二次根式最值

与二次根式有关的最值如何求

施时刚

本文以近几年的竞赛题为例，介绍与二次根式有关的最值问题的常用解法，供读者参考。

1.借用取值范围求最值

例1.代数式x x x +

-+-12的最小值为（） A.0 B.12+ C.1 D.不存在的

分析：由二次根式有意义的取值范围知，被开方数必须非负

所以x x x ≥-≥-≥01020，，

解得x ≥2

而被开方数越小，算术平方根的值就越小

所以当x =2时

x x x +-+-12取得最小值，其值为21+

故选B

2.因式分解与枚举法结合求最值

例2.设x 、y 都是正整数，且使x x y -++=116100，则y 的最大值是________。

分析：因为x 、y 是正整数，又x 在被开方数中，不易直接讨论，我们先用换元法把它有理化处理，再相机处理之。 令x a x b -=+=116100，

a ，

b 为正整数

则x a x b =+=-22

116100， ∴+=-a b 22116100

即b a 2233

21623-==⨯

因式分解得：()()b a b a +-=⨯2333

而b a b a +-、奇偶性相同，右边是偶数

所以b a b a +-、同为偶数

且b a b a +>-

∴+=⨯⨯⨯-=⨯⎧⎨⎪⎩⎪b a b a 2323232223

233222；；；； 解得b a ==⎧⎨⎩

552921532515；；；； 所以y =1085436，，

故y max =108

3.借用基本不等式求最值

例3.若x y 22

20+=，则112322-+-x y 的最大值是___________

分析：本题是条件最值问题，变量x 、y 需满足一定的条件。先采取变量换元。 令112322-=-=x a y b ，（a b ≥≥00，）

则11232222-=-=x a y b ，

两式相加得342222--=+x y a b

因为x y 2220+=

所以a b 2214+= ()a b ab +=+2142（*）

由基本不等式知21422ab a b ≤+=

且a b =时ab 积达到最大 此时112322-=

-x y

即y x 2212-=

又y x 2220+=

解得y 216=且x 24= 故112322-+-x y 达到最大值为7727+=

4.倒数法求最值

例4.若x ≠0，求11244

++-+x x x x

的最大值是_____________。 分析：易知原式取最大值须满足x >0

此时x

x x x 11244++-+

=++++=++++=-++-+111111312244

222

222x x x x

x x x x x x x x

()() 由此可知，当x x

-=10（即x =1）时，上式的最小值为32+。 故原式的最大值为32-

5.应用绝对值性质求最值

例5.实数a 、b 满足a a a a b b 222136121032-++-+=-+--||||，则a b 22

+的最大值为___________。

分析：首先根据数的开方的基本公式： a a 2=||把原条件等式等价转化为：

||||||||a a b b -+-+++-=163210

由绝对值的性质

|||||()()|a a a a -+-≥---=16165

|||||()()|b b b b ++-≥+--=32325

所以||||||||a a b b -+-+++-≥163210

此等号成立的条件为：

1632≤≤-≤≤a b ，

所以当a b ==-63，时，a b 22+达到最大值，其值为45。

6.数形结合求最值

例6.函数f x x x ()()=++-+22144的最小值为_____________

分析：首先易知要使f(x)取得最小值，显然x 应大于零。如图，作线段AB ＝4，AC AB ⊥，DB AB ⊥，且AC =1，BD ＝2，对于AB 上的任一点O ，令OA x = 则OC x OD x =

+=-+22144，()

那么，问题转化为在AB 上求一点O ，使OC OD +最小。 设点C 关于AB 的对称点为E

则DE 与AB 的交点即为点O

此时，OC OD OE OD DE +=+=

作EF//AB 与DB 的延长线交于F

在Rt DEF ∆中，易知EF AB ==4，DF ＝3

所以DE ＝5

因此，函数f x x x ()()=

++-+22144的最小值为5。