121)12(lim ->-+x x
x x x （重要极限）
4.已知a 、b 为正常数，x
x x x b a 3
0)2(lim +>-求
解：令]
2ln )[ln(3
ln ,)2(3
-+=+=x x x x x b a x t b a t
2
/300)()
ln(23)ln ln (3lim
ln lim ab t ab b b a a b a t x
x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)
1ln(1
2
)(cos lim x
x x +>-
解：令
)ln(cos )1ln(1
ln ,)(cos 2
)1ln(1
2
x x t x t x +=
=+
2
/100
21
2tan lim
ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）
6.设
)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求
1
)()(lim
2
2
=⎰
⎰
>-x
x x dt
t f x
dt
t f
（洛必达与微积分性质）
7.已知⎩⎨
⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a
解：令
2
/1/)ln(cos lim 20
-==>-x x a x （连续性的概念）
三、补充习题（作业）
1.
3
cos
1
1
lim
-
=
-
-
-
-
>
-x
x
x
e x
x
（洛必达）
2.
)
1
sin
1
(
lim
0x
x
ctgx
x
-
>
-（洛必达或Taylor）
3.
1
1
lim
2
2
=
--
-
>
-
⎰
x
x t
x e
dt
e
x
（洛必达与微积分性质）
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.
⎩
⎨
⎧
=
+
-
=
=
5
2
arctan
)
(2t
e
ty
y
t
x
x
y
y由
决定，求
dx
dy
2.
x
y
x
y
x
x
y
y sin
)
ln(
)
(3
2+
=
+
=由
决定，求
1
|
=
=x
dx
dy
解：两边微分得x=0时
y
x
y
y=
=cos
'
，将x=0代入等式得y=1
3.
y
x
x
y
y xy+
=
=2
)
(由
决定，则
dx
dy
x
)1
2
(ln
|
-
=
=
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线
)2/
,2/π
θ
ρ
ρπ
θe
e（
）
，
在（=
=
处切线的直角坐标方程。
解：
1
|'
),
,0(
|)
,
(,
sin
cos
2/
2/
2/
-
=
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=π
θ
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
y
e
y
x
e
y
e
x
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求
)1('
),1(
)6('
),6(f
f
f
f或
，等式取x->0的极限有：f(1)=0
C.导数应用问题
6.已知
x
e
x
f
x
x
xf
x
x
f
y-
-
=
+
=1
)]
('
[
2
)
(''
)
(2
满足
对一切
，)0
(0
)
('
0 0≠
=x
x
f
若
，求
)
,
(
y
x
点的性质。
解：令
⎩
⎨
⎧
<
>
>
>
=
=
=
-
,0
,0
)
(''
1
x
x
x
e
e
x
f
x
x
x
x
代入，
，故为极小值点。