高数读书笔记
北师版高中数学必修三读书笔记
北师版高中数学必修三读书笔记高一必修一数学学习笔记，和总结。
第一章 -与函数概念一、 -有关概念1、-的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个-，其中每一个对象叫元素。
2、 -的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的 -， -中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的 -的元素。
(2)任何一个给定的-中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个 -时，仅算一个元素。
(3) -中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个 -是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4) -元素的三个特性使 -本身具有了确定性和整体性。
3、 -的表示：{…} 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示 -：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2． -的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念-的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是 -A的元素，就说a 属于 -A 记作a∈A，相反，a不属于 -A 记作 a A列举法：把 -中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将-中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示-的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个 -的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}4、 -的分类：1．有限集含有有限个元素的 -2．无限集含有无限个元素的-3．空集不含任何元素的- 例：{x|x2=－5｝二、 -间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一-。
反之: -A不包含于 -B,或 -B不包含 -A,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}“元素相同”结论：对于两个-A与B，如果-A的任何一个元素都是-B的元素，同时, -B的任何一个元素都是 -A的元素，我们就说 -A等于 -B，即：A=B① 任何一个 -是它本身的子集。
张宇高数笔记
张宇高数笔记第一章节极限与连续数列收敛（有极限），则：①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。
②它的极限存在且唯一。
③它是有界的。
（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡）④它有保号性。
数列极限存在的解题手段：①夹逼法。
②定积分定义法。
③对于给定递推式的数列求极限：（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A 。
（2）先斩后奏解出A ，然后用压缩映象原理列出|x n ?A |<=""> 根据题设条件得出x n+1和x n 的递推关系，然后用③的方法。
⑤充分运用题目中给出的函数关系式：（1）x n+1=f(x n )，f (ξ)=ξ；则x n+1?x n =f (x n )?f(x n?1)，|x n+1?ξ|=|f (x n )?f (ξ)| （2）任何|f ′(x )|≤k 的函数，都可由拉氏定理得|f (x 1)?f (x 2)|≤k|x 1?x 2| （3）若知f(x)的单调性，可把x n+1和x n 的大小判断转化为对f (x n+1)和f(x n )的判断。
（4）若给出x n+1=f(x n )，f ′(x )和x 0的初值，则用拉氏定理:|x n+1?x 0|=|f (x n )?f (x 0)|=|f′(ξ)(x n ?x 0)|≤A|(x n ?x 0)|压缩映象⑥对于累加型数列x n =∑f(n,k)n k=1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。
函数极限存在（设为A ），则：①左右极限都为A 。
（证明题证极限存在的思路）②唯一性、有界性、保号性。
③?ε>0,?δ>0,当0<|x ?x 0|<δ时，有|f (x )?A |<ε此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。
重要结论与具体解题技巧：①闭区间上连续的函数必有界；开区间上连续的函数，两端点极限都存在才有界。
②无穷项相加的放缩：n ×u min ≤∑u i ≤n i=1 n ×u max 有限项相加（且u i ≥0）的放缩：1×u max ≤∑u i ≤n i=1 n ×u max ③诸如1x 2之类的形式难以处理，想到用倒代换。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
《高等数学：慕课版(下册)》读书笔记模板
同步习题9.3
同步习题9.4
9.5方向导数1Fra bibliotek与梯度
2
同步习题9.5
3 9.6多元函数
微分学的几何 应用
4
同步习题9.6
5 ∗9.7二元函数
的泰勒公式
同步习题9.7
9.8 MATLAB在多元 函数微分学中的应用
第9章思维导图 第9章总复习题
9.1.1多元函数的概念 9.1.2二元函数的极限 9.1.3二元函数的连续
11.4.1对面积的曲面积分的概念和性质 11.4.2对面积的曲面积分的计算法
11.5.1对坐标的曲面积分的概念和性质 11.5.2两类曲面积分之间的关系 11.5.3对坐标的曲面积分的计算法
11.6.1高斯公式 ∗11.6.2沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 ∗11.6.3通量和散度
11.7.1斯托克斯公式 ∗11.7.2空间曲线积分与路径无关的条件 ∗11.7.3环流量与旋度
10.4.1空间物体的质量 10.4.2三重积分的概念 10.4.3空间直角坐标系下三重积分的计算 10.4.4柱面坐标系下三重积分的计算 10.4.5球面坐标系下三重积分的计算
10.5.1重积分在几何中的应用 10.5.2重积分在物理中的应用
11.1对弧长的 1
曲线积分
2
同步习题11.1
3 11.2对坐标的
第11章思维导图
11.8用MATLAB求曲 线积分和曲面积分
第11章总复习题
11.1.1对弧长的曲线积分的概念和性质 11.1.2对弧长的曲线积分的计算法
11.2.1对坐标的曲线积分的概念和性质 11.2.2对坐标的曲线积分的计算法 11.2.3两类曲线积分之间的关系
11.3.1格林公式 11.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件 11.3.3二元函数的全微分求积 ∗11.3.4曲线积分的基本定理
高数笔记期末总结
高数笔记期末总结高等数学是大学阶段必修的一门课程，它是数学的基础课，也是学习科学的门槛之一。
在这个学期的学习中，我学到了很多新的数学概念和方法，也遇到了不少挑战。
通过总结个人的学习经验和感悟，我希望能够对高数的内容有个更加深入的理解，并且对自己的学习方法进行反思和提升。
在这个学期的高数学习中，我学到了很多基础的数学知识，如导数、积分、微分方程、级数等。
这些知识内容在之后的学习和应用中将起到重要的作用。
对于导数和积分的学习，我了解到了它们的物理意义和几何意义，并且学会了通过公式和性质的运用来求导和积分。
这些方法使得我们可以解决很多实际问题，如速度、加速度、曲线的切线方程等。
在微分方程的学习中，我了解了微分方程的基本概念和分类，并且学会了通过解微分方程来解决一些复杂的实际问题。
在级数的学习中，我了解了级数的概念和性质，并且学会了通过级数来逼近函数和计算无穷和。
除了以上的基础知识外，我还学习了数列和数学归纳法、函数的极限和连续、多元函数的偏导数和方向导数、重积分和曲线积分等内容。
在数列和函数的学习中，我了解了数列的极限的概念和判别法，并且学会了通过数学归纳法来证明不等式和恒等式。
在函数的极限和连续的学习中，我了解了函数的极限和连续的定义和性质，并且学会了通过极限的运算法则来计算函数的极限和判断函数的连续性。
在多元函数的学习中，我了解了多元函数的偏导数和方向导数的概念，并且学会了通过偏导数和方向导数来计算函数的变化率和方向导数。
在重积分和曲线积分的学习中，我了解了重积分和曲线积分的概念和计算方法，并且学会了通过积分来求解曲线的长度、曲线的面积以及物理中的质量、质心等问题。
在高数学习中，我遇到了不少的困难和挑战。
首先，对于一些抽象的概念和定义，我很难理解其背后的几何和物理意义。
如果没有一个直观的理解，就很难把抽象的数学概念与实际问题相联系，也就无法顺利地应用到其他的学科中去。
其次，在计算过程中，我常常会犯错或者忽略一些细节，导致计算结果的错误。
《高等数学》笔记-知识归纳整理
- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。
否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
高等数学读书报告
《高等数学》读书报告通过半个学期对高数的学习，以及读了《高等数学》后我对高数有了一些理解并且也掌握了一些学习高数的方法。
以下就是我对所学高数的知识点的总结以及个人对学习高数的看法。
第一章的主要内容为数列的极限，常数项级数的概念与性质，及其审敛法。
数列是特殊的函数，数列求极限的方法与函数求极限的方法类似，故数列求极限的方法参考可见下文函数求极限的方法。
常数项级数的审敛法有：一.正项级数的审敛法：1.比较判别法2.比值审敛法3.根值审敛法二.一般级数的审敛法1.绝对收敛准则2.对于交错级数常用莱布尼兹审敛法第二章的主要内容为函数的极限，函数的连续性。
前两章最主要的重点是函数极限和连续性问题。
Ⅰ求数列或函数极限，是高等数学里的一类基础而重要的问题。
常见的求极限的方法归纳起来有如下几种：1.先估计数列或函数的极限值，而后利用定义进行验证，这是求极限的最基本的方法，可用于求一些简单的极限。
2.利用有限个函数的和、差、积、商以及复合函数求极限的运算法则求极限，可以使一些复杂的极限计算问题得到简化。
3.初等函数在定义区间求极限，可直接将x的值代入原函数中，即可求得该函数趋于x的极限。
4.对有理分式函数，当x→∞时，用x的高次方项去除分子，分母。
5.利用无穷小的性质求极限。
这主要包括：①有限个无穷小的和(差、积)仍是无穷小。
②有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
③非零无穷小与无穷大互为倒数。
④等价无穷小代换当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x, 1−cosx~1 2x2, n√1+x −1~1/ nx, ln(1+x )~x。
当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替。
正因为等价无穷小的这一性质，所以在求极限时，可以简化计算，减少运算量，快速地解决问题，起到事半功倍的效果。
要用好此性质，当然需要适当掌握一些等价的无穷小量。
6.分解因式，约去使分母极限为0的公因式。
7.乘以共轭根式，约去使分母极限为0的公因式。
高等数学第八章笔记
高等数学第八章笔记一、多元函数的基本概念。
1. 多元函数的定义。
- 设D是n维空间R^n中的一个非空子集，映射f:D→ R称为定义在D 上的n元函数，记为z = f(x_1,x_2,·s,x_n)，(x_1,x_2,·s,x_n)∈ D。
- 当n = 2时，z=f(x,y)，(x,y)∈ D，D是xy-平面上的一个区域。
2. 多元函数的极限。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数varepsilon，总存在正数δ，使得当0<√((x - x_0))^2+(y - y_{0)^2}<δ时，都有| f(x,y)-A|成立，则称常数A为函数z = f(x,y)当(x,y)to(x_0,y_0)时的极限，记作lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=A。
- 注意：(x,y)to(x_0,y_0)是指(x,y)以任何方式趋向于(x_0,y_0)。
3. 多元函数的连续性。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，如果lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)，则称函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。
- 如果函数z = f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称函数z = f(x,y)在区域D内连续。
二、偏导数。
1. 偏导数的定义。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，固定y = y_0，函数z = f(x,y_0)在x = x_0处的导数，称为函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)对x的偏导数，记作f_x(x_0,y_0)或(∂ z)/(∂ x)|_(x_{0,y_0)}，即f_x(x_0,y_0)=lim_Δ xto0frac{f(x_0+Δ x,y_0) - f(x_0,y_0)}{Δ x}。
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高等数学读书笔记——定积分与不定积分马燕妮四川农业大学 经济学院 经济学 中国成都 611130【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。
定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。
不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。
【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分【Abstract 】This paper first introduces the basic definition of indefinite integral and defin ite integral, and then explores several of the more important integral method. D efinite integral is one of the major concepts of calculus, it comes from the a ccumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing the indefinite integra l and definite integral memory, calculation of indefinite integral system.【Key words 】Definite integral ；Indefinite integral ；Area ；differentiation division integral method ；Integral method in yuan ；The indefinite integral rational function一、不定积分与定积分的定义 （一）、定积分的定义：设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割T={ 1,∆ 2∆……n ∆}，任取点,1,2,i i i ξ∈∆=…，n,并作和式1()ni f x xi =∆∑称此和式为函数f 在[a,b]上的一个积分和，也称黎曼和。
设f 是定义在[a,b]上的一个函数，J 是一个确定的实数。
若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a,b]的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{ i ξ}，只要||T||<δ,就有1()ni f x xi J ε=∆-〈∑,则成函数f 在区间[a,b]上可积；数J 称为f 在[a,b]上的定积分记作J=()baf x dx ⎰其中，f 称为被积函数，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b 分别称为这个定积分的下限和上限。
（二）、不定积分的定义函数f(x)在区间I 的所有的原函数()()R C C x F ∈∀+称为函数f(x)的不定积分，表为⎰+=C x F dx x f )()()()('x f x F =（，C 为积分常数）,其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。
在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。
列如：at at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'221，而⎰+=C at atdt 221； ()x x cos sin '=,而⎰+=C x xdx sin cos ；2'331x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，而⎰+=C x dx x 3231. 这也就是说：()⎰)(dx f dx和⎰dx x f )('是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。
sin cos (0)axaxdx c a x=+≠⎰(0,1)ln xxdx c a a a aa =+>≠⎰⎰+=⋅cx x x sec tan sec 二、基本积分0dx c =⎰ )0(cos 1sin ≠+-=⎰a c ax a axdxdx x c =+⎰1(1,0)1dx c x xxαααα+=+≠-〉+⎰ 1ln dx x c x=+⎰ x xdx c e e=+⎰c x dx +-=⎰cot csc 22sec tan xdx x c=+⎰⎰+-=⋅c x xdx x csc cot csc C x c x xdx +-=+=-⎰arccos arcsin 12C x arc c x x dx+-=+=+⎰cot arctan 12三、定积分与不定积分的性质（一）、定积分的性质1若f 在[a,b]上可积，K 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(2若f 、g 都在[a,b]z 上可积，则f ±在[a,b]上也可积，且⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([3若f 、g 都在[a,b]上可积，则f*g 在[a,b]上也可积.4 f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈（a,b ）,f 在[a,c]与[c,b]上都可积。
此时又有等式⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(5.设f 为[a,b]上的可积函数.若f(x)≥0,x ∈[a,b],则⎰≥badx x f 0)(.若f 与g 为[a,b]上的两个可积函数，且f(x)≤g(x),x ∈[a,b],则有⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(6.若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且dx x f dx x f baba⎰⎰≤)()(积分中值定理：若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点],,[b a ∈ε使得.))(()(⎰-=baa b f dx x f ε（推广的积分第一中值定理）若f 与g 都在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点],,[b a ∈ε使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ε（二）、不定积分的性质1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数发f （x ）及g （x ）的原函数存在，则2、 求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。
即：设函数f （x ）的原函数存在，k 非零常数，则三、定积分与不等积分的计算方法 1 .分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x kg x k g x =()+()baf x dx ⎰，若右端的积分会求，则应用法则1122()()bbb aaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分，这就是分项积分法.例1计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x xdx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+.2. 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以 221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+3. 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：3.1 第一类换元积分法（俗称为“凑微分法”）例3 计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰=2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tantan 2424-+-. 3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法．① 三角替换例4 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰ =arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2tdt + =arcsin111(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例5 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx xππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例6 计算定积分311232xx.解11令1t x=得 111-=1arcsin-=6π.④替换公式4. 分部积分法]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bbb a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或bbba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成baudv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型：5. 带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用若函数()f x 在0x 点的领域0()U x 内有连续的1n +阶导数，则x ∀∈0()U x ，有2000001()()()()()()2!f x f x f x x x f x x x '''=+-+-++()001()()!n n f x x x n -+ ()n R x ，其中0(1)1()()()!x n n n x R x f t x t dt n +=-⎰称为积分型余项．例7 计算2()(0)nb n a b dx n N a b x++∈<<⎰（-x ）. 解 设1()f x x=，则1(1)2(1)(1)!()n n n n f x x +++-+= 2nb n a b dx x +⎰（-x ）=1(1)(1)1()()(1)!n b n na b x dx n x ++--+⎰ =2123111111(1)!()()()(1)(10!nn n n n b a b a b a b a n a a a ++⎡⎤--+---++-⎢⎥-+⎣⎦=11(1)(1)1n n b a n b++--+.四、定积分和不定积分的运用 （一）、定积分 1.平面图形的面积一般地，有上、下两条连续曲线 y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b （a<b ）所围的平面图形如图（1所示，它的面积计算公式为 A=.)]()([12dx x f x f ba-⎰。