正切函数图像
问题1、正切函数y = tanx 是否为周期函数？
∵fx +π = tanx +π = tanx f x
∴ y = tanx 是周期函数， 是它的一个周
期．
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
(-π,π) 22
为什么？
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
即tan3(x+ )=tan3x,
3 这说明自变量 x
,至少要增加
，函数的值
才能重复取得，所以函数
y
3
tan 3x
的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x
2 2
(2) y tan(4x)
4
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
解：
y
3
T
A
0
x
解法1 解法2
(1)tan167o与tan173o
（2）tan(-
11π) 4
与
tan(-
13π) 5
解: (1) Q 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
(2)
tan(11 ) tan
4
Q0 2
2
k
,
k
Z
32kkxx42k
k
4
4
函数的单调增区间是
k
3
4
, k
4
,
k
Z
反馈演练
1、比较大小：
(1)tan1380 ____<_tan1430 。
(2)tan(- 13π)____>_tan(- 17π)
4
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线
段相等
２．函数 y tan(3x)的一个对称中心是（ C ）
A . ( , 0)
9
B. ( , 0)
4
C. ( , 0)
6
D. ( , 0)
4
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
4 5
tan
t42a,,n又ty2an(tan153x在 )0，ta2n
2
5
是增函数
4
5
tan(11 ) tan( 13 ).
4
5
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 与
4
tan(- 13π) 5
4
解:
设t
x
4
,
则y
tan
t的定义域为t
t
R且t
k
+
2
,
k
Z
x k ,
4
2
x k
4
因此，函数的定义域是
x
x
R且x
k
4
,
k
Z
值域 : R
Q
y
tan
t的单调增区间是
-
2
k ,
解: Q 900 1670 1730 1800
y
tan
x在
2
，
上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
例题分析
例 2. 求函数y tan(x )的定义域、值域和单调区间.
正切函数的图象和性质
4.10 正切函数的图像和性质 一、引入
如何用正弦线作正弦函数图象呢？ 1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象. 2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
4.10 正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象
5
２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增
区间。
定义域：｛x \ x k ,k z｝
值域：R
36
单调递增区间：（ k , k）,k z 6 36 3
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
63
答案:
1.
x
x
k
4
x
k
2
,k
Z
2.
x
x
k
2
x
k
4
,k
Z
3.
x
x
k
3
x
k
2
3
,k
Z
提高练习
求函数
y
tan
3x
3
的定义域、值域，并指出它的
单调性、奇偶性和周期性；
渐 进 线
渐 进 线
3
0
2
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图பைடு நூலகம்
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
2
，
2
的图像:
4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
y
tan
x，x
2
，
2
角 的终边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
X
3
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
A.a<b<c B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c
2.求y (tan x)2 4 tan x 1的值域；-5,+
3.已知是三角形的一个内角，且有tan 1, 则的取值范围是 ( c )
A.
3 4
,
B
. 0,2
C.
0,
答案:
1、定义域
x
x
|
x
R且x
1 3
k
5
18
，k
Z
2、值域
yR
3、单调性
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
4、奇偶性 非奇非偶函数
5、周期性
最小正周期是
3
补充练习
1. 已知 a tan1,b tan 2, c tan 3,则(c )
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
2
2
基础练习
1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
由图可知：x
k
3
,
k
2
(k
Z
)
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
解：
y
3
0 x
32
解法1 解法2
由图可知：x
k
3
,
k
2
(k
Z
)
反馈演练
1、 解不等式 1+tanx 0
2、解不等式：1- tan x 0
3、解不等式：tan(x ) 3
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
高一数学正切函数的图像和性质(中学课件201911)
tan x
f x
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
演示
4.10 正切函数的图像和性质
结正合切正函切数函的数性图质像：研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、
奇∴函偶正数性切．①②当当正∵⑤正⑥④和函切切定值任单渐渐xx奇单数函函义域意调小大近近偶调是数数域：性于于线线x性性奇是在:：R方：：2函．周每2程奇x数期个k2是x函k．函开（：数(kxkk2数区．，，间2k正kZZ周）)x切且，k期且曲无k2是无，线(限kk限Z2关接．接于ZZ近k近)原于，，于2点都22有kOtkk对a(nk称时时．，，xZttaa)nn内xx都t a是nx增，
上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
（2） y tan x 性质:
定义域
值 周 奇 单调增区间 域 期偶
性
对 称 渐近线 中心 方程
x
x
k
2
，k
Z
R
奇 函 数
k
2
，k
2
kZ
k，0
k Z
x k
2 kZ
谢谢大家指导!
∴又∵tan3167
2
3tan1733
45
，函数
2
y
tan
x
，x
3
2
，
《正切函数图像》课件
表示
$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
值域
$(-\infty, \infty)$
正切函数的图像
我们将呈现正切函数的图像并讨论其特点。
图像呈现
展示正切函数的图像及其数的性质和特点。
巧妙总结正切函数的性质和变化 规律。
正切函数的应用
正切函数在三角学和实际生活中如何应用？
1
三角学应用
介绍正切函数在三角学中的重要应用。
2
实际生活应用
探讨正切函数在实际生活中的实用应用场景。
3
问题解决演示
演示如何使用正切函数解决实际生活中的问题。
总结
让我们回顾一下正切函数的定义、图像、性质和应用。
定义和图像回顾
简要回顾正切函数的定义和图像。
《正切函数图像》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将探索正切函数的图像和应用。从定义到性质，详 细介绍正切函数的特点，并展示它在三角学和实际生活中的应用。
什么是正切函数
正切函数是余切函数的倒数。
定义
正切函数是余切函数的倒数。
定义域
$ \theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \cup (n\pi + \frac{\pi}{2})$
性质和应用总结
总结正切函数的性质和在三角学和实际生活中的应用。
注意事项
提醒大家注意正切函数的定义域和值域的限制。
参考文献
毛泽东. (1958). "论正切函数的图像". 人民出版社.
(完整版)正切函数的性质与图像.ppt
2
2
正
渐
切
近 线
函
数
渐
图
近 线
像
性质 :
渐近线方程： x k , k Z 2
对称中心
( kπ,0) 2
正切函数有对称轴吗？ 无对称轴
问题5： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会在某一区间内是减函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
5、周期性
最小正周期是
3
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
,k
Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
题型一 求与正切函数有关的函数的定义域
例1.求下列函数的定义域.
(1) y tan(x );
3 (2) y lg tan x 16 x2 .
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,
正切函数的图像和性质 (精致版)
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
6.2 正切函数的图像与性质
6.2 正切函数的图像与性质正切函数图像（余切函数的图像）例1．求函数tan(2)3y x π=-的定义域、周期和单调区间。
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：（1）与；（2） 与．例3. 求函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的定义域．例4 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：（1）167tan 与173tan ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π411tan 与⎪⎭⎫⎝⎛-π513tan ．例5．若tan α＝32，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。
例6．化简：()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan【当堂训练】 一、选择题1、下列不等式中，正确的是( )A ． tan74π＞tan 73πB ． tan(-413π)＞tan(-512π)C ． tan 4＜tan3D ． tan281°＞tan665°2、下列命题中正确的是( ) A ． x y tan =在第一象限单调递增． B ． 在x y tan =中，x 越大，y 也越大 C ． 当x ＞0时，x tan ＞0． D ． x y tan =的图象关于原点对称3、若βαππβα22tan tan ),23,(,>∈且，则 （ ） A ．α<β B ．α>β C ．α+β>3π D ．α+β<2π4、直线y = a （a 为常数）与y = tan ωx （ω>0）的相邻两支的交点距离为 （ ）A ．πB ．ωπ C ．ωπ2 D ．与a 有关的值5、在下列函数中，同时满足的是（ ）①在(0，2π)上递增 ②以2π为周期 ③是奇函数 A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan 21x D ．y ＝－tan x6、在区间（－π23，π23）内，函数x y tan =与函数x y sin =图象交点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题1、使函数y=tanx 和y=sinx 同时为单调递增函数的区间是 ．2、函数y=3tan(21x 4π-)的定义域是 ，值域是 ．3、函数y=3tan(2x +3π)的对称中心的坐标是 ．4、函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42t an πx y 的图象被平行直线 隔开，图象与x 轴交点的横坐标是 ，与y 轴交点的纵坐标是 ，函数的周期是 ，定义域是 ，值域是 ，它的奇偶性是 ．5、比较大小：（１）︒222tan ︒223tan ； （２）31)44(tan ︒ 21)44(tan ︒。
正切函数的图像与性质
正切函数的性质：
①定义域： x x k , k Z ,以 x k ( k Z ) 2 2 为渐近线
②值域：R ③周期性：最小正周期π,正切型函数y=Atan(ωx+φ)最 小正周期为π/|ω| ④奇偶性：奇函数，图像关于原点中心对称 ⑤单调性：增区间为 ( k , k )( k Z ) ,无减区间 2 2 k ( , 0)( k ⑥对称性：为中心对称图形，对称中心坐标为 2
做一做：
1.求函数 y
1 1 tan( x ) 4
的定义域.
2.试作出函数 y tan( 2 x
x x k , 且x k , k Z 4
3 提示：“两线一点法”
) 的简图.
3.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线 y=1所得线段长为π/4,则f(π/12)= .
x , x ( , 0 0,） ）（ 4.函数 y 的图像大致为( D) sin x
y
3
y
y
y
1 -π o π
x
-π o
π
x
-π o
π
x
1 -π o π
x
A
B
C
D
5.函数 f ( x )
1 cos 2 x ( A) cos x 3 3 A.在 [0, 2 ),( 2 , ] 上递增，在 [ , 2 ),( 2 , ]上递减 3 3 , 2 ] 上递减 [0, ),[ , ) 上递增，在 ( , ],( B.在 2 2 2 2 3 3 [0, ),[ , ) 上递减 C.在 ( , ],( , 2 ]上递增，在 2 2 2 2 3 3 D.在 [ , ),( , ] 上递增，在 [0, 2 ),( 2 , ] 上递减 2 2
三角函数正切函数的性质与图像
正切函数的图像向右平移π个单位，可以得 到余弦函数的图像。
左右翻转
正切函数的图像关于$y$轴对称，即$tan( - x) = tan(x)$。 正切函数的图像向左翻转后，可以得到正切函数的图像。
03
正切函数的图像绘制
利用Python绘制正切函数图像
导入matplotlib库
定义正切函数
首先需要导入matplotlib库，该库是 Python中用于绘图的常用库之一。
使用xlabel和ylabel参数可以添加x轴和y轴的标签，例如x轴 标签为“$x$”，y轴标签为“$y$”。
显示网格线
使用grid参数可以显示网格线，以便更好地观察图像的细节 。
04
三角函数的实际应用
物理中的三角函数
简谐振动
简谐振动的位移与时间的关系可以表示为正弦或余弦函数，利用三角函数性 质可以更深入地理解简谐振动的特征。
正切函数的对称性
正切函数图像无对称轴，但在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数图像呈现对称性。
正切函数的奇偶性
$tan( - x) = - tan(x)$，因此正切函数为奇函数。
正切函数的应用
正切函数在解直角三角形、求三角形的面积、研究三角恒 等式等方面具有广泛应用。
对未来研究正切函数的展望
三角函数正切函数的性质与图像
xx年xx月xx日
contents
目录
• 正切函数概述 • 正切函数的性质 • 正切函数的图像绘制 • 三角函数的实际应用 • 总结与展望
01
正切函数概述
正切函数的定义
正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 值域：(-∞，∞)
定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z} 周期：π
正切函数的图像和性质
是增函数， 3 3 11 13 ∴ tan tan 即 tan tan ． 4 5 4 5
4.10 正切函数的图像和性质
练习：
（1）直线 y a（ a 为常数）与正切曲线 y tanx （ 为常数
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的． 用正切线作正切函数图像: 正切函数 y tan x是否为周期函数？
sin x sin x f x tan x tan x f x cos x cos x
C．充要条件
4.10 正切函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图像和性质
小结：
（1）y tan x 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 ， 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 2 2
（2） y tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 对 称 中心 渐近线 方程
所以函数 y tan x 的定义域是 x x k，k Z 4 4
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
13 11 tan 与 tan ． tan 167 与 tan 173 ；（2） （ 1） 5 4 3 11 解：（ 1 ）∵ tan 90 173 180 167 （2）∵ tan 4 4 13 90 3 x ， 上是增函数 又 ∵ y tan ，在 270 tan tan 5 5 tan 167 tan 173 3 3 3 ∴ 3 y tan x 又∵ ，函数 ，x ， 2 4 5 2 2 2
正切函数的图像和性质(PPT)3-3
4.10 正切函数的图像和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan167与
tan173
；（2）tan
11
4
与
tan
13
5
．
解：（（2）1）∵∵ta9n0141167
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
Leabharlann 2，
2
的图像:
几何画板演示
深海，并在深海环境中完成整个生活史。 [] 作为凶悍的猎手，巨齿鲨活动量大，能量消耗也大，每天必须吃近吨的食物才能生存。显然，一旦食物短缺，其 生命脆弱性的一面就暴露无遗。“巨齿鲨为体型巨大的掠食者，处于最高的营养级，从理论上来讲，当前的海洋生态系统中的食物网结构无法支撑如此巨大 掠食者的生存。”赵宇； 云股票：/ ；说，所以，巨齿鲨如今依然存活于某处的说法站不住脚。 [] 化石证据表明巨齿鲨灭绝于约 万年前，这与最后一次冰期开始的时间吻合。因此，有人认为巨齿鲨因为无法适应海水温度骤降而灭绝。 [] 苏黎世大学研究人员年的研究显示，巨齿鲨的灭 绝与海水温度变化并无直接关系，该研究指出，生物因素是引起巨齿鲨灭绝的重要原因，巨齿鲨种群衰退伴随着鲸类多样性的下降，以及其它大型掠食性生
1ta7n3
3180
4
又 ∵ y tantaxn，在1390，2ta7n0 上3是 增函数 5 5
∴又∵tan3167
3tan1733
正弦、余弦、正切函数图象及其性质
函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。
2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。
当ω＜0时，要特别注意。
如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。
3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。